ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ KΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ιπνεπιστηµικό ιτµηµτικό Πρόγρµµ Μετπτυχικών Σπουδών «Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές Γεώργιος Κυρικόπουλος Επιβλέπων: ιονύσιος Λάππς, Ανπληρωτής Κθηγητής Μθηµτικού Τµήµτος ΕΚΠΑ Αθήν Μάιος 7
Η προύσ ιπλωµτική Εργσί εκπονήθηκε στ πλίσι των σπουδών γι την πόκτηση Μετπτυχικού ιπλώµτος Ειδίκευσης που πονέµει το ιπνεπιστηµικό ιτµηµτικό Πρόγρµµ Μετπτυχικών Σπουδών «ιδκτική κι Μεθοδολογί των Μθηµτικών» Εγκρίθηκε την πό Εξετστική επιτροπή ποτελούµενη πό τους: Ονοµτεπώνυµο Βθµίδ Υπογρφή ) ιονύσιος Λάππς (Επιβλέπων Κθηγητής) Αν. Κθηγητής ) Ευστάθιος Γιννκούλις Αν. Κθηγητής 3) Πνγιώτης Σπύρου Επ. Κθηγητής
Ωστόσο, δεν είχ µπροστά µου µι πρέκκλιση πό το Νόµο, διότι, συν τοις άλλοις, ο Νόµος την προέβλεπε, δεν ήτν πρβίση ενός χρυσού µέτρου ώστε το θύµ ν γίνει λιγότερο θυµστό. Ήξερ ότι η γη περιστρέφετι, κι εγώ µζί της, κι περιστρεφόµστε όλοι µζί κάτω πό το Εκκρεµές που στην πργµτικότητ δεν άλλζε ποτέ τη διεύθυνση του επιπέδου του, διότι εκεί ψηλά, πό το ση- µείο εξάρτησής του κι πέρ, στην ιδετή προέκτση του νήµτος προς το άπειρο, ψηλά προς τους πιο πόµκρους γλξίες, βρισκότν, ιώνι κίνητο, το Στθερό Σηµείο. Η γη περιστρεφότν, µ ο χώρος όπου ήτν στερεω- µένο το νήµ ήτν το µονδικό µετάβλητο σηµείο του σύµπντος. Ουµπέρτο Έκο, Το Εκκρεµές του Φουκώ.
ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ, Μάιος 7 ιπνεπιστηµικό ιτµηµτικό Πρόγρµµ Μετπτυχικών Σπουδών «ιδκτική κι Μεθοδολογί των Μθηµτικών» Τµήµ Μθηµτικών, Σχολή Θετικών Επιστηµών ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΚΑΙ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ (σελ. ) Τ Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου διτυπώνουν τις συνθήκες, οι οποίες πρέπει ν πληρούντι, ώστε µι πεικόνιση πό έν σύνολο στον ευτό του ν διτηρεί κάποι σηµεί του συνόλου µετάβλητ. Τ θεωρήµτ υτά βρίσκουν πλήθος εφρµογών σε όλους σχεδόν τους κλάδους των µθηµτικών κι σε µί ευρεί κλίµκ, πό τη σχολική ύλη έως κι το νώττο επίπεδο. Είνι, εποµένως, ρκετά ενδιφέρον ν µελετηθεί το είδος των βθύτερων µθηµτικών πεδίων που υποκρύπτοντι πίσω πό συνήθεις µθηµτικές έννοιες, τις οποίες, πολλές φορές χρησιµοποιούν οι ενσχολούµενοι µε τ µθηµτικά κι έχουν τις ρίζες τους στ Θεωρήµτ Στθερού Ση- µείου. Η προύσ εργσί έχει ως σκοπό ν µελετήσει, όσο το δυντόν πληρέστερ, τρί πό τ πιο φηµισµέν θεωρήµτ γι τ στθερά σηµεί µις πεικόνισης πό έν σύνολο στον ευτό του κι ν νφερθεί σε έν ευρύ πεδίο µθηµτικών συµπερσµάτων, τ οποί προκύπτουν ως άµεσες εφρµογές των θεωρηµάτων υτών. ευτερευόντως, η εργσί υτή στοχεύει στην προυσίση των ποικίλων µεθόδων που εφρµόζοντι γι την πόδειξη των κυριότερων µορφών υτών των θεωρηµάτων κι οι οποίες επιλέγοντι νάλογ µε τ εκάστοτε µθηµτικά εργλεί που χρησιµοποιούντι. Οι ίδιες τεχνικές, σε πολλές περιπτώσεις, εφρµόζοντι γι την πόδειξη των συµπερσµάτων που προκύπτουν ως εφρµογές, ώστε υτές ν µπορούν ν ποτελέσουν υτόνοµες διδκτικές ενότητες.
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΚΑΙ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Γεώργιος Κυρικόπουλος Υποβλήθηκε στο Εθνικό κι Κποδιστρικό Πνεπιστήµιο Αθηνών στ πλίσι των σπουδών γι την πόκτηση Μετπτυχικού ιπλώµτος Ειδίκευσης στη ιδκτική κι Μεθοδολογί των Μθηµτικών που πονέµει το Τµήµ Μθηµτικών Αθήν, Ελλάδ Μάιος, 7
Γεώργιος Κυρικόπουλος, 7
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στόχος της προύσς εργσίς είνι η µελέτη των πιο γνωστών Θεωρηµάτων Στθερού Σηµείου κι η εκτενής νφορά σε έν πλήθος διδκτικών εφρµογών των θεωρηµάτων υτών πό διάφορους τοµείς της µθηµτικής επιστήµης. Επίσης, σε σχέση µε τ κτάλληλ µθηµτικά εργλεί που πιτούντι κάθε φορά, η µελέτη επεκτείνετι στη διερεύνηση των τεχνικών που µπορούν ν εφρµοσθούν γι την πόδειξη των διάφορων µορφών υτών των συµπερσµάτων. Η εργσί ποτελείτι πό τέσσερ κεφάλι. Στο πρώτο κεφάλιο δίνετι ο πρίτητος ορισµός του στθερού σηµείου κι νλύετι η πολύ σηµντική τοπολογική ιδιότητ υτού, η οποί χρησιµοποιείτι ευρύττ στ επόµεν. Γι λόγους πληρότητς κρίθηκε νγκίο, στο κεφάλιο υτό, ν συµπεριληφθεί µι ευρεί ενότητ µε όλες εκείνες τις µθηµτικές έννοιες που είνι πρίτητες γι την υτόνοµη κτάνόηση του κειµένου που κολουθεί. Το δεύτερο κεφάλιο νφέρετι στο Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Baach κι, εκτός υτού, περιλµβάνει εκτενείς νφορές σε εφρµογές πό τη Γρµµική Άλγεβρ µε την εύρεση λύσεων σε γρµµικά συστήµτ, την Ανάλυση στην επίλυση διφορικών κι ολοκληρωτικών εξισώσεων κι τη Γεωµετρί µε έν κριτήριο που διφοροποιεί την οµοιότητ πό την ισότητ. Στο τρίτο κεφάλιο προυσιάζετι νλυτικά το Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Brouwer, το οποίο µελετάτι σε όλες του τις µορφές, στο κλειστό διάστηµ των πργµτικών ριθµών, στο επίπεδο, λλά κι γενικά σε κάθε συµπγές κι κυρτό υποσύνολο του ευκλειδείου χώρου. Πολλές πό τις εφρµογές που προυσιάζοντι εδώ, όπως το Θεώρηµ Ενδιάµεσης Τιµής, ή το Θεώρηµ Bolzao, είνι γνωστά µθηµτικά συµπεράσµτ, προκύπτουν όµως, ως συνέπειες του Θεωρήµτος του Brouwer, ενώ γίνετι νφορά σε έν πλήθος άλλων εφρµογών. Στο κεφάλιο υτό περιλµβάνοντι, επίσης, τ λεγόµεν Συνδυστικά Θεωρήµτ, τ οποί χρησιµοποιούντι ως εργλείο γι την πόδειξη του Θεωρήµτος του Brouwer στο επίπεδο κι το περίφηµο θεώρηµ µη ύπρξης διφορίσιµης συρρίκνωσης που βοηθά στην πόδειξη του Θεωρήµτος του Brouwer στη γενική περίπτωση. Η γενίκευση του Θεωρήµτος του Brouwer σε πειροδιάσττους χώρους είνι το Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Schauder, το οποίο, εκτός των άλλων, ποτελεί το ντικείµενο του τέτρτου κεφλίου. Η εργσί ολοκληρώνετι µε νφορές σε άλλ, ειδικότερης µορφής, θεωρήµτ στθερού σηµείου, όπως υτά που νφέροντι στην ύπρξη
κοινών στθερών σηµείων γι οικογένειες πεικονίσεων, ή σε στθερά σηµεί γι πλειότιµες πεικονίσεις. Τ θεωρήµτ υτά δεν ποτελούν ντικείµενο µελέτης της εργσίς υτής, λλά θ ήτν πολύ ενδιφέρον ν τύχουν µις εκτενούς ενσχόλησης κι µελέτης στο µέλλον. Η προύσ εργσί είνι ποτέλεσµ εκτενούς νζήτησης κι προβληµτισµών, σε κάθε στάδιο των οποίων, πολύτιµος ρωγός υπήρξε ο Κθηγητής µου κ. ιονύσιος Λάππς. Σηµντικές ήτν, επίσης, οι πρτηρήσεις του εκλεκτού συνδέλφου Σπύρου Γλένη, ενώ σε κάθε βήµ υτής της προσπάθεις πολύτιµος συµπρστάτης µου στάθηκε η Βίκη. Τους ευχριστώ. Γεώργιος Κυρικόπουλος v
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ...v ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΩΝ...v ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ..... Εισγωγικά..... Έννοιες κι ορισµοί....3. Η Τοπολογική Ιδιότητ του Στθερού Σηµείου...3 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΟΥ BANACH...7.. Η Αρχή των Απεικονίσεων Συστολής...7.. Συνρτήσεις Συστολής Ορισµένες σε Κλειστό ιάστηµ...3.3. Απεικονίσεις Συστολής κι Γρµµικά Συστήµτ...35.4. ιφορικές κι Ολοκληρωτικές Εξισώσεις...38.5. Το Θεώρηµ της Πεπλεγµένης Συνάρτησης...49.6. Ισοµετρίες κι Οµοιότητες...53 3 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΟΥ BROUWER...6 3.. Εισγωγικά...6 3.. Το Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Brouwer γι κλειστό διάστηµ...6 3.3. Το Θεώρηµ Ενδιάµεσης Τιµής ως εφρµογή του Θεωρήµτος Στθερού Σηµείου του Brouwer...69 3.4. Εφρµογές του Θεωρήµτος Ενδιάµεσης Τιµής...74 3.5. Τ Συνδυστικά Θεωρήµτ...79 3.6. Το Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Brouwer γι έν τετράγωνο...88 3.7. Η έννοι της Συρρίκνωσης (Retracto)...95 3.8. Το Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Brouwer στη γενική περίπτωση...3 4 ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ ΑΠΕΙΡΗΣ ΙΑΣΤΑΣΗΣ...7 4.. Εισγωγικά...7 4.. Το Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Schauder...8 4.3. Η Κυρτότητ του Συνόλου των Στθερών Σηµείων...3 ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΜΕΛΕΤΗ...7 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...9 v
ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΩΝ Εικόν Η επνληπτική µέθοδος γι την προσέγγιση του στθερού σηµείου µις πργωγίσιµης συνάρτησης f:[,β] [,β] µε <f ()< κι <f ()< ντίστοιχ...3 Εικόν Η περιοχή [ δ, δ] [y kδ,y kδ] στην οποί το πρόβληµ ρχικών τιµών (.4.) έχει µονδική λύση...39 Εικόν 3 Μί διισθητικά προφνής «πόδειξη» του Θεωρήµτος Στθερού Σηµείου του Brouwer γι κλειστό διάστηµ...63 Εικόν 4 Η χρήση της υπόθεσης της συνέχεις στην πόδειξη του Θεωρήµτος του Στθερού Σηµείου του Brouwer γι κλειστό διάστηµ...65 Εικόν 5 Το Θεώρηµ Bolzao ως συνέπει του Θεωρήµτος Στθερού Σηµείου του Brouwer...7 Εικόν 6 Το Θεώρηµ Borsuk Ulam γι τον κύκλο...74 Εικόν 7 Το Πρώτο Θεώρηµ της Τηγνίτς...76 Εικόν 8 Το εύτερο Θεώρηµ της Τηγνίτς...78 Εικόν 9 Το Λήµµ Sperer γι κλειστό διάστηµ...8 Εικόν Μι τυπική πόδειξη του Λήµµτος Sperer γι κλειστό διάστηµ...8 Εικόν Περίπτοι στ ωµάτι ενός Σπιτιού...8 Εικόν Πράδειγµ τριγωνισµού () κι µη τριγωνισµού (β)...84 Εικόν 3 Μι πρσττική πεικόνιση του Λήµµτος Sperer γι έν τρίγωνο.85 Εικόν 4 Μι πρσττική πεικόνιση του Τέτρτου Συνδυστικού Λήµµτος.87 Εικόν 5 ιδικσί Περιπάτου στις έδρες ενός τριγωνισµένου τετργώνου...87 Εικόν 6 Μι διισθητικά σφής «πόδειξη» του Θεωρήµτος Στθερού Σηµείου του Brouwer γι έν τετράγωνο...89 Εικόν 7 Ο κνόνς που κθορίζει το σύστηµ συµβολισµού των κορυφών µις υποδιίρεσης ενός τετργώνου...9 Εικόν 8 Η χρήση της υπόθεσης της συνέχεις στην πόδειξη του Θεωρήµτος του Στθερού Σηµείου του Brouwer γι έν τετράγωνο...94 Εικόν 9 Το ευθύγρµµο τµήµ ως συρρίκνωµ ενός τετργώνου...96 Εικόν Ο δίσκος ως συρρίκνωµ ενός τετργώνου...98 v
Εικόν Το Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Brouwer γι την κλειστή µονδιί σφίρ ως συνέπει του Θεωρήµτος µη ύπρξης διφορίσιµης συρρίκνωσης της κλειστής µονδιίς σφίρς στο σύνορό της...4 v
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ.. Εισγωγικά Θεωρώντς έν σύνολο Χ κι µι πεικόνιση f πό το Χ στον ευτό του, πολλές φορές κλούµστε ν πντήσουµε στο ερώτηµ ποιες συνθήκες πρέπει ν πληροί φενός το σύνολο Χ κι φετέρου η πεικόνιση f, ώστε έν σηµείο του συνόλου Χ ν πεικονίζετι, µέσω της f, στον ευτό του ή, µε άλλ λόγι, η εξίσωση f() (..) ν έχει λύση στο Χ. Η εξίσωση (..) πρπάνω, νφορικά µε τ στοιχεί του συνόλου Χ που την ικνοποιούν, υπγορεύει τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός.. Έστω X έν σύνολο κι f µι πεικόνιση πό το Χ στον ευτό του. Έν στοιχείο X κλείτι στθερό σηµείο της f ν f(), δηλδή, ν το είνι λύση της συνρτησικής εξίσωσης (..) στο Χ. Τ τετριµµέν πρδείγµτ που κολουθούν υποδεικνύουν ότι υπάρχουν πεικονίσεις σε διάφορ σύνολ που δεν έχουν κνέν στθερό σηµείο, ενώ άλλες πει-
Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές κονίσεις µπορεί ν έχουν έν ή περισσότερ, κόµ κι άπειρ στο πλήθος στθερά σηµεί. Πρδείγµτ. Μι µετφορά, π.χ. η συνάρτηση f:ir IR, µε f(), όπου, δεν έχει κνέν στθερό σηµείο.. Μί στροφή ενός επιπέδου έχει έν µονδικό στθερό σηµείο. 3. Η συνάρτηση f:ir IR, µε f() έχει κριβώς δύο στθερά σηµεί, τ κι. 4. Η ορθή προβολή του ευκλειδείου επιπέδου IR στον -άξον, δηλδή η πεικόνιση f:ir IR {} IR µε f(,y)(,), γι κάθε (,y) IR, έχει άπειρ το πλήθος στθερά σηµεί, τ σηµεί του -άξον. Οι συνθήκες που κθορίζουν την ύπρξη ή µη στθερών σηµείων γι µι πεικόνιση νφέροντι στο είδος υτής, λλά κυρίως στις ιδιότητες των συνόλων πό τ οποί προέρχοντι. Συνήθως η συνθήκη της συνέχεις είνι νγκί γι την πεικόνιση f, ενώ το σύνολο X είνι ένς µη κενός τοπολογικός (ή µετρικός) χώρος µε επιπλέον ιδιότητες υτές της συµπάγεις (ή τουλάχιστον της πληρότητς) ή της κυρτότητς. Στ επόµεν κεφάλι θ διπργµτευθούµε κάποι πό τ γνωστότερ θεωρήµτ που φορούν στην ύπρξη στθερών σηµείων γι διάφορους τύπους πεικονίσεων, κι θ νφερθούµε σε ρκετές εφρµογές υτών των θεωρηµάτων τόσο πό την νάλυση, όσο κι πό τη γρµµική άλγεβρ κι τη γεωµετρί. Προηγουµένως, όµως, θ ήτν σκόπιµο ν νφερθούµε στις σηµντικές εκείνες έννοιες πό το χώρο της νάλυσης που πιτούντι, ώστε η διπργµάτευση των θε- µάτων που κολουθούν στ επόµεν κεφάλι ν είνι οπωσδήποτε όσο το δυντόν πληρέστερη κι υτοτελής... Έννοιες κι ορισµοί Σε πάρ πολλές περιπτώσεις κτά την διπργµάτευση διάφορων θεµάτων πό τον Απειροστικό Λογισµό, όπως της έννοις της σύγκλισης ή της συνέχεις, κτδεικνύετι η µεγάλη χρησιµότητ της έννοις της πόστσης δύο πργµτικών ριθµών κι y, η οποί τυποποιείτι µε τη χρήση της γνωστής έννοις της πόλυτης τιµής
. Βσικές Έννοιες 3 y. Αντίστοιχες ιδιότητες µε υτές της πόλυτης τιµής πίζουν πολύ σηµντικό ρόλο στο χώρο της νάλυσης, όπου η δοµή των συνόλων τ οποί µελετούντι δεν είνι τόσο πλή όσο υτή των πργµτικών ριθµών. Είνι, λοιπόν, φυσιολογική η επέκτση της έννοις της «πόστσης» µετξύ δύο στοιχείων ενός τυχίου συνόλου, µε τέτοιο τρόπο, ώστε το σύνολο των πργµτικών ριθµών κι η πόλυτη τιµή ν ποτελούν ειδική περίπτωση µις ευρύτερης «οικογένεις» χώρων, την έννοι της οποίς κθορίζει ο επόµενος ορισµός. Ορισµός.. (Μετρικός Χώρος) Έστω Χ έν τυχίο µη κενό σύνολο. Μι συνάρτηση η οποί ικνοποιεί τις πρκάτω ιδιότητες ) ρ(,y), γι κάθε, y Χ, ρ:χ Χ ΙR, β) ρ(,y) ν κι µόνον ν y, γι κάθε, y Χ, γ) ρ(,y)ρ(y,), γι κάθε, y Χ (συµµετρική ιδιότητ) κι δ) ρ(,y) ρ(,z)ρ(z,y), γι κάθε, y, z Χ (τριγωνική ιδιότητ), ονοµάζετι µετρική στο Χ, κι το ζεύγος (Χ,ρ) ονοµάζετι µετρικός χώρος. Γι δύο τυχί στοιχεί κι y του Χ, ο µη ρνητικός πργµτικός ριθµός ρ(,y) ονοµάζετι πόστση των κι y. Τ πρδείγµτ που κολουθούν κθορίζουν κάποιους πό τους σηµντικότερους µετρικούς χώρους, στους οποίους γίνετι εκτενής νφορά στ κεφάλι που κολουθούν. Πρδείγµτ. Η συνήθης µετρική στο ΙR είνι η συνάρτηση ρ:ιr ΙR ΙR, µε γι κάθε, y ΙR.. Μετρικές στον ΙR,,,... ρ(,y) y, Γι κάθε πργµτικό ριθµό p, ορίζουµε τις συνρτήσεις ρ p :ΙR ΙR ΙR, µε ρp (, y) γι κάθε (,,..., ), y(y,y,...,y ) ΙR κι τη συνάρτηση ρ :ΙR ΙR ΙR, µε y p p,
4 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές ρ (,y)ma{ y,,,...,}, γι κάθε (,,..., ), y(y,y,...,y ) ΙR. Εύκολ µπορεί ν διπιστωθεί ότι κθένς πό τους χώρους (ΙR,ρ p ), p< κι (ΙR,ρ ) είνι πράγµτι µετρικοί χώροι. Ειδικότερ, γι p, ο µετρικός χώρος (ΙR,ρ ), όπου, φυσικά, ρ (, y) y γι κάθε (,,..., ), y(y,y,...,y ) ΙR, ονοµάζετι -διάσττος Ευκλείδειος Χώρος κι η ρ ονοµάζετι Συνήθης Ευκλείδει Μετρική. Πολλές φορές, ν δεν υπάρχει περίπτωση σύγχυσης, η Ευκλείδει Απόστση ρ (,y) δύο σηµείων, y ΙR, συµβολίζετι µε y. 3. Αν µε C(Χ) συµβολίσουµε το σύνολο των φργµένων συνεχών συνρτήσεων f:x ΙR, τότε η συνάρτηση ρ :C(Χ) C(Χ) ΙR, ώστε ρ (f,g)sup{ f() g(), Χ}, γι κάθε f, g C(Χ), είνι πράγµτι µι µετρική στο C(X). 4. Ένς πολύ ενδιφέρον χώρος είνι το σύνολο των πργµτικών κολουθιών ( ) ΙΝ, γι τις οποίες η σειρά p,, γι p, συγκλίνει κι ο οποίος, συνήθως, συµβολίζετι µε l p. Στο χώρο l p {( ) ΙΝ : < }, ορίζουµε τη συνάρτηση ρp(, y) γι κάθε δύο κολουθίες ( ) ΙΝ κι y(y ) ΙΝ του l p, µε την οποί διπιστώνετι ότι ο (l p,ρ p ) είνι πράγµτι µετρικός χώρος. Ορισµός.. Έστω (Χ,ρ) ένς µετρικός χώρος. Ανοικτή σφίρ κέντρου Χ κι κτίνς r> ονοµάζετι το σύνολο Β(,r){y Χ: ρ(,y)<r}. Κτ επέκτσιν, κλειστή σφίρ κέντρου Χ κι κτίνς r ονοµάζετι το σύνολο Β[,r]{y Χ: ρ(,y) r}. Τέλος, σφίρ (ή κριβέστερ επιφάνει σφίρς) κέντρου Χ κι κτίνς r ονοµάζετι το σύνολο S(,r){y Χ: ρ(,y)r}. p y p p,
. Βσικές Έννοιες 5 Στην ειδική περίπτωση του -διάσττου Ευκλειδείου Χώρου (IR,ρ ) συµβολίζουµε µε ) B (,r){y IR : y <r} την νοικτή σφίρ κέντρου IR κι κτίνς r>, β) B [,r]{y IR : y r} την κλειστή σφίρ κέντρου IR κι κτίνς r κι γ) S (,r){y IR : y r} τη σφίρ κέντρου IR κι κτίνς r. Με βάση την έννοι της νοικτής σφίρς, ορίζετι το νοικτό σύνολο σε ένν µετρικό χώρο. Συγκεκριµέν, έχουµε τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός..3 Έν υποσύνολο Α ενός µετρικού χώρου Χ ονοµάζετι νοικτό ν γι κάθε Α, υπάρχει r> τέτοιο, ώστε Β(,r) Α. Από τον ορισµό του νοικτού συνόλου είνι άµεσο το συµπέρσµ της επόµενης πρότσης. Πρότση.. Κάθε νοικτή σφίρ σε ένν µετρικό χώρο είνι νοικτό σύνολο. Απόδειξη Έστω Β(,r ) µι νοικτή σφίρ σε ένν µετρικό χώρο (Χ,ρ) κι B(,r ). Θ πρέπει ν ποδείξουµε ότι υπάρχει r> τέτοιο, ώστε B(,r) B(,r ). Αν επιλέξουµε <r r ρ(,), τότε γι κάθε y B(,r) έπετι ότι ρ(,y)<r r ρ(,), ή ρ(,)ρ(,y)<r, οπότε κι πό την τριγωνική ιδιότητ της µετρικής ρ έχουµε ρ(,y) ρ(,)ρ(,y)<r, δηλδή y B(,r ), εποµένως B(,r) B(,r ) κι η πόδειξη ολοκληρώθηκε. Η έννοι των νοικτών συνόλων σε ένν µετρικό χώρο, όπως υτή ορίσθηκε προηγουµένως, ποτελεί την ειδική περίπτωση της οικογένεις των νοικτών συνόλων που χρκτηρίζουν έν τυχίο σύνολο ως τοπολογικό χώρο. Συγκεκριµέν έχουµε τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός..4 (Τοπολογικός Χώρος) Έστω X έν τυχίο σύνολο. Μι οικογένει T υποσυνόλων του Χ, η οποί ικνοποιεί τις κόλουθες ιδιότητες ), Χ T,
6 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές κι β) ν Ι έν υθίρετο σύνολο δεικτών κι Α T, γι κάθε Ι, τότε I A T γ) ν Α T,,,...,, τότε A T, ονοµάζετι τοπολογί του Χ κι το ζεύγος (Χ, T ) ονοµάζετι τοπολογικός χώρος, ενώ τ στοιχεί της οικογένεις T ονοµάζοντι νοικτά σύνολ του τοπολογικού χώρου (Χ, T ). Το επόµενο πολύ βσικό θεώρηµ, το οποίο πρθέτουµε χωρίς πόδειξη, µς πρέχει τις βσικές τοπολογικές ιδιότητες της οικογένεις των νοικτών συνόλων σε έν µετρικό χώρο (Χ,ρ) κι ουσιστικά δικιολογεί το χρκτηρισµό τους ως τέτοι. Θεώρηµ.. Έστω (Χ,ρ) ένς µετρικός χώρος. Τότε ) Τ σύνολ κι Χ είνι νοικτά. β) Η ένωση οποιουδήποτε πλήθους νοικτών υποσυνόλων του Χ είνι νοικτό υποσύνολο του Χ. γ) Η τοµή πεπερσµένου πλήθους νοικτών υποσυνόλων του Χ είνι νοικτό υποσύνολο του Χ. Εποµένως, µε βάση τον Ορισµό..4, η οικογένει T των νοικτών υποσυνόλων ενός µετρικού χώρου (Χ,ρ) ποτελεί µι τοπολογί του Χ κι έτσι ο (Χ, T ) κθίσττι τοπολογικός χώρος. Από την ιδιότητ (β) του προηγούµενου θεωρήµτος κι την πρότση.. προκύπτει άµεσ ότι η ένωση νοικτών σφιρών είνι νοικτό υποσύνολο ενός µετρικού χώρου. Αλλά κι ντιστρόφως, ν Α είνι έν νοικτό υποσύνολο ενός µετρικού χώρου, τότε εξ ορισµού γι κάθε Α, υπάρχει r > τέτοιο, ώστε Β(,r ) A κι εποµένως A A B(, r ). Αποδείξµε, λοιπόν, ότι Πόρισµ..3 Έν υποσύνολο ενός µετρικού χώρου είνι νοικτό ν κι µόνο ν γράφετι ως ένωση νοικτών σφιρών. Το Θεώρηµ.., επίσης, µς δίνει τη δυντότητ ν νφερόµστε στο ευρύτερο δυντό νοικτό σύνολο που περιέχετι σε έν υποσύνολο Α ενός µετρικού χώ-
. Βσικές Έννοιες 7 ρου. Συγκεκριµέν έχουµε τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός..5 Έστω Α έν υποσύνολο ενός µετρικού χώρου Χ. Ορίζουµε ως εσωτερικό του συνόλου Α, το σύνολο Α {G X: G νοικτό κι G A}. Εποµένως το εσωτερικό Α ενός υποσυνόλου Α του Χ είνι το µεγλύτερο δυντό νοικτό υποσύνολο του Χ που περιέχετι στο Α. Επίσης, πό το Θεώρηµ.. προκύπτει άµεσ ότι το εσωτερικό Α ενός συνόλου Α είνι νοικτό σύνολο, ενώ προφνώς Α Α. Ως εκ τούτου το επόµενο πόρισµ είνι άµεσο. Πόρισµ..4 Έν υποσύνολο Α ενός µετρικού χώρου Χ είνι νοικτό ν κι µόνον ν ΑΑ. Ο χρκτηρισµός των στοιχείων που ποτελούν το εσωτερικό ενός συνόλου δίνετι πό την κόλουθη πρότση. Πρότση..5 Έστω (Χ,ρ) ένς µετρικός χώρος κι Α Χ. Τότε Α { Α: υπάρχει r> τέτοιο, ώστε Β(,r) A}. Απόδειξη Έστω Α γι το οποίο υπάρχει r> τέτοιο, ώστε Β(,r) A. Τότε εφόσον η νοικτή σφίρ Β(,r) είνι νοικτό σύνολο, πό τον ορισµό του Α, έπετι ότι Β(,r) Α. Αντιστρόφως, έστω Α {G X: G νοικτό κι G A}. Τότε υπάρχει νοικτό υποσύνολο G του Χ ώστε G A, οπότε, πό τον Ορισµό..3 του νοικτού συνόλου, υπάρχει r> τέτοιο, ώστε Β(,r) G A. Εποµένως, πράγµτι, Α { Α: υπάρχει r> τέτοιο, ώστε Β(,r) A}. Αντίστοιχ προς την οικογένει των νοικτών υποσυνόλων ενός µετρικού χώρου, ορίζουµε την έννοι των κλειστών συνόλων, υτών που τ συµπληρωµτικά τους είνι νοικτά. Συγκεκριµέν η έννοι του κλειστού συνόλου κθορίζετι πό τον επό- µενο ορισµό.
8 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές Ορισµός..6 Έν υποσύνολο Κ ενός µετρικού χώρου Χ ονοµάζετι κλειστό ν το σύνολο Χ Κ είνι νοικτό υποσύνολο του Χ. Έν τετριµµένο πράδειγµ κλειστού συνόλου σε έν µετρικό χώρο ποτελεί η κλειστή σφίρ. Έχουµε, λοιπόν, την κόλουθη πρότση Πρότση..6 Κάθε κλειστή σφίρ σε ένν µετρικό χώρο είνι κλειστό σύνολο. Απόδειξη Έστω Β[,r ] µι κλειστή σφίρ σε ένν µετρικό χώρο (Χ,ρ). Αρκεί ν ποδείξουµε ότι το σύνολο Χ B[,r ]{ Χ: ρ(,)>r } είνι νοικτό, ή, µε βάση τον Ορισµό..3 του νοικτού συνόλου, ότι γι κάθε Χ µε ρ(,)>r, υπάρχει r> τέτοιο ώστε B(,r) Χ B[,r ]. Έστω rρ(,) r >, τότε γι κάθε y B(,r) κι µε βάση την τριγωνική ιδιότητ της µετρικής ρ, έπετι ότι rr ρ(,) ρ(,y)ρ(,y)<ρ(,y)r, οπότε ρ(,y)>r, δηλδή y Χ B[,r ], εποµένως B(,r) X B[,r ] κι η πόδειξη ολοκληρώθηκε. Πόρισµ..7 Κάθε σφίρ σε ένν µετρικό χώρο είνι κλειστό σύνολο. Απόδειξη Το συµπλήρωµ µις σφίρς S(,r ){ Χ: ρ(,)r } σε ένν µετρικό χώρο (Χ,ρ) είνι το σύνολο Χ S(,r ){ Χ: ρ(,)<r } { Χ: ρ(,)>r }Β(,r ) (Χ Β[,r ]), το οποίο, σύµφων µε το Θεώρηµ.. είνι νοικτό ως ένωση της νοικτής σφίρς Β(,r ) (Πρότση..) κι του νοικτού συνόλου Χ Β[,r ] (πρότση..6). Οι βσικές τοπολογικές ιδιότητες της οικογένεις των κλειστών συνόλων σε ένν µετρικό χώρο περιγράφοντι στο επόµενο θεώρηµ, το οποίο ποτελεί το δυϊκό του Θεωρήµτος.., µε την έννοι ότι η πόδειξή του προκύπτει άµεσ πό υτό χρησιµοποιώντς τους κνόνες de Morga.
. Βσικές Έννοιες 9 Θεώρηµ..8 Έστω (Χ,ρ) ένς µετρικός χώρος. Τότε ) Τ σύνολ κι Χ είνι κλειστά. β) Η τοµή οποιουδήποτε πλήθους κλειστών υποσυνόλων του Χ είνι κλειστό υποσύνολο του Χ. γ) Η ένωση πεπερσµένου πλήθους κλειστών υποσυνόλων του Χ είνι κλειστό υποσύνολο του Χ. Αντίστοιχ προς την έννοι του εσωτερικού Α ενός υποσυνόλου Α ενός µετρικού χώρου Χ, που ορίζετι ως το ευρύτερο δυντό νοικτό υποσύνολο του Χ που περιέχετι στο Α, το προηγούµενο θεώρηµ µς δίνει τη δυντότητ ν θεωρήσουµε το µικρότερο δυντό κλειστό υποσύνολο του Χ που περιέχει το σύνολο Α. Υπό την έννοι υτή, ο επόµενος ορισµός είνι εύλογος. Ορισµός..7 Έστω Κ έν υποσύνολο ενός µετρικού χώρου Χ. Ορίζουµε ως κλειστότητ του συνόλου Κ, το σύνολο K {F X: F κλειστό κι Κ F}. Εποµένως η κλειστότητ K ενός υποσυνόλου Κ του Χ είνι το µικρότερο δυντό υποσύνολο του Χ που περιέχει το Κ. Επίσης, πό το Θεώρηµ..8 προκύπτει άµεσ ότι η κλειστότητ K ενός συνόλου Κ είνι κλειστό σύνολο, ενώ προφνώς K K. Ως εκ τούτου, το επόµενο πόρισµ είνι άµεσο. Πόρισµ..9 Έν υποσύνολο Κ ενός µετρικού χώρου Χ είνι κλειστό ν κι µόνον ν K K. Ο χρκτηρισµός των στοιχείων που ποτελούν την κλειστότητ ενός συνόλου δίνετι πό την κόλουθη πρότση. Πρότση.. Έστω (Χ,ρ) ένς µετρικός χώρος κι Κ Χ. Τότε Απόδειξη K { Χ: Β(,r) Κ, γι κάθε r>}. Έστω X τέτοιο, ώστε Β(,r) Κ, γι κάθε r>. Αν υποθέσουµε ότι K, θ υπάρχει κλειστό F X τέτοιο, ώστε Κ F κι F, οπότε X F, το οποίο είνι
Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές νοικτό υποσύνολο του Χ. Άρ υπάρχει r>, ώστε Β(,r) X F X K, πό το οποίο έπετι ότι Β(,r) Κ, άτοπο. Εποµένως Αντιστρόφως, έστω K. K {F X: F κλειστό κι Κ F}. Αν υποθέσουµε ότι υπάρχει r> τέτοιο, ώστε Β(,r) Κ, τότε Κ F, όπου FX Β(,r) κλειστό κι εποµένως F, εφόσον K {F X: F κλειστό κι Κ F}. Αυτό, όµως είνι άτοπο, διότι φού Β(,r), τότε X Β(,r)F. Ως εκ τούτου Β(,r) Κ, γι κάθε r>. Εποµένως, πράγµτι, K { Χ: Β(,r) Κ, γι κάθε r>} κι η πόδειξη ολοκληρώθηκε. Εκτός πό τον ορισµό κι τις ιδιότητές της, η κλειστότητ ενός συνόλου σε ένν µετρικό χώρο µπορεί ν περιγρφεί µέσω της έννοις του σηµείου συσσώρευσης. Γι την έννοι υτή έχουµε τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός..8 Έστω ένς µετρικός χώρος (Χ,ρ) κι Κ Χ. Τότε ) Έν στοιχείο Χ ονοµάζετι σηµείο συσσώρευσης του Κ ν κάθε νοικτή σφίρ κέντρου περιέχει τουλάχιστον έν στοιχείο του Κ διφορετικό πό το, δηλδή, ν γι κάθε r>, ισχύει (Β(,r) {}) Κ. Το σύνολο των σηµείων συσσώρευσης του Κ συµβολίζετι µε Κ. β) Έν στοιχείο Χ ονοµάζετι µεµονωµένο σηµείο του Κ ν δεν είνι σηµείο συσσώρευσης του Κ, δηλδή ν υπάρχει r> τέτοιο, ώστε Β(,r) Κ{}. Με βάση την Πρότση.. κι τον προηγούµενο ορισµό, ποδεικνύετι ότι Πρότση.. Αν (Χ,ρ) µετρικός χώρος κι Κ Χ, τότε K K K. Ακολούθως διπργµτευόµστε µι πό τις πιο θεµελιώδεις έννοιες της Μθη- µτικής Ανάλυσης, υτήν της σύγκλισης κολουθιών. Η έννοι υτή, εκτός των άλλων, ποτελεί κι έν πολύ εύχρηστο µέσο περιγρφής των κυριότερων τοπολογικών εννοιών στους µετρικούς χώρους. Έχουµε, λοιπόν, τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός..9 Μι κολουθί ( ) ΙΝ πό στοιχεί ενός µετρικού χώρου (Χ,ρ), θ λέµε ότι συγκλίνει στο Χ, ή ότι το είνι το όριό της, κθώς το τείνει στο, ν γι κάθε
. Βσικές Έννοιες ε>, υπάρχει ΙΝ τέτοιος, ώστε ρ(,)<ε, γι κάθε. Σ υτήν την περίπτωση γράφουµε lm, ή, κθώς. Από τον προηγούµενο ορισµό, είνι προφνές ότι lm lm ρ(, ). Όσον φορά στη µονδικότητ του ορίου µις συγκλίνουσς κολουθίς σε ένν µετρικό χώρο, ισχύει η επόµενη πρότση, την οποί πρθέτουµε χωρίς πόδειξη. Πρότση.. (Μονδικότητ του ορίου) Έστω ( ) ΙΝ µι συγκλίνουσ κολουθί σε ένν µετρικό χώρο (Χ,ρ). Τότε το όριό της είνι µονδικά κθορισµένο, δηλδή, ν κι y, κθώς, τότε y. Η έννοι της σύγκλισης κολουθιών σε ένν µετρικό χώρο µπορεί ν χρησιµοποιηθεί εύκολ γι την περιγρφή κάποιων πό των βσικότερων τοπολογικών ιδιοτήτων. Γι πράδειγµ, µε τη βοήθει της Πρότσης.. µπορούµε εύκολ ν ποδείξουµε ότι η κλειστότητ ενός υποσυνόλου Κ ενός µετρικού χώρου Χ είνι κριβώς τ όρι συγκλινουσών κολουθιών στο Κ, δηλδή K { Χ: υπάρχει κολουθί ( ) ΙΝ στο K, ώστε lm }. Εποµένως, κι µε βάση το Πόρισµ..9, είνι προφνής η ισχύς της επόµενης πρότσης. Πρότση..3 Έν υποσύνολο Κ ενός µετρικού χώρου (Χ,ρ) είνι κλειστό ν κι µόνον ν το όριο κάθε συγκλίνουσς κολουθίς του Κ είνι στοιχείο του Κ. Στη συνέχει νφερόµστε στην ιδιιτέρως σηµντική έννοι της συνέχεις ξεκινώντς πό τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός.. Έστω (Χ,ρ), (Υ,σ) δύο µετρικοί χώροι κι Χ. Μι πεικόνιση f:x Y ονοµάζετι συνεχής στο, ν γι κάθε ε>, υπάρχει δ> τέτοιο, ώστε γι κάθε Χ, µε ρ(,)<δ, έπετι ότι σ(f( ),f())<ε, ή, ισοδύνµ, f(b(,δ)) B(f( ),ε). Η f ονοµάζετι συνεχής ν είνι συνεχής σε κάθε Χ.
Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές Ορισµός.. Μι πεικόνιση f:x Y µετξύ δύο µετρικών χώρων (Χ,ρ) κι (Υ,σ) ονοµάζετι οµοιόµορφ συνεχής, ν γι κάθε ε>, υπάρχει δ> τέτοιο, ώστε γι κάθε, Χ, µε ρ(, )<δ, έπετι ότι σ(f( ),f( ))<ε. Από τους ορισµούς της συνέχεις κι της οµοιόµορφης συνέχεις είνι φνερό ότι κάθε οµοιόµορφ συνεχής πεικόνιση είνι συνεχής, ενώ εύκολ µπορούµε ν διπιστώσουµε ότι το ντίστροφο δεν ισχύει. Με το θεώρηµ που κολουθεί διπιστώνουµε ότι η συνέχει µις πεικόνισης µετξύ µετρικών χώρων είνι µι µιγώς τοπολογική έννοι, κθώς οι συνεχείς πεικονίσεις µπορούν ν χρκτηρισθούν µέσω των εννοιών των νοικτών συνόλων, των κλειστών συνόλων κι της κλειστότητς. Θεώρηµ..4 Έστω f:x Y µι πεικόνιση µετξύ των µετρικών χώρων (Χ,ρ) κι (Υ,σ). Τότε τ κόλουθ είνι ισοδύνµ: ) Η f είνι συνεχής. β) Η ντίστροφη εικόν f (G) κάθε νοικτού υποσυνόλου G του Υ είνι νοικτό υποσύνολο του Χ. γ) Η ντίστροφη εικόν f (F) κάθε κλειστού υποσυνόλου F του Υ είνι κλειστό υποσύνολο του Χ. δ) Γι κάθε υποσύνολο Α του Χ ισχύει ( A) f (A) f. Απόδειξη () (β). Έστω ότι η f είνι συνεχής κι G Υ νοικτό. Τότε, γι κάθε f (G) (δηλδή f() G), υπάρχει ε> τέτοιο, ώστε Β(f(),ε) G. Επειδή η f είνι συνεχής στο, υπάρχει δ> τέτοιο, ώστε f(b(,δ)) G, δηλδή B(,δ) f (G). Εποµένως η ντίστροφη εικόν f (G) του G είνι νοικτό υποσύνολο του Χ. (β) (γ). Έστω ότι η ντίστροφη εικόν f (G) κάθε νοικτού υποσυνόλου G του Υ είνι νοικτό υποσύνολο του Χ κι F Υ κλειστό. Τότε το Υ F είνι νοικτό υποσύνολο του Y κι άρ το f (Y F)X f (F) είνι νοικτό υποσύνολο του Χ. Εποµένως το f (F) είνι κλειστό υποσύνολο του Χ. (γ) (δ). Έστω ότι η ντίστροφη εικόν f (F) κάθε κλειστού υποσυνόλου F του
. Βσικές Έννοιες 3 Υ είνι κλειστό υποσύνολο του Χ κι Α Χ. Γι κάθε Α έχουµε ότι f () f (A) f (A) κι εποµένως το Α είνι υποσύνολο του f ( f (A)), το οποίο, πό την υπόθεση, είνι κλειστό υποσύνολο του Χ, εφόσον το f (A) είνι κλειστό υποσύνολο του Υ. Επειδή, όµως, το A είνι το µικρότερο κλειστό σύνολο που περιέχει το Α, έπετι ότι ( f (A)) A f, δηλδή f ( A) f (A). (δ) (). Έστω ότι ( A) f (A) f, γι κάθε Α Χ κι Χ. Θ ποδείξουµε ότι η f είνι συνεχής στο. Θεωρούµε έν ε>, οπότε, ρκεί ν ποδείξουµε ότι υπάρχει δ> τέτοιο, ώστε Β(,δ) f (B(f( ),ε)). Θέτουµε Αf (B(f( ),ε)){ Χ: σ(f( ),f())<ε}. Αν υποθέσουµε ότι B(,δ) (Χ Α), γι κάθε δ>, τότε, πό την Πρότση.., έπετι ότι X A, οπότε f ( ) f ( X A) f (X A), λόγω της υπόθεσης. Άρ, πό την Πρότση.., έπετι ότι Β(f( ),ε) f(χ Α), εποµένως υπάρχει Χ Α τέτοιο, ώστε σ(f( ),f())<ε, άτοπο. Εποµένως η f είνι συνεχής στο. Το επόµενο θεώρηµ, το οποίο διτυπώνουµε χωρίς πόδειξη, είνι πάρ πολύ σηµντικό, διότι πρέχει ένν χρκτηρισµό των συνεχών πεικονίσεων µετξύ µετρικών χώρων µέσω της έννοις της σύγκλισης κολουθιών. Θεώρηµ..5 (Αρχή της µετφοράς) Έστω f:x Y µι πεικόνιση µετξύ των µετρικών χώρων (Χ,ρ) κι (Υ,σ) κι Χ. Τότε η f είνι συνεχής στο ν κι µόνον ν γι κάθε κολουθί ( ) ΙΝ στο Χ µε lm, έπετι ότι lm f ( ) f (). Η σύγκλιση µις κολουθίς σε ένν µετρικό χώρο µς πρέχει τη δυντότητ ν συµπεράνουµε ότι οι όροι της έχουν τελικά «µικρή» πόστση µετξύ τους, ή, µε άλλ λόγι, ότι µπορούµε ν βρούµε άπειρους όρους της κολουθίς που ν βρίσκοντι οσοδήποτε κοντά ο ένς στον άλλον. Απ την άλλη πλευρά, η ιδιότητ υτή των όρων µις κολουθίς σε ένν µετρικό χώρο µπορεί ν ισχύει, χωρίς η κολουθί ν είνι συγκλίνουσ. Έτσι, εκτός πό τις συγκλίνουσες κολουθίες σε ένν µετρικό χώρο, ορίζετι µι ευρύτερη κλάση κολουθιών, µέσω του επόµενου ορισµού.
4 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές Ορισµός.. Μι κολουθί ( ) ΙΝ σε ένν µετρικό χώρο (Χ,ρ) ονοµάζετι βσική κολουθί, ή κολουθί Cauchy, ν γι κάθε ε>, υπάρχει ΙΝ τέτοιος, ώστε ρ( m, )<ε, γι κάθε m,. Από τον ορισµό της βσικής κολουθίς είνι προφνές ότι κάθε συγκλίνουσ κολουθί σε ένν µετρικό χώρο είνι βσική, ενώ στοιχειώδη πρδείγµτ µς ποδεικνύουν ότι το ντίστροφο δεν ισχύει γι ένν τυχίο µετρικό χώρο. Οι µετρικοί χώροι στους οποίους οι έννοιες της βσικής κι της συγκλίνουσς κολουθίς τυτίζοντι ονοµάζοντι πλήρεις µετρικοί χώροι. Συγκεκριµέν έχουµε τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός..3 (Πλήρης Μετρικός Χώρος) Ένς µετρικός χώρος (Χ,ρ) ονοµάζετι πλήρης ν κάθε βσική κολουθί του είνι συγκλίνουσ (σε στοιχείο του Χ). Αποδεικνύετι ότι ) Το σύνολο των πργµτικών ριθµών IR µε τη συνήθη µετρική που ορίζετι πό την πόλυτη τιµή είνι ένς πλήρης µετρικός χώρος. β) Ο Ευκλείδειος Xώρος IR µε την ευκλείδει µετρική ρ, λλά κι γενικότερ κθένς πό τους χώρους (IR,ρ p ), p< κι (IR,ρ ), γι κάθε,,... είνι πλήρεις µετρικοί χώροι. γ) Ο µετρικός χώρος (C[,β],ρ ) των συνεχών συνρτήσεων που ορίζοντι στο κλειστό διάστηµ [,β] είνι πλήρης. δ) Ο µετρικός χώρος l p, p<, είνι ένς πλήρης µετρικός χώρος. Η επόµενη πρότση χρησιµοποιείτι γι ν διπιστώσουµε ν έν υποσύνολο ενός πλήρους µετρικού χώρου είνι πλήρης µετρικός χώρος. Πρότση..6 Έν υποσύνολο Κ ενός πλήρους µετρικού χώρου (Χ,ρ) είνι πλήρης µετρικός χώρος ν κι µόνον ν το Κ είνι κλειστό υποσύνολο του Χ. Απόδειξη Έστω ότι ο (Κ,ρ) είνι πλήρης µετρικός χώρος. Θ δείξουµε ότι το Κ είνι κλειστό υποσύνολο του Χ. Ως προς υτό ρκεί ν ποδείξουµε ότι Έστω, λοιπόν, K K. K, τότε υπάρχει µι κολουθί ( ) ΙΝ στο Κ µε lm.
. Βσικές Έννοιες 5 Η κολουθί ( ) ΙΝ είνι βσική εφόσον είνι συγκλίνουσ κι εποµένως, φού ο Κ είνι πλήρης, η ( ) ΙΝ θ συγκλίνει σε στοιχείο του Κ. Επειδή το όριο της κολουθίς ( ) ΙΝ είνι µονδικό, έπετι ότι Κ. Εποµένως K K. Αντιστρόφως, έστω ( ) ΙΝ µι βσική κολουθί στο Κ. Προφνώς η ( ) ΙΝ είνι βσική κολουθί κι στον πλήρη µετρικό χώρο (Χ,ρ), εποµένως θ είνι συγκλίνουσ. ηλδή υπάρχει Χ τέτοιο, ώστε lm. Επειδή το Κ είνι κλειστό υποσύνολο του Χ κι η ( ) ΙΝ είνι κολουθί στο Κ, πό την Πρότση..3 προκύπτει ότι Κ. Εποµένως ο (K,ρ) είνι πλήρης µετρικός χώρος. Η έννοι της πόλυτης τιµής ως συνάρτησης στο σύνολο των πργµτικών ριθ- µών γενικεύετι τώρ σε ένν οποιοδήποτε γρµµικό χώρο, µέσω του κόλουθου ορισµού. Ορισµός..4 (Χώρος µε Νόρµ) Έστω Χ ένς γρµµικός χώρος επί του IR. Μι συνάρτηση η οποί ικνοποιεί τις πρκάτω ιδιότητες ), γι κάθε Χ, :Χ ΙR, β) ν κι µόνον ν, γι κάθε Χ, γ) λ λ, γι κάθε Χ, λ IR κι δ) y y, γι κάθε, y Χ (τριγωνική ιδιότητ), ονοµάζετι νόρµ στον Χ, κι το ζεύγος (Χ, ) ονοµάζετι χώρος µε νόρµ. Από τον ορισµό, µπορούµε ν επληθεύσουµε άµεσ ότι ν ο (Χ, ) είνι χώρος µε νόρµ, τότε η συνάρτηση ρ:χ Χ IR, µε ρ(,y) y, γι κάθε, y Χ ποτελεί µι µετρική στο Χ, γι υτό λέµε ότι η ρ είνι η µετρική που κθορίζετι πό τη νόρµ στον Χ. Εποµένως, όλες οι έννοιες που ορίσθηκν κι ισχύουν στους µετρικούς χώρους, ισχύουν ντίστοιχ κι στους χώρους µε νόρµ. Ειδικότερ, όσον φορά στην έννοι της πληρότητς, έχουµε τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός..5 Ένς χώρος µε νόρµ ονοµάζετι χώρος Baach ν ο µετρικός χώρος που κθορίζετι πό τη νόρµ είνι πλήρης.
6 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές Τ πρδείγµτ που κολουθούν φορούν στους πιο γνωστούς χώρους µε νόρµ, στους οποίους νφερθήκµε κι προηγουµένως ως µετρικούς χώρους. Πρδείγµτ. Ο γρµµικός χώρος ΙR,,,... Γι κάθε πργµτικό ριθµό p, ορίζουµε τις συνρτήσεις p :ΙR ΙR, µε p p γι κάθε (,,..., ) ΙR κι τη συνάρτηση :ΙR ΙR, µε γι κάθε (,,..., ) ΙR. p ma{,,,...,}, Κθένς πό τους χώρους (ΙR, p ), p< κι (ΙR, ) είνι χώροι Baach, εφόσον οι µετρικές που κθορίζοντι πό τις νόρµες p, p< κι είνι κριβώς οι µετρικές ρ p, p< κι ρ του πρδείγµτος της σελίδς 3, γι τις οποίες γνωρίζουµε ότι ο χώρος ΙR είνι πλήρης µετρικός χώρος. Ειδικότερ, γι p, η νόρµ ενός στοιχείου του ΙR συµβολίζετι πλώς µε κι η τιµή της τυτίζετι µε τη γνωστή έννοι του ευκλείδειου µέτρου του δινύσµτος. 3. Στο χώρο C(Χ) των φργµένων συνεχών συνρτήσεων f:x ΙR, η συνάρτηση :C(Χ) ΙR, ώστε f sup{ f(), Χ}, γι κάθε f C(Χ), είνι πράγµτι µι νόρµ κι ο χώρος (C(Χ), ) είνι χώρος Baach, εφόσον η µετρική που κθορίζετι πό τη νόρµ είνι κριβώς η µετρική ρ του πρδείγµτος 3 της σελίδς 4, µε την οποί ο (C(Χ),ρ ) είνι πλήρης µετρικός χώρος. p 4. Στο σύνολο l p {( ) ΙΝ : < }, <p< ορίζουµε τη συνάρτηση p :l p IR, µε p p γι κάθε κολουθί ( ) ΙΝ του l p. Το σύνολο l p µε τις κτά όρο πράξεις είνι p,,
. Βσικές Έννοιες 7 γρµµικός χώρος κι ο (l p, p ) είνι πράγµτι χώρος Baach, εφόσον η µετρική που κθορίζετι πό τη νόρµ p είνι κριβώς η µετρική ρ p του πρδείγµτος 4 της σελίδς 4, µε την οποί ο (l p,ρ p ) είνι πλήρης µετρικός χώρος. Μι ενδιφέρουσ κλάση χώρων Baach είνι υτή των χώρων που η νόρµ τους κθορίζετι πό έν εσωτερικό γινόµενο. Υπενθυµίζουµε την έννοι του εσωτερικού γινοµένου µε τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός..6 Έστω Χ ένς γρµµικός χώρος επί του IR. Μι συνάρτηση <,>:Χ Χ ΙR, η οποί ικνοποιεί τις πρκάτω ιδιότητες ) <,>, γι κάθε X, β) ν <,> τότε, γι κάθε Χ, γ) <,y><y,>, γι κάθε, y Χ κι δ) <λµy,z>λ<,z>µ<y,z>, γι κάθε, y, z Χ κι λ, µ IR ονοµάζετι εσωτερικό γινόµενο στον Χ. Με εφρµογή των ιδιοτήτων του ορισµού του εσωτερικού γινοµένου σε ένν χώρο Χ, µπορούµε, επιπλέον, ν διπιστώσουµε ότι ε) <,λyµz>λ<,y>µ<,z>, γι κάθε, y, z Χ κι λ, µ IR κι στ) <,> ν κι µόνον ν, γι κάθε Χ. Επίσης είνι άµεση η ισχύς της επόµενης πρότσης. Πρότση..7 Έστω Χ ένς γρµµικός χώρος κι <,> έν εσωτερικό γινόµενο σ υτόν. Τότε η συνάρτηση :Χ ΙR, µε <,> /, γι κάθε X, είνι µι νόρµ στον Χ. Τότε λέµε ότι η νόρµ υτή κθορίζετι πό το εσωτερικό γινόµενο <,>. Ειδικά, όσον φορά στους χώρους Baach, των οποίων η νόρµ κθορίζετι πό εσωτερικό γινόµενο, έχουµε τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός..7 Ένς χώρος Baach (X, ), του οποίου η νόρµ κθορίζετι πό έν εσωτερικό γινόµενο <,> στον Χ, ονοµάζετι χώρος Hlbert.
8 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές Έστω, τώρ, (X, ) ένς χώρος Hlbert κι <,> το εσωτερικό γινόµενο στον Χ που κθορίζει τη νόρµ. Τότε, γι κάθε, y Χ, έχουµε y y <y,y>< y, y> <,><,y><y,y><,> <,y><y,y> <,><y,y> y. Αποδείξµε, λοιπόν, την κόλουθη πρότση. Πρότση..8 (Κνόνς του πρλληλογράµµου) Σε κάθε χώρο Hlbert Χ ισχύει ότι y y y, γι κάθε, y Χ. Μι ειδική κτηγορί υποσυνόλων ενός χώρου µε νόρµ είνι τ κυρτά σύνολ. Συγκεκριµέν έχουµε τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός..8 Έν υποσύνολο Α ενός χώρου µε νόρµ ονοµάζετι κυρτό ν γι κάθε, y Α κι λ, το λ( λ)y είνι στοιχείο του Α. Το σύνολο cov(a){λ λ λ : IN, Α, λ,,,..., κι λ λ λ } ονοµάζετι κυρτή θήκη του Α. Αποδεικνύετι ότι η κυρτή θήκη ενός υποσυνόλου Α ενός χώρου µε νόρµ Χ είνι cov(a) {Κ Χ: Κ κυρτό κι Α Κ}, δηλδή το ελάχιστο κυρτό σύνολο που περιέχει το Α. Προφνώς το Α είνι κυρτό ν κι µόνον ν Αcov(A). Χρκτηριστικό πράδειγµ κυρτού υποσυνόλου ενός χώρου µε νόρµ ποτελεί η κλειστή σφίρ σ υτόν. Πράγµτι έστω ένς χώρος µε νόρµ (Χ, ) κι η κλειστή σφίρ Β[,r]{ Χ: r}, όπου Χ κι r>. Τότε, ν, y Β[,r] κι λ, θέτουµε zλ( λ)y, οπότε z λ ( λ) λ ( λ)y λ( )( λ)( y) λ ( λ) y λr( λ)rr,
. Βσικές Έννοιες 9 εποµένως z Β[,r]. Η τελευτί έννοι στην οποί νφερόµστε είνι υτή της συµπάγεις. ιτυπώνουµε το σχετικό ορισµό κι κολούθως τις βσικότερες ιδιότητες των συµπγών συνόλων, οι οποίες συνντώντι κτά τη µελέτη των θεωρηµάτων στθερού σηµείου στ επόµεν κεφάλι. Ορισµός..9 (Συµπγής Μετρικός Χώρος) Ένς µετρικός χώρος (Χ,ρ) ονοµάζετι συµπγής ν κάθε νοικτό κάλυµµ του Χ έχει πεπερσµένο υποκάλυµµ. Αυτό σηµίνει ότι ο Χ είνι συµπγής ν γι κάθε οικογένει (G ) Ι νοικτών υποσυνόλων του Χ µε X, υπάρχουν ΙΝ κι,,..., Ι τέτοι, ώστε I G G k k X. Έν υποσύνολο Α του Χ ονοµάζετι συµπγές ν ο µετρικός χώρος (Α,ρ) είνι συµπγής. Ειδικότερ, γι τ κλειστά υποσύνολ ενός µετρικού χώρου ισχύει η κόλουθη πρότση. Πρότση..9 Κάθε κλειστό υποσύνολο ενός συµπγούς µετρικού χώρου είνι συµπγές. Απόδειξη Έστω Κ έν κλειστό υποσύνολο ενός συµπγούς µετρικού χώρου Χ κι (G ) Ι µι οικογένει νοικτών υποσυνόλων του Χ τέτοι, ώστε K I G. Εφόσον το Κ είνι κλειστό υποσύνολο του Χ, το Χ Κ είνι νοικτό υποσύνολο του Χ κι εποµένως τ (Χ Κ) G, Ι, ποτελούν έν νοικτό κάλυµµ του Χ. Εποµένως, εφόσον ο Χ είνι συµπγής µετρικός χώρος, πό τον Ορισµό..9, υπάρχουν ΙΝ κι,,..., ΙΝ τέτοι, ώστε X (X K) G k, οπότε K G k, k k δηλδή το Κ είνι συµπγές υποσύνολο του Χ κι η πόδειξη ολοκληρώθηκε. Γι την επόµενη πρότση είνι πρίτητος ο ορισµός της έννοις του φργµένου συνόλου.
Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές Ορισµός.. Έν υποσύνολο Α ενός µετρικού χώρου (Χ,ρ) ονοµάζετι φργµένο ν το Α περιέχετι σε µι νοικτή σφίρ του Χ, δηλδή ν υπάρχουν Χ κι δ> τέτοι, ώστε Α Β(,δ). Πρότση.. Κάθε συµπγές υποσύνολο ενός µετρικού χώρου είνι κλειστό κι φργµένο. Απόδειξη Έστω Κ έν συµπγές υποσύνολο ενός µετρικού χώρου (Χ,ρ). Αποδεικνύουµε ρχικά ότι το Κ είνι κλειστό υποσύνολο του Χ. ρ(, y) Έστω Χ Κ κι γι κάθε y Κ θέτουµε ε y. Τότε Β(,ε y ) Β(y,ε y ). Από τον Ορισµό..9, εφόσον το Κ είνι συµπγές κι K υπάρχουν y, y,..., y Κ τέτοι, ώστε K B(y,ε. y ) y K B(y,ε ) y, έπετι ότι Θέτουµε ε m{ε y, }, οπότε B(,ε) Κ, δηλδή B(,ε) Χ Κ, εποµένως το Χ Κ είνι νοικτό, οπότε το Κ είνι κλειστό υποσύνολο του Χ. Θ ποδείξουµε, τώρ, ότι το Κ είνι φργµένο υποσύνολο του Χ. Αν Κ, τότε, προφνώς, το Κ είνι φργµένο υποσύνολο του Χ. Έστω, τώρ, έν στθερό Κ. Τότε η οικογένει {B(,k), k,,...} ποτελεί έν κάλυµµ του Κ, οπότε, εφόσον το Κ είνι συµπγές υποσύνολο του Χ, πό τον Ορισµό..9, έπετι ότι υπάρχουν ΙΝ κι k, k,..., k ΙΝ τέτοι, ώστε K B(, k ). Έστω Μma{k, k,..., k }, τότε Κ Β(,M), εποµένως το Κ είνι φργµένο υποσύνολο του Χ. Η πόδειξη ολοκληρώθηκε. Το θεώρηµ που κολουθεί νφέρετι στις χρκτηριστικές ιδιότητες των συνεχών πεικονίσεων πό ένν συµπγή µετρικό χώρο.
. Βσικές Έννοιες Θεώρηµ.. Έστω Χ ένς συµπγής µετρικός χώρος κι Υ ένς µετρικός χώρος. Τότε κάθε συνεχής πεικόνιση f:x Y έχει τις κόλουθες ιδιότητες: ) Η εικόν f(χ) είνι συµπγές υποσύνολο του Υ. β) Αν f(χ)υ (δηλδή η f είνι πεικόνιση «επί»), τότε ο Υ είνι συµπγής µετρικός χώρος. γ) H f είνι κλειστή πεικόνιση, δηλδή ν το Κ είνι κλειστό υποσύνολο του Χ, τότε το f(k) είνι κλειστό υποσύνολο του Υ. δ) Αν η f είνι πεικόνιση κι «επί», τότε η f είνι συνεχής πεικόνιση. Απόδειξη ) Έστω (G ) Ι έν νοικτό κάλυµµ του f(x), όπου G Y, Ι. Τότε X f (G ), δηλδή τ f (G ), Ι, ποτελούν έν νοικτό κάλυµµ του Χ, εφό- I σον είνι οι ντίστροφες εικόνες µέσω της f των νοικτών υποσυνόλων G του Υ, Ι, κι η f είνι συνεχής πεικόνιση (Θεώρηµ..4). Επειδή ο Χ είνι συµπγής µετρικός χώρος, πό τον Ορισµό..9, έπετι ότι υπάρχουν ΙΝ κι,,..., ΙΝ τέτοι, ώστε X f (G ), οπότε. Εποµένως το f(x) είνι συµπ- k f (X) G k k k γές υποσύνολο του Υ. β) Προκύπτει άµεσ ως πόρισµ του (). γ) Εφόσον το Κ είνι κλειστό υποσύνολο του συµπγούς µετρικού χώρου Χ, πό την Πρότση..9, έπετι ότι το Κ είνι συµπγές υποσύνολο του Χ. Εποµένως, πό το ήδη ποδειχθέν (), το f(k) είνι συµπγές υποσύνολο του Υ κι έτσι, πό την Πρότση.., έπετι ότι το f(κ) είνι κλειστό (κι µάλιστ φργµένο) υποσύνολο του Υ. δ) Σύµφων µε την Πρότση..4, ρκεί ν ποδείξουµε ότι η ντίστροφη εικόν (f ) (K)f(K) ενός κλειστού υποσυνόλου Κ του Χ είνι κλειστό υποσύνολο του Υ, το οποίο όµως είνι κριβώς το ήδη ποδειχθέν (γ). Η πόδειξη ολοκληρώθηκε. Από το (γ) της προηγούµενης πρότσης προκύπτει άµεσ το κόλουθο πόρισµ.
Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές Πόρισµ.. Κάθε συνεχής συνάρτηση f:χ IR, όπου Χ είνι ένς συµπγής µετρικός χώρος, είνι φργµένη κι µάλιστ λµβάνει µέγιστη κι ελάχιστη τιµή. Ο έννοι της συµπάγεις, όπως υτή δόθηκε µέσω του Ορισµού..9, βσίζετι στην τοπολογική έννοι του νοικτού συνόλου κι γενικεύετι κριβώς µε τον ίδιο ορισµό σε τοπολογικούς χώρους των οποίων τ νοικτά σύνολ δεν ορίζοντι πρίτητ µέσω κάποις µετρικής. Γι τις νάγκες, όµως της διπργµάτευσης των εννοιών που συνντώντι στους µετρικούς χώρους ή σε χώρους µε νόρµ, στους οποίους η έννοι της σύγκλισης κολουθιών είνι δεδοµένη, θ ήτν πρίτητος ένς πιο εύχρηστος ορισµός της έννοις της συµπάγεις. Το επόµενο θεµελιώδες θεώρη- µ, του οποίου την πόδειξη πρλείπουµε, χρκτηρίζει τους συµπγείς µετρικούς χώρους κι χρησιµοποιείτι ευρύττ δίκην ορισµού. Θεώρηµ..3 Ένς µετρικός χώρος είνι συµπγής ν κι µόνον ν είνι κολουθικά συµπγής, δηλδή ν κάθε κολουθί του έχει µι συγκλίνουσ υπκολουθί. Με βάση το Θεώρηµ..3, ποδεικνύετι ότι Πρότση..4 Κάθε συµπγής µετρικός χώρος είνι πλήρης. Ανφορικά, τώρ, στους χώρους µε νόρµ, η έννοι της συµπάγεις χρησιµοποιείτι, µέσω του επόµενου θεµελιώδους θεωρήµτος, γι ν χρκτηρίσει το χώρο ως προς την λγεβρική του διάστση. Τονίζουµε ότι ως διάστση ενός χώρου µε νόρµ ορίζετι προφνώς η λγεβρική του διάστση ως γρµµικού χώρου. Αποδεικνύετι ότι κάθε χώρος µε νόρµ µε (πεπερσµένη) διάστση ΙΝ είνι γρµµικά ισόµορφος µε τον Ευκλείδειο Xώρο ΙR κι εποµένως είνι χώρος Baach. Θεώρηµ..5 (Θεώρηµ Resz) Ένς χώρος µε νόρµ Χ είνι πεπερσµένης διάστσης ν κι µόνον ν κάθε κλειστό κι φργµένο υποσύνολο του Χ είνι συµπγές. Η πόδειξη πρλείπετι. Από το προηγούµενο Θεώρηµ του Resz κι την Πρότση.. είνι προφνές ότι τ συµπγή υποσύνολ ενός χώρου µε νόρµ πεπερσµένης διάστσης είνι κριβώς τ κλειστά κι φργµέν σύνολ.
. Βσικές Έννοιες 3.3. Η Τοπολογική Ιδιότητ του Στθερού Σηµείου Στην προύσ ενότητ, η οποί ολοκληρώνει υτό το εισγωγικό κεφάλιο, κεντρική θέση κτλµβάνει ο ισχυρισµός ότι η ύπρξη στθερού σηµείου µις πεικόνισης σε έν σύνολο είνι µι ιδιότητ του ίδιου του συνόλου. Η ιδέ υτή ξεκθρίζετι µε τον κόλουθο ορισµό. Ορισµός.3. Έν σύνολο Χ λέµε ότι έχει την ιδιότητ του στθερού σηµείου ν κάθε συνεχής πεικόνιση πό το Χ στον ευτό του έχει (τουλάχιστον) έν στθερό σηµείο. Συχνά είνι ευκολότερο ν διπιστώσουµε ότι έν σύνολο δεν έχει την ιδιότητ του στθερού σηµείου, πλά θεωρώντς µι συνεχή πεικόνιση υτού του συνόλου χωρίς στθερά σηµεί. Αν θεωρήσουµε, γι πράδειγµ, το σύνολο των πργµτικών ριθµών, τότε πράγµτι µπορούµε ν διπιστώσουµε ότι υτό δεν έχει την ιδιότητ του στθερού σηµείου, κθώς γι την πεικόνιση f:ir IR, µε f(), όπου, δεν υπάρχει IR τέτοιο, ώστε f(). Επίσης, πρόµοι, διπιστώνουµε ότι ένς κύκλος δεν έχει την ιδιότητ του στθερού σηµείου, φού µι στροφή κτά µι γωνί ίση, ς πούµε, κτά µετθέτει π κάθε σηµείο του κύκλου. Η έννοι του οµοµορφισµού, την οποί ορίζουµε ευθύς, ποτελεί το βσικό εργλείο, µε το οποίο, ιδιότητες, όπως υτή του στθερού σηµείου, µετφέροντι πό έν σύνολο σε έν άλλο χωρίς ν χάνουν την ισχύ τους. Ορισµός.3. Μί συνεχής έν-προς-έν κι επί πεικόνιση f:x Y µετξύ δύο τοπολογικών χώρων Χ κι Υ, της οποίς η ντίστροφη πεικόνιση f :Υ Χ είνι επίσης συνεχής, ονοµάζετι οµοµορφισµός. Τότε οι χώροι Χ κι Υ ονοµάζοντι οµοµορφικοί. Στο σηµείο υτό είνι σηµντικό ν τονίσουµε ότι η έννοι της συνέχεις γι πεικονίσεις µετξύ τοπολογικών χώρων κθορίζετι µέσω των νοικτών συνόλων που ορίζουν τις τοπολογίες των χώρων κι µπορεί ν περιγρφεί µε έν θεώρηµ κριβώς ντίστοιχο µε το Θεώρηµ..4.
4 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές Πρδείγµτ. Το νοικτό διάστηµ (,) είνι οµοµορφικό προς το σύνολο των πργµτικών ριθµών IR, κθώς η πεικόνιση f:ir (,) µε f () είνι ένς οµο µορφισµός.. Αντίστοιχ, στη γενική περίπτωση, ο Ευκλείδειος Χώρος IR είνι οµοµορφικός προς την νοικτή µονδιί σφίρ Β (,){ IR : <}, εφόσον η πεικόνιση f:ir Β (,) µε f () είνι ένς οµοµορφισµός. Η σπουδιότητ της έννοις του οµοµορφισµού προκύπτει πό το γεγονός ότι κάθε ιδιότητ που ισχύει γι έν σύνολο X, θ ισχύει κι γι κάθε άλλο σύνολο οµο- µορφικό προς το Χ. Τέτοιες ιδιότητες ονοµάζοντι τοπολογικά νλλοίωτες, ή, πλά, τοπολογικές ιδιότητες. Με το θεώρηµ που κολουθεί διπιστώνουµε ότι η ιδιότητ του στθερού ση- µείου είνι πράγµτι µι τοπολογική ιδιότητ. Θεώρηµ.3. (Η τοπολογική ιδιότητ του στθερού σηµείου) Αν το σύνολο Χ έχει την ιδιότητ του στθερού σηµείου κι το σύνολο Υ είνι οµοµορφικό προς το Χ, τότε το σύνολο Υ έχει επίσης την ιδιότητ του στθερού ση- µείου. Απόδειξη Αρκεί ν δείξουµε ότι κάθε συνεχής πεικόνιση πό το σύνολο Υ στον ευτό του έχει στθερό σηµείο. Έστω, λοιπόν, f:y Y µι συνεχής πεικόνιση. Εφόσον τ Χ κι Υ είνι οµοµορφικά, θ υπάρχει ένς οµοµορφισµός g:x Y, οπότε ορίζετι η σύνθεση g f g, η οποί πεικονίζει το σύνολο Χ στον ευτό του κι µάλιστ είνι συνεχής ως σύνθεση συνεχών πεικονίσεων. Εφόσον το σύνολο Χ έχει την ιδιότητ του στθερού σηµείου, θ υπάρχει Χ τέτοιο, ώστε (g f g)() ή, ισοδύνµ, f(g())g(). (.3.) Αν y Υ η εικόν του µέσω του οµοµορφισµού g, δηλδή g()y, η σχέση (.3.) συνεπάγετι ότι
. Βσικές Έννοιες 5 f(y)y, δηλδή το y Υ είνι έν στθερό σηµείο γι την πεικόνιση f, οπότε το θεώρηµ ποδείχθηκε.
ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΟΥ BANACH.. Η Αρχή των Απεικονίσεων Συστολής Μι πό τις πλέον βσικές εφρµογές της έννοις της πληρότητς ενός µετρικού χώρου θεωρείτι η λεγόµενη Αρχή των Απεικονίσεων Συστολής που διτυπώνετι µέσω του ντίστοιχου θεωρήµτος στθερού σηµείου, το οποίο ετέθη κι ποδείχθηκε πρώτ πό το Baach το 9 ως µέρος της διδκτορικής διτριβής του. Το θεώρηµ υτό, όπως θ δούµε κι στ επόµεν, βρίσκει πολλές εφρµογές σε περιπτώσεις ύπρξης κι µονδικότητς, γι πράδειγµ, λύσεων διφορικών ή ολοκληρωτικών εξισώσεων, λλά κι λλού. ιτυπώνουµε πρώτ την έννοι της πεικόνισης συστολής, µέσω του επόµενου ορισµού: Ορισµός.. Μι πεικόνιση f πό ένν µετρικό χώρο (Χ,ρ) στον ευτό του ονοµάζετι πεικόνιση συστολής ν υπάρχει στθερά < τέτοι, ώστε ρ(f(),f(y)) ρ(,y) γι κάθε, y Χ. Η στθερά ονοµάζετι συντελεστής συστολής.
8 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές Ήδη πό τον ορισµό της πεικόνισης συστολής γίνετι φνερό ότι υτή είνι οµοιόµορφ συνεχής, όπως εξσφλίζει το επόµενο θεώρηµ. Θεώρηµ.. Κάθε πεικόνιση συστολής είνι οµοιόµορφ συνεχής. Απόδειξη Έστω (Χ,ρ) ένς µετρικός χώρος κι f:χ Χ µι πεικόνιση συστολής. Τότε, εξ ορισµού, υπάρχει ο συντελεστής συστολής <, ώστε ρ(f(),f(y)) ρ(,y), γι κάθε, y Χ. Αν, τότε προφνώς ρ(f(),f(y)), γι κάθε, y Χ, δηλδή η f είνι στθερή κι εποµένως είνι οµοιόµορφ συνεχής. ε Ας υποθέσουµε τώρ ότι > κι έστω ε>. Αν θέσουµε δ >, τότε γι κάθε ε, y Χ µε ρ(,y)<δ, έπετι ότι ρ (f (),f (y)) ρ(, y) < ε. Εποµένως η f είνι οµοιόµορφ συνεχής κι η πόδειξη ολοκληρώθηκε. Με βάση τ προηγούµεν συµπεράσµτ είµστε σε θέση, τώρ, ν διτυπώσουµε το βσικό θεώρηµ ύπρξης κι µονδικότητς στθερού σηµείου µις πεικόνισης συστολής σε ένν πλήρη µετρικό χώρο. Θεώρηµ.. (Στθερού Σηµείου του Baach) Έστω (Χ,ρ) ένς πλήρης µετρικός χώρος κι f:x X µι πεικόνιση συστολής. Τότε η f έχει έν µονδικό στθερό σηµείο (δηλ. υπάρχει µονδικό X τέτοιο, ώστε f()). Απόδειξη Θεωρούµε έν τυχίο Χ κι ορίζουµε επγωγικά την κολουθί ( ) IN στον Χ µε f( ), γι κάθε,, Εφόσον η f είνι πεικόνιση συστολής, υπάρχει < τέτοιος, ώστε ρ(f(),f(y)) ρ(,y), γι κάθε,y Χ. Με επγωγή, ποδεικνύουµε ρχικά ότι ρ(, ) ρ(, ), (..) γι κάθε,,
. Το Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Baach 9 Πράγµτι Γι, η σχέση (..) γίνετι ρ(, ) ρ(, ), ή, φού f( ),,,, ισοδύνµ ρ(f( ),f( )) ρ(, ), που ισχύει. Υποθέτουµε ότι η σχέση (..) ισχύει γι το κι Αποδεικνύουµε ότι η σχέση (..) ισχύει γι το, δηλδή ρ(, ) ρ(, ). Έχουµε ρ(, )ρ(f( ),f( )) ρ(, ) ρ(, ) ρ(, ). Εποµένως ρ(, ) ρ(, ), γι κάθε,, Θ ποδείξουµε, τώρ, ότι η κολουθί ( ) IN είνι βσική. Πράγµτι γι κάθε m, IN µε m>, πό την τριγωνική ιδιότητ της µετρικής ρ, έπετι ότι ρ( m, ) ρ( m, m )ρ( m, m ) ρ(, ), ή ισοδύνµ, µε βάση τη σχέση (..), ρ( m, ) Επειδή <, έπετι ότι m ρ(, ) ( m m m m ( ) ρ(, ) < ρ(, ). lm ρ(, ) ρ(, ) )ρ(, κι συνεπώς, πό την πρπάνω, προκύπτει ότι η κολουθί () IN είνι βσική, άρ, εφόσον ο Χ είνι πλήρης µετρικός χώρος, υπάρχει Χ τέτοιο, ώστε lm. Τότε το είνι το ζητούµενο στθερό σηµείο της f. Πράγµτι επειδή η f είνι συνεχής πεικόνιση κι lm, λόγω της µονδικότητς του ορίου, έπετι ότι f() lm f( ) lm. Γι ν δείξουµε ότι το είνι το µονδικό στθερό σηµείο της πεικόνισης f, ρκεί ν θεωρήσουµε y Χ τέτοιο, ώστε f(y)y. Τότε ρ(,y)ρ(f(),f(y)) ρ(,y). Αν υποθέσουµε ότι y, τότε ρ(,y)> κι εποµένως, πό την προηγούµενη,, άτοπο, εφόσον <. Εποµένως y κι η πόδειξη ολοκληρώθηκε. )
3 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές Από την προηγούµενη πόδειξη του Θεωρήµτος του Baach, είνι σφές ότι η εύρεση του στθερού σηµείου µις πεικόνισης συστολής f εξσφλίζετι µέσω µις διδικσίς διδοχικών προσεγγίσεων ως εξής: Εκκινώντς πό έν οποιοδήποτε ση- µείο του µετρικού χώρου Χ, λµβάνουµε το επόµενο σηµείο f( ), π υτό το επόµενο f( ) κ.ο.κ. Σε κάθε βήµ υτής της επνληπτικής διδικσίς επιτυγχάνετι κλλίτερη προσέγγιση του στθερού σηµείου της πεικόνισης f, µε την έννοι ότι η κάθε προσέγγιση βρίσκετι πιο «κοντά» (ως προς τη µετρική ρ) στο στθερό σηµείο της πεικόνισης πό ότι η προηγούµενη. Το πρώτο συµπέρσµ του πορίσµτος που κολουθεί επιβεβιώνει υτόν κριβώς τον ισχυρισµό. Πόρισµ..3 Με τις υποθέσεις του Θεωρήµτος του Στθερού Σηµείου του Baach, ν ( ) IN κολουθί στον Χ µε Χ τυχίο κι f( ), γι κάθε,,, έπετι ότι ) ρ(,) ρ(,), β) ρ(, ) ρ(, ) («a pror εκτίµηση σφάλµτος») γ) ρ(, ) ρ(, ) («a posteror εκτίµηση σφάλµτος») γι κάθε,,, όπου Χ είνι το µονδικό στθερό σηµείο της f κι ο συντελεστής συστολής. Απόδειξη ) Επειδή f( ), γι κάθε,, κι f(), προφνώς ρ(,)ρ(f( ),f()) ρ(,). β) Στην πόδειξη του Θεωρήµτος του Baach δείξµε ότι γι κάθε m, IN µε m>, ισχύει ρ(, m) ρ(, ). Γι στθερό κι m, λόγω της συνέχεις της µετρικής ρ, έχουµε ρ(, ) lm ρ(, m) ρ(, ). m γ) Γι κάθε,, έχουµε ( )ρ(,)ρ(,) ρ(,) ρ(,) ρ(f( ),f())
. Το Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Baach 3 ρ(,f( ))ρ(f( ),) ρ(f( ),f()) ρ(f( ),f( )) ρ(, ). Εποµένως ρ(, ) ρ(, ). Τ δύο τελευτί συµπεράσµτ του προηγούµενου πορίσµτος πρέχουν κριτήρι δικοπής υτής της επνληπτικής διδικσίς, νφορικά µε το σφάλµ της προσέγγισης. Ειδικότερ µέσω της «a pror εκτίµησης σφάλµτος» (συµπέρσµ β), εφόσον κθορισθεί εξ ρχής έν σφάλµ ε> της προσέγγισης του στθερού σηµείου της πεικόνισης f, είνι δυντόν ν εκτιµηθεί το πλήθος των βηµάτων που πιτούντι στην επνληπτική διδικσί, ώστε ν επιτευχθεί η συνθήκη ρ(,)<ε. Το επόµενο θεώρηµ, άµεση συνέπει του Θεωρήµτος Στθερού Σηµείου του Baach, νφέρετι στην ξιοσηµείωτη περίπτωση ύπρξης στθερού σηµείου γι πεικονίσεις στις οποίες δεν είνι πρίτητο ν υποτεθεί η συνθήκη της συνέχεις. Θεώρηµ..4 Έστω (Χ,ρ) ένς πλήρης µετρικός χώρος κι f:x X µι πεικόνιση τέτοι, ώστε η f k :X X γι κάποιον θετικό κέριο k είνι πεικόνιση συστολής. Τότε η f έχει έν µονδικό στθερό σηµείο. Ο συµβολισµός f δηλώνει τη σύνθεση της πεικόνισης f µε τον ευτό της φορές. Συγκεκριµέν f f κι γενικά f f f,,, Απόδειξη Από το Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Baach, εφόσον η f k είνι πεικόνιση συστολής, θ έχει έν µονδικό στθερό σηµείο, έστω Χ, δηλδή f k (). Τότε f k (f())f k ()f(f k ())f() που σηµίνει ότι το f() είνι επίσης έν στθερό σηµείο γι την f k. Λόγω της µονδικότητς του, ως στθερού σηµείου της πεικόνισης συστολής f k, έπετι ότι f(), δηλδή το είνι έν στθερό σηµείο της f. Γι τη µονδικότητά του, ν υποθέσουµε ότι επίσης f(y)y γι κάποιο y X, τότε, εφρµόζοντς k φορές την πεικόνιση f, λµβάνουµε προφνώς ότι f k (y)y, δηλδή το y είνι στθερό σηµείο κι της f k, οπότε, λόγω της µονδικότητς υτού, έπετι ότι y.
3 Θεωρήµτ Στθερού Σηµείου κι ιδκτικές Εφρµογές.. Συνρτήσεις Συστολής Ορισµένες σε Κλειστό ιάστηµ Το πλέον τετριµµένο πράδειγµ εφρµογής της Αρχής των Απεικονίσεων Συστολής νφέρετι σε πργµτικές συνρτήσεις f:[,β] [,β] που πληρούν µι συνθήκη Lpschtz f() f(y) k y γι κάθε, y [,β], µε k<. Προφνώς κάθε συνάρτηση f υτής της µορφής είνι συστολή που πεικονίζει το κλειστό διάστηµ [,β] στον ευτό του κι εποµένως, εφόσον το σύνολο των πργ- µτικών ριθµών IR (άρ κι το κλειστό διάστηµ [,β]) µε τη συνήθη ευκλείδει µετρική που ορίζετι πό την πόλυτη τιµή είνι ένς πλήρης µετρικός χώρος, σύµφων µε το Θεώρηµ Στθερού Σηµείου του Baach, η εξίσωση f(), θ έχει µονδική λύση στο [,β], η οποί βρίσκετι ως όριο της κολουθίς ( ) IN γι υθίρετο [,β] κι f( ),,, y β y y β y yf() f( ) f( ) f( ) 3 f( ) f( ) 3 f( ) yf() Ο β Ο 3 β Εικόν Η επνληπτική µέθοδος γι την προσέγγιση του στθερού σηµείου µις πργωγίσιµης συνάρτησης f:[,β] [,β] µε <f ()< κι <f ()< ντίστοιχ Στην ειδική περίπτωση, στην οποί η συνάρτηση f υποτεθεί πργωγίσιµη στο [,β], µι ικνή συνθήκη γι ν πληρείτι η συνθήκη συστολής είνι ν υπάρχει κάποιος k< τέτοιος, ώστε f () k<, γι κάθε [,β]. Πράγµτι πό το Θεώρηµ της Μέσης Τιµής του ιφορικού Λογισµού, γι κάθε, y [,β], υπάρχει κάποιο ξ [,β] τέτοιο, ώστε f() f(y)f (ξ)( y), ή f() f(y) f (ξ) y k y. Η Εικόν πρπάνω περιγράφει την πορεί των διδοχικών προσεγγίσεων του στθερού ση- µείου της συνάρτησης f στις περιπτώσεις <f ()< κι <f ()<.