ΕΚΘΕΤΙΚΗΣΥΝΑΡΤΗΣΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση :. Γι ν κάνουμε τη γρφική πράστση, θεωρούμε τον πίνκ : f 0 f 7 9 9 7 κι έχουμε : Γι τη συνάρτηση υτή κι γι κάθε συνάρτηση της γενικής μορφής : Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 55

έχουμε : f, με Πεδίο ορισμού το Σύνολο τιμών το διάστημ Γνησίως ύξουσ, διότι γι κάθε 0, των θετικών πργμτικών ριθμών., επειδή ισχύει :, ν Τέμνει τον άξον yy στο σημείο A 0, κι έχει σύμπτωτη τον ρνητικό ημιάξον. Θεωρούμε τη συνάρτηση : f κι προκειμένου ν κάνουμε τη γρφική της πράστση, θεωρούμε τον πίνκ : 0 f 7 9 9 7 κι έχουμε : Γι τη συνάρτηση υτή κι γι κάθε συνάρτηση της μορφής : Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 56

με 0 έχουμε : Πεδίο ορισμού το Σύνολο τιμών το διάστημ των θετικών πργμτικών ριθμών. Γνησίως φθίνουσ, διότι γι κάθε,, επειδή 0 ισχύει : f 0, ν Τέμνει τον άξον yy στο σημείο A 0, κι έχει σύμπτωτη τον θετικό ημιάξον. Πρτηρήσεις :. Επειδή η εκθετική συνάρτηση : με 0 είνι γνησίως μονότονη, ισχύει : ν. Επομένως με την επγωγή σε άτοπο, μπορούμε ν έχουμε : ν. f Με την βοήθει της συνεπγωγής υτής, μπορούμε ν λύνουμε εκθετικές εξισώσεις, δηλδή εξισώσεις που έχουν τον άγνωστο στον εκθέτη.. Γι τις συνρτήσεις : πρτηρούμε ότι ισχύει : f, g, 0 g f, Επομένως οι γρφικές πρστάσεις τους, είνι συμμετρικές ως προς τον άξον yy. Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 57

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν λύσετε τις εξισώσεις : i) ii) iii) iv) 8 8 4 6 5 5 i) 4 8 4 ii) 4 8 4 4 4 4 4 6 4 iii) iv) 5 5 5 5. Ν λυθούν οι εξισώσεις : i) 9 ii) e e iii) 8 4 iv) 5 i) 9 9 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 58

ii) e 4 iii) e e e 8 4 4 6 iv) 7 9 0 5 5 5 0 ή.. Ν λυθεί η εξίσωση : 54. 54 54 Θέτω y κι η εξίσωση γίνετι : y y y 4y 54 7y 6 y 8 4 οπότε 8. 4. Ν λυθεί η εξίσωση : 9 4 0. 9 4 0 4 0 4 0 Θέτω y κι η εξίσωση γίνετι : y y 4 0 που έχει ρίζες y κι y 4. 0 Γι y έχω : 0 Γι y 4 έχω : 4 δύντη γιτί 0. Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 59

5. Ν λυθεί η εξίσωση : 8 0 9 0 () Η () ορίζετι ότν είνι φυσικός μεγλύτερος του. Έτσι Θέτω 9 0 9 0 9 0 9 0 9 y άρ έχω : y 0y 0 y ή Αν y τότε 9 Αν τότε 9 Απορρίπτετι y y. 6. Ν λυθεί το σύστημ : y 4. y 9 y y 0 y 0 () y y 9 y () Αφιρώντς πό τη () την () προκύπτει : y στην () έχουμε. κι ντικθιστώντς 7. Ν λύσετε τις εξισώσεις : i) 5 4 0 ii) 5 4 iii) 8 9 0 iv) v) 4 0 i) 5 4 0 Θέτουμε t, οπότε η επιλύουσ της () είνι η : t 5t 4 0 (). Η δικρίνουσ του τριωνύμου της σχέσης () είνι : 5 4 5 5 4 4 5 6 9 κι επομένως οι ρίζες είνι : t 5 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 60

Αν Αν t 4 4 4 0 t 0 0 ii) 5 5 5 8 iii) 8 9 0 8 9 0 8 9 0 () Θέτουμε t, οπότε η επιλύουσ της () είνι η : t 8t 9 0 (). Η δικρίνουσ του τριωνύμου της σχέσης () είνι : 8 4 9 4 7 4 7 4 4 49 7 4 96 7 4 69 6 8 6 54 9 8 6 6 6 κι επομένως οι ρίζες είνι : t 8 6 6 6 Αν t 9 9 Αν t iv) 4 4 0 0 0 4 7 8 8 4 8 7 8 4 8 7 8 4 6 4 8 8 8 v) 4 4 4 4 4 4 4 4 8 4 6 4 4 8 4 4 4 4 4 4 4 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 6

8. Ν λύσετε τις εξισώσεις ημ ημ ημ συν i) ii) 9 ημ ημ συν 5 ημ iii) 4 ημ ημ ημ π i) ημ ημ ημ 6 π ημ ημ 6. Άρ ii) κπ π π κπ 6 κπ 7π 7π κπ 6 ημ ημ 4ημ ημ συν ημ συν ημ συν 9 ημ συν 4ημ ημ συν ημ ημ συν συν συν ημ συν συν 0 συν ημ 0 iii) συν 0 κπ ημ (δύντη) ημ ημ ημ ημ συν 5 ημ ημ ημ συν 5 ημ ημ συν 5 5 4 ημ ημ συν ημ ημ ημ συν ημ ημ ημ ημ ημ 0 ημ συν ημ συν ημ συν συν 0 συν συν π Από την σχέση () πίρνουμε: κπ ημ 0 κπ κπ, κ. Από την σχέση () πίρνουμε : Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 6

συν συν κπ 4κπ 4κπ 4κπ 4κπ 4 4κπ 9. Ν λυθεί η εξίσωση : 6 9 56. 6 6 6 6 56 56 6 y Θέτω y έχουμε : y y 56 y 56 y 64 8 6 6 6 Άρ 64 6 6 0 ή 4 0.i) Ν βρείτε το 5 ώστε η ύξουσ. ii) Ν βρείτε το, 0 ώστε η f 5 ν είνι γνησίως 5 g ν είνι γνησίως φθίνουσ. i) Γι ν είνι η f γνησίως ύξουσ θ πρέπει: 5 6 0 0 0 6 5 0 5 5 5 5 5 0 5 0,5. ii) Γι ν είνι η g γνησίως φθίνουσ θ πρέπει: 5 5 0 0 5 0,0 5, 5 0 5 5 0 5 0 0 Επομένως πρέπει 5.. Δίνετι η συνάρτηση με τύπο f k. i) Γι ποιες τιμές του k ορίζετι η f ; ii) Ν εξετάσετε ν υπάρχουν τιμές k γι τις οποίες η f είνι γνησίως ύξουσ. Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 6

iii) Ν βρείτε το k ώστε η γρφική πράστση της f το σημείο,. ν περνάει πό iv) Ν βρείτε τις τιμές του k ώστε η γρφική πράστση της f περνάει πό το σημείο., ν i) Πρέπει: k 0 k k k, () ii) Γι ν είνι η f γνησίως ύξουσ πρέπει: k k 0 k 0 () Η () όμως είνι δύντη στο, άρ δεν υπάρχουν τιμές του k, γι τις οποίες η f ν είνι γνησίως ύξουσ. iii) Πρέπει ν ισχύει: f k k k iv) Πρέπει ν ισχύει: f k k k k 0 k 0 k δύντη. Ν λύσετε τις νισώσεις : i) 9 ii) 8 0 iii) e 0 i) 9 (γιτί >). ii) 8 0 (γιτί >). ή iii) 0 e e e e 0 0 (γιτί e ).. Ν λύσετε την νίσωση 5 5 6. 5 5 5 6 5 6 5 5 6 5 5 6 5 5 5 0 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 64

Θέτω Άρ η νίσωση γίνετι y 6y 5 0. Είνι y 6y 5 0 y ή y 5 5 y 5 + _ + Άρ 0 y 5 5 5 5 5 5 0 (γιτί 5>). 4. Ν λύσετε τ συστήμτ. y 9 i) y 4 8 ii) 5 6 y 8 iii) y 4 y 9 iv) y 5 4 9 y 5 6 i) y y y 9 y 4 8 y y y y y 4 y 5 5 y y y y ii) 5 6 5 6 0 ή y 8 y 8 5 6 0 y 8 y 8 y 6 y 5 iii) y y 0 y 0 4 y 0 y y y 9 y Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 65

y y y y y y y 5 iv) 5 4 y y,5 β y 9 5 6 β 4 β 4 9 9 β 4 β 6 0 0 9 0 β 4 β 4 β y,5 β y 5 δύντη y ή 9,5 β y y β 4 5 5 5 5 y 9 9 5. Αν η ημιζωή ενός ρδιενεργού υλικού είνι 0 χρόνι κι η ρχική ποσότητ είνι 0 γρμμάρι : i) ν βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική πόσβεση υτού ii) ν υπολογίσετε την ποσότητ που έχει πομείνει μετά πό 0 χρόνι iii) ν βρείτε μετά πό πόσ χρόνι θ έχουν πομείνει του ρδιενεργού υλικού. 5 56 γρμμάρι i) Επειδή η ποσότητ Q του ρδιενεργού υλικού κολουθεί τον νόμο της εκθετικής πόσβεσης έχουμε: Q t Q0 ct e Επειδή Q0 0 γρμμάρι είνι Q t ct 0 e Αφού η ημιζωή είνι t 0 0 χρόνι έχουμε: Q 0c c 0 0 0 c Q t 0 0 Q 0 0 e 0 e e 0 c c 0 e e Άρ t ct c t 0 0 Q t 0 e 0 e 0 0 ii) Η ποσότητ που θ έχει πομείνει μετά πό 0 χρόνι είνι: 0 0 Q 0 0 e 0 5 γρμμάρι Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 66

iii) Έστω ότι μετά πό t χρόνι θ έχουν πομείνει Είνι 5 5 56 56 5 56 t t Q t 0 0 0 0 t 00.Ισχύει ότι: i) ii) 5 iii) γρμμάρι. χρόνι. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ γι κάθε γι κάθε Σ Λ Σ Λ Σ Λ iv) ν χ κέριος Σ Λ v) ν χ κέριος Σ Λ.Ισχύει ότι: i) ν χ= Σ Λ ii) ν χ=0 Σ Λ iii) ν χ= Σ Λ.Ισχύει ότι: 0,8 y 0,8 ν<y Σ Λ i) ii),5,5 iii)e e y ν <y Σ Λ y ν >y Σ Λ 4.Δίνετι η f( ) 5 i) Hfέχει πεδίο ορισμού το R Σ Λ ii)hfέχει σύνολο τιμών το R Σ Λ iii)hfείνι γνησίως ύξουσ στο R Σ Λ iv) Ισχύει ότι f()>f(/5) Σ Λ v) Ισχύει ότι 999 000 f( ) f( ) Σ Λ Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 67

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν f()= a a είνι γνησίως ύξουσ, Q, ν βρεθεί το ώστε η συνάρτηση f()ν a.δίνετι η συνάρτηση f( ) a Α)Ν βρείτε τις τιμές του ώστε η f : i)ν ορίζετι σ όλο το R. ii)ν είνι γνησίως φθίνουσ στο R..Ν βρείτε γι ποιες τιμές του λ η συνάρτηση f Α)ορίζετι σε όλο το R Β)είνι εκθετική Γ)είνι γνησίως ύξουσ στο R Δ)είνι γνησίως φθίνουσ στο R. ( ) 4.Δίνετι η συνάρτηση:, f( ) 4,< 5 Α)ν σχεδιάσετε τη γρφική πράστση της f Β)ν γράψετε τ διστήμτ μονοτονίς της f Γ)ν βρείτε τ κρόττ της f. 5.Δίνοντι οι συνρτήσεις : f( ) κι g()= Ν ποδείξετε ότι : Α)η f είνι γνησίως ύξουσ στο R Β)η g είνι άρτι Γ)η h( ) f ( ) g ( ) είνι στθερή. Δ) η g έχει ελάχιστο στο 0. Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 68

6. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) + =8 δ) =5 η) e + = β) γ) 4 = 6 8 5 ε) 9 = ζ) 8 - =4 -χ ι) 5 7. Ν λύσετε τις εξισώσεις : i) 49 7 ii) iii) v) 4 8 iv) 4 9 7 vi) 9 9 e κ) 6 χ- = θ) 5 -χ+ = λ) =4 8+5 5 4 8.Ν λύσετε τις εξισώσεις: 4 i) ii)7 5 5 iii iv 4 )4 9 0 )9 6 0 v) 5 4 0 9.Ν λύσετε τις εξισώσεις: i) 5 ii)4 5 45 ) 5 5 iii iv)4 0.Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) 4-5 =4 γ) 5 5-4= 5 β) 5 - + 5 + -80=0 δ) e 0 + e =. Ν λύσετε τις εξισώσεις : 8 6 i) ii) 9 6 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 69

iii) 0. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) 4 8 = 8 β) 5-7 55 +57 + =0 γ) 5 = +4 δ) + - = - + +.Ν λύσετε τις εξισώσεις: i) e e e 0 ii ) 8 iii) 4 0 iv)4 9 56 4. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) 5 - =0-5 + β) + 5 =00 γ) + 6 - - =9 δ) 7 + -5 + = +4-5 + 5. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) - +5-6 +5-5 =5-4 + -4 β) 5 - -= 5 γ) 5 - -5 - = δ) + =9 χ- ε)7 + +4 + =7 +4 +4 + ζ) -4 +65 - = - +5 - η) 5 + + -5 + = +4 6. Ν λυθούν οι εξισώσεις. ) 4-54 +4=0 β) - γ) 4 - = δ) 5-65 +5=0 = 7.Ν λυθούν οι εξισώσεις: Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 70

i) 6 ii iii iv v 4 ) 4 0 )5 70 5 0 )4 6 69 0 )7 5 8.Ν λύσετε τις εξισώσεις: 5 ) i 5 4 ii) 9. Ν λυθούν οι εξισώσεις : ) + + +.+ =4094 β) 6 6 4 6 6..6 =6 8 γ) 4. + =7 0. Ν λυθούν οι εξισώσεις : ) 5 ημχ-ημχ = β) ημχ +8 -ημχ =6 γ) 4 ημ χ +4 συνχ =5 δ) ημχ +7 -ημχ = ε) e συνχ + e -συνχ =. Ν λυθούν οι νισώσεις: ) 7-5 < ε) > β) 4 ++5 < ζ) 5 5 +7 > 5 - γ) 5+ > δ) 7 7 η) 75 >5 +6 > θ) 6-74 +6 >0. Ν λύσετε τις νισώσεις : i) 4 9 8 0 9 4 0 e e 0 ii) iii).ν λύσετε τις νισώσεις: Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 7

i 7 45 )5 5 ii iii ) 9 ) 4 8 iv)9 7 4.Δίνετι η εξίσωση: f( ) Α)Ν βρείτε τη μέγιστη τιμή της f. Β)Ν δείξετε ότι 0 0 f (0) Γ)Ν λύσετε την εξίσωση 0 0 f (0) 5. Ν λύσετε την νίσωση : 8 8 7 6. Ν λύσετε την νίσωση : ημ συν 4 4 5. 7.Δίνετι η συνάρτηση f ( ) Α)Ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ Β)ν λύσετε την νίσωση: 8. Ν λυθούν τ συστήμτ : ) +5 y =4 β) - y =7 9 5 y =56 4-9 y =75 γ) 4 y- = δ) y =54 + y-4 =7 y =4 ε) - y+ =5 ζ) 4 - y- =8 y - - = - y-4 = 9.N λυθούν τ συστήμτ: ) 4 8 y =56 β) 5 4 y+ =9 644-8 y =0 5 - +4=69 γ) =8 y+ 9 y = -9 5 7 y 5 = 7 5 0. Ν λυθούν τ συστήμτ: Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 7

y y 5 50 9 648 i) ii) y y 5 40 4 4 y y 8 iii) iv) y y 4 9 7 v) y 8 y y 8 4 y 5 vi) 4 5 y 9.Ν λύσετε τ συστήμτ: y 9 5 7 0 y 5 4 i) ii) 5 iii) y y 4 y 8 9 5 6. Δίνετι η συνάρτηση f()=e. Δείξτε ότι γι κάθε, R με ισχύει f( )+f( )>f.. Αν η ημιζωή ενός ρδιενεργού υλικού είνι 8 χρόνι, δείξτε ότι η συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική πόσβεση είνι:q(t)=q 0 t 8. ln Π.4. Δίνετι η f ln i) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Ν λυθεί η εξίσωση f Π.5. Δίνετι η συνάρτηση : συν 4ημ f 4 i) Γι ποιες τιμές του η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ ii) Ν λυθεί η εξίσωση f ν 0 4 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 7

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ.Δίνετι η γρφική πράστση της συνάρτησης f( ) με. Α) Στο ίδιο σύστημ ξόνων ν χράξετε τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων : g ( ) κι h()= μεττοπίζοντς κτάλληλ τη γρφική πράστση της συνάρτησης f. Β)Ποι είνι η σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της g κι ποι της γρφικής πράστσης της h; 8 4.) Δίνετι η συνάρτηση a : 0, με a a,0,,. Ν προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίς της συνάρτησης f () a ιτιολογώντς την πάντησή σς. Β)Ν λύσετε την νίσωση.δίνετι η συνάρτηση : f ( ) a γι κάθε κι,β Η γρφική πράστση της συνάρτησης f διέρχετι πό τ σημεί Α(,) κι Β(,) Α)Ν ποδείξετε ότι =5 κι β=-7 Β)Ν βρείτε το κοινό σημείο της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f με τον άξον y y Γ)ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο f Δ)ν λύσετε την νίσωση 5 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 74

ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ Γενικά η λύση της εξίσωσης : () όπου 0 με κι θ 0 είνι μονδική, φού η εκθετική συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη κι το θ νήκει στο σύνολο τιμών της. Την μονδική λύση της (), ονομάζουμε λογάριθμο του θ ως προς βάση κι τη συμβολίζουμε : f θ log θ Δηλδή ότν είνι 0 με κι θ 0, ισχύει η ισοδυνμί : θ log θ Σύμφων με τ πρπάνω, μπορούμε ν διτυπώσουμε ότι : Ο λογάριθμος με βάση του θ log θ, είνι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει ν υψώσουμε το, γι ν πάρουμε το θ. Χρκτηριστικά είνι τ πρδείγμτ : log9 διότι 9 6 log 4 διότι 6 6 4 4 log0 0,000 4 διότι 0 0,000 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 75

log 9 4 διότι 4 9 Σύμφων με τον ορισμό που δώσμε, ν 0 με γι κάθε κι γι κάθε θ 0, έχουμε: log Ακόμη επειδή κι 0 κι log θ κι, ισχύουν : log 0 θ log Μη ξεχνάτε: θ Ιδιότητες των λογρίθμων. Γι 0 με, γι οποιουσδήποτε θ,θ,θ 0 κι γι κάθε k ισχύουν:,. log θ θ log θ log θ Απόδειξη: Έστω ότι είνι : log θ κι log θ y () πό τις οποίες προκύπτουν : y θ κι θ Πολλπλσιάζοντς υτές κτά μέλη, έχουμε: y y θ θ θ θ Από την πρπάνω σχέση, σύμφων με τον ορισμό του λογρίθμου, έχουμε : log θ θ y πό την οποί λόγω των ισοτήτων (), προκύπτει: log θ θ log θ log θ θ. log log θ log θ θ Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 76

Η πόδειξη γίνετι όπως κι στην προηγούμενη ιδιότητ, με συνέπει ν έχουμε: θ log log θ log θ θ k. logθ Απόδειξη: k log θ Έστω ότι : Αυτό σημίνει: log θ () k k θ θ Σύμφων με τον ορισμό, έχουμε: k log θ k με συνέπει πό την (), ν προκύπτει: log θ k k log θ Δεκδικοί λογάριθμοι. Ότν η βάση του λογρίθμου ενός θετικού ριθμού θ είνι το 0, τότε λέμε ότι έχουμε τον δεκδικό λογάριθμο του θ ή πλά τον λογάριθμο του θ κι συμβολίζουμε: Φυσικά ισχύει η ισοδυνμί: logθ logθ 0 θ Χρκτηριστικά είνι τ πρδείγμτ: log000 διότι 0 000 4 log0,000 4 διότι 0 0,000 Φυσικοί λογάριθμοι Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 77

Είνι γνωστός ο ριθμός e κι η χρησιμότητ του στην περιγρφή διφόρων φινομένων. Εξίσου χρήσιμοι είνι κι οι λογάριθμοι με βάση τον e, που ονομάζοντι φυσικοί ή νεπέριοι λογάριθμοι κι γι κάθε θετικό ριθμό θ, συμβολίζοντι ln θ. Δηλδή έχουμε: ln θ e θ Λογριθμική συνάρτηση Θεωρούμε τον 0,. Γνωρίζουμε ότι γι κάθε 0, ορίζετι ο ο ριθμός με τύπο: log log. Αυτό σημίνει ότι σε κάθε 0, ντιστοιχίζετι, επομένως έχουμε τη συνάρτηση : f : 0, f log Η συνάρτηση υτή ονομάζετι λογριθμική συνάρτηση με βάση το. Επειδή ισχύει η ισοδυνμί : y log y () Αν είνι γι τη συνάρτηση y log έχουμε ν πρτηρήσουμε ότι: Έχει πεδίο ορισμού το διάστημ : A 0, Έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πργμτικών ριθμών. Έχει γρφική πράστση που τέμνει τον άξον στο σημείο A,0 κι έχει σύμπτωτο τον ρνητικό ημιάξον του yy. Είνι γνησίως ύξουσ, δηλδή ισχύει: ν τότε ισχύει log log Όπως εμφνίζετι κι στο σχήμ που κολουθεί, είνι log 0 ν 0 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 78

κι log 0 ν Αν είνι 0 τότε γι τη συνάρτηση y log, έχουμε ν πρτηρήσουμε ότι: Έχει πεδίο ορισμού το διάστημ : A 0, Έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πργμτικών ριθμών. Έχει γρφική της πράστση τέμνει τον άξον στο σημείο κι έχει σύμπτωτη τον θετικό ημιάξον του yy. A,0 Είνι γνησίως φθίνουσ, δηλδή ισχύει: ν, τότε είνι log log. Όπως εμφνίζετι κι στο σχήμ, έχουμε: log 0 ν 0 κι log 0 ν Επειδή η λογριθμική συνάρτηση είνι γνησίως μονότονη, ισχύει:, τότε είνι κι log log ν Από την συνεπγωγή υτή με την πγωγή σε άτοπο, κτλήγουμε στην ισοδυνμί: y log log y Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 79

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν ποδείξετε ότι : i) log 4 log 0 log ii) ln 4 ln 7 ln 6 ln i) 80 log 4 log 0 log log 4 0 log log80 log8 log log0 8 ii) ln 4 ln 7 ln6 ln 4 ln 7 ln6 ln 4 ln 7 ln6 6 ln ln ln 6 ln ln ln 6 ln ln 9 ln 6 8 ln 9 ln 6 ln8 ln 6 ln ln 6. Έστω η συνάρτηση 5 f ln 5. i) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ii) Ν δείξετε ότι η f είνι περιττή. i) Πρέπει 5 0 5 5 0 5 5 5 Άρ A 5,5 ii) Γι κάθε A είνι ) A Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 80

5 5 5 5 β) f ln ln ln ln f 5 5 5 5 Άρ η f είνι περιττή... Ν λύσετε τις εξισώσεις : i) log log ii) log log iii) log log log 4 log ln iv) ln 0 i) Πρέπει: 0, (). Η δοσμένη σχέση γράφετι : log log log: 0 0 (δεκτή). 0 ii) Πρέπει: 0, (). Η δοσμένη σχέση γράφετι : log log log log0 log log: log log 0 0 0 0 9 9 (δεκτή). 0 0 0 0, iii) Πρέπει: 0 4 0 4 Η δοσμένη σχέση γράφετι : Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 8, 4 log log log 4 log log log (). 4

4 0 Οι ρίζες της () είνι : (δεκτή) ή 4... 6 5 0 5 6 (δεκτή). () iv) Πρέπει ν είνι: 0 0, κι η δοσμένη γράφετι: ln 0 (πορρίπτετι) ln ln ln ln ln 4 4 (δεκτή) 4. Ν λύσετε τις εξισώσεις : i) log0 log5 log 4 ii) log 4 4 log iii) log 9 i) Πρέπει: log log4 log4 0 4 0 4 log 4 log log 4 log log 4 Η δοσμένη εξίσωση γράφετι: 0 0 log0 log 5 log 4 log log 4 log log 5 5 0 0 7 8 4 άρ 4 (δεκτή) 7 6 άρ (άτοπο) * (*) Είνι : log 46 log 4 log 4 ii) Πρέπει: 0 log log log log log log () log log 0 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 8

Η δοσμένη εξίσωση γράφετι : log 4 4 log log 4 4 log log log 4 4 log 4 4 4 4 4 4 0 4 0 5 8 4 άρ 4 (δεκτή) 5 άρ (άτοπο) * (*) Είνι : log 6 log log 5. Δίνοντι οι συνρτήσεις : f ln e e κι g ln ln e i) Ν βρείτε τ πεδί ορισμού τους ii) Ν λύσετε την εξίσωση: f iii) Ν λύσετε την νίσωση : f g g (ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00) i) Η συνάρτηση f ln e e ορίζετι γι τους πργμτικούς ριθμούς γι τους οποίους ισχύει: e e 0 e e 0 Θέτοντς e y 0, η προηγούμενη νίσωση γράφετι : y y 0 () Πρτηρούμε ότι η δικρίνουσ του τριωνύμου είνι : 4 4 8 0 Επομένως η () ισχύει κι κάθε y. Άρ κι η νίσωση : e e 0 ισχύει γι κάθε. Αυτό σημίνει ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είνι : A Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 8

Η συνάρτηση g ln ln e ορίζετι γι τους πργμτικούς ριθμούς γι τους οποίους ισχύει : 0 e 0 e e e Δεδομένου ότι η συνάρτηση e είνι γνησίως ύξουσ, προκύπτει: 0 Άρ το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g, είνι : A 0, ii) Από τ πεδί ορισμού των συνρτήσεων f,g προκύπτει ότι οι ρίζες της εξίσωσης : f g () πρέπει ν περιέχοντι στο A 0,, φού πρέπει ν έχουν νόημ κι οι δύο συνρτήσεις. Πρτηρούμε ότι ισχύουν οι ισοδυνμίες : f g ln e e ln ln e ln e e ln e e e e e 5e 6 0 e 5e 6 0 Θέτοντς e ω 0, προκειμένου ν λύσουμε την προηγούμενη, ρκεί ν λύσουμε την εξίσωση : ω 5ω 6 0 της οποίς οι ρίζες είνι : ω ή ω Επομένως οι ρίζες της (), είνι : Γι Γι ω e ln ω e ln iii) Πρτηρούμε ότι γι κάθε 0 ισχύουν οι ισοδυνμίες: f g ln e e ln e ln e e ln e e e e Η e είνι γνησίως ύξουσ. Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 84

e e 9e 9 8e 4 8e 6e 6 0 e e 0 Θέτοντς e ω 0, έχουμε την νίσωση : ω ω 0 4 () Η δικρίνουσ του τριωνύμου ω ω 4 είνι : Επομένως έχει τις ρίζες: ω, Άρ οι λύσεις της (), είνι : 4 4 4 ω ω ω Συνεπώς οι τιμές του που ικνοποιούν την νίσωση f g είνι : e ln ln ln ln Η συνάρτηση ln είνι γνησίως ύξουσ Επειδή πρέπει 0, συνεπάγετι ότι οι λύσεις της νίσωσης : f g είνι : 0 ln 6. Ν λυθεί η νίσωση: log log 5 (). Οι ρίζες της νίσωσης (), πρέπει ν ικνοποιούν τις συνθήκες : Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 85

0 ή 5 0 5 5 5 Γι τον προσδιορισμό των λύσεων του πρπάνω συστήμτος, μς βοηθά η ευθεί των πργμτικών ριθμών: - 5 Άρ οι λύσεις του πρπάνω συστήμτος, επομένως κι οι τιμές του που μπορούν ν ικνοποιούν την (), είνι : ή 5 () Η βάση του λογάριθμου είνι 0, άρ η λογριθμική συνάρτηση είνι ύξουσ, με συνέπει ισοδύνμ της () ν έχουμε : 5 6 0 ή Από τις λύσεις υτές θ κάνουμε δεκτές εκείνες που ικνοποιούν κι τις συνθήκες (). Η επιλογή θ γίνει κι πάλι με την βοήθει των πργμτικών ριθμών: - - 5 Επομένως οι λύσεις της νίσωσης είνι : ή 5 log 7.i) Ν υπολογίσετε τον ριθμό 00 log log log ii) Ν λύσετε την εξίσωση: 00 0 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 86

i) Έχουμε: log log log log log 00 0 0 0 0 ii) Πρέπει 0, οπότε η δοσμένη σχέση γράφετι: i) log log log log log log log 00 0 0 0 () Θέτουμε στην σχέση () log t, οπότε η επιλύουσ της () είνι : t t 0 () Η δικρίνουσ του τριωνύμου της σχέσης () είνι : 4 4 6 κι οι ρίζες είνι : t 4 6 4 (Η τιμή 4 δίοτι Έτσι είνι : t log log 0 0. t 0 ) t πορρίπτετι 8. Ν λύσετε την εξίσωση : log 00. Πρέπει 0 Θέτουμε t, οπότε η επιλύουσ της δοσμένης εξίσωσης είνι : log t log00 t 00t log t 00t log t log t 00 log t t log t log t log t log t log t log t log t 0 () Θέτουμε log t ω, οπότε η επιλύουσ της () είνι η : ω ω 0 () Το τριώνυμο της σχέσης () έχει δικρίνουσ : 4 8 9 κι ρίζες: ω 4, οπότε έχουμε τις λύσεις : Αν ω log t t 0 00 99 (δεκτή) Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 87

9 Αν ω log t t 0 t 0 0 0 (δεκτή) 0. Ν βρείτε τον θετικό ριθμό ώστε ν ισχύει: 5 ν log log log... log ν 5 ν Είνι : log log log... log ν log ν 0 5 ν 5 ν ν 5... ν ν ν ν 0 0 00 Σημείωση Υπολογισμός του θροίσμτος : 5... ν () Αν ο όρος ν κτέχει την κ τάξη, τότε: κ ω ν κ ν κ ν κ ν κ κ Δηλδή το πλήθος των όρων στο άθροισμ () είνι ν. ν Άρ : 5... ν ν ν ν ν. logy log 0.i) Ν ποδείξετε ότι y με, y 0. log y log y 0 ii) Ν λύσετε το σύστημ: log y iii) Αν οι λύσεις του ii) είνι ρίζες της εξίσωσης: * log log log θ 0 0 ν βρείτε το θ. i) ος Τρόπος log y Έστω ότι : log y log y log log log y log y log log log y (ληθής). ος Τρόπος Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 88

Είνι : log log y log y log y logy logy logy log y log y y y y. ος Τρόπος Έστω ότι : t log t 0 () Τότε: log y 0 y () () log y t t 0 0 () log t t y 0 0 log y y log ii) Πρέπει 0 κι y 0 log y log log y log y i) log y y 0 0 0 0 () log y log y log0 y 0 Η σχέση () γράφετι : y 00 () () log 00 log y log00 log log log 0 0 0 0 log log0 log log log log log 0 log 0 log 0 Η σχέση () γι 0 δίνει : y 0. Άρ, y 0,0. iii) Γι 0 η δοσμένη εξίσωση γράφετι: log log 00 0log θ 0 0 log log 00 0log θ 0 log log 00 0log θ 0 log 00 0log θ 0 log0 00 0log θ 0 0 0log θ 0 log θ θ 0 θ 00 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 89

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ a.αν 0 κι θ>0 ισχύει η ισοδυνμί log a a Σ Λ.Αν 0 ισχύει ότι:log a Σ Λ.Αν 0 ισχύει ότι: a log a Σ Λ 4.Αν 0 ισχύει ότι: loga Σ Λ 5.Αν 0 ισχύει ότι: log a Σ Λ 6.Ισχύει ότι i) log ln eγι κάθε χ>0 Σ Λ ii) log a a a a ln e γι κάθε χ>0 Σ Λ iii) log0 Σ Λ iv) log e Σ Λ 0 v) log log e e Σ Λ 7.Αν <yτότε log<logy Σ Λ 8.Αν <yτότε ln>lny Σ Λ 9.Αν <yτότε log log y Σ Λ 0.Αν <y τότε log log y Σ Λ Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 90

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Δείξτε ότι: ) log +log-log=log β) log 6+ log8 + 4 log 8=log+log. Ν ποδείξετε ότι : 8 4 56 i) log log log 7 7 9 ii)log log 6 log 5log 0 log 40 log 0 iii) log 50.Ν ποδείξετε ότι: log i)0 5 log 4 ii)4 6 iii iii) iv log5 4 )5 00 ln 9 ln 4 ln 5 log8 )7 8 ln 6 ln 5 4.Δείξτε ότι: log+log( +)+log(+ )+log(- )=log 5.Δείξτε ότι: i) log log log log log ii) ln ln 6 ln 6 0 iii) log log 6 7 7 6. Δείξτε ότι: ) log00=log+log5 log 5 log 7 log β) log5 log 8 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 9

7. Δείξτε ότι οι ριθμοί, a,β με,β>0 είνι διδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ότν κι μόνο ότν οι ριθμοί log, log είνι διδοχικοί όροι ριθμητικής προόδου. a,logβ 8. Ν προσδιορίσετε την εκθετική συνάρτηση f()= κι την λογριθμική συνάρτηση g()=log χ, των οποίων οι γρφικές πρστάσεις περνούν πό το σημείο ) (,9) β) (-4, 6 ) γ)( 9. Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού των συνρτήσεων : ) f ln β) f log γ) 7,-) δ) (-5,-6) f ln 5 δ) f ln 8 ε) f ln e στ) e f ln e 0.Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) log 00 ii)ln+ ln6 ln( ) ln0 iii) log log iv) ln ln 4 v) log 4 log log 4 log. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) log( -)=log(+5) β) log( +)-log(+)=log γ) log(-)+log(-)=log δ). Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) log-log4=log(+)- log(+4)=-log β) log( +6)-log=log5 γ) log(-)=log-log δ) log9+log=log+log ε) ln+ln(+5)=ln50.ν λύσετε τις εξισώσεις: Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 9

)ln ln 5 )ln ln 0 )ln 4 ln ln )ln ln )ln ln ln 5 ln 4. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) β) log(+)=-log log(+)+log 5 =+log 5. Ν λύσετε τις εξισώσεις : ) ln ln β) ln ln ln 4 γ) log log δ) log 9 log ε) log log log 6. Ν λύσετε τις εξισώσεις : ) log 0 β) log log 0 γ) 4ln 0 δ) log 5log 0 7.N συγκριθούν οι ριθμοί: ) log(-4) κι log(-) β) log(+ ) κι log. 8. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ) log + 5-log = β) log + 4 log =5 γ) log- = 00 δ) +log =0 ε) log- =00 9. Ν λύσετε τις εξισώσεις : ) ln ln ln 4 e 0 β) γ) ημ ημ ημ συν ημ ln ln ln ln 5 6 4 0 δ) 5 5 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 9

0.Δίνετι το πολυώνυμο P 4 Α)Ν κάνετε τη διίρεση του P() με το Β)Ν λύσετε την εξίσωση Ρ()=0 Γ)Ν λύσετε την εξίσωση : ln 4ln ln 8.Ν λύσετε τις νισώσεις: i) log ii)log 0 iii) log 5 iv)ln ln 6 0.Ν λύσετε τις νισώσεις: i) log log ii) ln ln ln 7 iii) ln ln ln ln iv )log log 0. Ν λυθούν οι νισώσεις : ) log+ <0 5 β) log[log( -4-)]0 γ) log[log( -)]>0 δ) log- 0 6 4. Ν λύσετε τις νισώσεις : ) log log β) ln ln γ) ln 5ln 6 0 δ) ln ln 5. Ν λυθούν τ συστήμτ: ) log-logy=log β) log+logy= log(-y)= 9 -y y =8 γ) logy =00 δ) log +5 logy =4 y=000 9 log -5 logy =56 6. Ν λυθούν τ συστήμτ: ) log-logy=log β) log+logy= Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 94

log(+y)= log -logy 4 = γ) +y=65 δ) log(y)= log+logy= log-logy= ε) log + logy = ζ) log - logy = 9 log -4 logy =77 4 log +9 logy =5 7. Ν λυθούν τ συστήμτ: log y 000 ) log log y 4 β) y y 7 4 6 4 log log y 8. N λυθεί η εξίσωση: log[log(0 - +)+]=log+log 9. ) Αν,y>0,δείξτε ότι logy =y log β) Ν λυθεί το σύστημ: logy +y log =0 log = y 0. Ν λυθεί η εξίσωση: log log8 log78 log.δίνετι η συνάρτηση : f ( ) alog 4 8log log 00 γι την οποί ισχύει f(0)=5. Α)Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β)Ν ποδείξετε ότι = Γ)Ν βρείτε τ κοινά σημεί της. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i)log 8 6 ii)4 iii)log 8 iv) log 9 log C f με τον άξον. Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 95

.Δίνοντι οι συνρτήσεις: f ( ) ln e κι g ln Α)Ν βρείτε τ πεδί ορισμού των συνρτήσεων fκι g. Β)Ν λύσετε τις νισώσεις f()>0 κι g()<0 Γ)Ν συγρίνετε τους ριθμούς f (ln) κι g e Δ)Ν λύσετε την εξίσωση f f g e 4.Δίνετι η συνάρτηση f ( ) log Α)Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f Β)Ν υπολογίσετε τον ριθμό ( ) ( ) log 6 Γ)Ν λύσετε την εξίσωση f f log 6 00 44 9 00 4 0 5.Δίνετι η συνάρτηση f e e ( ) ln Α)Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β)Ν λύσετε την εξίσωση f()=0 log Π.6.i) Ν ποδείξετε ότι: 00 log ii) Ν λύσετε την εξίσωση: log log 00 0 Π.7 Δίνοντι οι συνρτήσεις f ln e κι g ln 5e. i) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού των f κι g ii) Ν λύσετε την εξίσωση f g Π.8. Α. Ν λυθούν οι νισώσεις i) ln ln 0 ii) ln ln 0 Β. Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της f ln ln ln ln Π.9. Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο f log 4 log i) Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της f ii) Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της δεν τέμνει τον άξον ψψ iii) Ν λύσετε την εξίσωση f 0 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 96

Π.40. Α. Δίνοντι οι συνρτήσεις: f ln e e κι g ln ln e. Β. Ν λύσετε την εξίσωση f g. Π.4. Ν λυθεί η εξίσωση : log log 4. ν Π.4. Δίνετι η κολουθί ν, 0 i) Ν υπολογιστεί το άθροισμ Sν ln ln... ln ν ii) Ν λυθεί η εξίσωση Sν ν ln Π.4. Ο τρίτος όρος μις ριθμητικής προόδου ( ν ) είνι log5 κι η διφορά της είνι ω log5. i) Ν δείξετε ότι ο πρώτος όρος είνι.605 με τη διφορά ω. ii) Ν υπολογίσετε το άθροισμ A... 9. Π.44. Δίνετι η συνάρτηση f ln ln, όπου πργμτικός ριθμός. i) Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. ii) Ν βρείτε σε ποι σημεί η συνάρτηση f τέμνει τους άξονες κι. iii) Ν λύσετε την νίσωση f f e. yy ln Π.45. Δίνετι η συνάρτηση f ln 5. i) Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της ii) Ν λυθεί η εξίσωση f iii) Αν 6 ν λυθεί η νίσωση f Π.46. Δίνετι η συνάρτηση : f log 4 8. i) Ν βρείτε γι ποιες τιμές του ορίζετι η συνάρτηση. ii) Ν λύσετε την εξίσωση: f log 7 log. Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 97

Π.47. Α. Ν λυθεί το σύστημ : 8 y 9 y 9 Β. Ν λυθεί η νίσωση : log 6 log 4. Π.48. Δίνοντι οι συνρτήσεις: f log κι g log log Α. Ν βρείτε τ πεδί ορισμού των f Β. Ν λύσετε την εξίσωση f g. κι g. Π.49. Αν f ln ln, ν λυθεί η εξίσωση 0 f f. Π.50. Ν βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων log0 log5 log 4 κι ln log e 0. 5 Π.5. Δίνετι η ριθμητική πρόοδος ν με ln 4 κι ln 4. i) Ν βρείτε την διφορά ω της προόδου. ii) Ν ποδείξετε ότι το άθροισμ S ν των ν πρώτων όρων της, δίνετι πό τον τύπο Sν ν ln. Π.5. Α. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο f log 5 6 log Β. Ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης Γ. Γι λ = 5, ν λύσετε την νίσωση e λ e 6 0. λ 0. Π.5. Α. Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ln 5ln 6. Β. Ν λυθεί η εξίσωση : 5 00 005 log log log... log log 00. Π.54. Δίνετι η e f ln e 5. i) Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της κι ν λυθεί η εξίσωση f ln. ii) Ν λυθεί η νίσωση f 0. Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 98

Π.55. Έστω f ln g 5, g 5 i) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii) Ν βρείτε τ σημεί τομής της γρφικής πράστσης της f με τους άξονες. 6 iii) Ν λυθεί στο η εξίσωση : g g 4 g 6...g 0,04. Π.56. Α. Ν λυθεί η εξίσωση : log log log. Β. Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : f 4 log 4 5. Π.57. Έστω η συνάρτηση f log 5 5 4 κι η ευθεί ε : y log. Α. Ν βρείτε τις πργμτικές τιμές του γι τις οποίες ορίζετι η f. Β. Ν βρείτε τ κοινά σημεί της γρφικής πράστσης της f κι της ευθείς (ε Π.58. Έστω η f με f log 0, i) Ν ποδείξετε ότι f log γι κάθε. ii) Ν ποδείξετε ότι f log log. iii) Ν λύσετε την εξίσωση: f. Π.59. Ν λύσετε την εξίσωση : 00 log00 0 8 0. Π.60. Δίνετι η συνάρτηση : f ln. Α. i) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii) Ν λύσετε την εξίσωση: f ln 4. Β. Ν λυθεί η νίσωση : 6 004 005 005 004 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 99

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ.Δίνετι η συνάρτηση : f ( ) ln( ), > Α)ν χράξετε τη γρφική πράστση της f μεττοπίζοντς κτάλληλ τη γρφική πράστση της συνάρτησης g( ) ln Β)Σε ποιο σημείο τέμνει η γρφική πράστση της f τον άξον χ χ ; Ν ιτιολογήσετε την πάντησή σς; Γ)ποι είνι η σύμπτωτή της C f.α)ν βρείτε τις τιμές του χ γι τις οποίες ορίζετι η πράστση: A ln ln( 6) Β)Ν λύσετε την εξίσωση: ln ln( 6) ln 49.Ν λύσετε την : ln 8 ln 7 Α)εξίσωση Β)νίσωση: ln 8 ln 7 4.Δίνετι η συνάρτηση f e e ( ) ln. Α)Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β)Ν λύσετε την εξίσωση f( ) 0 5.Δίνετι η συνάρτηση : f ( ) ln Α)Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β)Ν λύσετε την εξίσωση f( ) 0 6.Δίνοντι οι συνρτήσεις: f ( ) ln( 4) κι g()=ln+ln4 Α)Ν βρείτε τ πεδί ορισμού των συνρτήσεων Β)Ν λύσετε την εξίσωση f ( ) g( ) 7.Δίνετι η συνάρτηση f ( ) ln( ) Α)Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β)Ν βρείτε τ σημεί τομής (ν υπάρχουν) της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f με τους άξονες κι y y. Γ) Ν πρστήσετε γρφικά τη συνάρτηση f μεττοπίζοντς κτάλληλ τη γρφική πράστση της y ln 8.Δίνοντι οι συνρτήσεις : f ( ) ln e κι g()=ln Α)Ν βρείτε τ πεδί ορισμού των συνρτήσεων f κι g. Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 00

Β)Ν λύσετε τις νισώσεις: ( ) Γ)Ν συγκρίνετε τους ριθμούς f 0 κι g()<0 f (ln ) κι g e Δ)ν λύσετε την εξίσωση: f ( ) f ( ) g e 9.Δίνετι η συνάρτηση : f ( ) ln e Α)Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β)Ν λύσετε την εξίσωση f ( ) ln Γ)Ν λύσετε την νίσωση : f ( ) ln 0.Δίνετι η συνάρτηση f ( ) ln( ) Α)Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. f ( e ) f e ln Β)Ν λύσετε την εξίσωση : Γ)Ν λύσετε την νίσωση: f e f e ( ) ln 4.Δίνετι η συνάρτηση: f( ) log 5 Α)Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β)Ν λύσετε την εξίσωση f( ) log log 7 Γ)Ν λύσετε την νίσωση: f( ) log log 7.Δίνετι η συνάρτηση f ( ) log( ) Α)Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης log 6 Β)Ν υπολογίσετε τον ριθμό 00 ( ) log 6 Γ)Ν λύσετε την εξίσωση : 4 4 f f 9 00 4 0 ln( ).Δίνετι η συνάρτηση f( ) ln( 5) Α)Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Β)Ν λύσετε την εξίσωση f( ) Γ)Αν >6, ν λύσετε την νίσωση f( ) 4.Δίνετι η συνάρτηση f ( ) ln( e ) Α)Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Β)Ν λύσετε την νίσωση : f ( ) f ( ) Γ)Ν λύσετε την εξίσωση : f ( ) f ( ) στο 0, Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 0

5.Δίνετι το πολυώνυμο : P( ) 5 8 a, Α)Αν το πολυώνυμο P() έχει πράγοντ το -, ν βρείτε το. Β)Γι =-8 ν λύσετε την εξίσωση Γ)Ν λύσετε την εξίσωση : P ( ) 0 ln 8 ln 6.Δίνετι το πολυώνυμο : P( ) a 6,β Α)Ν υπολογίσετε τις τιμές των κι β, ώστε το πολυώνυμο P() ν έχει πράγοντ το + κι η ριθμητική τιμή του γι = ν είνι ίση με. Β) Γι =- κι β= i) ν γράψετε την τυτότητ της Ευκλείδεις διίρεσης του πολυωνύμου P() με το -. ii) ν λύσετε την νίσωση : P( ) 4 iii) Ν λύσετε την νίσωση: P(ln ) ln 4 5 7. Σε έν πείρμ εργστηρίου ο ριθμός των βκτηρίων δίνετι πό τον τύπο: P( t) 00e ct, όπου t o χρόνος σε ώρες πό την ρχή του πειράμτος. Σε μι ώρ ο ριθμός των βκτηρίων ήτν 8. (Δίνετι ln,64 0,5 κι ln0,) Α)Ν βρείτε τον ριθμό των βκτηρίων ότν ξεκίνησε το πείρμ Β)Ν ποδείξετε ότι c= Γ)Ν βρείτε το χρονικό διάστημ κτά το οποίο ο ριθμός των βκτηρίων είνι μεγλύτερος πό το δεκπλάσιο κι μικρότερος πό το εκτοντπλάσιο της ρχικής τους τιμής. 8.Σε μι περιοχή της ευρωπϊκής ένωσης, λόγω των μέτρων που πάρθηκν, ο πληθυσμός των γροτών (σε χιλιάδες) μειώνετι ct σύμφων με τον νόμο της εκθετικής μετβολής ( Q() t Q0e ). Ο ρχικός πληθυσμός ήτν 8 χιλιάδες γρότες κι μετά πό δύο χρόνι έμεινε ο μισός. Α)Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση που δίνει τον πληθυσμό μετά πό t ln χρόνι είνι : ( ) 8 Β)Ποιος θ είνι ο πληθυσμός των γροτών ύστερ πό τέσσερ χρόνι; Ν ιτιολογήσετε την πάντησή σς. Γ)Πόσος χρόνος θ έχει περάσει ότν ο γροτικός πληθυσμός της περιοχής θ έχει μειωθεί στους χίλιους γρότες; Ν ιτιολογήσετε την πάντησή σς. Q t e t Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 0

9.Μι ποσότητ ρδιενεργού υλικού (σε κιλά) θάβετι κι με την πάροδο του χρόνου t (σε έτη) μειώνετι κολουθώντς τον νόμο της ct εκθετικής μετβολής ( Q() t Q0e ). Α)Αν γνωρίζουμε ότι μετά πό δύο χρόνι έχει πομείνει το ρχικής ποσότητς, ν ποδείξετε ότι Q() t Q 0 Β)Αν μετά πό τέσσερ χρόνι η ποσότητ που έχει πομείνει είνι κιλό, ν βρείτε την ρχική ποσότητ που θφτηκε. Γ)Ν βρείτε μετά πό πόσ χρόνι η ποσότητ που θ πομείνει θ είνι 8 κιλά. 0.Σε έν νοιχτό δοχείο υπάρχουν 0 lt ενός υγρού. Το υγρό εξτμίζετι έτσι, ώστε ο όγκος του ν μειώνετι κτά 5% νά βδομάδ. Α)Ν βρείτε την ποσότητ του υγρού που υπάρχει στο δοχείο στο τέλος της ης κι στο τέλος της ης εβδομάδς. Β)Ο όγκος του υγρού μετά πό t εβδομάδες δίνετι πό τη συνάρτηση: t V () t V0a, όπου κι στθεροί πργμτικοί ριθμοί. Ν βρείτε τους ριθμούς V 0 κι. Γ)ν βρείτε πότε ο όγκος του υγρού που υπάρχει στο δοχείο είνι μικρότερος πό το μισό της ρχικής του τιμής. V 0 t της Efstathioupetros.weebly.com Σελίδ 0