6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε κατανοµή F(x;θ, να αποφαίουµε αν ευταθεί ή όχι µία πληροφορία (υπόθεη χετική µε την κατανοµή F ή τις παραµέτρους θ Παράδειγµα 6 Έτω ότι ένα εργοτάιο παράγει κάποιες ηλεκτρονικές υκευές (πχ µικροεπεξεργατές Κατά τακτά χρονικά διατήµατα (πχ ανά ώρα γίνεται έλεγχος της ποιότητας και των υκευών της ωριαίας παραγωγής Κατά τον έλεγχο αυτό αποµακρύνονται όλες οι τυχόν ελαττωµατικές υκευές Η παραγωγική διαδικαία θεωρείται ότι βρίκεται µέα τις προδιαγραφές της αν η πιθανότητα παραγωγής ελαττωµατικής υκευής είναι ίη (ή το πολύ 5% Σε περίπτωη που αυξηθεί αυτή η πιθανότητα θεωρείται ότι υπάρχει κάποιο πρόβληµα, ταµατά η παραγωγή, και αναζητείται ο λόγος της ανωµαλίας Στο παράδειγµα αυτό θα πρέπει να κατακευάουµε έναν έλεγχο µε βάη τον οποίο θα κρίνουµε αν για την τελευταία ώρα ιχύει για την (άγνωτη πιθανότητα p παραγωγής ελαττωµατικής µονάδας η υπόθεη ότι p 5% (ή 5%, οπότε υνεχίζεται η παραγωγή, ή p > 5%, όποτε διακόπτεται η παραγωγή Είναι λογικό ο έλεγχος αυτός να βαίζεται τον αριθµό των ελαττωµατικών µονάδων που βρέθηκαν ανάµεα τις της ωριαίας παραγωγής Αν θέουµε Χ ή ανάλογα µε το αν η - µονάδα βρέθηκε ελαττωµατική ή όχι,,,, τότε το δειγµατικό ποοτό X αποτελεί κατά τα γνωτά µία εκτιµήτρια της πιθανότητας p παραγωγής ελαττωµατικής µονάδας Σύµφωνα µε τα όα γνωρίζουµε, αν το p είναι ίο του 5% τότε αναµένουµε το δειγµατικό ποοτό X να παίρνει τιµές «κοντά» και «γύρω» από το 5% Συνεπώς, δεδοµένου ότι p 5%, είναι «απίθανο» να βρεθεί ένα X «ηµαντικά» µεγαλύτερο του 5% (πχ να βρεθεί X > % ή γενικότερα X > c ππ της X όταν p 5 ( µεγάλο 5 c Στην περίπτωη λοιπόν που υµβεί κάτι τέτοιο ( X > c είναι λογικό να θεωρήουµε ότι το X βρέθηκε τόο µεγάλο διότι την πραγµατικότητα δεν ιχύει ότι p 5% αλλά p > 5% Άρα ε αυτή την περίπτωη θα πρέπει να διακόψουµε την παραγωγή (απορρίπτουµε ότι p 5% Εποµένως, κατά κάποιον τρόπο κατακευάαµε έναν έλεγχο της υπόθεης p 5% έναντι της p > 5% ύµφωνα µε τον οποίον: - αν X > c απορρίπτουµε ότι p 5% - αν X c δεχόµατε ότι p 5% outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 79
Το ερώτηµα που τίθεται τώρα είναι: ποια θα πρέπει να είναι αυτή η τιµή c για από την οποία, δεδοµένου ότι p 5%, θεωρείται «απίθανο» να υµβεί X > c; Είναι φανερό ότι όο µεγαλύτερο είναι το c, τόο πιο απίθανο γίνεται το ενδεχόµενο X > c Από την άλλη µεριά όµως, αν πάρουµε c υπερβολικά µεγάλο (πχ c % τότε εµφανίζεται ο κίνδυνος να ιχύει πχ ότι p % > 5% και εµείς να βρούµε, πράγµα χεδόν βέβαιο, ότι X % και εποµένως να δεχτούµε την αρχική υπόθεη ότι p 5%! Συνεπώς θα πρέπει να βρεθεί το βέλτιτο c κάτω από κάποιες υγκεκριµένες προϋποθέεις Ο καθοριµός αυτών των προϋποθέεων καθώς και η εύρεη κατάλληλου ε- λέγχου αποτελεί αντικείµενο της θεωρίας των τατιτικών ελέγχων υποθέεων που θα περιγράψουµε τη υνέχεια Το γενικό πρόβληµα - οριµοί Ας δούµε το παραπάνω πρόβληµα τη γενικότερή του µορφή Έτω Χ,Χ,,Χ ένα τδ από έναν πληθυµό µε κατανοµή F(x;θ (το παράδειγµα είχαµε Χ,Χ,,Χ ~ (,p Επιθυµού- µε να ελέγξουµε την υπόθεη θ Θ έναντι της θ Θ όπου Θ, Θ είναι υπούνολα του παρα- µετρικού χώρου Θ (ύνολο επιτρεπτών τιµών της παραµέτρου θ ενώ φυικά Θ Θ (τα Θ, Θ είναι ξένα Η βαική υπόθεη θ Θ θα καλείται µηδενική υπόθεη και θα υµβολίζεται µε Η ενώ η ενάντια θ Θ θα καλείται εναλλακτική υπόθεη και θα υµβολίζεται µε H Συνοπτικά θα έχουµε: H : θ Θ, µηδενική (ή βαική υπόθεη, H : θ Θ, εναλλακτική υπόθεη Στο παραπάνω παράδειγµα έχουµε τη µηδενική υπόθεη H : p {5} µε εναλλακτική την H : p (5, ] Μία υπόθεη Η : θ Θ θα καλείται απλή ή ύνθετη ανάλογα µε το αν ύνολο Θ είναι µονούνολο (Θ {θ } ή όχι Για παράδειγµα η υπόθεη Η : p5 είναι απλή ενώ η H : p>5 ύνθετη Επίης µία υπόθεη θα καλείται µονόπλευρη αν είναι της µορφής H :θ>θ ή H :θ<θ ενώ θα καλείται αµφίπλευρη αν είναι της µορφής H : θ<θ ή θ>θ (δηλ θ (-,θ (θ, Στη υνέχεια, βάει του τδ Χ,Χ,,Χ, κατακευάζουµε µία διαδικαία ελέγχου της παραπάνω υπόθεης Συγκεκριµένα, χωρίζουµε το δειγµατοληπτικό χώρο Ω (το ύνολο των δυνατών τιµών του δείγµατος ε δύο ξένα υπούνολα Α και Κ (Α ΚΩ έτι ώτε, - αν (Χ,Χ,,Χ Κ, απορρίπτουµε την H : θ Θ - αν (Χ,Χ,,Χ Α, δεχόµατε την H : θ Θ (το παραπάνω παράδειγµα, K{(x,x,,x {,} : x > c}, A{(x,x,,x {,} : x c}, ή µε απλούτερη γραφή, K: X > c, A: X c Η περιοχή Κ καλείται κρίιµη περιοχή ή περιοχή απόρριψης της Η ενώ η περιοχή Α καλείται περιοχή αποδοχής της µηδενικής υπόθεης Η Παρατηρούµε ότι, ανάλογα µε την απόφαη που θα πάρουµε, είναι πιθανό να κάνουµε τα εξής λάθη: - φάλµα τύπου Ι: απόρριψη της H ενώ ιχύει η H - φάλµα τύπου ΙI: αποδοχή της H ενώ ιχύει η H Η πιθανότητα να κάνουµε φάλµα τύπου Ι και ΙΙ είναι αντίτοιχα P(φάλµα τύπου Ι P((Χ,Χ,,Χ Κ / H P(φάλµα τύπου ΙΙ P((Χ,Χ,,Χ Α / H Η ποότητα outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 8
π(θ P(φάλµα τύπου ΙΙ θα καλείται ιχύς του ελέγχου και όπως θα δούµε εξαρτάται γενικά από την παράµετρο θ Είναι φανερό ότι η ιχύς του ελέγχου ιούται µε την πιθανότητα ορθής απόρριψης της Η Αυτό που αποµένει τώρα να κάνουµε είναι να καθορίουµε την περιοχή Κ (και από αυτήν και την περιοχή Α αφού Α Ω Κ ηλαδή θα πρέπει να καθορίουµε πότε, βάει ενός τδ, θα απορρίπτουµε την Η και πότε όχι Παρατηρούµε ότι οι P(I και P(II εξαρτώνται από την εκλογή του K Άρα, θα ήταν λογικό να αναζητήουµε περιοχή Κ απόρριψης της Η η οποία να ελαχιτοποιεί τις πιθανότητες των φαλµάτων Ι και ΙΙ υτυχώς όµως διαπιτώνεται ότι τις περιότερες περιπτώεις µία εκλογή του Κ που µειώνει την P(I, παράλληλα οδηγεί την αύξηη της P(II Επειδή υνήθως µας ενδιαφέρει περιότερο να µην απορρίψουµε λανθαµένα, ζητάµε η κρίιµη περιοχή Κ να ληφθεί έτι ώτε η P(I να είναι µικρότερη από ένα προκαθοριµένο α (επίπεδο ηµαντικότητας και παράλληλα η P(II να είναι η ελάχιτη δυνατή (ή ιοδύναµα η ιχύς του ελέγχου να είναι η µεγαλύτερη δυνατή ηλαδή θα διαλέγουµε K έτι ώτε: P(φάλµα τύπου Ι P((Χ,Χ,,Χ Κ / H α, P(φάλµα τύπου ΙΙ P((Χ,Χ,,Χ Κ / H : ελάχιτο δυνατό Συνήθως επιλέγουµε α5 ή α Αλλά ας το δούµε όλα τα παραπάνω την πράξη χρηιµοποιώντας το αρχικό παράδειγµα Παράδειγµα (υνέχεια παραδείγµατος 6 Στη περίπτωη που εξετάαµε παραπάνω το Παράδειγµα 6 δίνονταν ένα τδ Χ,Χ,,Χ από την Β(,p και το ζητούµενο ήταν να πραγµατοποιηθεί ο έλεγχος των υποθέεων H : p 5 H : p p > 5, ώτε να ληφθεί µία απόφαη χετικά µε το αν πρέπει να υνεχίουµε ή να διακόψουµε την παραγωγή Η περιοχή απόρριψης Κ της Η και η περιοχή αποδοχής Α της Η είναι K: ( X,, X : X c > A: ( X,, X : X c Οι πιθανότητες των φαλµάτων τύπου Ι και ΙΙ καθώς και η ιχύς του ελέγχου θα είναι αντίτοιχα P(Ι P(απόρριψη της H / Η P( X > c / p5 P(ΙΙ P(αποδοχή της H / Η P( X c / p p > 5 π(p P( X c / p p > 5 P( X > c / p p > 5 Για ευκολία ας υποθέουµε ότι αναζητούµε την κρίιµη περιοχή Κ του ελέγχου της υποθέεως Η : p5 έναντι της Η : p (δηλ έτω p Επειδή Χ ~ (,p θα ιχύει (χρηιµοποιώντας και το ΚΟΘ ότι, για µεγάλα, P( X > c P( X p c p > Φ( p( p/ p( p/ c p p( p/ Συνεπώς, PI ( PX ( > cp / 5 Φ ( c 5 5 ( 5 / outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 8
c PII ( PX ( cp / Φ ( ( / Παρατηρούµε ότι για να µειωθεί η P(I θα πρέπει να αυξήουµε το c, δηλαδή να πάρουµε µικρότερη περιοχή απόρριψης K: X (c, (η υνάρτηη Φ ως υνάρτηη κατανοµής είναι αύξουα Κάτι τέτοιο όµως δυτυχώς αυξάνει την P(II Aν υποθέουµε πχ ότι θα έχουµε ότι για διάφορες τιµές του c οι P(I και P(II θα είναι c P(I P(II 4 74 5 5 9 6 58 3 7 97 78 8 6 73 9 5 39 6 5 5 68 Το δειγµατικό ποοτό X θα ακολουθεί προεγγιτικά Ν(p, p(p/ οπότε υπό την Η θα ιχύει X ~ Ν(5, 54 ενώ υπό την Η θα ιχύει X ~ Ν(, 3 Αν δηλαδή η πιθανότητα παραγωγής ελαττωµατικής υκευής είναι p 5 τότε το δειγµατικό ποοτό X που θα παίρνουµε ανά ώρα (από τις µονάδες που παρήχθηαν θα κατανέµεται ύµφωνα µε την Ν(5, 54, ενώ αν η πιθανότητα παραγωγής ελαττωµατικής υκευής είναι p τότε το δειγµατικό ποοτό X θα κατανέµεται ύµφωνα µε την Ν(, 3 Στο επό- µενο χήµα βλέπουµε τις κατανοµές της τατιτικής υνάρτηης X κάτω από τις δύο υποθέεις Η και Η Αν Κ: X > c τότε η P(I είναι ίη µε το εµβαδόν της γραµµοκιαµένης µε κάθετες γραµµές περιοχής, ενώ η P(II είναι ίη µε το εµβαδόν της γραµµοκιαµένης µε οριζόντιες γραµµές περιοχής 3 5 X H 5 X H 5 P(II P(I 5 c 5 Επαληθεύεται εύκολα και από το χήµα ότι αν πάρουµε µεγαλύτερο c τότε ναι µεν µειώνεται η πιθανότητα να απορρίψουµε την Η λανθαµένα αλλά παράλληλα αυξάνεται η πιθανότητα να δεχτούµε την Η λανθαµένα Όπως έχουµε αναφέρει και παραπάνω, µας ενδιαφέρει περιότερο να µην απορρίψουµε κατά λάθος και υνεπώς ζητάµε η κρίιµη περιοχή Κ να ληφθεί έτι ώτε: P(φάλµα τύπου Ι P((Χ,Χ,,Χ Κ / H α, P(φάλµα τύπου ΙΙ P((Χ,Χ,,Χ Κ / H : ελάχιτο δυνατό, όπου α είναι το προκαθοριµένο επίπεδο ηµαντικότητας Εποµένως τη υγκεκριµένη περίπτωη, αναζητούµε K έτι ώτε, outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 8
PI ( PX ( > cp / 5 Φ( c 5 α 5 ( 5 / PII ( PX ( cp / Φ ( c : ελάχιτο δυνατό ( / Λύνοντας την πρώτη ανίωη ως προς c (για να καθορίουµε την K: X c 5 c 5 Φ( Φ - ( Z 5 ( 5 / 5 ( 5 / c 5 > c θα έχουµε ότι 5 ( 5 και επειδή η P(II µικραίνει όο το c µικραίνει θα πάρουµε το µικρότερο επιτρεπτό c από την παραπάνω ανίωη (ώτε να έχουµε P(II: ελάχιτο δυνατό, δηλαδή 5 ( 5 c 5 Z Αν πχ και θέουµε επίπεδο ηµαντικότητας α % τότε βρίκουµε ότι c 5 5 ( 5 33 859 Άρα τελικά ο έλεγχος ποιότητας θα γίνεται ως εξής: κάθε µία ώρα υπολογίουµε το ποοτό X των ελαττωµατικών µονάδων ανάµεα τις παραγόµενες και αν - X > 859% τότε απορρίπτουµε ότι Η : p5 και διακόπτουµε την παραγωγή, - X 859% τότε δεχόµατε ότι Η : p5 και η παραγωγή υνεχίζεται κανονικά Αναµένεται ύµφωνα µε τα παραπάνω ότι το % (α των ελέγχων θα έχουµε διακόψει άκοπα την παραγωγή ( P(λανθαµένης απόρριψης της Η P(I Επίης η πιθανότητα φάλµατος τύπου ΙΙ για K: X >859 % θα είναι 859 PII ( Φ( Φ( 66 Φ( 66 7454 546 %, ( / οπότε αναµένεται ότι το 546% των ελέγχων θα έχουµε υνεχίει την παραγωγή ενώ έχει αυξηθεί η πιθανότητα παραγωγής ελαττωµατικών ( P(λανθαµένης αποδοχής της Η P(IΙ Σε αυτό το παράδειγµα διαπιτώνουµε ότι η διοίκηη του εργοταίου ενδιαφέρεται πολύ περιότερο να αποφύγει µία άκοπη διακοπή της παραγωγής µε κίνδυνο να ανακαλύψει καθυτερηµένα κάποιο πρόβληµα την παραγωγή, παρά να ανακαλύπτει αµέως οποιοδήποτε πρόβληµα µε κίνδυνο όµως να ταµατά πολύ υχνά άκοπα την παραγωγή Αν τέλος πχ είχαµε θέει α5 τότε βρίκουµε όµοια ότι Z, c 5 5 ( 5 645 753 και άρα θα απορρίπτουµε όταν X > 753% Σε αυτή την περίπτωη, P(Ι α 5% και 753 PII ( Φ( Φ( 6 Φ( 6 877 3 % ( / Συνοψίζοντας λοιπόν, θα έχουµε τα εξής Έτω Χ,Χ,,Χ ένα τδ από έναν πληθυµό µε κατανοµή F(x;θ Επιθυµούµε να ελέγξουµε την υπόθεη outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς H : θ Θ 83
H : θ Θ Χωρίζοντας το δειγµατοληπτικό χώρο Ω ε δύο ξένα υπούνολα Κ και Α Ω Κ, αποφαίζουµε ότι, - αν (Χ,Χ,,Χ Κ (πχ αν T(X,X,,X > c, απορρίπτουµε την H : θ Θ - αν (Χ,Χ,,Χ Α ( Κ, δεχόµατε την H : θ Θ, όπου το Κ λαµβάνεται έτι ώτε P(φάλµα τύπου Ι P((Χ,Χ,,Χ Κ / H α, P(φάλµα τύπου ΙΙ P((Χ,Χ,,Χ Κ / H : ελάχιτο δυνατό Στον παρακάτω πίνακα δίνονται τα δυνατά αποτελέµατα του ελέγχου µιας υποθέεως: Φυική κατάταη Η ορθή Η όχι ορθή Απόφαη Αποδοχή της Η Απόρριψη της Η ορθή απόφαη, P(H H Σφάλµα τύπου ΙI, P(H H β Σφάλµα τύπου Ι, P(H H ορθή απόφαη, P(H H β π(θ ιχύς Τέλος, αξίζει να παρατηρήουµε ότι, µε βάη την παραπάνω διαδικαία, αυτό που µας ενδιαφέρει περιότερο είναι να διατηρηθεί µικρή η P(I και για αυτό απαιτούµε P(I (µικρή πιθανότητα εφαλµένης απόρριψης της Η H P(II µπορεί να είναι και αυτή µικρή, µπορεί όµως να είναι και αρκετά µεγάλη, ανάλογα την περίπτωη Για το λόγο αυτό αν (Χ,Χ,,Χ Κ τότε λέµε ότι «απορρίπτουµε την Η» µε πιθανότητα να κάνουµε λάθος µικρότερη του α, ενώ αν (Χ,Χ,,Χ Α, τότε υνήθως λέµε ότι «δεν έχουµε αρκετά τοιχεία ώτε να απορρίψουµε την Η» Αποφεύγουµε δηλαδή να πούµε ότι «δεχόµατε την Η» διότι η πιθανότητα να έχουµε κάνει λάθος (P(II µπορεί να είναι και µεγάλη H p-τιµή ή p-vlue ενός ελέγχου µε βάη ένα τδ Μία άλλη ποότητα που υνήθως χρηιµοποιείται την πράξη είναι το p-vlue (ή p-τιµή ή κρίιµη τιµή Για παράδειγµα, οι έλεγχοι τα τατιτικά πακέτα επεξεργαίας δεδοµένων που βαίζονται ε Η/Υ γίνονται χεδόν πάντα µε τη βοήθεια του p-vlue Η τιµή του p-vlue εξαρτάται κάθε φορά από το τυχαίο δείγµα που παίρνουµε Έτω λοιπόν τδ Χ,Χ,,Χ από µία κατανοµή F(x;θ και έτω ότι ενδιαφερόµατε για τον έλεγχο της υπόθεης Η : θ Θ έναντι της Η : θ Θ Η περιοχή απόρριψης του ελέγχου θα είναι γενικά της µορφής outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς K: T( X,, X c > όπου T(X,,X είναι µία τατιτική υνάρτηη του δείγµατος Χ,,Χ Αν κατά την πραγµατοποίηη του πειράµατος ελήφθη το δείγµα µε τιµές x, x,,x τότε το p-vlue του υγκεκριµένου δείγµατος ορίζεται ως η πιθανότητα p vlue P( T( X, X,, X > T( x, x,, x / H Πχ, αν το παραπάνω παράδειγµα την τελευταία ώρα ελέχθηαν όλες οι υκευές και βρέθηκε ποοτό ελαττωµατικών X x 7% τότε, επειδή τη υγκεκριµένη περίπτωη Κ: X > c, θα είναι 84
X 5 7 5 p vlue P( X > x / H P( X > 7 / p 5 P > 595 / 595 / 7 5 Φ Φ ( 9 95 985 5 95/ Άρα το p-vlue του υγκεκριµένου ελέγχου για δείγµα που έδωε X 7% είναι 985% Η πουδαιότητα της τιµής του p-vlue γίνεται φανερή από την εξής παρατήρηη: αν επιλέξουµε επίπεδο ηµαντικότητας α > p-vlue τότε θα ζητάµε κρίιµη περιοχή K: X > c τέτοια ώτε P( X ( c, ]/ H > p vlue P( X ( 7, ]/ H και υνεπώς για το c που θα επιλέγαµε θα ίχυε ότι (c,] (7,], δηλαδή 7 > c Άρα, αν επιλέγαµε α > p-vlue τότε, µε βάη το υγκεκριµένο δείγµα που έδωε ποοτό ελαττωµατικών 7, θα βρίκαµε ότι X 7 > c και άρα θα απορρίπταµε την Η Από την άλλη µεριά, αν επιλέγαµε α < p-vlue τότε όµοια βρίκουµε ότι θα πρέπει 7 < c και άρα, µε βάη το παραπάνω τδ θα ήταν X 7 < c και θα δεχόµαταν την H Η παρατήρηη αυτή είναι εύκολο να δειχθεί ότι ιχύει για οποιοδήποτε έλεγχο και εποµένως γενικότερα αν, µε βάη ένα τδ, το p-vlue είναι µεγαλύτερο του α τότε δεχόµατε την Η το p-vlue είναι µικρότερο του α τότε απορρίπτουµε την Η α p-vlue: απόρριψη της Η αποδοχή της Η Πχ το παραπάνω παράδειγµα ( X 7% βρήκαµε p-vlue ίο µε 985% Εποµένως, αν επιλέξουµε να κάνουµε έλεγχο ε επίπεδο ηµαντικότητας α 5%, τότε επειδή p-vlue 985% > 5% α θα δεχτούµε την Η : p5 Αντίθετα, αν επιλέξουµε α % τότε επειδή 985% < % α θα απορρίψουµε την Η : p5 (Αν πχ την επόµενη ώρα παίρναµε ποοτό ελαττωµατικών X 9% τότε το αντίτοιχο p-vlue θα ήταν 9 5 p vlue P( X > 9 / p 5 Φ Φ ( 59 995 4 5 95/ και αν 5% θα απορρίπταµε (α5% > 4% την Η : p5 Παρατηρούµε ότι ε αυτή την περίπτωη θα απορρίπταµε την Η ακόµη και αν επιλέγαµε α% Είναι ενδιαφέρον να παρατηρήουµε ότι το p-vlue ενός τυχαίου δείγµατος µπορεί να θεωρηθεί ίο µε την πιθανότητα να εµφανιτεί ένα τόο ή ακόµη και πιο «ακραίο» δείγµα από αυτό που εµφανίτηκε, δεδοµένου ότι ιχύει η Η Πράγµατι, το παραπάνω παράδειγµα το δειγµατικό ποοτό βρέθηκε ίο µε 7 και η πιθανότητα να εµφανιτεί ένα ακόµη και πιο «ακραίο» δείγµα είναι η πιθανότητα να βρεθεί X > 7 δεδοµένου ότι ιχύει η Η δηλαδή outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς ( 7 5 p vlue P X > / p Εποµένως, αν το p-vlue ενός τδ Χ, Χ,, Χ, βρεθεί πολύ κοντά το, τότε µπορούµε να πού- µε ότι η πιθανότητα να εµφανιτεί αυτό το δείγµα (υπό την Η είναι µικρή Με άλλα λόγια είναι «απίθανο», δεδοµένης της Η, να εµφανιτεί αυτό το τόο «ακραίο» δείγµα, και όπως είναι φυικό φτάνουµε το υµπέραµα ότι µάλλον δεν πρέπει να ιχύει η Η Άρα όταν το p-vlue είναι «µικρό», απορρίπτουµε την Η Το πόο «µικρό» πρέπει να είναι εξαρτάται όπως είδαµε παραπάνω από το επίπεδο ηµαντικότητας α που επιθυµούµε να έχουµε Η λέξη ακραίο µπαίνει ε ειαγωγικά διότι αν το p-vlue βρεθεί χετικά µεγάλο τότε το δείγµα δεν είναι καθόλου ακραίο, αντίθετα µπορεί να πει κανείς ότι ήταν αναµενόµενο υπό την Η (και άρα δεν απορρίπτουµε την Η 85
Συνήθως τα τατιτικά πακέτα επεξεργαίας δεδοµένων µε Η/Υ (πχ SPSS, Sttgrphcs, Sttstc, S-Plus κα µε την ειαγωγή των τιµών του δείγµατος Χ,Χ,,Χ και την εκλογή του ελέγχου (πχ H : p5 έναντι της Η : p το πακέτο εµφανίζει αµέως το p-vlue του δείγµατος οπότε άµεα εµείς µπορούµε (µε βάη το προαποφαιµένο α να κρίνουµε αν θα α- πορρίψουµε ή θα δεχτούµε την Η Λήµµα Neym - Perso, κριτήριο γενικευµένου λόγου πιθανοφανειών Παρατηρούµε ότι αν και το Παράδειγµα 6 που εξετάαµε παραπάνω καταφέραµε να βρούµε κατάλληλο K για τον έλεγχο H :p5 έναντι H :p, ε επίπεδο ηµαντικότητας α (K: X > c 5 595 /Z, δεν έχουµε ακόµη περιγράψει µία γενική µέθοδο εύρεης της κρίιµης περιοχής Κ Έτω δηλαδή ότι γενικά έχουµε ένα τδ Χ,Χ,,Χ ~ F(x;θ και επιθυµούµε να ελέγξουµε την υπόθεη Η : θ Θ έναντι της Η : θ Θ Ποια θα είναι η κρίιµη περιοχή Κ του ελέγχου ώτε P(φάλµα τύπου Ι P((Χ,Χ,,Χ Κ / H α, και P(φάλµα τύπου ΙΙ P((Χ,Χ,,Χ Κ / H : ελάχιτο δυνατό; Μία απάντηη ε αυτό το ερώτηµα, όταν Η, Η είναι απλές υποθέεις, έρχεται να δώει το γνωτό Λήµµα Neym - Perso Αν λοιπόν Χ,Χ,,Χ ένα τδ από κατανοµή µε κ F(x;θ και π ή ππ f (x;θ, τότε ιχύει το επόµενο αποτέλεµα Θεώρηµα 6 (Λήµµα Neym - Perso Έτω ότι θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεη Η : θθ έναντι της Η : θθ ε επίπεδο ηµαντικότητας α Ο έλεγχος που ορίζεται από την κρίιµη περιοχή K: L( θ λ( X L( θ f ( X;θ < c, f ( X ;θ όπου c ταθερά τέτοια ώτε P(I, παρουιάζει τη µεγαλύτερη ιχύ ανάµεα ε όλους τους ελέγχους µε επίπεδο ηµαντικότητας Το πηλίκο που εµφανίζεται το παραπάνω θεώρηµα ;θ λ( X f ( X f ( X ;θ καλείται λόγος πιθανοφανειών του δείγµατος Εποµένως, ύµφωνα µε το λήµµα N - P για να βρούµε την κρίιµη περιοχή Κ που δίνει τον καλύτερο δυνατό έλεγχο (εξαφαλίζει ότι P(Ι α, ενώ έχει τη µικρότερη P(ΙΙ ανάµεα τους όλους τους ελέγχους µε επίπεδο ηµαντικότητας α αρκεί να ορίουµε την περιοχή K: λ( X f ( X;θ < c f ( X ;θ ώτε P(Ι P(Χ Κ / H α Παρατηρούµε ότι το παραπάνω θεώρηµα εφαρµόζεται µόνο την περίπτωη που έχουµε έλεγχο απλής έναντι απλούς υποθέεως Στη γενικότερη περίπτωη µπορεί να χρηιµοποιηθεί το λεγόµενο κριτήριο του γενικευµένου λόγου πιθανοφανειών που θα παρουιάουµε τη υνέχεια Από το κριτήριο αυτό δεν προκύπτει απαραίτητα «βέλτιτος» έλεγχος (δηλαδή µε τη µεγαλύτερη ιχύ από όλους τους ελέγχους ε επίπεδο ηµαντικότητας Κάτι τέτοιο εξάλλου δεν θα ήταν δυνατό αφού αποδεικνύεται ότι υπάρχουν περιπτώεις (πχ έλεγχοι αµφίπλευρων υποθέεων όπου δεν µπορεί να υπάρξει τέτοιος έλεγχος Παρόλα αυτά το κριτήριο του γενικευµένου λόγου outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 86
πιθανοφανειών είναι ένα εύχρητο εργαλείο που τις περιότερες περιπτώεις δίνει αρκετά ικανοποιητικά αποτελέµατα Συγκεκριµένα, αν Χ,Χ,,Χ είναι ένα τδ από κατανοµή µε κ F(x;θ και π ή ππ f (x;θ, και θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεη Η : θ Θ έναντι της Η : θ Θ τότε επιλέγουµε ως κρίιµη περιοχή του ελέγχου την K: λ ( X * Θ sup L( θ θ sup L( θ θ ΘUΘ sup f ( X; θ θ Θ < c sup f ( X ; θ θ ΘUΘ όπου c ταθερά τέτοια ώτε P(I Όπως γίνεται φανερό και από την ονοµαία του, το κριτήριο γενικευµένου λόγου πιθανοφανειών µπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελεί γενίκευη του λόγου πιθανοφανειών που χρηιµοποιείται το παραπάνω Λήµµα N-P Είναι προφανές ότι το υγκεκριµένο κριτήριο θα χρηιµοποιείται µόνο ε περιπτώεις όπου δεν µπορούµε να αξιοποιήουµε το Λήµ- µα Ν-P Ας δούµε όµως πως µπορούµε να εφαρµόουµε τους παραπάνω κανόνες ε οριµένες ενδιαφέρουες περιπτώεις α Έλεγχος υποθέεων για το µέο κανονικής κατανοµής όταν το είναι γνωτό Έτω Χ,Χ,,Χ ένα τδ από την N(µ, µε γνωτό Επιθυµούµε αρχικά να ελέγξουµε την υπόθεη Η : µ µ έναντι της Η : µ µ όταν µ >µ ιαπιτώνουµε ότι πρόκειται για τον έλεγχο απλής υποθέεως έναντι απλής οπότε µπορούµε να εφαρµόουµε το Λήµµα N - P Θα έχουµε ότι θ µ και θ µ και άρα K: λ( x ( x µ f ( x ;µ exp( exp( π f x ( x µ ( x ( µ ;µ exp( exp( e Παρατηρούµε τη υνέχεια ότι ( x µ π ( x µ ( x µ ( x x µ ( µ e λ( x< c ( x µ ( x µ > lc c x µ µ x x µ µ x > c ( µ µ x > c µ µ c και υνεπώς, επειδή µ µ >, υµπεραίνουµε ότι η ανιότητα λ(χ < c είναι ιοδύναµη µε την c X > c µ µ ( Άρα η κρίιµη περιοχή του ελέγχου (περιοχή απόρριψης θα έχει τη µορφή Κ: X > c outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 87
για κάποιο c το οποίο θα καθορίζεται από την P(Ι P(Χ Κ / H α Εποµένως, το c θα πρέπει να είναι τέτοιο ώτε X µ c µ PI ( P( X > c/ H P( > / H και επειδή, κάτω από την Η, η τµ X Z µ ~ N(, ( X ~ N( µ, υµπεραίνουµε τελικά ότι c µ Z c µ Z Άρα, ύµφωνα µε το Λήµµα N-P, ο καλύτερος έλεγχος ε επίπεδο ηµαντικότητας α για την υ- πόθεη Η : µµ έναντι της Η : µµ, µ >µ, θα έχει περιοχή απόρριψης: X >µ Z ή ιοδύναµα Κ: Σχηµατικά, η περιοχή απόρριψης θα είναι: X µ / > Z X H X H P(II P(I µ c µ περιοχή αποδοχής της Η περιοχή απόρριψης της Η Η πιθανότητα φάλµατος τύπου Ι αυτού του ελέγχου θα είναι φυικά ίη µε α ενώ η πιθανότητα φάλµατος τύπου ΙΙ θα είναι ίη µε P X Z H P X Z P X ( µ Z / ( µ µ µ µ / µµ ( / µµ / / και επειδή κάτω από την Η, ιχύει ότι προκύπτει ότι Επίης, η ιχύς του ελέγχου θα είναι Z X µ ~ N (,, / PII ( Φ ( µ µ / Z outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 88
π(µ PII ( Φ ( µ µ Z Φ ( µ µ Z / / Παρατηρούµε ότι η κρίιµη περιοχή Κ δεν εξαρτάται από την τιµή µ και εποµένως η ίδια κρίιµη περιοχή µπορεί να χρηιµοποιηθεί και για τον έλεγχο της υπόθεης H : µ µ έναντι της Η : µ > µ (απλή έναντι µονόπλευρης οδηγώντας και πάλι ε βέλτιτο έλεγχο Η τιµή της µ ω- τόο επηρεάζει την P(ΙΙ καθώς και την ιχύ του ελέγχου Όταν η µ αυξάνεται τότε η P(II µειώνεται και η ιχύς π(µ του ελέγχου αυξάνεται Αυτό µπορεί εύκολα να γίνει αντιληπτό και από το παραπάνω χήµα Αποδεικνύεται επίης ότι η ίδια κρίιµη περιοχή Κ οδηγεί ε βέλτιτο έλεγχο της υπόθεης H : µ µ έναντι της Η : µ > µ (µονόπλευρη έναντι µονόπλευρης Αντίτοιχα µε τα ζεύγη των υποθέεων H :µµ, Η :µµ, µ >µ ή H :µµ, Η :µ>µ, ή H :µ µ, Η :µ>µ µπορούµε να αντιµετωπίουµε και τα ζεύγη H :µµ, Η :µµ, µ <µ ή H :µµ, Η :µ<µ ή H :µ µ, Η :µ<µ Σε αυτές τις περιπτώεις, αν εργατούµε όµοια µε παραπάνω καταλήγουµε την κρίιµη περιοχή X µ Κ: <Z / η οποία ορίζει έναν βέλτιτο έλεγχο (µε τη µεγαλύτερη δυνατή ιχύ ε επίπεδο ηµαντικότητας α Τέλος, θα εξετάουµε την περίπτωη Η : µµ, Η : µ µ, (απλή έναντι αµφίπλευρης υπόθεης Σε αυτή την περίπτωη δεν µπορούµε να χρηιµοποιήουµε το λήµµα Ν-P διότι δεν έ- χουµε απλή έναντι απλής υπόθεης Θα χρηιµοποιήουµε το κριτήριο του γενικευµένου λόγου πιθανοφανειών Σύµφωνα µε αυτό, η κρίιµη περιοχή θα έχει τη µορφή sup f ( X; θ * θ Θ f ( X;µ K: λ ( x < c sup f ( X ; θ sup f ( X ;µ θ ΘU Θ µ R και επειδή η υνάρτηη πιθανοφάνειας L(µ f ( X ;µ έχει µέγιτο για µ ίο µε την εκτιµήτρια µέγιτης πιθανοφάνειας θα έχουµε ότι f ( X f ( X K: ;µ ;µ < c f ( X ;µ f ( X ; X Τελικά µετά από χετικές πράξεις προκύπτει ότι K: X µ > c Επειδή θα πρέπει P(I τελικά βρίκουµε ότι η περιοχή απόρριψης της Η : µµ έναντι της Η : µ µ, θα είναι η K: X µ > Z / ή ιοδύναµα K X µ / : > Z / Αξίζει εδώ να παρατηρήουµε ότι ο παραπάνω αµφίπλευρος έλεγχος ε επίπεδο ηµαντικότητας α είναι ιοδύναµος µε τον έλεγχο µέω ενός διατήµατος εµπιτούνης υντελετού α Πράγ- µατι, το προηγούµενο κεφάλαιο είδαµε ότι ένα δε για το µ υντελετού α είναι το outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 89
[ X /, / ] Z X Z και απορρίπταµε ότι µµ µε «υντελετή εµπιτούνης» α αν το µ δεν περιέχονταν το δε ηλαδή αν µ> X Z / ή µ< X Z X µ / ή ιοδύναµα αν > Z / / που, ύµφωνα µε τα παραπάνω, υµπίπτει µε την περιοχή απόρριψης Κ του ελέγχου της υπόθεης Η : µµ έναντι της Η : µ µ ε επίπεδο ηµαντικότητας α Η παρατήρηη αυτή ιχύει γενικότερα και έτι µπορούµε να πούµε ότι ο έλεγχος της υπόθεης θθ µέω ενός δε για το θ υντελετού α (αν θ δε απορρίπτουµε ότι θθ είναι ιοδύναµος µε τον αµφίπλευρο έλεγχο Η : θ θ, H : θ θ ε επίπεδο ηµαντικότητας α Άκηη 6 Γνωρίζουµε ότι το µήνα Ιανουάριο η µέη τιµή πώληης ενός προϊόντος ε µία περιοχή είναι δρχ Η µέη τιµή πώληης του ίδιου προϊόντος ε ένα τδ κατατηµάτων το µήνα Φεβρουάριο βρέθηκε ίη µε 3 δρχ Μπορούµε ε επίπεδο ηµαντικότητας 5% να πούµε ότι η µέη τιµή πώληης αυξήθηκε κατά το µήνα Φεβρουάριο; (γνωρίζουµε ότι η τιµή του προϊόντος ακολουθεί Ν(µ, 5δρχ Να βρεθεί το p-vlue του δείγµατος και η υνάρτηη ιχύος Αν τελικά ίχυε ότι µ4 µε τι πιθανότητα θα παίρναµε ωτή απόφαη; Λύη Στη υγκεκριµένη περίπτωη έχουµε την ουία ένα τδ Χ,Χ,,Χ, από την Ν(µ, 5 και ζητείται ο έλεγχος της υπόθεης H : µµ ( έναντι της Η : µ>µ ( ε επίπεδο ηµαντικότητας α Σύµφωνα µε τα παραπάνω, γνωρίζουµε ότι η κρίιµη περιοχή (περιοχή απόρριψης της Η ενός τέτοιου ελέγχου είναι η Αντικαθιτώντας θα έχουµε ότι, Κ: X > µ Z µ 5 Z 645 6 και επειδή X 3> 6 απορρίπτουµε την Η : µµ δρχ έναντι της Η : µ>δρχ Το p- vlue του ελέγχου θα είναι P X H P X µ 3µ ( > 3/ ( > / / 3µ / H Φ( / 3 Φ( Φ( 899 p -vlue 5/ Επειδή το p-vlue9% είναι µικρότερο του δοθέντος επίπεδου ηµαντικότητας 5%, θα πρέπει να απορρίψουµε την Η (όπως έχουµε ήδη κάνει παραπάνω Παρατηρούµε ότι ακόµη και αν πάρουµε 3% εξακολουθούµε να απορρίπτουµε την H Όπως έχουµε αναφέρει παραπάνω, µπορούµε να δούµε το p-vlue ως την πιθανότητα να εµφανιτεί ένα τόο ακραίο δείγµα ενώ ιχύει η Η Εποµένως µόνο το 9% των περιπτώεων που ιχύει η Η θα µπορούαµε να πάρουµε ένα τόο µεγάλο (ε χέη µε το µ δειγµατικό µέο Άρα, φυιολογικά απορρίψαµε ότι ιχύει η Η (δηλαδή ότι µ µε πιθανότητα να κάνουµε λάθος µικρότερο του 3% outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 9
Επίης, η ιχύς του ελέγχου θα είναι µ µ µ π ( µ PII ( PX ( µ / ( Z H P X Z / / / H Φ( µ µ Φ( µ µ Φ( µ Z Z 5 645 / / / Τέλος, αν ίχυε η Η µε µ4 τότε π Φ( 4 4 ( 4 645 Φ( 645 Φ(88 86, 5/ 5/ η οποία είναι την ουία η πιθανότητα ορθής απόρριψης της Η (πιθανότητα ωτής απόφαης αν ίχυε ότι µ4 Άκηη 6 Έτω τδ Χ,,X ~ Ν(µ, µε γνωτό Ποιο θα πρέπει να είναι το µέγεθος του δείγµατος ώτε για τον έλεγχο της υπόθεης Η : µµ, Η : µµ, µ <µ οι πιθανότητες φάλµατος τύπου Ι και ΙΙ να είναι αντίτοιχα α και β (α5, β, µ 6, µ 56, 64 Ποια θα είναι τότε η κρίιµη περιοχή; Λύη Για τον έλεγχο της υγκεκριµένης υπόθεης θα έχουµε από τα παραπάνω την κρίιµη περιοχή (περιοχή απόρριψης X µ Κ: <Z / για την οποία ως γνωτό ιχύει ότι P(I Θα πρέπει και P(IIβ ηλαδή P(II P(αποδοχή της Η / ιχύει η Η P X µ ( Z / µµ / µ / Εποµένως ( X ~ N (, / Η, P X Z P X µ µ µ ( µ / µµ ( Z/ µµ β / / µ µ Z / Zβ και ιοδύναµα Για α5, β, µ 6, µ 56, 64 βρίκουµε ότι ( Z Z β (µ µ ( 65 8 64 35 4 Η κρίιµη περιοχή θα είναι η Κ: X < Z 8 µ 6 65 577 68 35 Άκηη 63 Από κανονικό πληθυµό Ν(µ, 9 λαµβάνεται τυχαίο δείγµα µεγέθους 9, προκειµένου να ελεγχθεί η υπόθεη Η : µ έναντι της H : µ ε επίπεδο ηµαντικότητας outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 9
α5 Να προδιοριτεί η περιοχή απόρριψης Να υπολογιτεί η πιθανότητα φάλµατος τύπου ΙΙ αν ιχύει ότι µ5 Λύη Η περιοχή απόρριψης ύµφωνα µε τα παραπάνω θα είναι δηλαδή K X µ / : > Z / K: X Z > µ / ή X < µ Z / και άρα η περιοχή απόρριψης θα είναι η (µ, Ζ 5 96, 9, 3 K: X >9 6 ή X <8 4 Η πιθανότητα φάλµατος τύπου ΙΙ θα είναι P(II P(αποδοχή της Η / ιχύει η Η P( 8 4 X 9 6/ µ5 8 45 X 5 9 65 9 65 8 45 P( / µ5 Φ( Φ( / / / 3/ 9 3/ 9 Φ( 46 Φ( 46 Φ( 46 Φ(46 979 993 9 β Έλεγχος υποθέεων για το µέο κανονικής κατανοµής όταν το είναι άγνωτο Σε αυτή την περίπτωη δεν µπορούµε να χρηιµοποιήουµε το λήµµα Ν-P για τον έλεγχο πχ της υπόθεης Η : µµ, Η : µµ, µ >µ Αυτό υµβαίνει διότι το είναι άγνωτο και επο- µένως ε αυτή την περίπτωη έχουµε την ουία να ελέγξουµε την υπόθεη Η : (µ, {(µ,x, x R } έναντι της Η : (µ, {(µ,x, x R } όπου προφανώς δεν πρόκειται για περίπτωη απλής έναντι απλούς υποθέεως Χρηιµοποιώντας λοιπόν το κριτήριο του γενικευµένου λόγου πιθανοφανειών προκύπτουν τα παρακάτω: - για τον έλεγχο ε επίπεδο ηµαντικότητας α των υποθέεων: Η : µµ, ή Η : µµ, ή Η : µ µ, Η : µµ, µ >µ Η : µ>µ, Η : µ>µ λαµβάνεται ως κρίιµη περιοχή η Κ: X S/ µ > t ( - για τον έλεγχο ε επίπεδο ηµαντικότητας α των υποθέεων: Η : µµ, ή Η : µµ, ή Η : µ>µ, Η : µµ, µ <µ Η : µ<µ, Η : µ µ λαµβάνεται ως κρίιµη περιοχή η X µ Κ: <t S/ ( - για τον έλεγχο ε επίπεδο ηµαντικότητας α της υπόθεης: Η : µµ, outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 9
λαµβάνεται ως κρίιµη περιοχή η Η : µ µ, Κ: X µ S/ > t ( / Άκηη 64 Ό ύλλογος καταναλωτών, για να εξακριβώει αν τα κουτιά των gr καφέ περιέχουν πραγµατικά µέο βάρος gr, πήρε 9 κουτιά τυχαία από διάφορα κατατήµατα και βρήκε X 96gr και S38gr Είναι τα δεδοµένα αρκετά για να υποτηρίξουµε ότι τα κουτιά των gr είναι ελλιποβαρή; (α5 Βρείτε το p-vlue του ελέγχου που χρηιµοποιήατε Αν τελικά ίχυε ότι το πραγµατικό µέο βάρος ήταν 95gr, µε τι πιθανότητα θα παίρναµε ωτή απόφαη (υποθ ότι S ; Λύη Στη υγκεκριµένη περίπτωη έχουµε την ουία ένα τδ Χ,Χ,,Χ, 9 από την Ν(µ, και ζητείται ο έλεγχος της υπόθεης H : µµ έναντι της Η : µ<µ ε επίπεδο ηµαντικότητας α5 Σύµφωνα µε τα παραπάνω, γνωρίζουµε ότι η κρίιµη περιοχή (περιοχή απόρριψης της Η ενός τέτοιου ελέγχου είναι η Αντικαθιτώντας θα έχουµε ότι, Κ: X S/ µ <t ( X µ 96 35 < 86 8(5 S / 38/ 9 t και υνεπώς απορρίπτουµε την Η : µµ gr έναντι της Η : µ<gr Εποµένως, η διαφορά των 964gr θεωρείται «τατιτικά ηµαντική» και τα κουτιά κρίνονται ελλιποβαρή µε πιθανότητα να κάνουµε λάθος α5% Το p-vlue θα είναι p vlue P X µ ( < 35 / H Ft ( 35 F t ( 35 8 S/ Η F t8 ( 35 είναι η υνάρτηη κατανοµής της t µε 8 βε τη θέη 35 Από πίνακες της t 8 βρίκουµε ότι F t8 ( 89699 και υνεπώς p-vlue F t8 ( 35 < F t8 ( 896 Άρα το p- vlue είναι πολύ µικρό, µικρότερο του α5% (και άρα ωτά απορρίψαµε Παρατηρούµε ότι αφού p-vlue< θα απορρίπταµε την H ακόµη και αν είχαµε θέει α Τέλος, αν ίχυε η Η µε µµ 95 τότε θα παίρναµε ωτή απόφαη αν απορρίπταµε την H Η πιθανότητα ωτής απόφαης είναι P(απόρριψη της Η / ιχύει η Η P(II π(µ Άρα τελικά η πιθανότητα ορθής απόφαης όταν ιχύει η Η είναι η ιχύς: X µ X µ π(µ P( II P( < t ( /µ µ P( < t ( /µ µ S / / outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 93
X µ µ µ < t / / µ µ ( /µ µ Φ( t / 95 ( Φ( 38/ 9 P( 86 Φ( 8 98 Σηµειώνεται ότι αν τη υγκεκριµένη περίπτωη θέλαµε να υπολογίουµε την τιµή της ιχύος ακριβώς, θα έπρεπε να χρηιµοποιήουµε την λεγόµενη «µη-κεντρική» κατανοµή t - (υµβ και δ µε t η οποία ορίζεται ως η κατανοµή ενός πηλίκου δύο ανεξάρτητων τµ, µία που ακολουθεί N(δ, δια µία που ακολουθεί χ /( κατανοµή (δ: παράµετρος µη-κεντρικότητας Αν δ προκύπτει η υνήθης t - κατανοµή Συγκεκριµένα θα βρίκαµε ότι π µ F ( t ( όπου δ µ µ / ( t δ γ Έλεγχος υποθέεων για τη διαπορά κανονικής κατανοµής όταν το µ είναι γνωτό Έτω Χ,Χ,,Χ ένα τδ από την N(µ, µε µ γνωτό Επιθυµούµε να ελέγξουµε την υπόθεη Η : έναντι της Η : όταν > Πρόκειται για τον έλεγχο απλής υποθέεως έναντι απλής µε θ και θ και άρα η κρίιµη ύµφωνα µε το Λήµµα N - P θα είναι της µορφής K: λ( x f ( x; < c f ( x; µετά από χετικά απλές αλγεβρικές πράξεις καταλήγουµε την ακόλουθη ιοδύναµη ανιότητα Το c καθορίζεται από την και επειδή Κ: ( X µ > c X µ c PI ( P( ( X µ > c/ H P( ( > / H X µ ( ~ χ / Η υµπεραίνουµε τελικά ότι c χ ( c χ ( Άρα, ύµφωνα µε το Λήµµα N-P, ο καλύτερος έλεγχος ε επίπεδο ηµαντικότητας α για την υ- πόθεη Η : έναντι της Η :, > (µ γνωτό θα έχει περιοχή απόρριψης: X µ Κ: ( > χ ( Η ίδια κρίιµη περιοχή µπορεί να χρηιµοποιηθεί και για τον έλεγχο της υπόθεης H : έναντι της Η : > (απλή έναντι µονόπλευρης καθώς και της H : έναντι της Η : > (µονόπλευρη έναντι µονόπλευρης Αντίτοιχα µε τις παραπάνω περιπτώεις, µπορούµε να αντιµετωπίουµε και την περίπτωη που H :, Η :, < ή H :, Η :< ή H :, Η :< Σε αυτή την περίπτωη, αν εργατούµε όπως παραπάνω, καταλήγουµε την κρίιµη περιοχή outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 94
X µ Κ: ( < χ ( η οποία ορίζει έναν βέλτιτο έλεγχο (µε τη µεγαλύτερη δυνατή ιχύ ε επίπεδο ηµαντικότητας α Τέλος, θα εξετάουµε την περίπτωη Η :, Η :, (απλή έναντι αµφίπλευρης υπόθεης Σε αυτή την περίπτωη χρηιµοποιώντας το κριτήριο του γενικευµένου λόγου πιθανοφανειών καταλήγουµε ε µία κρίιµη περιοχή της µορφής Κ: ( X µ > c ή ( X µ < c και επειδή θα πρέπει P(I τελικά βρίκουµε ότι η περιοχή απόρριψης της Η : έναντι της Η :, θα είναι η X µ X Κ: ( < χ µ ( ή ( > ( χ Όπως έχουµε ήδη επιηµάνει και παραπάνω, ο υγκεκριµένος αµφίπλευρος έλεγχος ε επίπεδο ηµαντικότητας α είναι ιοδύναµος µε τον έλεγχο µέω ενός διατήµατος εµπιτούνης για το υντελετού α (αν δε απορρίπτουµε ότι δ Έλεγχος υποθέεων για τη διαπορά κανονικής κατανοµής όταν το µ είναι άγνωτο Όµοια µε το (β παραπάνω χρηιµοποιούµε και εδώ το κριτήριο του γενικευµένου λόγου πιθανοφανειών Όπως ήταν αναµενόµενο, τελικά προκύπτουν ανάλογες µε το (γ κρίιµες περιοχές Συγκεκριµένα, όπου το (γ είχαµε ( µ τώρα θα έχουµε ( X X ( S, X και όπου είχαµε χ ( τώρα θα έχουµε χ ( Άρα, - για τον έλεγχο ε επίπεδο ηµαντικότητας α των υποθέεων: Η :, ή Η :, ή Η :, Η :, > Η : >, Η : > λαµβάνεται ως κρίιµη περιοχή η Κ: ( S > χ ( - για τον έλεγχο ε επίπεδο ηµαντικότητας α των υποθέεων: Η :, ή Η :, ή Η : >, Η :, < Η : <, Η : λαµβάνεται ως κρίιµη περιοχή η ( S Κ: < χ ( - για τον έλεγχο ε επίπεδο ηµαντικότητας α της υπόθεης: Η :, Η :, outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 95
λαµβάνεται ως κρίιµη περιοχή η Κ: ( S < χ ( ή ( S > χ ( Άκηη 65 Έτω ότι ο χρόνος ζωής ενός τύπου µπαταριών ακολουθεί κανονική κατανοµή N(µ, Ο κατακευατής ιχυρίζεται ότι Μπορούµε να απορρίψουµε τον ιχυριµό αυτό έναντι του > ε επίπεδο ηµαντικότητας 5% αν έχουµε την πληροφορία ότι η δειγµατική διαπορά S των χρόνων ζωής ενός τυχαίου δείγµατος µπαταριών βρέθηκε ίη µε 3 Να βρεθεί το p-vlue του ελέγχου Λύη Πρόκειται για τον έλεγχο της υπόθεης Η : έναντι της Η : > για τη διαπορά ενός κανονικού πληθυµού µε άγνωτη Από την παράγραφο (δ παραπάνω η περιοχή απόρριψης αυτού του ελέγχου θα είναι η Κ: ( S > χ ( Αντικαθιτώντας βρίκουµε ότι ( S 9 3 4 7 34 χ9( 5 ε επίπεδο ηµαντι- και εποµένως δεν µπορούµε να απορρίψουµε την υπόθεη Η : κότητας 5 Tο p-vlue του ελέγχου θα είναι η πιθανότητα p vlue P ( ( S > 4 7 / H F ( 4 7 7 χ 9 Παρατηρούµε ότι το p-vlue είναι αρκετά µεγάλο, µεγαλύτερο του α5 (και άρα ωτά δεχτήκαµε την Η ε Έλεγχος υποθέεων για ποοτό Έτω Χ,Χ,,Χ τδ από την (,p, δηλαδή P(X p, P(X p ή υνοπτικά f (x;p P(Xx p x (p -x, x, Επιθυµούµε αρχικά να κατακευάουµε έναν έλεγχο για την υπόθεη Η : p p έναντι της Η : p p, p > p Πρόκειται για έλεγχο απλής έναντι απλούς και υνεπώς από το λήµµα N-P η κρίιµη περιοχή θα έχει µορφή K: λ( x f ( x ; p p ( p f ( x; p p ( p p ( p p ( p x x p ( p x ( p x x x x p p ( p ( p p ( p p ( p ( p x ( p x p < c p x outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 96
ή ιοδύναµα, Επειδή p >p θα είναι p ( p p ( p p p p ( x l < lc l p ( p p p < l ( p p ( p < και άρα η κρίιµη περιοχή θα έχει την µορφή lc l X > p p ( p p l ( p ( p Σύµφωνα µε τα παραπάνω, το c λαµβάνεται τέτοιο ώτε να ιχύει P(I Συνεπώς, c X p c p PI ( P( X > c/ H P( > H p ( p p ( p / και επειδή, κάτω από την Η, και για µεγάλο (ΚΟΘ, >3 η τµ υµπεραίνουµε τελικά ότι c p p ( p X p Z N p( p ~ (, Z c p p ( p Z Άρα, ύµφωνα µε το Λήµµα N-P, ο καλύτερος έλεγχος ε επίπεδο ηµαντικότητας α για την υ- πόθεη Η : pp έναντι της Η : pp, p >p, θα έχει περιοχή απόρριψης (>3: X > p p( p Z ή ιοδύναµα Κ: X p > p( p/ Η πιθανότητα φάλµατος τύπου Ι αυτού του ελέγχου θα είναι φυικά ίη µε α ενώ η πιθανότητα φάλµατος τύπου ΙΙ θα είναι ίη µε Z PII ( P( X p p ( p / Z / H P( X p p( p Z / p p P( X p p p p ( p / p ( p / p( p Z p ( p / pp Φ p p p ( p / p ( p p ( p Z Τέλος, η ιχύς του ελέγχου θα είναι π(p P( II Παρατηρούµε και εδώ ότι η κρίιµη περιοχή Κ δεν εξαρτάται από την τιµή p και εποµένως η ίδια κρίιµη περιοχή µπορεί να χρηιµοποιηθεί και για τον έλεγχο της υπόθεης H : p p έναντι της Η : p > p (απλή έναντι µονόπλευρης Αποδεικνύεται επίης ότι η ίδια κρίιµη περιοχή Κ οδηγεί ε βέλτιτο έλεγχο της υπόθεης H : p p έναντι της Η : p > p (µονόπλευρη έναντι µονόπλευρης Αντίτοιχα µε τα ζεύγη των υποθέεων H : pp, Η :pp, p >p ή H : pp, Η : p>p, ή H : p p, Η : p>p outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 97
µπορούµε να αντιµετωπίουµε και τα ζεύγη H : pp, Η :pp, p <p ή H : pp, Η : p<p ή H : p p, Η : p<p Σε αυτές τις περιπτώεις, αν εργατούµε όµοια µε παραπάνω καταλήγουµε την κρίιµη περιοχή (>3 X p Κ: <Z p p ( / η οποία ορίζει έναν βέλτιτο έλεγχο (µε τη µεγαλύτερη δυνατή ιχύ ε επίπεδο ηµαντικότητας α Τέλος, θα εξετάουµε την περίπτωη Η : pp, Η : p p, (απλή έναντι αµφίπλευρης υπόθεης Όπως και παραπάνω, εδώ θα χρηιµοποιήουµε το κριτήριο του γενικευµένου λόγου πιθανοφανειών Σύµφωνα µε αυτό, η κρίιµη περιοχή θα έχει τελικά τη µορφή (>3 X p Κ: > Z p p / ( / Αξίζει εδώ να παρατηρήουµε ότι ο παραπάνω αµφίπλευρος έλεγχος ε επίπεδο ηµαντικότητας α δεν είναι ακριβώς ιοδύναµος µε τον έλεγχο µέω του διατήµατος εµπιτούνης για το p υντελετού α Αυτό υµβαίνει διότι την κατακευή του δε για το p είχαµε για λόγους ευκολίας αντικατατήει το p(p µε το X( X Για το λόγο αυτό ο έλεγχος της υπόθεης Η : pp, έναντι της Η : p p, είναι προτιµότερο να γίνεται χρηιµοποιώντας την παραπάνω κρίιµη περιοχή και όχι µέω δε Άκηη 66 Ένα κόµµα ιχυρίζεται ότι τις εκλογές που έγιναν ήµερα θα λάβει ποοτό p µεγαλύτερο του % Έχουµε αρκετά τοιχεία για να απορρίψουµε τον παραπάνω ιχυριµό, αν ε ένα τδ ψηφοφόρων (οι οποίοι ρωτήθηκαν µετά την έξοδό τους από τυχαία επιλεγµένα εκλογικά τµήµατα µόνο το 6% απάντηαν ότι ψήφιαν το κόµµα (α Αν βρεθεί ότι δεν έχουµε αρκετά τοιχεία, πόο θα έπρεπε να είναι το ελάχιτο µέγεθος του δείγµατος ώτε, µε ίδιο δειγµατικό ποοτό, να απορρίπταµε τον παραπάνω ιχυριµό; Λύη Στη υγκεκριµένη περίπτωη ζητείται ο έλεγχος της υπόθεης H : pp έναντι της Η : p<p όπου p % Γνωρίζουµε από τα παραπάνω ότι η κρίιµη περιοχή θα είναι Αντικαθιτώντας βρίκουµε ότι Κ: X p < p( p/ X p 6 88 > Z 33 p( p / ( / Εποµένως δεν έχουµε αρκετά τοιχεία για να απορρίψουµε τον παραπάνω ιχυριµό Παρατηρούµε ότι για να απορρίπταµε την Η : p λαµβάνοντας ένα µεγαλύτερο δείγµα θα έπρεπε να ιχύει ότι X p p p < p( p Z δηλαδή > Z ( / ( X p Z outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 98
όπου X είναι το αντίτοιχο δειγµατικό ποοτό που θα βρίκαµε Βρίκοντας, ύµφωνα µε την εκφώνηη, και πάλι X 6 θα έπρεπε p( p ( > Z ( X p 33 3537 ( 6 Συνεπώς για να απορρίψουµε την Η : p% έναντι της Η : p<% ε επίπεδο ηµαντικότητας % θα έπρεπε να είχαµε βρει το δειγµατικό ποοτό 6% από ένα δείγµα τουλάχιτον 36 ψηφοφόρων Άκηη 67 Έτω ότι έχουµε δύο όµοιες εξωτερικά κάλπες Α και Β Η κάλπη Α περιέχει 6 ά- πρες και 4 µαύρες φαίρες ενώ η κάλπη Β περιέχει 4 άπρες και 6 µαύρες φαίρες Εκλέγουµε διαδοχικά φαίρες µε επανάθεη από τη µία κάλπη χωρίς να γνωρίζουµε αν είναι η κάλπη Α ή η Β Αν 5 από τις φαίρες βρέθηκαν µαύρες, µπορούµε να απορρίψουµε ε επίπεδο ηµαντικότητας α ότι οι φαίρες που πήραµε ήταν από την κάλπη Α; Να βρεθεί η ιχύς του ελέγχου Πόο θα έπρεπε να είναι το ώτε οι πιθανότητες των φαλµάτων τύπου Ι και ΙΙ να είναι ακριβώς α και β αντίτοιχα Λύη Έτω Χ αν ή -εκλογή φαίρας είναι µαύρη και Χ αν ή -εκλογή φαίρας είναι λευκή,,,, ηλαδή οι τµ Χ,Χ,,Χ αποτελούν ένα τδ από την (, p Στην ουία εδώ ζητείται ο έλεγχος της υπόθεης H : pp Α 4/ έναντι της Η : pp Β 6/ Γνωρίζουµε από τα παραπάνω ότι η κρίιµη περιοχή αυτού του ελέγχου θα είναι η Αντικαθιτώντας βρίκουµε ότι Κ: X pa p ( p / A A X pa > p ( p / A A 5 4 ( 4 / 4 Z 45 > Z 33 και υνεπώς απορρίπτουµε την H : p p Α 4 µε πιθανότητα να κάνουµε λάθος ίη µε α % Η ιχύς του ελέγχου είναι ίη µε π( p P( II P(απόρριψη της Η / ιχύει ή Η P( X pa p ( p / A A > Z / p 6 P( X > p A pa( pa Z/ p p P( X p pa p > p ( p / p ( p / pa( pa Z/ p p p ( p Φ pa p p ( p / p A( pa Z p ( p Φ 4 6 6 6 33 ( / Φ( 75 Φ( 75 96 Παρατηρούµε λοιπόν ότι αν, η P(II 96 4% Έχουµε τον έλεγχο της υπόθεης outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 99
H : pp Α 4/ έναντι της Η : pp Β 6/ Γνωρίζουµε ότι αν επιλέξουµε ως κρίιµη περιοχή την Κ: X pa > p ( p / τότε η P(Ι θα είναι ίη µε α Για να ιχύει και P(IIβ θα πρέπει (βλ ( ότι PII ( Φ A A pa p p ( p / Z p ( p A A Z β p ( p δηλαδή pa p p ( p / pa( pa Z p ( p Z β Λύνοντας ως προς βρίκουµε ότι p p Z p p Z ( β A( A p p A Αν πχ αβ% τότε θα πρέπει να πάρουµε δείγµα (p A 4, p 6 µεγέθους 3 Έλεγχοι υποθέεων για τις παραµέτρους δύο ανεξάρτητων κανονικών πληθυµών Έτω Χ,Χ,, X και Υ,Υ,,Y δύο ανεξάρτητα µεταξύ τους τδ από τις κατανοµές Ν(µ, και Ν(µ, αντίτοιχα Οι κρίιµες περιοχές ελέγχων υποθέεων για τις παραµέτρους δύο ανεξάρτητων κανονικών πληθυµών προκύπτουν µε µεθόδους παρόµοιες µε αυτές που χρηιµοποιήθηκαν παραπάνω (είτε µε τη χρήη τη λήµµατος Ν-P, είτε µε τη χρήη του γενικευµένου λόγου πιθανοφανειών Συνοπτικά προκύπτουν οι παρακάτω έλεγχοι ε επίπεδο ηµαντικότητας α α Έλεγχος για τη ύγκριη των µ, µ όταν τα, είναι γνωτά Θεωρούµε τη τατιτική υνάρτηη Τ X Y η οποία όταν µ µ ακολουθεί Ν(, κατανοµή Είναι εύκολο να δειχθεί ότι τις παρακάτω υποθέεις αντιτοιχούν οι κρίιµες περιοχές: Υποθέεις Κρίιµη περιοχή Η : µ µ έναντι της Η : µ >µ Τ >Ζ α Η : µ µ έναντι της Η : µ <µ Τ <Ζ α Η : µ µ έναντι της Η : µ >µ Τ >Ζ α Η : µ µ έναντι της Η : µ <µ Τ <Ζ α Η : µ µ έναντι της Η : µ µ Τ >Ζ α/ Στην περίπτωη που θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεη Η : µ µ γ, τότε χρηιµοποιούµε τη τατιτική υνάρτηη outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς
Τ X Y γ β Έλεγχος για τη ύγκριη των µ, µ όταν τα, είναι άγνωτα και ία Θεωρούµε τη τατιτική υνάρτηη Τ X Y ( ( ( X X ( Y Y j j X Y ( S ( S η οποία όταν µ µ ακολουθεί κατανοµή t Είναι εύκολο να δειχθεί ότι τις παρακάτω υ- ποθέεις αντιτοιχούν οι κρίιµες περιοχές: Υποθέεις Κρίιµη περιοχή Η : µ µ έναντι της Η : µ >µ Τ > t ( Η : µ µ έναντι της Η : µ <µ Τ < t ( Η : µ µ έναντι της Η : µ >µ Τ > t ( Η : µ µ έναντι της Η : µ <µ Τ < t ( Η : µ µ έναντι της Η : µ µ Τ > t ( Στην περίπτωη που θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεη Η : µ µ γ, τότε χρηιµοποιούµε τη τατιτική υνάρτηη ( ( X Y γ X Y γ Τ ( S ( S ( X X ( Yj Y j γ Έλεγχος για τη ύγκριη των, όταν τα µ, µ είναι γνωτά Θεωρούµε τη τατιτική υνάρτηη T j ( X µ ( Y µ j Είναι εύκολο να δειχθεί ότι τις παρακάτω υπο- η οποία όταν ακολουθεί κατανοµή F, θέεις αντιτοιχούν οι κρίιµες περιοχές: Υποθέεις Κρίιµη περιοχή Η : έναντι της Η : > Τ > ( outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς F,
Η : έναντι της Η : < Τ < ( F, F (, F (, F ( / F, (, Η : έναντι της Η : > Τ > Η : έναντι της Η : < Τ < Η : έναντι της Η : Τ < ή Τ > / Όταν θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεη Η : / δ, χρηιµοποιούµε τη τατιτική υνάρτηη T δ j ( X µ ( Y µ j δ Έλεγχος για τη ύγκριη των, όταν τα µ, µ είναι άγνωτα Θεωρούµε τη τατιτική υνάρτηη Τ j ( X X ( Y Y j S S η οποία όταν ακολουθεί κατανοµή F, Είναι εύκολο να δειχθεί ότι τις παρακάτω υποθέεις αντιτοιχούν οι κρίιµες περιοχές: Υποθέεις Κρίιµη περιοχή Η : έναντι της Η : > Τ > F, ( Η : έναντι της Η : < Τ < F, ( Η : έναντι της Η : > Τ > F, ( Η : έναντι της Η : < Τ < F, ( Η : έναντι της Η : Τ < F, ( / ή Τ > F, ( / Όταν θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεη Η : / δ, χρηιµοποιούµε τη τατιτική υνάρτηη T δ j ( X X ( Y Y j δ S S ε Έλεγχος για τη ύγκριη δύο ποοτών Τέλος, έτω Χ,Χ,, X και Υ,Υ,,Y δύο ανεξάρτητα µεταξύ τους τδ από τις κατανοµές Β(, p και Β(, p αντίτοιχα Επιθυµούµε να υγκρίνουµε τα ποοτά p, p Ακολουθώντας µεθόδους παρόµοιες µε αυτές που χρηιµοποιήθηκαν παραπάνω προκύπτουν οι ακόλουθοι έλεγχοι ε επίπεδο ηµαντικότητας α Θεωρώντας τη τατιτική υνάρτηη (, >3: outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς
T X Y ( P( P / / X Y, P η οποία όταν p p προεγγιτικά ακολουθεί κατανοµή N(, Είναι εύκολο να δειχθεί ότι τις παρακάτω υποθέεις αντιτοιχούν οι κρίιµες περιοχές: Υποθέεις Η : p p έναντι της Η : p > p ή Η : p p έναντι της Η : p > p Κρίιµη περιοχή Κ: Τ > Z Η : p p έναντι της Η : p < p ή Η : p p έναντι της Η : p < p Κ: Τ < Z Η : p p έναντι της Η : p p Κ: Τ > Z / outsks MV (3, Σηµειώεις Στατιτικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιτήµης, Πανεπιτήµιο Πειραιώς 3