ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων» ή «πολύ μικρών» τιμών σε τυχαία πειράματα. Η θεωρία αυτή μπορεί χοντρικά να χωριστεί σε δύο μέρη: - το πιθανοθεωρητικό μέρος που αφορά τη μελέτη της στοχαστικής συμπεριφοράς ακραίων παρατηρήσεων, και - το στατιστικό μέρος που αποτελείται από μοντέλα ερμηνείας, εκτιμήσεων και προβλέψεων ακραίων συμβάντων με βάση πραγματικά δεδομένα. Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 1

Εφαρμογές Σε πάρα πολλές ερευνητικές περιοχές και αφορούν την μοντελοποίηση και μακροπρόθεσμη πρόβλεψη εμφανίσεων ακραίων συμβάντων, π.χ. : Ακραίων καιρικών φαινομένων όπως τυφώνες, έντονες χιονοπτώσεις, μεγάλες πλημμύρες κ.ο.κ. (Μετεωρολογία Μεγάλων σεισμικών δονήσεων σε συγκεκριμένες γεωγραφικές περιοχές (Σεισμολογία Πολύ υψηλών ή πολύ χαμηλών επιπέδων στάθμης των υδάτων σε συγκεκριμένες λίμνες, ποτάμια, φράγματα κ.ο.κ. (Υδρολογία Καταστροφικών βλαβών ή αποτυχιών μηχανημάτων ή εξαρτημάτων, δηλαδή αποτυχιών που γίνονται σε σύντομο χρονικό διάστημα από την έναρξη λειτουργίας τους, πολύ πριν το μέσο χρόνο λειτουργίας ή ζωής τους (Αξιοπιστία Συστημάτων Ηλιακών καταιγίδων που επηρεάζουν τις τηλεπικοινωνίες ή εκρήξεων υπερκαινοφανών (Αστρονομία κ.ο.κ Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 2

Εφαρμογές στην Ασφάλιση και στα Χρηματοοικονομικά Τα περισσότερα παραπάνω παραδείγματα μπορεί να οδηγήσουν σε απαιτήσεις πολύ μεγάλων αποζημιώσεων, ή σε πολύ μεγάλες ζημιές σε χαρτοφυλάκια που περιέχουν τίτλους των οποίων η αξία μπορεί να επηρεάζεται από ακραία ή γενικότερα «σπάνια» συμβάντα. Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 3

Τυπικές ερωτήσεις - Ποια είναι η πιθανότητα η ταχύτητα του ανέμου σε μια συγκεκριμένη περιοχή, το επόμενο έτος, να υπερβεί ένα προκαθορισμένο υψηλό κατώφλι; - Δεδομένων των μετρήσεων της στάθμης του ύδατος σε ένα φράγμα τα τελευταία 10 έτη, ποια είναι η πρόβλεψη για την υψηλότερη στάθμη στα επόμενα 100 χρόνια; - Ποιο είναι το ύψος του ποσού το οποίο δεν θα υπερβεί καμία απαίτηση ζημιάς (για το επόμενο έτος με πιθανότητα 0.1%;. κ.ο.κ. Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 4

Παράδειγμα Μία μεγάλη ασφαλιστική εταιρία έχει καταγράψει τις ημερήσιες απαιτήσεις ζημίας που κλήθηκε να καλύψει τα προηγούμενα τρία έτη. ( > 2.000 ευρώ. Θεωρούμε ότι δεν εμφανίζουν κάποια περιοδικότητα και είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες. (πρόκειται για ημερήσιες απαιτήσεις, και επομένως, αν υπάρχει κάποιο ακραίο γεγονός που «γεννά» πολλές απαιτήσεις ταυτόχρονα, αυτές θα μετρηθούν ως μια απαίτηση. Τα δεδομένα καταγράφονται στο επόμενο γράφημα: στον οριζόντιο άξονα αναπαρίσταται ο χρόνος, ενώ στον κάθετο άξονα αναπαρίσταται το ύψος της ημερήσιας απαίτησης ζημίας (σε χιλιάδες ευρώ: i. 1st Quarter eia ea 3r Quarter a. 2.018 4.394 9.167 15.400 18.660 151.500 Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 5

Επίσης το ιστόγραμμα, το γράφημα της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής, το θηκόγραμμα, καθώς και το Q-Q plot ως προς την εκθετική κατανομή αντίστοιχα είναι Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 6

Διαφαίνεται ότι οι παρατηρήσεις ίσως προέρχονται από κάποια κατανομή με βαριά δεξιά ουρά. (Χοντρικά μπορούμε να πούμε ότι ορισμένες παρατηρήσεις μπορεί να είναι πάρα πολύ μεγάλες σε σχέση με τις περισσότερες. Παρατηρούμε ότι, ενώ η μέση παρατηρήση είναι 15.4, έχουμε πολλές παρατηρήσεις πάνω από 30, 40 ακόμη και 50, με μεγαλύτερη την 151.5. Επίσης από το παραπάνω Q-Q plot των παρατηρήσεων ως προς την εκθετική κατανομή, διαφαίνεται ότι η δεξιά ουρά της κατανομής των παρατηρήσεων είναι πιο βαριά από την εκθετική. Ερωτήματα: - ποια είναι η κατανομή των «πολύ υψηλών» απαιτήσεων ζημιάς; - ποιο είναι το κατώφλι p το οποίο δεν θα υπερβεί καμία απαίτηση ζημιάς (π.χ. για τις επόμενες ημέρες με κάποια δεδομένη πιθανότητα 1 p (π.χ. 99%; κ.ο.κ. Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 7

Μια πρώτη προσέγγιση του προβλήματος: Υποθέτουμε ότι οι παρατηρήσεις X 1,..., X (π.χ. απαιτήσεις ζημιάς προέρχονται από κάποια συγκεκριμένη κατανομή F θ (π.χ. κανονική ή εκθετική, Εκτιμούμε τις άγνωστες παραμέτρους θ (π.χ. μ, σ 2 από τα δεδομένα Μελετούμε την συμπεριφορά της ουράς με βάση την Για παράδειγμα: Το κατώφλι p που αναζητείται παραπάνω προσδιορίζεται από την εξίσωση και επομένως P(ma{X 1,,Χ } < p 1 p P(X 1 < p,, X < p 1 p F θˆ P(X 1 < p P(X < p 1 p F θ ( p 1 p 1 1/ F ((1 p 1 1/ ˆ p Fˆ ((1 p θ p θ Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 8

Η παραπάνω διαδικασία σπάνια θα οδηγήσει σε ασφαλείς προβλέψεις διότι: 1 1/ ˆ (1 p 1/ 1 και επομένως η p Fˆ ((1 p βασίζεται αποκλειστικά στη θ μορφή της δεξιάς ουράς της πραγματικής κατανομής των δεδομένων Παρατηρούμε όμως ότι: (1 Η επιλογή της F θ είναι αυθαίρετη και τίποτε δεν εγγυάται ότι η δεξιά ουρά της παρουσιάζει την ίδια συμπεριφορά με την πραγματική ουρά των δεδομένων. (2 Οι εκτιμήσεις, θˆ, πιθανότατα θα γίνουν με βάση το σύνολο των παρατηρήσεων και επομένως ελάχιστα θα βασίζονται στις ακραίες παρατηρήσεις (που υποδηλώνουν τη μορφή της δεξιάς ουράς της πραγματικής κατανομής των δεδομένων. (3 Ακόμη και να έχει γίνει σωστή επιλογή της F θ, ελάχιστες αποκλίσεις των εκτιμήσεων θˆ από τις πραγματικές τιμές θ, μπορεί να οδηγήσει σε πολύ μεγάλες αποκλίσεις στις εκτιμήσεις που γίνονται «κοντά» στο δεξί όριο της F θ. (4 Πολλές φορές έχουμε στη διάθεσή μας είτε μέγιστες τιμές ανά χρονικές υποπεριόδους (π.χ. μέγιστα ανά εβδομάδα, μήνα ή έτος ή περικομμένα δεδομένα (π.χ. παρατηρήσεις μεγαλύτερες από μία συγκεκριμένη τιμή με αποτέλεσμα να μην μπορούμε εύκολα να εκτιμήσουμε την F θ. Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 9

Επομένως: Θα πρέπει αναγκαστικά να επικεντρωθούμε αποκλειστικά στην μελέτη της συμπεριφοράς της δεξιάς ουράς της κατανομής των παρατηρήσεων. Ειδικότερα θα πρέπει να βασιστούμε: - Στην κατανομή της μέγιστης παρατήρησης (ανά χρονική περίοδο ή - Στην κατανομή των παρατηρήσεων πάνω από ένα υψηλό κατώφλι. Οι παραπάνω κατανομές προφανώς εξαρτώνται από την κατανομή F των παρατηρήσεων X 1,..., X. Από την στιγμή όμως που η F δεν είναι γνωστή ή δεν μπορεί να εύκολα να εκτιμηθεί, θα πρέπει με κάποιο τρόπο να βασιστούμε - Στην οριακή κατανομή της μέγιστης παρατήρησης (αν υπάρχει ή - Στην οριακή κατανομή των παρατηρήσεων πάνω από ένα υψηλό κατώφλι (αν υπάρχει Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 10

Η μορφή της κατανομής της μέγιστης παρατήρησης Έστω Χ, Χ 1, Χ 2,... ii, μη ιδιάζουσες τ.μ. με κοινή σ.κ. F και { X, X } ma 1 2,..., X. Από την μελέτη της μπορούν εύκολα να προκύψουν συμπεράσματα και για την ελάχιστη τιμή διότι, mi{ X1, X 2,..., X } ma{ X1, X 2,..., X }, Η ακριβής σ.κ. της Μ θα είναι P { X, X,..., X } P( X,..., X F( ( P(ma 1 2 1, R. Δεν πρέπει να βασιστούμε στην F, θα πρέπει να προσπαθήσουμε να προσεγγίσουμε την παραπάνω κατανομή, για μεγάλο, ανεξαρτήτως της F Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 11

Η σύγκλιση της κατανομής της όταν Συμβολίζουμε με F, το δεξιό άκρο του στηρίγματος της F, F sup{ R : F( < 1}, Το F μπορεί να είναι πεπερασμένο, αλλά μπορεί να ισούται και με άπειρο. Είναι διαισθητικά προφανές ότι, για, ma{x 1, X 2,, X } F Πράγματι: - αν F τότε, για, P( F( 0, R, - ενώ αν F <, τότε P( F( 0, < 1, > F F Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 12

Ομοιότητες με τον Νόμο των Μεγάλων Αριθμών και το ΚΟΘ Παρατηρούμε ότι η σχέση θυμίζει την (Νόμος Μεγάλων Αριθμών F X μ H ταχύτητα της σύγκλισης X μ περιγράφεται από το ΚΟΘ (για σ < X σ / μ N(0,1. Παρόμοια, θα μπορούσαμε, «τυποποιώντας» το Μ, να πάρουμε κάτι ανάλογο; Ερώτημα: κάτω από ποιες συνθήκες ισχύει το παραπάνω, και αν ισχύει, ποιες μπορεί να είναι οι ακολουθίες,, 1,2, και η οριακή κατανομή G;. G Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 13

Παράδειγμα 1.2. (Χ i ~ Εκθετική Θεωρούμε ότι οι ii τ.μ. Χ 1, Χ 2,..., Χ ~ Εκθετική (λ. Aν πάρουμε λ -1 l, 1/λ, τότε P l λ l + l + ( P( P( (1 F ( 1 λ λ λ + e e λ l λ (1 e (1 e, R, Δηλαδή, το κανονικοποιημένο μέγιστο συγκλίνει στην σ.κ. e Λ ( e, R. Ερωτήματα: (α το ίδιο ισχύει για όλες τις κατανομές; (β η κατανομή Λ (Gumbel είναι η μοναδική οριακή κατανομή οριακού μέγιστου; (γ αν αλλάξουμε τα, μπορεί να προκύψει διαφορετική οριακή κατανομή; Γενικότερα: Αν Χ 1, Χ 2,..., Χ ~ F (άγνωστη που μπορεί να συγκλίνει η Μ ; Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 14

Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 15 Για οποιεσδήποτε ακολουθίες, θα ισχύει ότι ( ( P P +,..., ( 1 X X P + < + < F F + + ( 1 ( 1 ( Επομένως, αποδεικνύεται η ακόλουθη πρόταση*: Πρόταση 1.3. Για, R, ( ( e P λ αν και μόνο αν ( ( F λ + όπου λ( [0, ]. *Το αποτέλεσμα αυτό ουσιαστικά οφείλεται στο νόμο των μικρών αριθμών (προσέγγιση της Διωνυμικής ( 1 X I Y i i + > από την κατανομή Poisso.

Παραδείγματα μη ύπαρξης οριακής κατανομής του μέγιστου Υπάρχουν περιπτώσεις κατανομών F για τις οποίες δεν μπορούν να βρεθούν ακολουθίες,, ώστε, για κάποια μη-εκφυλισμένη κατανομή G, να ισχύει ότι ( / G. Π.χ. όταν F < και P(Χ i F > 0 (π.χ. Χ i διακριτή με πεπερασμένο πλήθος δυνατών τιμών Για να υπάρχει μια οριακή μη εκφυλισμένη G θα πρέπει lim F ( / F ( 1 (Αν Χ i ~ διακριτή κατανομή στο N {0, 1,... }, θα πρέπει F ( / F ( 1 1 F _ Π.χ. για την κατανομή Poisso * (λ και τη Γεωμετρική * (p κατανομή ισχύει ότι F ( / F ( 1 0 και 1 p < 1 αντίστοιχα και επομένως, για αυτές τις κατανομές, δεν υπάρχει οριακή κατανομή G. *Σε αυτές τις περιπτώσεις, η κατανομή του (Μ / «συγκεντρώνεται» σε μία περιοχή αλλά λόγω του διακριτού της κατανομής «ταλαντεύεται». Για κατάλληλες υπακολουθίες της (Μ / θα υπάρχουν διαφορετικές οριακές κατανομές (πρόκειται για μετατοπίσεις της ίδιας G. Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 16

Κατανομές που μπορούν να προκύψουν ως όρια μεγίστων: a-stable κατανομές Συμβολίζουμε με D το σύνολο των (μη-εκφυλισμένων κατανομών που μπορούν να προκύψουν ως όριο κάποιου κανονικοποιημένου μέγιστου. Όταν Χ i ~ Εκθετική αποδείξαμε ότι Λ D e Λ( e, R, άρα Ερώτημα: - Είναι η Λ (Gumbel η μοναδική κατανομή που ανήκει στο D, ή μπορούν να προκύψουν και άλλες κατανομές ως όρια κανονικοποιημένου μέγιστου τ.μ. ; Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 17

Θα διερευνήσουμε από ποιές κατανομές F, το κανονικοποιημένο μέγιστο (Μ / ακολουθεί και πάλι την ίδια F. Ονομάζουμε ma-stable (μέγιστο-ευσταθή οποιαδήποτε (μη-εκφυλισμένη κατανομή F με την παραπάνω ιδιότητα. Προφανώς ma-stable D Η κατανομή Λ (Gumbel που είδαμε παραπάνω είναι ma-stable: αν Χ i ~ Λ, και επιλέξουμε l και 1, P (l + e e ( P( l + Λ(l + e e. Ερώτημα: Υπάρχουν κατανομές στην κλάση D που δεν είναι ma-stable; Απάντηση (Θεώρημα 1.7: ma-stable D Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 18

Σχέδιο Απόδειξης: Aρκεί ν.δ.ο. αν G D τότε G ma-stable - Αν G D, θα υπάρχουν ανεξ. τ.μ. X 1, Χ 2, ~ F ώστε (Μ / G - Θεωρούμε τα μέγιστα σε k το πλήθος ανεξάρτητες -άδες των Χ i : ma{ X ( i1 + 1, X ( i1 + 2,..., X ( i1 }, i 1,2,,k. ( i + ( i - Θα είναι Y ( / G i - Παρατηρούμε ότι ένα κατάλληλα κανονικοποιημένο μέγιστο των Υ 1, Υ 2,, Y, ma{ Y 1,..., Y k k / } k ma{ (1,..., k ( k } k k k k G - Δηλαδή (αν, το κανονικοποιημένο μέγιστο των Y 1, Y 2,, Y που ακολουθούν την G, ακολουθεί και πάλι την G (διότι γράφεται και ως κανονικοποιημένο μέγιστο των X i. Άρα η G θα είναι ma-stable. Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 19

Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 20 Κατανομές ιδίου τύπου Δύο X, Y (αντ. κατανομές είναι του ίδιου τύπου αν X Y + για κάποια,. Παρατηρούμε ότι αν υπάρχουν, και G έτσι ώστε G, Τότε για ~, ~, για R, 0, G + + ~ ~ και η G είναι ιδίου τύπου με την G. Επομένως, οι ακολουθίες, που εξασφαλίζουν ότι ( / συγκλίνει σε μια οριακή κατανομή G δεν είναι μοναδικές. Μπορούμε δηλαδή να βρούμε και άλλες, και να καταλήξουμε σε μια άλλη οριακή κατανομή G. Αποδεικνύεται όμως ότι καταλήγουμε πάντοτε σε οριακές κατανομές ιδίου τύπου ( / (( ( G G.

Προσδιορισμός της κλάσης D Επιθυμούμε να προσδιορίσουμε την κλάση D (δηλ. ποιες κατανομές μπορούν να εμφανιστούν ως όρια κανονικοποιημένων μέγιστων Αφού D ma-stable, αρκεί να προσδιορίσουμε την κλάση των ma-stable κατανομών Έχουμε ήδη βρεί ότι η Λ (Gumbel είναι ma - stable Ερώτημα: Ποιες κατανομές είναι ma-stable; Υπάρχουν και άλλες ma-stable κατανομές εκτος της Gumbel; Tο επόμενο θεώρημα δίνει την απάντηση σε αυτό το ερώτημα: Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 21

Το Θεμελιώδες Θεώρημα των Fisher-Tippett Έστω Χ 1, Χ 2,... μια ακολουθία από ii τ.μ. Αν υπάρχουν ακολουθίες > 0, R και μια μη-εκφυλισμένη κατανομή G ώστε ma{ X X 1,..., } G τότε η G θα είναι του ιδίου τύπου με μια από τις τρείς ακόλουθες κατανομές: Frehet: 0, 0 Φ a ( a, a > 0 e, > 0 Weibull: Gumbel: a ( e, 0 Ψa (, a > 0 1, > 0 e Λ( e, R. Οι κατανομές Φ α, Ψ α, Λ καλούνται τυπικές κατανομές ακροτάτων ενώ κατανομές που είναι του ιδίου τύπου με αυτές καλούνται κατανομές ακροτάτων. Σχέδιο Απόδειξης: Αποδεικνύεται ότι οι μόνες (μη-εκφυλισμένες λύσεις της συναρτησιακής εξίσωσης που προκύπτει από τον ορισμό των ma-stable κατανομών, είναι οι τρείς παραπάνω. Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 22

1 0.8 a 3 a 3 a 2 1.2 1 0.8 0.6 0.4 a 2 a 1 a 1 0.6 0.4 0.2 0.2 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-3 -2.5-2 -1.5-1 -0.5 Frehet (Φ a Weibull (Ψ a 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1-2 2 4 6 Gumbel (Λ Οι κατανομές Φ a και Λ έχουν F, ενώ η Ψ a έχει F 0. Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 23

Παρατηρήσεις (α Από το Θ. F-T, η ασυμπτωτική κατανομή, G, του ( / των ii Χ 1,,Χ ~ F για οποιαδήποτε σ.κ. F, θα είναι (αν υπάρχει ίση με για κάποιες σταθερές,. (β Οι Λ, Φ α, Ψ α συνδέονται ως εξής: Λ(( / ή Φ α (( / ή Ψ α (( / X ~ Λ e X / a ~ Φ a e X / a (γ Η κατανομή Ψ α αναφέρεται παραπάνω ως κατανομή Weibull. Ουσιαστικά όμως πρόκειται για μια αντεστραμμένη (reverse κατανομή Weibull. (δ Οι κατανομές Frehet, Weibull και Gumbel είναι (οι μόνες ma-stable κατανομές. Αποδεικνύεται εύκολα ότι - αν Χ 1, Χ 2,... ~ Φ α τότε Μ / 1/a ~ Φ α, - αν Χ 1, Χ 2,... ~ Ψ α τότε Μ / 1/a ~ Ψ α - αν Χ 1, Χ 2,... ~ Λ τότε Μ l ~ Λ ~ Ψ a Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 24

Ροπογεννήτρια της Gumbel και Ροπές των κατανομών ακροτάτων Αν Χ ~ Λ, αποδεικνύεται ότι E( e tx Γ(1 t, t < 1 (Γ :συνάρτηση Γάμμα. Παραγωγίζοντας την παραπάνω ροπογεννήτρια ως προς t λαμβάνουμε: E (X Γ (1 1 όπου γ lim( l 0.5772156... είναι η σταθερά Euler. k k 1 γ Επίσης, αποδεικνύεται ότι V ( X π / 6. 2 Aν Χ ~ Λ, τότε η Y e X/a ~ Φ a και W e X/a ~ Ψ a και άρα E( Y E( e X / a Γ(1 1/ a, a > 1, E( W E( e X / a Γ(1 + 1/ a, a > 0. ενώ αν a 1, η μέση τιμή της Frehet θα είναι E(Y. Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 25

Παράδειγμα με οριακή κατανομή κανον. μεγίστου την κατανομή Frehet Έστω ii Χ 1, Χ 2,... ~ Cauhy ( F με σ.π.π. f 1 R π (1 +, ( 2 Αν πάρουμε 0, /π, τότε π P( P( P( (1 F ( π π και επειδή, 2 lim F ( f ( lim lim 1, 1 1 2 ( π π 1+ 2 προκύπτει τελικά ότι,, R, lim( 1 F ( π lim( 1 F ( ( π π π 1 F ( ep( lim( ( π π π 1 e 1, και επομένως εδώ η οριακή κατανομή είναι η Φ 1. Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 26

Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 27 Παράδειγμα με οριακή κατανομή κανον. μεγίστου την κατανομή Weibull Έστω ii Χ 1, Χ 2,... ~ Ομοιόμορφη στο [0,1] ( F 1 Επιλέγοντας 1/ και 1, η κατανομή του κανονικοποιημένου μέγιστου θα είναι 1 ( ( ( P P P +, e F + + 1 1 (, < 0, η οποία είναι η Ψ 1.

Περιοχές έλξης μιας κατανομής ακροτάτων Είδαμε ότι η οριακή κατανομή ενός κανονικοποιημένου μεγίστου ( / των X i έχει τον ίδιο τύπο με μια από τις Λ, Φ α, Ψ α. Επομένως: Σε κάθε κατανομή F των X i, θα αντιστοιχεί μια μοναδική οριακή κατανομή, μία από τις Λ, Φ α, Ψ α (αρκεί το ( / να συγκλίνει, Ερώτημα: Σε ποιες κατανομές F αντιστοιχεί η Λ, σε ποιες η Φ α και σε ποιες η Ψ α ; Ορισμός Μια τ.μ. Χ (ή αντίστοιχα η κατανομή της, F ανήκει «στην περιοχή έλξης μιας κατανομής ακροτάτων G» αν υπάρχουν ακολουθίες > 0, R έτσι ώστε η ( / G. (συμβολικά, Χ ή F DA(G. Είδαμε ότι: Εκθετική DA(Λ, Cauhy DA(Φ a, Ομοιόμορφη DA(Ψ a. Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 28

Συναρτήσεις ομαλής κύμανσης Ορισμός Μια θετική συνάρτηση h στο (0, καλείται ομαλής κύμανσης (regularly varyig στο με δείκτη a (συμβ. h R a αν h( t lim t h( a, t 0. - Αν a 0 τότε καλείται βραδείας κύμανσης (slowly varyig. - Aν a (t a αν t (0,1 ή 0 αν t (1, καλείται ταχείας κύμανσης (rapily varyig Κάθε συνάρτηση h R a, a R, μπορεί να γραφεί ως h( a L(, όπου L R 0. Παραδείγματα: - Συναρτήσεις βραδείας κύμανσης: οι σταθερές συναρτήσεις, οι συναρτήσεις που συγκλίνουν σε μια σταθερά (στο, και συναρτήσεις που μεταβάλλονται «πολύ αργά» στο όπως η λογαριθμική συνάρτηση, κ.ο.κ. - Συναρτήσεις ομαλής κύμανσης είναι π.χ.: οι συναρτήσεις a, a l(1+ κ.ο.κ. - Συναρτήσεις ταχείας κύμανσης είναι π.χ. οι εκθετικές συναρτήσεις e -. Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 29

Κατανομές ισοδύναμης ουράς Δύο σ.κ. F, G μπορούν να έχουν διαφορετική μορφή στο R αλλά η δεξιά ουρά τους να έχει την ίδια συμπεριφορά. Θα καλούμε δύο τέτοιες κατανομές «ισοδύναμης ουράς» (tail-equivalet. Ορισμός Δύο σ.κ. F, G έχουν ισοδύναμη ουρά αν F G και, για κάποιο > 0, F ( lim, F G ( Αν δύο σ.κ. έχουν ισοδύναμη ουρά τότε ανήκουν στην ίδια περιοχή έλξης μιας κατανομής ακροτάτων (με τις ίδιες ακολουθίες,. Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 30

Μορφή των ακολουθιών, που κανονικοποιούν το Αν Χ i ~ F (συνεχείς τότε οι τ.μ. Y i F(X i, ~ Ομοιόμορφη κατανομή το [0,1] Επομένως: ma{y i } ma{f(x i } F(ma {X i } F( 1 1 (διότι η ma{y i } από ομοιόμορφες τ.μ. έχει μέση τιμή 1 1. Άρα, γενικά, F 1 (1 1 και είναι λογικό να εξετάσουμε αν μπορούμε να επιλέξουμε F 1 (1 1 ή F 1 (1 1. Για να αντιμετωπίσουμε και την περίπτωση που η F δεν αντιστρέφεται ορίζουμε την γενικευμένη αντίστροφη μιας σ.κ. F: F ( t if F 1 ([ t,1] if{ R : F( [ t,1]}, 0 < t < 1. (αν η F είναι αντιστρέψιμη τότε F 1 F Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 31

Η περιοχή έλξης της Φ α (Frehet Για την a a Φ ( 1 e, a > 0, ισχύει ότι a a a ( t a1 ( t a ( t Φa ( t 1 e ( a( t t e t e a lim lim a lim a lim a t, Φ a a ( e 1 1 ( a e e και επομένως, Φa R -a (ομαλής κύμανσης με δείκτη a. Ερώτηση: Οι κατανομές με την «ίδια» ουρά (δηλ. ομαλής κύμανσης με δείκτη a ανήκουν όλες στην περιοχή έλξης της Φ a ; Απάντηση: ΝΑΙ Μια σ.κ. F DA(Φ a αν και μόνο αν F R -a, a > 0. Αν F DA(Φ a τότε F και όπου F (1 1 και 0. / Φ, Παραδείγματα: Pareto, Cauhy, Loggamma DA(Φ a a Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 32

Η περιοχή έλξης της Ψ α (Weibull 1 Παρατηρούμε ότι Φa ( Ψa (0 και επειδή Φa ( R -a έπεται ότι και 1 1 Ψa (0 Ψa ( F R -a (η Ψ a έχει F 0. 1 Ερώτηση: οι σ.κ. F με F ( F R -a θα ανήκουν πάντοτε στην DA(Ψ a ; Απάντηση: ΝΑΙ 1 Μια σ.κ. F DA(Ψ a αν και μόνο αν F < και F ( F R -a, a > 0. Αν F DA(Ψ a τότε όπου 1 F (1, F F. Ψ a, Παραδείγματα: Ομοιόμορφη, Βήτα DA(Ψ a Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 33

Η περιοχή έλξης της Λ (Gumbel Ισχύει ότι lim Λ( / e 1 και άρα, Δηλαδή, Λ (ταχείας κύμανσης. R Λ ( ( e, όπου ( 1 για. Ερώτηση: Η κλάση DA(Λ περιλαμβάνει μόνο κατανομές με F R ; Απάντηση: ΝΑΙ, αρκεί F. Αλλά υπάρχουν και F στην DA(Λ με F <. Γενικά αποδ. ότι: μια σ.κ. F DA(Λ αν και μόνο αν μπορεί να αναπαρασταθεί F ( ( e z g( t t a( t για κάποιο z < F, όπου, g είναι συναρτήσεις με ( 0 > 0, g( 1 όταν F, και lim a ( 0. F Επίσης, αν μια κατανομή F DA(Λ έχοντας την παραπάνω αναπαράσταση, τότε 1 ( / Λ όπου F (1, a(. Παραδείγματα: Εκθετική, Weibull, Κανονική, Λογαριθμοκανονική κ.α., z < < F Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 34

Συνοψίζοντας, παρατίθεται ο ακόλουθος πίνακας: Weibull (Reverse Weibull Gumbel Frehet Ψ a ( e ( a, 0, a > 0 Λ( e e, R a Φa ( e, > 0, a > 0 F ( F 1 DA: F <, a L( R (L R 0 a F ( ( e DA: F, z g( t t a( t ( 0 > 0, g( 1, a ( 0, F, z < < F F ( DA: F, a L( R (L R 0 F F (1-1, F a(, F (1-1 F (1-1, 0 Uiform, Beta, Epoetial, Weibull (ot reverse, Gamma, Normal, Logormal a Cauhy, Pareto, Loggamma, Burr, Etreme Value Theory (slies, 2008-10, Boutsikas ihael 35