Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Γιώργος Α. Απόκης Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Πάτρα 0

Στην Ισμήνη, στη Μαριάννα και στην Αντιγόνη

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ Α : Η έννοια της συνάρτησης Α. - Εισαγωγικές έννοιες 4 Α. Εύρεση πεδίου ορισμού..6 Α. Στοιχεία γραφικών παραστάσεων 0 ΕΝΟΤΗΤΑ Β : Όριο - Συνέχεια Β. Όριο ρητής συνάρτησης...4 Β. Όριο με ριζικά 5 Β. Συνδυαστικά όρια..5 Β.4 Συνέχεια συνάρτησης 8 ΕΝΟΤΗΤΑ Γ : Η έννοια της παραγώγου Γ. Εισαγωγικές έννοιες..0 Γ. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Κανόνες παραγώγισης.. Γ. Εφαπτομένη γραφικής παράστασης Γ.4 Ρυθμός μεταβολής 8 Γ.5 Μονοτονία ακρότατα.4 Γ.6 Προβλήματα εύρεσης ακροτάτου...54 ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ...59

Πρόλογος Το βιβλίο «Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός» αποτελεί το πρώτο μέρος της σειράς βιβλίων για την Γ Λυκείου και είναι ένα βιβλίο για το μαθητή. Η ανάπτυξη της θεωρίας γίνεται με τρόπο τέτοιο, ώστε ο μαθητής να μπορεί να προγραμματίσει και να οργανώσει μόνος του τη μελέτη του. Η επίλυση των ασκήσεων συστηματοποιείται μέσω της αναλυτικής παρουσίασης της μεθοδολογίας και η πληθώρα ασκήσεων καλύπτει όλο το φάσμα της ύλης του κεφαλαίου. Θέλω να ευχαριστήσω όλους τους μαθητές μου, που με τη ζωντάνια και τη διάθεσή τους μου έδιναν πάντα κουράγιο και έμπνευση! Ευχή μου είναι το βιβλίο να συμπληρώσει και να βοηθήσει την προσπάθεια και τη μάχη που δίνουμε μαζί καθημερινά Πάτρα, Απρίλιος 0 Γιώργος Α. Απόκης «Όποιος πιστεύει ότι τα Μαθηματικά δεν είναι απλά, σίγουρα δεν έχει συνειδητοποιήσει πόσο πολύπλοκη είναι η ζωή» - John von Neumann

Α. - Εισαγωγικές έννοιες ΕΝΟΤΗΤΑ Α Η έννοια της συνάρτησης Ορισμός : Ονομάζουμε συνάρτηση μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο ενός συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται σύνολο (ή πεδίο) ορισμού της συνάρτησης και το σύνολο Β λέγεται σύνολο άφιξης. Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής, δηλαδή συναρτήσεις f : A B για τις οποίες θα ισχύει A, B R. O συμβολισμός π.χ. f :[,] [, ) σημαίνει ότι η συνάρτηση f παίρνει αριθμούς από το διάστημα A [,] και τους αντιστοιχίζει σε αριθμούς y f ( ) στο διάστημα B [, ). Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f : A B με τύπο f ( ) και A {,,,0}, B {,0, 8,, 5,7}. Βρίσκουμε τις τιμές της συνάρτησης σε κάθε στοιχείο του πεδίου ορισμού της και έχουμε : f( ) ( ) 8, f() f() 7, f(0) 0. Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί 8,,7, είναι στοιχεία του συνόλου B. 4

Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f : R R με τύπο α) Να βρείτε τις τιμές f (0), f ( ), f f ( ). β) Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες f( ) 0 γ) Να λυθεί η εξίσωση f( ). α) Είναι : f(0) 0 0 0, f ( ) ( ) ( ) 8 και f. β) Έχουμε : f ( ) 0 0 ( ) 0 0 ή γ) f ( ) 0 ή ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) α. Να βρείτε τις τιμές : f ( ), f ( ), f () β. Να λύσετε την ανίσωση : f( t).. Για τη συνάρτηση με τύπο f( ) να αποδείξετε ότι ισχύει η e σχέση : f ( ) f ( ) για κάθε R. ln. Για τη συνάρτηση f :(0, ) R με τύπο f( ) να ln αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση : f ( ) f 0 για κάθε 0. 5

Α. Εύρεση πεδίου ορισμού Για την εύρεση του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης της οποίας γνωρίζουμε τον τύπο, εφαρμόζουμε τους παρακάτω περιορισμούς : Οι παρονομαστές πρέπει να είναι διάφοροι του μηδενός. Οι υπόρριζες ποσότητες πρέπει να είναι μεγαλύτερες ή ίσες του μηδενός. Αν ο τύπος περιέχει παράσταση της μορφής ln( A ( )) πρέπει A ( ) 0. Αν ο τύπος περιέχει παράσταση της μορφής ( ( )) πρέπει A( ), Z. Αν ο τύπος περιέχει παράσταση της μορφής ( ( )) πρέπει A( ), Z. Αν ο τύπος περιέχει παράσταση της μορφής ( ) B( ) πρέπει A ( ) 0., τότε, τότε, τότε, τότε Παρατήρηση : Είναι αυτονόητο ότι αν στον τύπο δεν υπάρχει κάποιος από τους παραπάνω περιορισμούς, τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης (εφόσον δεν δίνεται κάποιο άλλο) είναι το R. Παράδειγμα Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ( ) ln(0 5 ). Πρέπει να ισχύουν συγχρόνως 0 και 0 5 0 5 0 4. Συναληθεύοντας έχουμε ότι το πεδίο ορισμού είναι : Af [,4) 6

Παράδειγμα Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f 9 ( ) ln( 7 0). Πρέπει να ισχύουν συγχρόνως 9 0 9 και 70 0. Το τριώνυμο έχει ρίζες, 5 άρα η ανίσωση δίνει (,5). Συναληθεύοντας, προκύπτει : (,) (,5) A. f Παράδειγμα Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f( ). Πρέπει να ισχύει 0,. Επομένως A R {,} f Προσοχή! Δεν απλοποιούμε τον τύπο μιας συνάρτησης πριν βρούμε το πεδίο ορισμού της. Αν στην παραπάνω συνάρτηση γράφαμε ( )( ) f( ) ( )( ) τότε θα είχαμε βρει (λανθασμένα) πεδίο ορισμού το A R {}. Είναι φανερό ότι η συνάρτηση g ( ) ορίζεται στο, ενώ δεν υπάρχει η τιμή f () για την f( ). f 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού καθεμιάς από τις παρακάτω συναρτήσεις: i) f () ii) f () iii) f () 7 0 iv) f () 5 4. Ομοίως για τις συναρτήσεις : i) f () 8 ii) f () 8 iii) f () 8 iv) f () ln 8. Ομοίως για τις συναρτήσεις : 5 4 i) f () 4 ii) f () iii) f () iv) f () v) f () ln( ) vi) f () ln( ) vii) f () e 4. Ομοίως για τις συναρτήσεις : i) f () ii) f () ln iii) f () 4 iv) f () ln 8

v) f () 4 vi) f () ln(4 ) vii) f () viii) 5 f () ln ln 5 i) f () ) f () ( ) i) f () ln[ln(ln )] ii) f () 4 iii) f () ln iv) f () (4 ) 5 5. Για ποιες τιμές του α η συνάρτηση f () ορισμού το R; έχει πεδίο 6. Δίνεται η συνάρτηση f () 0. f (). Να λυθεί η εξίσωση 7. Να βρείτε το πεδίο ορισμού καθεμιάς από τις παρακάτω συναρτήσεις: i) iii) f () 6 ii) 4 f () ln( 5 4). f () 9

Α. Στοιχεία γραφικών παραστάσεων. Σημεία τομής γραφικής παράστασης με τους άξονες Για να βρούμε τα σημεία τομής της C f α) με τον άξονα ' : λύνουμε την εξίσωση f () 0. β) με τον άξονα y'y : βρίσκουμε την τιμή y f (0).. Σχετική θέση γραφικής παράστασης ως προς τον άξονα Η C f βρίσκεται : α) πάνω από τον άξονα ' για τα για τα οποία ισχύει : f () 0. β) κάτω από τον άξονα ' για τα για τα οποία ισχύει : f () 0.. Σημεία τομής δύο γραφικών παραστάσεων Για να βρούμε τα σημεία τομής των C f,c g λύνουμε την εξίσωση f () g(). 4. Σχετική θέση δύο γραφικών παραστάσεων Η C f βρίσκεται : α) πάνω από την C g για τα για τα οποία ισχύει : f () g(). β) κάτω από την C g για τα για τα οποία ισχύει : f () g(). Παράδειγμα Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της f () 0.( 7 6) η οποία: - τέμνει τον άξονα ' στα σημεία A(,0), B(,0), C(,0) και τον άξονα y'y στο σημείο D(0,.8) - βρίσκεται πάνω από τον ' για (,) (, ) και κάτω από τον ' για (, ) (,) 0

Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f () ln( ). Να βρεθούν : α) τα σημεία τομής της C f με τους άξονες. β) η σχετική θέση της C f ως προς τον '. Αρχικά πρέπει 0 που ισχύει αφού 9 0, άρα έχουμε : f R. α) Για τον ' λύνουμε την εξίσωση f () 0 ln( ) 0 0 ή άρα τέμνει στα σημεία A(,0) και B(,0). Για τον y'y (και αφού το 0 ανήκει στο πεδίο ορισμού) έχουμε y f (0) ln άρα τέμνει στο σημείο (0,ln). β) Για τη σχετική θέση χρειαζόμαστε το πρόσημο της f (). Είναι f () 0 ln( ) 0 0 (,) (, ) και ομοίως f () 0 (,). Επομένως η C f βρίσκεται πάνω από τον άξονα ' για (,) (, ) και κάτω από τον άξονα ' για (,).

Παράδειγμα Δίνονται οι f () και α) Τα σημεία τομής των C f,c g. β) Η σχετική θέση των C f,c g. Οι συναρτήσεις έχουν κοινό πεδίο ορισμού το R. g() 5. Να βρεθούν : α) Για τα κοινά σημεία λύνουμε την εξίσωση f () g() 5 6 0 ή. Άρα, A,f ( ), B,f () ή A(,), B(,4) τέμνονται στα σημεία β) Η C f βρίσκεται πάνω από την C g όταν f () g() 6 0 (, ) (, ) και κάτω από την C g όταν f () g() 6 0 (,).

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης των παρακάτω συναρτήσεων με τους άξονες ' και yy' i) f () ii) f () iii) f () (e e ) iv) f (). Να βρείτε τη σχετική θέση ως προς τον ' των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων i) iii) f () 6 8 ii) f () 7 6 iv) f () 4 f () 6. Nα βρεθούν τα κοινά σημεία των C f,c g σε κάθε περίπτωση i) f (), g() ii) f (), g() 8 4. Αν f () και g() k, k R, να βρεθεί ο k ώστε οι γραφικές παραστάσεις των f, g, να έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. Ποιό είναι αυτό το σημείο; 5. Nα βρεθεί η σχετική θέση των C f,c g σε κάθε περίπτωση i) ii) iii) f () 5, g() f (), g() 4 4 f () 5, g()

Για να υπολογίσουμε ένα όριο βήματα: ΕΝΟΤΗΤΑ Β Όριο - Συνέχεια lim f (), ακολουθούμε τα παρακάτω 0 ) Αντικαθιστούμε στον τύπο της συνάρτησης όπου το 0 ) Α) Aν προκύψει ως αποτέλεσμα πραγματικός αριθμός, τότε το όριο ισούται με τον αριθμό αυτό. Β) Αν προκύψει όριο μορφής 0 (απροσδιόριστη μορφή), διακρίνουμε 0 τις περιπτώσεις : Η συνάρτηση είναι ρητή, δηλαδή f () A() B() και τα A(),B() είναι πολυώνυμα. Τότε εμφανίζουμε τον παράγοντα 0 (συνήθως παραγοντοποιούμε με σχήμα Horner) και τον απλοποιούμε. Η συνάρτηση περιέχει παράσταση της μορφής A() B(). Τότε πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την συζυγή παράσταση, δηλαδή την A() B(). Β. Όριο ρητής συνάρτησης Παράδειγμα Nα υπολογίσετε το όριο lim 8 5 6. Παρατηρούμε ότι με την αντικατάσταση, προκύπτει όριο της 0 μορφής και η συνάρτηση είναι ρητή. Επομένως, θα 0 4

παραγοντοποιήσουμε τα πολυώνυμα βοήθεια του σχήματος Horner έχουμε : 8 ( )( 4), επομένως το όριο γράφεται 0 0 5 6, 8. Με τη 5 6 ( )( ) και 5 6 ( )( ) lim lim lim 8 ( )( 4) 4 4 8 Β. Όριο με ριζικά Παράδειγμα Nα υπολογίσετε το όριο lim. 6 6 Παρατηρούμε ότι με την αντικατάσταση 6 0, προκύπτει όριο της και η συνάρτηση περιέχει την παράσταση. μορφής 0 Επομένως, θα πολλαπλασιάσουμε τους όρους του κλάσματος με τη συζυγή παράσταση, δηλαδή την. Έχουμε : 0 0 lim lim lim 6 6 6 6 6 6 9 6 lim lim lim 6 6 6 6 6. 6 6 Β. Συνδυαστικά όρια Παράδειγμα Nα υπολογίσετε το όριο lim 4 5 5. 6 5

Παρατηρούμε ότι με την αντικατάσταση 4, προκύπτει όριο της μορφής 0 0 και η συνάρτηση περιέχει την παράσταση 5 5 αλλά και το πολυώνυμο 6. Επομένως, θα πολλαπλασιάσουμε τους όρους του κλάσματος με την συζυγή παράσταση, δηλαδή την 5 5 αλλά θα παραγοντοποιήσουμε και το πολυώνυμο. Έχουμε: lim 0 0 5 5 5 5 5 5 lim 6 4 4 5 5 4 4 5 5 0 lim lim 4)( 4 5 5 4)( 4 5 5 4 4 ( 4)( 5) 5 lim lim 4)( 4 5 5 4 5 5 4 4 9 9. 8 5 5 80. Να υπολογίσετε τα όρια : ΑΣΚΗΣΕΙΣ i) lim ii) 4 6 lim 4 iii) 5 lim iv) 4 6 lim 8 v) 9 lim vi) 0 ( ) 7 lim vii) 4 lim viii) 4 4 6 lim i) 4 9 lim 6 ) ( ) lim i) lim ii) ( ) lim 4 6

. Ομοίως για τα όρια i) lim 6 ii) lim 6 4 iii) lim 6 0 iv) lim 5 6 7 v) lim vi) 9 8 lim vii) lim viii) lim 7 4 i) lim ) lim i) lim ii) lim 4. Ομοίως για τα όρια i) lim ii) 0 e e lim e 4. Nα βρεθεί η τιμή του λ ώστε να ισχύει η σχέση : 5. Δίνεται η συνάρτηση i) lim f () ( 4) 6 9 lim 5 9 f () 4. Να υπολογίσετε τα όρια: f () f ( ) ii) lim 4 f () f (0) iii) lim 0 4 6. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει : υπολογίσετε τα όρια : lim f () 5 0 να i) lim f () f () ii) lim 4 7

Β.4 Συνέχεια συνάρτησης Ορισμός : Η συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο 0 του πεδίου ορισμού της όταν ισχύει : Κάθε συνάρτηση πολυωνυμική, ρητή, εκθετική, λογαριθμική, τριγωνομετρική αλλά και οποιαδήποτε συνάρτηση προκύπτει από πράξεις μεταξύ των παραπάνω συναρτήσεων, είναι συνεχής. Παράδειγμα lim f () f ( ). 0 0 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση στο 0. 7, f (), είναι συνεχής Πρέπει να υπολογίσουμε τα : lim f (), f () Έχουμε : f () και και να τα συγκρίνουμε. 7 ( )( 4) lim f () lim lim lim( 4) Δηλαδή ισχύει lim f () f () άρα η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0. Παράδειγμα Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η συνεχής στο 0. f () 7 4, 5, 4 να είναι Πρέπει να υπολογίσουμε τα : lim f (), f () και να τα εξισώσουμε. 8

Έχουμε : 5 f () και 4 7 4 7 4 7 4 lim f () lim lim 7 4 7 4 9 lim lim 7 4 7 4 7 4 lim lim 7 4 7 4 6 lim. Για να είναι η συνάρτηση συνεχής : 7 4 8 4 5 lim f () f (). 4 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις είναι συνεχείς στο 0. α) ( ) 0, f (), β) ( ) 0 7 f (), 4, γ) ( ) 0 7 0, f (), δ) ( 5) 0 6 f (), 5 5, 5. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η είναι συνεχής στο 0. 5 6, f () 4, να. Αν για τη συνεχή συνάρτηση f ισχύει η σχέση : ( )f () 0 4, R, να βρείτε την τιμή f (). 9

Γ. Εισαγωγικές έννοιες Παράγωγος συνάρτησης στο 0 ΕΝΟΤΗΤΑ Γ Η έννοια της παραγώγου f (0 h) f ( 0) Ορισμός : Αν το όριο lim υπάρχει και είναι h0 h πραγματικός αριθμός λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0. Το όριο ονομάζεται παράγωγος της f στο 0 και συμβολίζεται με f ( f 0 h) f ( 0) ( 0). Δηλαδή, έχουμε ότι : f ( 0) lim. h0 h Η παράγωγος ισούται με το συντελεστή διεύθυνσης λ της εφαπτομένης της C f στο σημείο της με τετμημένη 0, δηλαδή ισχύει: f ( ). 0 Επιπλέον, η παράγωγος εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της f (ως προς ) για 0. Ειδικότερα, αν η θέση ενός κινητού σε έναν άξονα δίνεται από τη σχέση (t), τότε τη χρονική στιγμή t t0 η ταχύτητα ισούται με (t 0) (t 0) η επιτάχυνση ισούται με (t 0) (t 0) 0

Παράδειγμα Να βρείτε την παράγωγο της Έχουμε : f () 5 4 στο 0. 0 f (0 h) f ( 0) f ( h) f () 0 h0 h0 f ( ) lim lim h ( h) 5( h) 4 5 4 lim h0 h (4 4h h ) 0 5h 4 6 h h 0 5h 4 6 lim lim h0 h h0 h h 7h h h(7 h) lim lim 7 0 7. h0 h h0 h Άρα, f () 7. Παράδειγμα Να βρείτε την παράγωγο της f () στο 0 4. Έχουμε : 0 4 f (0 h) f ( 0) f (4 h) f (4) 0 h0 h0 f ( ) lim lim h h (4 h) 4 9 h lim lim h0 h h0 h 9 h 9 h 9 h 9 lim h 9 h h 9 h lim h0 h 0 h lim lim. h 0 h 9 h h 0 9 h 6 Άρα, f (4).

Παράδειγμα Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής (ως προς ) της f () για 0. Ο ρυθμός μεταβολής για 0 ισούται με την παράγωγο στο 0 Έχουμε : 0 f (0 h) f ( 0) f ( h) f () 0 h0 h0 f ( ) lim lim h ( h) (4 4h h ) h h lim lim lim h0 h h0 h h0 h h( h) lim lim( h). h0 h h0 h ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f στο αντίστοιχο 0. α) β) γ) f () 4 5 στο 0 f () στο 0 f () στο 0 δ) f () στο 0 5 ε) f () στο 0 4 στ) f () στο 0 9.. Για τη συνάρτηση f () f () f () f () 0 f () 5 6 να δείξετε ότι ισχύει η σχέση:. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής (ως προς ) της συνάρτησης f () για 0.

Γ. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Κανόνες παραγώγισης Παράγωγος συνάρτηση Ορισμός : Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A και Β το σύνολο των A στα οποία η f είναι παραγωγίσιμη. Τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση μέσω της οποίας κάθε B αντιστοιχίζεται στον f ( h) f () αριθμό f '() lim. Η συνάρτηση αυτή λέγεται h0 h παράγωγος συνάρτηση της f και συμβολίζεται με f. Η παράγωγος της συνάρτησης f λέγεται δεύτερη παράγωγος της f και συμβολίζεται με f. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων f() f () c 0 e e ln Κανόνες παραγώγισης. cf () cf (). f () g() f () g (). f ()g() f ()g() f ()g () 4. f () f ()g() f ()g () g() g() 5. f g() f g() g ()

Παράδειγμα Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων : α) f () 6 β) ε) f () ln στ) 4 f () 6 γ) f () e ζ) f () 5 δ) f () f (), 0. 5 e η) f () 6 α) f () 6 0 β) f () 6 6 6 4 4 4 4 γ) f () ( 5) 5 δ) 5 5 6 6 f () ε) f () ln 0 f () e e στ) 5 ζ) f () e 0 η) f () 6 6 6. Προσοχή! Οι συναρτήσεις f () ln και 5 f () e είναι σταθερές. Παράδειγμα Ομοίως για τις συναρτήσεις : α) f () e β) 4 f () γ) f () ( )ln δ) f () ε) f () ln f () e e e e e α) 4

4 4 4 4 f () 4 β) γ) f () ( )ln ln ( ) ln ( )ln ( ) ( )ln δ) ( ) ( ) f () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε) ln ln ln () ln ln f () Παράδειγμα Ομοίως για τις συναρτήσεις : α) f () β) δ) f () (ln ) ε) α) f () e 4 γ) f () ln( ) f () στ) f () (4 5) f () ( ) f () e e 5 e β) 5 5 5 5 4 γ) f () ln( ) (ln ) δ) f () (ln ) (ln ) ln 5

ε) f () f () (4 5) (4 5)(4 5) (6 0)(4 5) στ) Παράδειγμα 4 Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος των συναρτήσεων : α) f () ln β) f () α) f () ln ln ln ln και f () ln β) f () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) και επομένως f () ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 4 ( ) ( ) 4( ) 6 4 ( ) ( ) Παράδειγμα 5 Δίνεται η συνάρτηση 4 κάθε R ισχύει : f () f () 8f () 0 f () e e,, R. Να δείξετε ότι για. 6

f () e e e e e 4 e 4 4 4 Έχουμε : f () e 4e e 4 e 4e 6 e 4 4 4 και Αντικαθιστούμε στο πρώτο μέλος της αποδεικτέας και έχουμε: 4 4 4 4e 6e e 4e 8 e e 4 4 4 4e 6e 4e 8e 8e 8e 0 Παράδειγμα 6 * Δίνεται η συνάρτηση f () e, R. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε για κάθε R να ισχύει : f () 5f () 6f () 0 Έχουμε : f () e e e. και f () e e e. Με αντικατάσταση έχουμε: f () 5f () 6f () 0 e 5e 6e 0 e 0 e 5 6 0 5 6 0 ή. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: i) f () ii) 5 f () 4 iii) f () iv) f () 7 v) 4 f () 4 vi) 5 f () 7

vii)f () viii) f () i) f () ) 4 f () ln 4 i) f () 5 ii) f () ln iii) f () iv)f () 4 v) f () vi) f () ( 4 )( ) 4. Ομοίως για τις συναρτήσεις: i) 7 f () e ii) f () ( ) 5 iii) f () 4 e iv) f () v) f () e vi) 4 f () vii) f () e viii) f () i) f () ) f () e e i) f () ii) f () ln ln 4. Ομοίως για τις συναρτήσεις: i) f () ( ) ii) f () 8

iii) f () iv) f () ( ) 5 v) f () vi) f () vii) f () ( )( ) viii) f () 5 e i) f () ) f () ln( 5) i) f () ii) f () iii) f () 5 iv) f () v)f () vi) f () 4. Ομοίως για τις συναρτήσεις: f () ii) f () (a ) a i) 5 iii) f () iv) f () 5 v)f () vi) f () vii) f () e viii) f () ln( ) i) f () ) f () i)f () ln( ) ii) f () iii) f () iv) f () 9

5. Αν, όπου, R f () e e f () 4f () 4f () 0. 6. Έστω η συνάρτηση f (), να δείξετε ότι, όπου, R. Να δείξετε ότι * f () f (), R. Στη συνέχεια να βρείτε τα, ώστε να είναι f () και f (). 7. Αν f () e, να δείξετε ότι 8. Αν f () e e, να δείξετε ότι f () f () f () 0. f () f () f () 0. 4 9. Αν f () e, να δείξετε ότι f (0) f (0) 0. 0. Αν f (), να δείξετε ότι f f 4 4.. Έστω η συνάρτηση f : 0, R με φορές παραγωγίσιμη. Να δείξετε ότι. Αν f () και f ( ) δυο f f 4. g() f ( ), να δείξετε ότι g () 4.. Να βρείτε πολυώνυμο P() τετάρτου βαθμού τέτοιο ώστε να είναι P(0), P() 6, P (0), P () 7 και P (). 4. Αν 7 f () 5, να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες επαληθεύεται η εξίσωση f (). 5. Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου, ώστε η παράγωγος της συνάρτησης. f (),, να έχει ρίζες τις, 0

Γ. Εφαπτομένη γραφικής παράστασης Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της,f έχει εξίσωση : 0 0 y f 0 f 0 ( 0). Απόδειξη Έστω ότι η εξίσωση της εφαπτομένης είναι ( ) : y. Γνωρίζουμε ότι f 0, άρα η εξίσωση γίνεται : ( ) : y f ( 0) (). Η,f άρα θα επαληθεύεται για ευθεία διέρχεται από το σημείο 0 0, y f. Επομένως, με αντικατάσταση, έχουμε : 0 0 0 0 0 0 0 0 ή y f f ( ) f f ( ) f f ( ). Συνεπώς, από την (): ( ) : y f ( ) f f ( ) Μεθοδολογία 0 0 0 0. 0 0 0 Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f, διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Α) Το σημείο επαφής είναι γνωστό Τότε χρησιμοποιούμε τον τύπο Β) Το σημείο επαφής δεν είναι γνωστό ( ) : y f f ( ) ( ). 0 0 0 Τότε, από τη συνθήκη που μας δίνεται (και χρήση του παρακάτω πίνακα) προσδιορίζουμε το 0 και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον τύπο (Ι).

Ιδιότητα Συνθήκη Η εφαπτομένη της C f Τότε:. είναι παράλληλη στον άξονα f ( 0) 0. είναι παράλληλη στην ευθεία ( ) : y f ( 0). είναι κάθετη στην ευθεία ( ) : y f ( 0) 4. σχηματίζει γωνία ω με τον άξονα f ( 0) 5. διέρχεται από σημείο Σ εκτός της C f Βλ. παράδειγμα 6 Παράδειγμα Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στην στο σημείο της με τετμημένη 0. C f της f () Έχουμε: f () 6. Το σημείο επαφής έχει γνωστή τετμημένη άρα υπολογίζουμε τα : f f ( ) ( ) 5 και 0 0 f f 6( ) 7. Με αντικατάσταση στον τύπο, έχουμε: y f f ( ) y 5 7( ) y 7. 0 0 0 Παράδειγμα Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στην η οποία είναι παράλληλη στον άξονα.. Έστω,f Έχουμε: f () 6 0 0 C f της η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα, ισχύει : f () το σημείο επαφής. Αφού f ( 0) 0 60 0 60 0. Υπολογίζουμε τα f και f 6 0 και με αντικατάσταση στον τύπο προκύπτει : y 0 y.

Παράδειγμα Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στην C f της f () 5 η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία ( ) : y 5.. Έστω,f Έχουμε: f () ευθείες είναι παράλληλες, ισχύει : το σημείο επαφής. Αφού οι 0 0 f ( 0) 5 0 5 0 8 0 4. Υπολογίζουμε τώρα τα f 4 4 4 5 9 και f 4 4 5 και με αντικατάσταση στον τύπο προκύπτει : y 9 5 4 y 5. Παράδειγμα 4 Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στην οποία είναι κάθετη στην ευθεία Έχουμε: f () C f της ( ) : y 5.. Έστω,f οι ευθείες είναι κάθετες, ισχύει : 0 0 f () 5 η το σημείο επαφής. Αφού f ( 0) 0 0 0 0. Υπολογίζουμε : f ( ) ( ) 5 7, f ( ) και με αντικατάσταση στον τύπο : y 7 y 4. Παράδειγμα 5 Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στην η οποία σχηματίζει γωνία C f της 5 με τον άξονα. f () 7 6

. Έστω,f Έχουμε: f () 4 7 ευθεία σχηματίζει γωνία το σημείο επαφής. Αφού η 0 0 5 με τον άξονα, ισχύει : f ( ) 5 4 7 4 8. Υπολογίζουμε : o 0 0 0 0 f ( ) 7 ( ) 6 0, f 4 ( ) 7 και με αντικατάσταση στον τύπο : y 0 y. Παράδειγμα 6 Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στην οποία διέρχεται από το σημείο 0,. C f της f () η Είναι: f (). Εξετάζουμε αν το σημείο ανήκει στην C f. Αφού f (0) 0, το σημείο δεν ανήκει στην C f. Αν,f το σημείο επαφής, τότε η εφαπτομένη έχει εξίσωση 0 0 y f f ( ) y ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y y (I). Το 0, ανήκει στην εφαπτομένη, άρα η (Ι) επαληθεύεται για 0, y. Επομένως, Από την (Ι), έχουμε : για 0 την ευθεία : για 0 την ευθεία : 0 0 0 0 0 4. y y 4 y ( ) ( ) y 4 Προσοχή! Η έκφραση «να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης» δε σημαίνει απαραίτητα ότι η εφαπτομένη θα είναι μόνο μία. 4

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () ln που είναι παράλληλη στην ευθεία y 4.. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y 0. f () που είναι κάθετη στην ευθεία. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () στο σημείο της με τετμημένη 0 4. 4. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () 5 που είναι παράλληλες στον άξονα '. 5. Αν f (),, R, να προσδιοριστούν τα, ώστε η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει κλίση, να εφάπτεται στο διάγραμμα της f στο σημείο M(,). 6. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () στο σημείο της με τετμημένη 0. 7. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του διαγράμματος της f () στο σημείο M(,). 4 8. Θεωρούμε τη συνάρτηση f (), και στη γραφική της παράσταση τα σημεία M, M με τετμημένες και αντίστοιχα. Να βρεθεί στη γραφική παράσταση της f σημείο, ώστε η εφαπτομένη σε αυτό να είναι παράλληλη προς την ευθεία MM. 5

9. Αν η ευθεία y 6 0 είναι εφαπτομένη της καμπύλης της f (), να βρεθεί ο και το σημείο επαφής. 0. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του διαγράμματος της f στο σημείο Α που έχει τετμημένη 0.. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων της καμπύλης της f () 6 στα σημεία που αυτή τέμνει τους άξονες.. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του διαγράμματος της 4 f () στο σημείο A( 0,y 0), αν η εφαπτομένη σχηματίζει γωνία 45 ο με τον οριζόντιο άξονα.. Σε ποια σημεία της υπερβολής παράλληλη στην ευθεία y ; y η εφαπτομένη της είναι 4. Να βρεθεί η τιμή του, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f () ( ) στο σημείο O(0,f (0)) να σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα γωνία 60 ο. 5. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της οποία διέρχεται από το (,). 6. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της οποία διέρχεται από το (,5). 7. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της οποία διέρχεται από το (,). f () 6 0 η f () 7 η f () 5 η 8. Να βρεθούν οι τιμές των κ, λ ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f (), g() να έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη -. 6

9. Να βρεθούν οι τιμές των α, β ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης είναι παράλληλη στην ευθεία y. ln f () στο σημείο (,5) να 0. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο 0.. Δίνεται συνάρτηση f () και τα σημεία της A(,) και B(,9). Να βρεθεί ένα σημείο ( 0,y 0) της συνάρτησης, στο οποίο η εφαπτομένη να είναι κάθετη στην AB.. Να δειχτεί ότι τυχούσα εφαπτομένη της καμπύλης σχηματίζει με τους άξονες O, Oy τρίγωνο σταθερού εμβαδού. f (). Δίνονται οι συναρτήσεις f () και g(). Να υπολογιστούν τα και, ώστε οι παραπάνω καμπύλες να έχουν την ίδια εφαπτομένη στο 0. 4. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () 4 που σχηματίζει γωνία με τον άξονα '. 5. Να βρεθούν οι τιμές των α, β, κ ώστε η ευθεία y να είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () στο σημείο (,5). 7

Γ.4 Ρυθμός μεταβολής Όπως αναφέραμε στην ενότητα Γ., η παράγωγος μιας συνάρτησης f εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της f (ως προς ). Γενικότερα, αν το μέγεθος Α μεταβάλλεται συναρτήσει του μεγέθους, ο ρυθμός μεταβολής του Α ισούται με A (). Παράδειγμα Οι πλευρές ενός ορθογωνίου μεταβάλλονται με το χρόνο t σύμφωνα με τις σχέσεις : (t) t, y(t) t (τα μήκη σε m και ο χρόνος σε sec). Τη χρονική στιγμή t 0, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής ως προς t α) της περιμέτρου β) του εμβαδού γ) της διαγωνίου α) Η περίμετρος την τυχαία χρονική στιγμή t ισούται με P(t) (t) y(t) t t 6t 6t 8 με παράγωγο P (t) 6t 6t 8 t 6 και επομένως την 0 m P () 6 0 sec β) Ομοίως για το εμβαδόν έχουμε : t, έχουμε : E(t) (t) y(t) t t 6t 9t t. Άρα θα ισχύει E (t) 6t 9t t 8t 8t και έτσι για 0 m E () 8 8 0. sec Ζητάμε τις παραγώγους των συναρτήσεων περιμέτρου, εμβαδού και διαγωνίου τη χρονική στιγμή t0. t : 8

γ) Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε : 4 (t) (t) y (t) t t 9t 0t t 0 με 4 (t) 9t 0t t 0 8 0 6 70 m (). 4 9 0 0 8 sec 8t 0t 6 άρα 4 9t 0t t 0 Παράδειγμα H θέση ενός υλικού σημείου σε έναν άξονα δίνεται από τη συνάρτηση (t) t t 45t (σε m) όπου t [0,0] ο χρόνος σε sec. α) Nα βρεθεί η αρχική και η τελική θέση του σημείου β) Να βρεθεί η ταχύτητα και η επιτάχυνσή του γ) Να βρεθεί η επιτάχυνση τις χρονικές στιγμές που είναι ακίνητο δ) Να βρεθούν τα χρονικά διαστήματα κατά τα οποία κινείται δεξιά ε) Να βρεθεί το συνολικό διάστημα που διανύθηκε. α) Είναι (0) (αρχική θέση) και (0) 48 (τελική θέση) β) Για την ταχύτητά του ισχύει : επιτάχυνση : (t) (t) 6t 4. γ) Το σημείο είναι ακίνητο όταν (t) '(t) t 4t 45 και για την (t) 0 t 4t 45 0 t ή t 5. Η επιτάχυνσή του επομένως είναι : m () 6 4 6 και s m (5) 6 5 4 6 s δ) Κινείται προς τα δεξιά όταν (t) 0 t 4t 45 0 9

t [0,) (5,0]. ε) Η φορά της κίνησης άλλαξε τις χρονικές στιγμές t και t 5. Για τη χρονική περίοδο [0,] το διάστημα είναι : S () (0) 5 ( ) 54 m, για τη χρονική περίοδο [,5] το διάστημα είναι : S (5) () 48 5 4 m και για τη χρονική περίοδο [5,0] το διάστημα είναι : S (0) (5) 48 48 00 m. Συνολικά επομένως διήνυσε S S S S 58 m. Παράδειγμα Ένα αερόστατο αφήνει το έδαφος από το σημείο Κ και ανεβαίνει με σταθερή ταχύτητα 50 m/min. Ένας ακίνητος παρατηρητής Π βρίσκεται σε απόσταση 400 m από το Κ. Nα βρεθεί η ταχύτητα με την οποία το αερόστατο απομακρύνεται από το Π τη χρονική στιγμή που βρίσκεται σε ύψος 00 m. Η ζητούμενη ταχύτητα ισούται με την παράγωγο της απόστασης d(t) A τη χρονική στιγμή που AK 00. Αφού το αερόστατο ανεβαίνει με ταχύτητα 50 m/min, την τυχαία χρονική στιγμή t έχουμε ότι y (t) 50 και από το Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ΑΚΠ : d(t) 400 y (t) άρα d (t) 400 y (t) y(t)y (t). 400 y (t) Τη ζητούμενη χρονική στιγμή t 0 έχουμε : y (t 0) 50 και y(t 0) 00 άρα η ταχύτητα θα είναι : y(t )y (t ) 00 50 5000 d (t 0) 0 m / min 400 y (t ) 400 00 500 0 0 0 40

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Μια λάμπα είναι τοποθετημένη σε στύλο της ΔΕΗ ύψους 0,8 m. Ένας άνθρωπος ύψους,80 m απομακρύνεται με ταχύτητα 5m/sec. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του μήκους της σκιάς του.. H θέση ενός υλικού σημείου σε έναν άξονα δίνεται από τη συνάρτηση (t) t 6t 9t 7 (σε m) όπου t [0,5] ο χρόνος σε sec. α) Nα βρεθεί η αρχική και η τελική θέση του σημείου β) Να βρεθεί η ταχύτητα και η επιτάχυνσή του γ) Να βρεθεί η επιτάχυνση τις χρονικές στιγμές που είναι ακίνητο δ) Να βρεθούν τα χρονικά διαστήματα κατά τα οποία κινείται δεξιά ε) Να βρεθεί το συνολικό διάστημα που διανύθηκε.. Ένα βότσαλο που ρίχνεται σε μια λίμνη προκαλεί κυκλικό κυματισμό. Μια συσκευή μέτρησης δείχνει ότι τη χρονική στιγμή t 0 που η ακτίνα R του κυματισμού είναι 50 cm, ο ρυθμός μεταβολής της R είναι 0 cm/sec. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού που περικλείεται από το κυκλικό κύμα, τη χρονική στιγμή t 0. 4. Μια σφαιρική μπάλα χιονιού αρχίζει να λιώνει. Η ακτίνα της ελαττώνεται σύμφωνα με τον τύπο r 4 t, όπου t ο χρόνος σε sec. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του όγκου της μπάλας όταν t sec. Δίνεται: 4 V r. 5. Οι κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου μεταβάλλονται με το χρόνο t σύμφωνα με τις σχέσεις : (t) 6t, y(t) t (τα μήκη σε m και ο χρόνος σε sec). Τη χρονική στιγμή t0, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής ως προς t α) του εμβαδού β) της περιμέτρου γ) της υποτείνουσας 4

6. Ένα σωματίδιο κινείται πάνω στον άξονα ' και η θέση του κάθε χρονική στιγμή t 0 δίνεται από τη συνάρτηση S(t) ln(t ). t Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σωματιδίου τη χρονική στιγμή t. 7. Η θερμοκρασία ενός ασθενούς δίνεται κάθε χρονική στιγμή t [0, ] t 5 ( t σε ώρες) από τη συνάρτηση (t) e t (σε 0 C ). Να 6 ελέγξετε αν τη χρονική στιγμή t ο πυρετός του ασθενούς ανεβαίνει ή πέφτει. 8. Το κόστος για την παραγωγή μονάδων ενός προϊόντος δίνεται από τη συνάρτηση K() 5 ενώ η είσπραξη από την πώληση μονάδων του προϊόντος ισούται με E() (τα ποσά σε ευρώ). Να βρεθούν συναρτήσει του : α) το κέρδος από την πώληση μονάδων β) ο ρυθμός μεταβολής του κόστους γ) ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους 9. Ένα μπαλόνι φεύγει από τα χέρια ενός παιδιού και ανεβαίνει κατακόρυφα με σταθερή ταχύτητα m/s. Σε απόσταση 8 m από το παιδί στέκεται η μητέρα του. Να βρεθεί η ταχύτητα απομάκρυνσης του μπαλονιού από τη μητέρα, τη χρονική στιγμή που αυτό έχει φτάσει σε ύψος 6 m. 4

Γ.5 Μονοτονία - ακρότατα Ορισμοί Μονοτονία H συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, όταν: Ακρότατα Για κάθε, με ισχύει: f ( ) f ( ). H συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ, όταν: Για κάθε, με ισχύει: f ( ) f ( ). Μια γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στο Δ λέγεται γνησίως μονότονη στο Δ. Αν υπάρχει 0 A τέτοιο, ώστε για κάθε σε μια περιοχή του 0 να ισχύει f () f ( 0), τότε λέμε ότι η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 0 και η τιμή f ( 0) λέγεται τοπικό μέγιστο της f. Αν υπάρχει 0 A τέτοιο, ώστε για κάθε σε μια περιοχή του να ισχύει f () f ( 0), τότε λέμε ότι η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 0 και η τιμή f ( 0) λέγεται τοπικό ελάχιστο της f. Αν η f παρουσιάζει (έχει) ελάχιστο ή μέγιστο στο 0, τότε λέμε ότι η f παρουσιάζει ακρότατο στο 0. Θεώρημα I (Μονοτονία μέσω παραγώγου) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και ισχύει f () 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και ισχύει f () 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. 4

Θεώρημα II (Κριτήριο πρώτης παραγώγου) Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν : f ( 0) 0 για κάποιο 0 (, ), f () 0 στο (, 0) και f () 0 στο ( 0, ) τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (, ) μέγιστο στο 0. Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν : f ( 0) 0 για κάποιο 0 (, ), f () 0 στο (, 0) και f () 0 στο ( 0, ) τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (, ) ελάχιστο στο 0. Παρατηρήσεις. Το θεώρημα Ι εφαρμόζεται σε διάστημα και όχι απαραίτητα σε ένωση διαστημάτων. Για παράδειγμα η συνάρτηση * f (), R έχει παράγωγο f (), η οποία έχει αρνητικό πρόσημο για κάθε (,0) (0, ). Η συνάρτηση δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο (,0) (0, ) αλλά σε καθένα από τα (,0) και (0, ). (Σχήμα ). Δεν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος Ι. Δηλαδή, ενδέχεται μια συνάρτηση να είναι γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) σε ένα διάστημα αλλά η παράγωγός της να μην είναι θετική (αρνητική). Για παράδειγμα η συνάρτηση έχει παράγωγο f (), R η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο R αλλά f () 0 (μηδενίζεται για 0). (Σχήμα ). Tα σημεία μηδενισμού της παραγώγου μιας συνάρτησης δεν είναι απαραίτητα και θέσεις ακροτάτων της. Για παράδειγμα η συνάρτηση f (), R δεν παρουσιάζει ακρότατα αλλά έχει παράγωγο η οποία μηδενίζεται για 0 f (). (Σχήμα ) 44

Μεθοδολογία Για να μελετήσουμε μια συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: Α) Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Β) Βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης Γ) Λύνουμε την εξίσωση f () 0 και μελετάμε το πρόσημο της παραγώγου στα διαστήματα του πεδίου ορισμού της Δ) Σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών (μονοτονίας ακροτάτων) και εφαρμόζουμε τα θεωρήματα Ι και ΙΙ. Παράδειγμα Να μελετήσετε τις παρακάτω συναρτήσεις ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα: α) f () β) f () 4 γ) f () 6 α) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού Af R και παράγωγο f () η οποία είναι θετική για κάθε Af. Επομένως, η f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της και δεν παρουσιάζει ακρότατα. 45

* β) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού Af R και παράγωγο f () η οποία είναι θετική για κάθε Af. Επομένως, η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (,0) και (0, ) και δεν παρουσιάζει ακρότατα. γ) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού Af R και παράγωγο f () 6 6 6 η οποία είναι αρνητική για κάθε Af (το τριώνυμο έχει 08 0). Επομένως, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της και δεν παρουσιάζει ακρότατα. Παράδειγμα Ομοίως για τις συναρτήσεις: α) f () 6 5 β) f () α) Η f έχει πεδίο ορισμού Af R και παράγωγο f () 6 6 6. Λύνουμε την εξίσωση ή. f () 0 6 6 6 0 6 0 Το πρόσημο της παραγώγου φαίνεται στον πίνακα μεταβολών: Μονοτονία Η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (, ] και [, ) και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [,]. 46

Ακρότατα Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο, με τιμή f 6 5 86 και τοπικό ελάχιστο στο, με τιμή f 6 5 9. Προσοχή! Τα και είναι οι θέσεις ακροτάτων, ενώ οι αριθμοί f και f είναι οι τιμές των ακροτάτων. β) Η f έχει πεδίο ορισμού το A f (,) (, ) και παράγωγο f () ( ) 4. ( ) ( ) ( ) Λύνουμε την εξίσωση f () 0 4 0 ή Το πρόσημο της παραγώγου φαίνεται στον πίνακα μεταβολών: Μονοτονία Η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα (,] και [, ) και γνησίως αύξουσα στα διαστήματα [,) και (,]. Ακρότατα Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο, με τιμή f και τοπικό μέγιστο στο, με τιμή f. 47

Παράδειγμα Nα βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () 8 στο οποίο η εφαπτομένη έχει το μικρότερο συντελεστή διεύθυνσης. Ποιά είναι η ελάχιστη τιμή του συντελεστή διεύθυνσης; Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο τυχαίο σημείο της με τετμημένη, δίνεται από την C f f () 6 4 8. Επομένως, θα αναζητήσουμε το ελάχιστο της συνάρτησης f. Έχουμε : f () 4 και f () 0 4 0. Από τον παραπάνω πίνακα έχουμε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο για, επομένως το σημείο είναι το M,f () ή M,. Η ελάχιστη τιμή του συντελεστή διεύθυνσης είναι f () 6. Παρατήρηση: Αντί να ζητείται το σημείο με τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης, θα μπορούσε να ζητείται το σημείο στο οποίο ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης παρουσιάζει ελάχιστο. Παράδειγμα 4 Nα βρεθεί η τιμή του πραγματικού k ώστε το ελάχιστο της συνάρτησης f () (4k 6) 8 να πάρει τη μέγιστη τιμή του. Ποιά είναι η μέγιστη τιμή του ελαχίστου; 48

Αρχικά θα υπολογίσουμε το ελάχιστο της f. Έχουμε : f () 4k 6 και f () 0 4k 6 0 6 4k k. Το ελάχιστο της f είναι f ( k) ( k) (4k 6)( k) 8 9 k 4k k 8k 8 k 8 4k k. Η τιμή του ελαχίστου εξαρτάται από το k, επομένως είναι μια συνάρτηση του k. Έστω, επομένως g(k) 4k k με g (k) 8k. Έχουμε: g (k) 0 8k 0 k. Επομένως, το ελάχιστο της f γίνεται μέγιστο για k. Η μέγιστη τιμή του ελαχίστου είναι το 9 g 4 4 8 8. 4 49

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα : i) iii) v) f () ii) f () iv) f () 6 9 vi) f () 9 5 f () f () 9 vii) f () 4 viii). Ομοίως για τις συναρτήσεις: f () 8 5 4 9 i) f () 8 ii) 4 iii) v) 5 f () iv) ln f () vi) vii) f () ln viii) f (). Ομοίως για τις συναρτήσεις: i) f () iii) v) f () iv) 4 f () 5 f () 5 f () ( ) ( ) e ii) f () 4 f () f () vi) f () vii) f () e viii) f () e e 4. Ομοίως για τις συναρτήσεις: i) f () e ( ) ii) f () ( )ln iii) f () iv) f () e 50

5. Nα μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης i) f () στο διάστημα 0,. ii) f () ( ) στο διάστημα 0,. 6. Σε ποιό σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τύπο f () 6 9 η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης; 7. Σε ποιό σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τύπο f (),, γίνεται μέγιστος; ο ρυθμός μεταβολής της f (ως προς ) 8. Δίνεται η συνάρτηση f () e e α) Να βρείτε τα ακρότατα της f β) Nα δείξετε ότι : e e για κάθε R. 9. Δίνεται η συνάρτηση v * f () e, v N, 0. α) Να βρείτε τα ακρότατα της f v v v * β) Nα δείξετε ότι : v e e για κάθε v N και 0. 0. Να βρεθεί η σχέση μεταξύ των, ώστε η συνάρτηση f () 4 να είναι γνησίως φθίνουσα στο R.. Να βρεθούν τα, ώστε η συνάρτησηf () ln να έχει τοπικά ακρότατα στα σημεία και. Κατόπιν να μελετηθεί η μονοτονία της f.. Να βρείτε τα, ώστε η συνάρτηση f () ln να παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία και. Στη συνέχεια να βρείτε τις τιμές των ακρότατων αυτών. 5

. Να βρεθούν τα,, R, ώστε η συνάρτηση με τύπο f () με f (0) να έχει τοπικά ακρότατα στα σημεία και. 4. i) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f (). ii) Αν, 0, και, να δείξετε ότι 5. Να αποδείξετε ότι για κάθε 0, 6. Για κάθε 0 να αποδείξετε ότι:. είναι. ln( ). 7. Να δειχτεί ότι για κάθε 0 ισχύει : ln. 8. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f (). 9. i) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την ln f () ln. ii) Να συγκρίνετε τους αριθμούς. και 0. Να βρείτε τα, R ώστε η συνάρτηση παρουσιάζει στο τοπικό ακρότατο ίσο με. f () να. Για ποια τιμή του θετικού αριθμού η μέγιστη τιμή της συνάρτησης f () e γίνεται ελάχιστη;. Για ποια τιμή του θετικού λ το ελάχιστο της f () ( )e, R γίνεται μέγιστο;. i) Να βρείτε τα ακρότατα της f () ( ), (0,). ii) Αν, 0 με, να δείξετε ότι. 5

4. i) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f (), [0, ]. ii) Αν 0, να δείξετε ότι ισχύει η σχέση: ( ). iii) Να αποδείξετε ότι για κάθε (0, ) η συνάρτηση () έχει αρνητική παράγωγο. iv) Να αποδείξετε για κάθε (0, ) ισχύει :. 5. Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης 7 4 5 f () 7 να τέμνει τον ' στο σημείο με 7 4 τετμημένη. Στη συνέχεια, να μελετηθεί η μονοτονία της f και να βρεθεί το πρόσημό της. 6. Μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και για κάθε R ισχύει 5 5 f () f () 7 6. Να εκφράσετε την f' συναρτήσει του και του f (). Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η f δεν έχει τοπικά ακρότατα. 7. i) Αν k είναι θετικός άρτιος αριθμός, να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f () ( ). k k ii) Να λύσετε την εξίσωση 04 04 ( ). 5

Γ.6 Προβλήματα εύρεσης ακροτάτου Σε προβλήματα που ζητείται η μέγιστη ή η ελάχιστη τιμή ενός μεγέθους Μ, διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Α) Το Μ εξαρτάται από μία μεταβλητή Από τα δεδομένα του προβλήματος βρίσκουμε τη συνάρτηση του Μ και τους περιορισμούς της μεταβλητής και (μέσω παραγώγου) μελετάμε τη μονοτονία και τα ακρότατα. Β) Το Μ εξαρτάται από δύο μεταβλητές Από τη δεδομένη σχέση που συνδέει τις μεταβλητές αντικαθιστούμε τη μία συναρτήσει της άλλης και, στη συνέχεια, μελετάμε τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης Μ. Παράδειγμα Η συγκέντρωση μιας ουσίας στο αίμα ενός ασθενούς δίνεται από τη σχέση: c(t) t 8t 50 mg / cm (ο χρόνος t [0,0] σε sec). Ποιά χρονική στιγμή η συγκέντρωση γίνεται ελάχιστη και ποιά είναι η ελάχιστη τιμή; c (t) t 8t 50 t 8 επομένως Για την συνάρτηση έχουμε : c (t) 0 t 8 0 t 4. Άρα έχουμε ελάχιστη συγκέντρωση στα t 4 sec. Η ελάχιστη συγκέντρωση είναι : c(4) 4 8 4 50 4 mg / cm. 54

Παράδειγμα Να βρεθεί το σημείο Α στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f () το οποίο έχει την ελάχιστη απόσταση από το σημείο B(,0). Η συνάρτηση της οποίας ζητείται το ελάχιστο είναι η απόσταση ΑΒ. A,f () ή A, Αν με 0 είναι το σημείο στη γραφική παράσταση, τότε η απόσταση ΑΒ είναι ίση με d() AB 0 4 4 4 Έχουμε : d () 4 η οποία έχει ρίζα το. Επομένως, η απόσταση γίνεται ελάχιστη στο γραφικής παράσταση είναι το A,. και το σημείο της Παρατήρηση: Η ελάχιστη τιμή της απόστασης (δεν ζητείται) είναι ο αριθμός 9 9 7 d 4 4 4 4 55

Παράδειγμα Να βρεθούν δύο θετικοί αριθμοί με άθροισμα 80, ώστε το γινόμενό τους να είναι μέγιστο. Ποιά είναι η μέγιστη τιμή του γινομένου; Ζητείται το μέγιστο γινόμενο, το οποίο εξαρτάται από δύο μεταβλητές. Έστω,y οι ζητούμενοι αριθμοί. Τότε: Η γνωστή σχέση είναι : y 80 y 80 () Το γινόμενό τους είναι : Ορίζουμε τη συνάρτηση () y (80 ) 80 f () 80 με παράγωγο f () 80 η οποία έχει ρίζα το 40. Για τα,y ισχύουν: 0 () 0 0 0 80 y 0 80 0 80 Επομένως, το γινόμενο γίνεται μέγιστο για 40 και από την () προκύπτει y 80 40 40. Η μέγιστη τιμή του γινομένου είναι f (40) 80 40 40 600. Παράδειγμα 4 Ο ιδιοκτήτης ενός οικοπέδου θέλει να περιφράξει ορθογώνια έκταση μεταβλητών διαστάσεων,y (σε m). Η πλευρά ΑΔ δε θα περιφραχθεί. Tο κόστος για τις πλευρές ΑΒ, ΓΔ είναι 4 ευρώ ανά μέτρο και για τη ΒΓ είναι 6 ευρώ ανά μέτρο. Aν διαθέσει 40 ευρώ για την περίφραξη, τότε να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου με το μέγιστο εμβαδόν. 56

Το κόστος για τις πλευρές ΑΒ και ΓΔ είναι 4 8 ευρώ ενώ για την ΒΓ είναι y6 6y ευρώ. Το συνολικό κόστος είναι 40 ευρώ άρα θα ισχύει:8 6y 40 6y 40 8 y 0 4 () () Το εμβαδόν ισούται με E y 0 4 0 4. Ορίζουμε τη συνάρτηση f () 0 4 που έχει παράγωγο f '() 0 8. Έχουμε f () 0 0 8 0 5. Για τα,y ισχύουν : 0 () 0 0 0 0. y 0 0 4 0 0 Επομένως, το εμβαδόν γίνεται μέγιστο για y 0 45 0 m. προκύπτει 5 m και από την () Παρατήρηση: Η μέγιστη τιμή του εμβαδού (δεν ζητείται) είναι ο αριθμός f (5) 0 5 45 800 900 00 m που θα μπορούσε να βρεθεί και από το γινόμενο E 5 0 00 m. 57

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 00 m να βρεθούν οι διαστάσεις εκείνου με το μέγιστο εμβαδόν.. Δύο θετικοί αριθμοί έχουν γινόμενο 00. Να βρεθούν οι αριθμοί αν το άθροισμά τους είναι το ελάχιστο δυνατό. 4. Να βρεθεί το σημείο Μ στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f () το οποίο έχει την ελάχιστη απόσταση από το σημείο B(6,0). 5. Να βρεθεί το σημείο Μ της ευθείας ελάχιστη απόσταση από το σημείο B(,). y 6 το οποίο έχει την 4. Δύο ευθύγραμμοι δρόμοι O και Oy τέμνονται κάθετα στο Ο. Ένα αυτοκίνητο Α βρίσκεται στο δρόμο O σε απόσταση 00 km από τη διασταύρωση, ενώ ένα άλλο αυτοκίνητο Β βρίσκεται στο Ο. Τα Α, Β αρχίζουν ταυτόχρονα να κινούνται με ταχύτητες 60 km/h και 80 km/h αντίστοιχα. Τα Α κινείται προς το Ο, ενώ το Β στο δρόμο Oy. Μετά από πόσο χρόνο η απόσταση των δύο αυτοκινήτων γίνεται ελάχιστη; 6. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει περίμετρο 0 cm και είναι μια οξεία γωνία του. Να αποδείξετε ότι: i) Η υποτείνουσα του τριγώνου είναι 0 (). ii) Η υποτείνουσα γίνεται ελάχιστη όταν το τρίγωνο είναι ισοσκελές. 7. Ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R. H κορυφή Α είναι σταθερή και οι Β, Γ μεταβάλλονται έτσι ώστε ΑΒ = ΑΓ. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται μέγιστο όταν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. 58

. Δίνονται οι συναρτήσεις ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ f () και α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f και g. g(). β) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C f στο σημείο A,f () είναι παράλληλη στην εφαπτομένη της γ) Να υπολογίσετε το όριο : lim f ()g(). Έστω η συνάρτηση f (). C g στο σημείο B,g(). α) Να αποδείξετε ότι f () f () 0 για κάθε R. f () β) Να υπολογίσετε το όριο : lim. 0f () γ) Να δείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της f για. ισούται με. δ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο A 0,f (0).. Δίνεται η συνάρτηση f () Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες : α) η f C διέρχεται από το A,4 β) ισχύει η σχέση : lim f () 8.., όπου R *. γ) η εφαπτομένη της C f στο B,f () σχηματίζει με τον άξονα γωνία o 45. 4. Δίνεται η συνάρτηση f () ( ) ( ). Να βρείτε: f () α) το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(). f () β) το όριο lim g() γ) τα τοπικά ακρότατα της f.. 59

5. Έστω η συνάρτηση f () e. Να βρείτε: α) την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο A,f (). f () β) το όριο lim. 0 γ) τα τοπικά ακρότατα της f. 6. Θεωρούμε τη συνάρτηση σταθεροί πραγματικοί αριθμοί. f () όπου α, β α) Αν η εφαπτομένη της C f στο A,f () έχει εξίσωση y, να βρείτε τους α, β. β) Για, i) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο R. ii) να βρείτε την ελάχιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής της f. 7. Δίνεται η συνάρτηση f () (, R) γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο εφαπτομένη στο σημείο με 0 0 σχηματίζει γωνία α) Να αποδείξετε ότι 0,. β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. γ) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f. 8. Δίνεται η συνάρτηση f (). ln α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. της οποίας η A, και η o 45 με τον. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο με τετμημένη e. γ) Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της f. 60

9. Δίνεται η συνάρτηση f () ln(4 ). α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f. β) Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της f. γ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. f () δ) Να υπολογίσετε το όριο lim 0 4. 0. Δίνεται η συνάρτηση f () e, 0,. α) Να αποδείξετε ότι f () f () f () για κάθε 0,. β) Να βρείτε την εφαπτομένη που είναι παράλληλη στον άξονα. γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση έχει μέγιστο.. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () ln, 0 διέρχεται από το σημείο A e,e. α) Να αποδείξετε ότι 0. f (e h) e β) Να υπολογίσετε το όριο lim h 0 h γ) Να βρείτε τα ακρότατα της f.. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύουν : f ( h) f () lim 6 για κάθε R h h0 f () και lim f (). Να βρείτε: 4 α) την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο A,f () β) τα διαστήματα μονοτονίας της f. γ) την ελάχιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής της f.. Δίνεται η συνάρτηση f () e e. α) Να αποδείξετε ότι f () 4f () για κάθε R. β) Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της f. 6

γ) Να βρείτε το σημείο της C f στο οποίο η εφαπτομένη έχει το μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης. 4. Δίνεται η συνάρτηση f () e ( 0). α) Να βρείτε τις συναρτήσεις f () και f (). β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει ελάχιστη τιμή. γ) Aν Ε(α) είναι η ελάχιστη τιμή της f, να βρείτε την τιμή του α για την οποία η Ε(α) γίνεται ελάχιστη. 5. Δίνεται η συνάρτηση f () 9. α) Να υπολογίσετε το όριο lim. 0 f () β) Με διαστάσεις, f () κατασκευάζουμε ορθογώνιο. i) Nα εκφράσετε την περίμετρο και το εμβαδόν συναρτήσει του. ii) Nα βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων. iii) Να βρείτε την τιμή του για την οποία η περίμετρος γίνεται μέγιστη και την τιμή του για την οποία το εμβαδόν γίνεται μέγιστο. 6. Θεωρούμε τη συνάρτηση f (), 0 όπου, R. α) Να βρείτε τις τιμές των α, β ώστε να ισχύουν : f (4) 5, f (9). β) Για, να βρείτε: i) το όριο lim f () ii) σημείο της C f που απέχει την ελάχιστη απόσταση από το A(,). 7. Δίνονται τα σημεία A8,0, B(0, ) των θετικών ημιαξόνων O και Oy αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι (,8). β) Να εκφράσετε την απόσταση των σημείων ως συνάρτηση του γ) Να βρείτε την τιμή του για την οποία η απόσταση ΑΒ γίνεται ελάχιστη. 6

8. Δίνεται η συνάρτηση f () e α) Να δείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα. β) Με κορυφές τα σημεία O 0,0, ένα τυχαίο σημείο A,f () της C f και ένα σημείο του θετικού ημιάξονα Ο σχηματίζουμε το τρίγωνο ΟΑΒ με ΟΑ=ΑΒ. Να βρεθεί η θέση του Α για την οποία το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι μέγιστο. 9. Η θέση ενός υλικού σημείου σε έναν άξονα δίνεται από τη συνάρτηση (t) t(t 4) (σε m) όπου t 0 ο χρόνος σε sec. α) Να βρεθεί η ταχύτητα και η επιτάχυνσή του β) Να βρεθεί η επιτάχυνση τις χρονικές στιγμές που είναι ακίνητο γ) Να βρεθούν τα χρονικά διαστήματα κατά τα οποία κινείται δεξιά δ) Να βρεθεί η χρονική στιγμή κατά την οποία η ταχύτητα ελαχιστοποιείται. 0. Το κόστος (σε χιλιάδες ευρώ) για την παραγωγή τόνων ενός προϊόντος μιας βιομηχανίας είναι K() 0 6 00, (,5) ενώ η τιμή πώλησης (σε χιλιάδες ευρώ) ενός τόνου δίνεται από τη σχέση 00 0 8. α) Να βρείτε τη συνάρτηση του κέρδους P() από την πώληση τόνων του προϊόντος. β) Για ποια τιμή του το κέρδος γίνεται μέγιστο; γ) Αν κάθε τόνος φορολογηθεί επιπλέον με 8.500 ευρώ, τότε: i) να αποδείξετε ότι το κέρδος γίνεται μέγιστο για,5 ii) να βρείτε το μέγιστο κέρδος της βιομηχανίας. 6

Βιβλιογραφία - Πηγές Μαθηματικά Γ Λυκείου (Γενικής Παιδείας) Χαράλαμπος Στεργίου, Χρήστος Νάκης, Ιωάννης Στεργίου Εκδόσεις Σαββάλας Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Παναγιώτης Μάμαλης, Στέλιος Μιχαήλογλου, Ευάγγελος Τόλης Εκδόσεις Λιβάνη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Θανάσης Ξένος Εκδόσεις Ζήτη Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ Λυκείου Αναστάσιος Μπάρλας Εκδόσεις Ελληνοεκδοτική 00 θέματα στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Λουκάς Κανάκης, Γιώργος Μαυρίδης Εκδόσεις Μαυρίδη Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Γιάννης Χαλίδης, Ιορδάνης Μουταφίδης Εκδόσεις Όλυμπος Ιστότοποι : www.mathematica.gr, www.mathcom.gr Επικοινωνία E-mail : george.apokis@gmail.com Facebook : http://www.facebook.com/george.apokis www.mathematica.gr : Γιώργος Απόκης 64