ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΤΣΙΤΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f αραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του o, στο οοίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f ()> στο (α, o ) και η f ()< στο (β, o), τότε να αοδείξετε ότι το f() είναι τοικό μέγιστο της f. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α: Σχολικό βιβλίο σελ. 6 (Μονάδες 7) Α: Πότε δύο συναρτήσεις f,g λέγονται ίσες; (Μονάδες 4) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α: Σχολικό βιβλίο σελ 4 Α: Να διατυώσετε το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά (Μονάδες 4) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α: Σχολικό βιβλίο σελ 47-48

Α4: Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας, δίλα στο γράμμα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η ρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η ρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε συνεχή συνάρτηση fα,βr, αν G είναι μια αραγούσα της f στο β α,β, τότε το f(t)dt G(α ) - G(β ). α β) Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν όριο στο και ισχύει f() g() κοντά στο, τότε f() g(). γ) Κάθε συνάρτηση f, για την οοία ισχύει f()= για κάθε ( α, ) (,β), είναι σταθερή στο ( α, ) (,β). δ) Μια συνάρτηση f είναι -, αν και μόνο αν, για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της, η εξίσωση y=f() έχει ακριβώς μία λύση ως ρος. ε) Αν η f είναι συνεχής στο [α,β], τότε η f αίρνει στο [α,β] μια μέγιστη τιμή μ και μια ελάχιστη τιμή m. (Μονάδες ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ A4: α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f(), R. Β: Να βρείτε τα διαστήματα στα οοία η f είναι γνησίως αύξουσα, τα διαστήματα στα οοία η f είναι γνησίως φθίνουσα και τα ακρότατα της f. (Μονάδες 6) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Β: f() D f R

f () ( ) ( ) ( ) ( ) Είναι f()== ( ) f() f () Οότε έχουμε τον αρακάτω ίνακα ροσήμου της f και μεταβολών της f f() f f() E H f συνεχής στο (,] και f(), (,) άρα η f γνησίως φθίνουσα στο (,]. Η f συνεχής στο [,) και f(), (,) άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ). Η f αρουσιάζει στο ολικό ελάχιστο το f(). Β: Να βρείτε τα διαστήματα στα οοία η f είναι κυρτή, τα διαστήματα στα οοία η f είναι κοίλη και να ροσδιορίσετε τα σημεία καμής της γραφικής της αράστασης. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Β: (Μονάδες 9) f () ) ( ( ( ) ( ) ( ) ( 4 ( ) ) ) ( )( ) ( ) )( ( 4 ) 4 )

f() f Σ.Κ Σ.Κ f( ) 4 4 f άρτια f( ) άρα σημεία καμής Α(, ),Β(, ) 4 4 4 Η f είναι συνεχής στο (, ] και f(), (, ), άρα η f κοίλη στο (, ]. Η f είναι συνεχής στο [, ] και f(), (, ), άρα η f κυρτή στο [, ]. Η f είναι συνεχής στο [, ) και f(), (, ), άρα η f κοίλη στο [, ). Β. Να βρεθούν οι ασύμτωτες της γραφικής αράστασης της f. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Β: Εειδή η f συνεχής στο Df=(,) δεν αναζητούμε κατακόρυφες ασύμτωτες. Για ασύμτωτες στο και το έχουμε: «λάγιες οριζόντιες» στο : (Μονάδες 7) f(), άρα λ= [f() - λ] f(), άρα β= Και τελικά η ευθεία y= είναι οριζόντια ασύμτωτη της Cf στο.

«λάγιες οριζόντιες» στο : f(), άρα λ= [f() - λ] f(), άρα β= Και τελικά η ίδια ευθεία y= είναι οριζόντια ασύμτωτη της Cf στο. Β4: Με βάση τις ααντήσεις σας στα ερωτήματα Β, Β, Β να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f. (Η γραφική αράσταση να σχεδιαστεί με στυλό) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Β4: (-) Παρατηρώ ότι f(-) f(), R άρα η f άρτια. (-) Είσης f()= οότε η Cf τέμνει τον άξονα yy στο (,). Πίνακας μεταβολών: (Μονάδες ) f() - + + - f() - - + +

ΘΕΜΑ Γ Γ: Να λύσετε την εξίσωση, R. (Mονάδες 4) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Γ: Είναι Α τρόος () Προφανής ρίζα η = Θεωρούμε τη συνάρτηση h()=, R. H h αραγωγίσιμη στο R με h()= ( ) h()== ή h() h()

h() - h H h() έχει ολικό ελάχιστο στο = το h()= οότε h()h()=. Άρα η h()= μόνο για =. Β τρόος Θεωρούμε h()=, R αραγωγίσιμη ως ράξεις αραγωγισίμων με h()= Η h()= γν,αύξουσα h() h() γν,αύξουσα συνεώς ο ίνακας μεταβολών της συνάρτησης h είναι: h() - h Η h() έχει ολικό ελάχιστο στο το h() οότε h()h(). Άρα η h( ) μόνο για αφού για άρα h( ). Γ τρόος Αό τη βασική ανισότητα ln, θέτοντας όου, R γίνεται: ln τιμή. με το να ισχύει μόνο για την Δ τρόος

Θεωρούμε h(), R. Η h είναι αραγωγίσιμη στο R ως ηλίκο ( ) () ( ) αραγωγίσιμων με h () ( ) ( ) ( ) Έχουμε h() h() h() οότε : h() - h Ο.Ε το h() Άρα h() για κάθε R γν.αύξουσα Για h h() h γν.αύφθιν ουσα Για h() Άρα η είναι μοναδική λύση της με εξαίρεση το σημείο εαφής. Άρα για την εφατομένη Ch στο είναι yh()h()()yy άρα h() οότε για R. Άρα όου το είναι με την ισότητα να ισχύει μόνο για δηλαδή η μοναδική ρίζα της (). Γ: Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις frr ου ικανοοιούν την σχέση f σας. () ( ) για κάθε R και να αιτιολογήσετε την αάντηση (Μονάδες 8) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Γ: f () ( ) f() αό (Γ)Ά'τρόος f() Εειδή έχει μοναδική ρίζα την αό Γ τότε η f()f () ( ) μοναδική ρίζα. Άρα η συνεχής

συνάρτηση f() διατηρεί σταθερό ρόσημο σε κάθε ένα αό τα διαστήματα Δ(,) και Δ(,) τότε: f() στα Δ και Δ είναι f(), R. f() στα Δ και Δ είναι f() f(), R. f() στο Δ και f() στο Δ είναι: f() στο Δ και f() στο Δ είναι:, f(), - f(),, Γ: Αν f(), R, να αοδειχθεί ότι η f είναι κυρτή. (Μονάδες 4) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Γ: Α τρόος: Είναι f () ( ) (αραγωγίσιμη ως ράξη σύνθεση μεταξύ αραγωγισίμων) και f () ( ) f() (αραγωγίσιμη ως ράξη σύνθεση μεταξύ αραγωγισίμων) και f () 4 8 8 4 ( Άρα ο ίνακας μεταβολών για την f είναι: ) 4 f() - f O.E H f έχει ολικό ελάχιστο στο, άρα f()f(), άρα η f() έχει μοναδική ρίζα την και για f(), άρα η f είναι κυρτή, για κάθε R. B τρόος f() ( ) () ( ) () Για () Οι (),() είναι ανισότητες ίδιας φοράς με όλα τους τα μέλη θετικά, άρα ( ) ( ) f( ) f ( ), για κάθε (,).

Για είναι οότε f( f() (4) H f () ( ) είναι εριττή καθώς για κάθε Df και Df και, άρα f (-) ( ) f(), άρα η (4) f()f() f()f() άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,). Εειδή η f() είναι συνεχής στο ( ράξη σύνθεση συνεχών) η f είναι τελικά γνησίως αύξουσα στο R, άρα η f είναι κυρτή. Γ4: Αν f είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Γ, να λυθεί η εξίσωση: f( ημ ) f(ημ ) f( ) f() όταν [,). ΑΠΑΝΤΗΣΗ Γ4: Έχουμε : f( ημ ) f(ημ ) f( ) f() (), Θεωρούμε g()f(+)f(), [,) H g είναι συνεχής στο [,), ως ράξεις συνεχών. Η g είναι αραγωγίσιμη στο (,), με g () f( )( ) - f() f( ) - f() f (Μονάδες 9) Για, f() f( ) g (), οότε g γνησίως αύξουσα στο [,) Άρα η g είναι «-». g" " () g( ημ ) g() ημ ημ, αό θεωρία σχολικού βιβλίου. ΘΕΜΑ Δ Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές αραγωγίσιμη στο R, με συνεχή δεύτερη αράγωγο, για την οοία ισχύει ότι: (f()f())ημd f() f(r) Rκαι ημ f() f(f()) για κάθε R. Δ: Να δείξετε ότι f() (μονάδες 4) και f() (μονάδες ).

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Δ: (f()f())ημd= f()ημd (f())ημd f()ημd[f()ημ ] f()συνd f()ημdf()ημf()ημ[f()συν ] f()(συν)d f()ημdf()συνf()ημ f()ημdf()f() () Κοντά στο θεωρώ g()= f() (g()ημ) f() με g(), f()=g()ημ, άρα ημ και εειδή η f είναι συνεχής στο R (ως αραγωγίσιμη), άρα και στο, f() f() f(), άρα η () f()f(). f αραγωγίσιμη στο με f() f() g()ημ ημ f() (g() ) Δ: α) Να δείξετε ότι η f δεν αρουσιάζει ακρότατα στο R. (μονάδες 4) β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. (μονάδες ) (Μονάδες 6) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Δ: α) Έστω ότι η f αρουσιάζει ακρότατα σε R. Τότε το εσωτερικό του Df, f αραγωγίσιμη σε αυτό, άρα αό Θ. frmat f(). Έχουμε f() f(f()), R, άρα f() f () f(f())f() f( Για ) f ( ) f(f( ))f( ) άρα f()= άτοο αφού f()=. Άρα η f δεν αρουσιάζει ακρότατο στο R. β) Αφού fσυνεχής στο R ( γιατί η f δύο φορές αραγωγίσιμη στο R) και f(), R (αό α) η f διατηρεί ρόσημο στο R. Όμως f(), άρα f(), R, εομένως η f γνησίως αύξουσα στο R. Δ: Να βρείτε το ημ συν f(). (Μονάδες 6) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Δ:

Αφού η f συνεχής στο R και γνησίως αύξουσα στο R, με f((,))(a,b), όου Α f() και Β f(), όμως f((,))=r, άρα f() = και f() =. Έχουμε στο ημ συν f() ημ f() συν f() ημ f() συν f() f() f() f() Άρα f() ημ συν f() f() Και (- ) ( αφού f() άρα και f() f() ) ( f() ) ημ συν άρα αό Κριτήριο αρεμβολής ) f() Δ4: Να δείξετε ότι f(ln) d. (Μονάδες 6) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Δ4: Για ln γν.αύξουσα f()f(ln)f()f(ln) lnlnln ln f γ.αυξουσα f(ln ) f(ln) έχουμε, [, ] και συνεχής με την ισότητα να ισχύει μόνο για, άρα μόνο για, f(ln) d f(ln) έχουμε, [, ] και συνεχής με την ισότητα να ισχύει

άρα d f(ln ) d [ln] d f(ln ) d f(ln) d f(ln) ln d f(ln) p, άρα d f(ln)