ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Μθημτικά θετικής & τεχνολογικής κτεύθυνσης Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 94 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 88 Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 59 Α4. ) ΛΑΘΟΣ β) ΣΩΣΤΟ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΣΩΣΤΟ Β. z 4 z z 4 z 4 4 z z zz 4z 4z6 4zz z z z z 4z 4z 6 4z z 4z 4z 4 zz z 4 z ΘΕΜΑ Β Άρ ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z, είνι κύκλος με κέντρο το Ο(,) κι κτίν ρ=. ΓΛΥΦΑΔΑ: ΑΛΕΚΟΥ ΠΑΝΑΓΟΥΛΗ 5 (πένντι πό το ΤΑΧΥΔΡΟΜΕΙΟ), ΤΗΛ. 8944, 8948 ΕΛΛΗΝΙΚΟ: ΛΕΩΦΟΡΟΣ ΒΟΥΛΙΑΓΜΕΝΗΣ 8 (στάση ΜΕΤΡΟ), ΤΗΛ. 9657, 966656
B. ) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 4 4 z 4 z z 4 z όμοι z z z 4 4 z z z z z z w w w z β) w R άρ 4 4 z z z z z z z z z w 4 z z z z w 4 4 w 4 B. wr z z z z w 4 z z 4z z z z z z z z z z z z z z AB z z z z z 4 A z z z iz z i z 5 5 B z z z iz z 5 5. Άρ το τρίγωνο ΑΒΓ ισοσκελές Γ. f () ΘΕΜΑ Γ Άρ f γνησίως ύξουσ στο. f R lim f (), lim f (), φού lim f () lim κι lim f () lim lim lim DLH DLH ΓΛΥΦΑΔΑ: ΑΛΕΚΟΥ ΠΑΝΑΓΟΥΛΗ 5 (πένντι πό το ΤΑΧΥΔΡΟΜΕΙΟ), ΤΗΛ. 8944, 8948 ΕΛΛΗΝΙΚΟ: ΛΕΩΦΟΡΟΣ ΒΟΥΛΙΑΓΜΕΝΗΣ 8 (στάση ΜΕΤΡΟ), ΤΗΛ. 9657, 966656
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 f Γ. Η εξίσωση γράφετι ισοδύνμ f ( ) f ( ) f () 5. ( ) ( ) f () Επειδή το νήκει στο σύνολο τιμών της f η εξίσωση κι φού είνι γνησίως μονότονη η ρίζ υτή είνι μονδική. Γ. τρόπος Ισοδύνμ θ δείξουμε γι, f () έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο 4 4 f ()dt f (4) f ()dt f (4) 4 f ()dt Θεωρούμε τέτοιο ώστε f (4). h(), Θ.Μ.Τ. γι την h στο [,4], οπότε υπάρχει ξ (,4) h(4) h() h(ξ) h (ξ) 4 f ()dt h () f (), h () f (), πό το Γ, οπότε h γνησίως ύξουσ στο [,4]. ξ 4 h (ξ) h (4) f (4). β τρόπος Γι f 4 f ()dt 4 4 t 4 t 4 f (t) f (4) f (4)dt (). ΓΛΥΦΑΔΑ: ΑΛΕΚΟΥ ΠΑΝΑΓΟΥΛΗ 5 (πένντι πό το ΤΑΧΥΔΡΟΜΕΙΟ), ΤΗΛ. 8944, 8948 ΕΛΛΗΝΙΚΟ: ΛΕΩΦΟΡΟΣ ΒΟΥΛΙΑΓΜΕΝΗΣ 8 (στάση ΜΕΤΡΟ), ΤΗΛ. 9657, 966656
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 4 4 4 4 4 f (4)dt f (4) dt f (4) t 4 4 f (4) (4 ) f (4). Η συνάρτηση f (t) f (4) δεν είνι πντού μηδέν στο [,4] οπότε: 4 4 4 f (t) f (4) f (t) f (4) dt f (4)dt Γ4.. 4 (). g () 4f (4) f () Από το Γ έχουμε 4 4 4 f (4) f (4) 4f (4) f () f (4) 4f (4) f () 4 g () f (4) f (4) f () g () f (4) f () f g () f (4) f (), φού κι 4 f (4) f (). Άρ η g είνι γνησίως ύξουσ στο [, ). 4 ΓΛΥΦΑΔΑ: ΑΛΕΚΟΥ ΠΑΝΑΓΟΥΛΗ 5 (πένντι πό το ΤΑΧΥΔΡΟΜΕΙΟ), ΤΗΛ. 8944, 8948 ΕΛΛΗΝΙΚΟ: ΛΕΩΦΟΡΟΣ ΒΟΥΛΙΑΓΜΕΝΗΣ 8 (στάση ΜΕΤΡΟ), ΤΗΛ. 9657, 966656 4
Δ. ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ΘΕΜΑ Δ f () f () f () f () f () f () f () f () f () f () f () f () f () f () f () c f () c Άρ f () f () f () f () f () f () f () f () f () f () f () () f () γι κάθε άρ, Η f () f () (), συνεχής γι κάθε, ως σύνθεση συνεχών ( η f πργωγίσιμη στο, άρ κι συνεχής) συνεπώς διτηρεί πρόσημο, δηλδή f () γι κάθε, ή κάθε, όμως f () άρ f () γι κάθε f () f () f () () () Ισχύει f () γι () f () ln Δ. ) f () ln πργωγίσιμη γι κάθε ως σύνθεση με f () άρ η f γνησίως ύξουσ κι η f πργωγίσιμη γι κάθε ως σύνθεση με f () ΓΛΥΦΑΔΑ: ΑΛΕΚΟΥ ΠΑΝΑΓΟΥΛΗ 5 (πένντι πό το ΤΑΧΥΔΡΟΜΕΙΟ), ΤΗΛ. 8944, 8948 ΕΛΛΗΝΙΚΟ: ΛΕΩΦΟΡΟΣ ΒΟΥΛΙΑΓΜΕΝΗΣ 8 (στάση ΜΕΤΡΟ), ΤΗΛ. 9657, 966656 5
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 f (). Έχει σημείο κμπής O,f () δηλδή το O,, άρ η f κυρτή γι, κι κοίλη γι β) Η εξίσωση εφπτομένης στο Ο(,) της C f είνι: : y f f : y : y Αφού γι η f είνι κοίλη τότε το γράφημ της θ είνι κάτω πό την εφπτομένη της με εξίρεση το σημείο επφής. Άρ f () γι Το ζητούμενο εμβδό είνι: E f () d f () d f ()d d () A f ()d ln d ln d Άρ: ln d ln( ) ln( ) () () E ln ln τ.μ. () Δ. A lim ln f () Η f είνι γνησίως ύξουσ πό Δ() με προφνή ρίζ στο =, άρ γι A lim lnf () lim lnf () Θεωρούμε F() f tdt,, ΓΛΥΦΑΔΑ: ΑΛΕΚΟΥ ΠΑΝΑΓΟΥΛΗ 5 (πένντι πό το ΤΑΧΥΔΡΟΜΕΙΟ), ΤΗΛ. 8944, 8948 ΕΛΛΗΝΙΚΟ: ΛΕΩΦΟΡΟΣ ΒΟΥΛΙΑΓΜΕΝΗΣ 8 (στάση ΜΕΤΡΟ), ΤΗΛ. 9657, 966656 f () άρ: f 6
Η f συνεχής στο,, η ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 f συνεχής άρ Τελικά η F πργωγίσιμη ως σύνθεση άρ πργωγίσιμη, f tdt F () f () κι F() F() F () lim (Ι) f () DLH lnf () f () f () B lim lim lim lim f () ln lim, (II) ln Αφού DLH lim lim ln κι lim Τελικά πό (Ι),(ΙΙ) F() F() ln f () A lim Δ4. Θεωρούμε συνάρτηση H() f t dt 8 f t dt Η συνάρτηση συνεχής στο [,] H() 8 f t dt κι H() f t dt Αφού γι το σημείο επφής. Άρ f () γι η f είνι κοίλη τότε το γράφημ της θ είνι κάτω πό την εφπτομένη της με εξίρεση ΓΛΥΦΑΔΑ: ΑΛΕΚΟΥ ΠΑΝΑΓΟΥΛΗ 5 (πένντι πό το ΤΑΧΥΔΡΟΜΕΙΟ), ΤΗΛ. 8944, 8948 ΕΛΛΗΝΙΚΟ: ΛΕΩΦΟΡΟΣ ΒΟΥΛΙΑΓΜΕΝΗΣ 8 (στάση ΜΕΤΡΟ), ΤΗΛ. 9657, 966656 7
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 f (t ) t f (t )dt t dt f (t )dt H() 8 f (t) t f (t) t t dt f (t )dt H() Άρ H() H() H( ) πό θεώρημ Bolzano υπάρχει τουλάχιστον έν, τέτοιο ώστε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Γ. ΜΠΕΚΟΣ Ι. ΤΣΑΚΜΑΚΗ Β. ΓΕΡΩΝΥΜΑΚΗΣ Δ. ΣΙΔΕΡΗΣ Γ. ΛΥΓΚΑΣ ΓΛΥΦΑΔΑ: ΑΛΕΚΟΥ ΠΑΝΑΓΟΥΛΗ 5 (πένντι πό το ΤΑΧΥΔΡΟΜΕΙΟ), ΤΗΛ. 8944, 8948 ΕΛΛΗΝΙΚΟ: ΛΕΩΦΟΡΟΣ ΒΟΥΛΙΑΓΜΕΝΗΣ 8 (στάση ΜΕΤΡΟ), ΤΗΛ. 9657, 966656 8