3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429 4. Σήματα 1
Σήματα Σήματα είναι: σχήματα αλλαγών που αντιπροσωπεύουν ή κωδικοποιούν πληροφορίες σύνολο πληροφορίας ή δεδομένων σχήματα αλλαγών στο χρόνο, π.χ. ήχος, ηλεκτρικό σήμα εγκεφάλου Μεταφέρουν πληροφορίες για τη συμπεριφορά ή κατάσταση ενός φυσικού συστήματος και, τις πλείστες φορές, παράγονται για επικοινωνία μεταξύ ανθρώπων ή ανθρώπων και μηχανών Πλάτος Δείγμα Σήμα ομιλίας 2
Περιοδικότητα Μία σειρά είναι περιοδική όταν: x(=x(n+n), για όλα τα n N: περίοδος (ακέραιος) Για ημιτονοειδή διακριτού χρόνου: αcos(ω 0 n+φ)= αcos(ω 0 n+ ω 0 N+φ) όπου ω 0 N=2πk (1), k: ακέραιος. Μιγαδικές εκθετικές (exponential) και ημιτονοειδής σειρές δεν είναι απαραίτητα περιοδικές με περίοδο (2π/ω 0 ), και ανάλογα με την τιμή του ω 0 μπορεί να μην είναι καθόλου περιοδικές, π.χ. x(=cos(. Συνδυάζοντας την (1) με την παρατήρηση ότι οι συχνότητες ω 0 και (ω 0 +2πr), r=0,1, δεν ξεχωρίζουν, τότε βλέπουμε ότι υπάρχουν Ν αδιαχώριστες συχνότητες για τις οποίες οι αντίστοιχες σειρές είναι περιοδικές με περίοδο Ν. Π.χ. ω k =2πk/N, k=0,1,,n-1. Επίσης, αύξηση της συχνότητας διακριτών σημάτων δε σημαίνει πάντοτε μείωση της περιόδου 3
Συνάρτηση: x ( n ) = cos( ω n 0 ) ω 0 =0 ή ω 0 =2π ω 0 =π/8 ή ω 0 =15π/8 ω 0 =π/4 ή ω 0 =7π/4 ω 0 =π 4
Μέγεθος σήματος Ενέργεια, Ε x : (εμβαδό κάτω από τη συνάρτηση) 2 Ε x είναι μαθηματικά προσπελάσιμη (tractable) και έχει νόημα (meaningful) με την έννοια ότι είναι ενδεικτική της ενέργειας που μπορεί να εξαχθεί από το σήμα. Για να έχει νόημα πεπερασμένη. Απαραίτητη προϋπόθεση: πλάτος σήματος με n Ισχύς, Ρ x : P x = 1 lim 2K K + E 1 x K = n= K n= x( x( 2 2 RMS = Αν καθορίσουμε την ενέργεια σε πεπερασμένο διάστημα, K n K, K 2 E x, K = x( Px = lim Ex, K K n= K 2K + 1 Ενέργεια καθορίζεται μόνο αν το σήμα είναι περιοδικό ή είναι στατιστικά τακτικό. Π.χ. ramp, x(=n, αυξάνεται καθώς n, άρα δεν μπορεί να καθοριστεί ούτε η ενέργεια, ούτε η ισχύς του. 1 Px 5
Είδη σημάτων 1. (α) Συνεχούς χρόνου: μπορούν να παρασταθούν μαθηματικά ως συνάρτηση μίας (χρόνος) ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές. Ορίζονται σε συνεχή χρόνο, άρα αναπαριστάνονται μέσω μιας συνεχούς ανεξάρτητης μεταβλητής. (β) Διακριτού χρόνου: ορίζονται μόνο σε διακριτά (συγκεκριμένα) χρονικά διαστήματα. Λαμβάνονται - μέσω δειγματοληψίας ενός σήματος συνεχούς χρόνου σε συγκεκριμένα σημεία ίσης απόστασης στο χρόνο, ή - απευθείας από μία διακριτή διαδικασία Έχουν συνεχές πλάτος. Μερικά διακριτά σήματα δεν εξελίσσονται στο χρόνο, π.χ. φωτογραφία περιγράφεται από δύο χωρικές μεταβλητές (φωτεινότητα). Συνεχής και διακριτός χρόνος: περιγράφουντηφύσηενόςσήματος στον άξονα της ανεξάρτητης μεταβλητής (άξονας x). 6
Συνεχούς χρόνου Διακριτού χρόνου 7
2. (α) Ψηφιακά: είναι διακριτού χρόνου και διακριτού πλάτους, δηλ. μπορούν να πάρουν τιμές από πεπερασμένο σύνολο. Π.χ. σήματα σε έναν υπολογιστή είναι ψηφιακά (δυαδικά) γιατί μπορούν να πάρουν μόνο δύο τιμές (0 ή 1). Οι τιμές τις οποίες μπορούν να πάρουν είναι συνάρτηση της ακρίβειας αναπαραστάσης (αριθμός διαθέσιμων bits) του ψηφιακού συστήματος. (β) Αναλογικά: Η τιμή τους σε κάθε χρονική στιγμή μπορεί να είναι ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός και είναι συνεχούς χρόνου. Ψηφιακά και αναλογικά: περιγράφουν τη φύση του πλάτους ενός σήματος, δηλ. την εξαρτημένη μεταβλητή (άξονας y). 8
Ψηφιακό Αναλογικό 9
3. (α) Περιοδικά: ένα σήμα είναι περιοδικό αν για μια θετική σταθερά, Τ 0, ισχύει: x(t)=x(t+t 0 ), για όλα τα t. Το σήμα είναι περιοδικό με περίοδο τη μικρότερη τιμή του Τ 0 για το οποίο ισχύει το πιο πάνω. Από τον ορισμό: - το x(t) παραμένει αμετάβλητο όταν μεταφερθεί στο χρόνο κατά 1 περίοδο - το x(t) ξεκινά από t=- και συνεχίζει για πάντα. - το x(t) μπορεί να παραχθεί από προέκταση ενός οποιουδήποτε κομματιού του x(t) διάρκειας Τ 0 (β) Απεριοδικά: σήματα που δεν είναι περιοδικά. 10
Μη περιοδικό Περιοδικό 11
4. (α) Σήματα ενέργειας: έχουν πεπερασμένη ενέργεια και μηδενική ισχύ. (β) Σήματα ισχύος: έχουν άπειρη ενέργεια και πεπερασμένη και μημηδενική ισχύ. Πεπερασμένη ενέργεια μηδενική ισχύ. Πεπερασμένη ισχύς άπειρη ενέργεια. Άρα, ένα σήμα δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα σήμα ενέργειας και ισχύος. Στην πράξη, όλα τα σήματα έχουν πεπερασμένη ενέργεια, άρα είναι σήματα ενέργειας. Η παραγωγή ενός πραγματικού σήματος ισχύος στην πράξη είναι αδύνατη. Όμως, περιοδικά σήματα για τα οποία το εμβαδόν τους κατά τη διάρκεια μιας περιόδου είναι πεπερασμένο σήματα ισχύος. 12
Παράδειγμα: Το σήμα 1, x1( = n 0, n 1 n 0 Έχει ενέργεια: E x 1 = n= 1 2 1 n 2 π 6 Το σήμα x2( = 1 n 0,, n 1 n 0 Έχει ενέργεια: E x 1 = n=1 1 n Άρα, το x 2 ( έχει άπειρη ενέργεια. 13
5. (α) Καθοριστικά: σήματα των οποίων η φυσική περιγραφή είναι εντελώς γνωστή, είτε σε μαθηματική ή γραφική μορφή. (β) Πιθανοτικά: σήματα των οποίων οι τιμές δεν μπορούν να προβλεφθούν ακριβώς αλλά περιγράφονται μέσω συναρτήσεις πιθανοτήτων, π.χ. μέσος όρος. Επίσης: Αιτιακό σήμα (causal): όταν δεν ξεκινά πριν t=0, δηλ. αν x(t)=0 όταν t<0 Αλλιώς μη-αιτιακό (noncausal). Επίσης, αντι-αιτιακό (anticausal): x(t)=0 για όλες τις τιμές t>=0 Παντοτινό σήμα: μπορεί να προσδιοριστεί σε ολόκληρο το διάστημα - <t<. Ένα παντοτινό σήμα είναι πάντοτε μη-αιτιακό, αλλά ένα μηαιτιακό σήμα δεν είναι απαραίτητα παντοτινό. Στην πράξη η παραγωγή ενός πραγματικού παντοτινού σήματος είναι αδύνατη, όμως τέτοια σήματα υπηρετούν ένα πολύ χρήσιμο σκοπό στη γενική μελέτη σημάτων και συστημάτων. 14
Πράξεις σημάτων Μετάθεση στο χρόνο (time shifting): y(=x(n-k) μετατεθημένο κατά Κ δείγματα Κ>0 μετάθεση προς τα δεξιά (καθυστέρηση) Κ<0 μετάθεση προς τα αριστερά (προώθηση) Αλλαγή κλίμακας χρόνου (time scaling): y(=x(α α>1 συμπίεση, α<1 διαστολή Αντιστροφή χρόνου (time reversal): y(=x(- δηλ. y( είναι η εικόνα του x( αντικατοπτρισμένη στον άξονα y(η αντικατοπτρισμένη εικόνα του x( στον άξονα x είναι y(=- x( ) 15
Σειρές σημάτων Τα σήματα διακριτού χρόνου αντιπροσωπεύονται μαθηματικά ως σειρές αριθμών: x={x(}, - <n<, n: ακέραιος αριθμός. Τα δείγματα x( ορίζονται μόνο σε ακέραιες τιμές του n. Σε περίπτωση δειγματοληψίας ενός αναλογικού σήματος: x( = xa ( nt ) = xa ( t), < n < όπου x(: σήμα διακριτού χρόνου παίρνοντας δείγματα από το αναλογικό σήμα, x α (nt), κάθε Τ δευτερόλεπτα (T: περίοδος δειγματοληψίας). fs=1/t: συχνότητα δειγματοληψίας (δείγματα/δευτερόλεπτο ή Hz) 16
Βασικές σειρές ψηφιακών σημάτων 1. Συνάρτηση μοναδιαίου παλμού (unit sample sequence) μία από τις πιο σημαντικές συναρτήσεις. 0, δ ( = 1, n 0 n = 0 δ( είναι ορθογώνιος παλμός με απειροελάχιστη διάρκεια, άπειρο πλάτος και εμβαδόν ίσο με μονάδα. Κάθε σειρά μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα κλιμακωμένων και μετατεθημένων παλμών, k = x ( = x( k) δ ( n k) Επίσης: x( δ ( = x(0) δ (, και x( δ ( n N) = x( δ ( n N) Ιδιότητα δειγματοληψίας του μοναδιαίου παλμού: το εμβαδόν του γινομένου μίας συνάρτησης με το μοναδιαίο παλμό είναι ίσο με την τιμή της συνάρτησης στο συγκεκριμένο χρόνο που βρίσκεται ο μοναδιαίος παλμός, δεδομένου ότι η συνάρτηση είναι συνεχόμενη στο συγκεκριμένο χρόνο. 17
Matlab: function [x,n]=impseq(n0,n1,n2); %creates an impulse from %n1 to n2 and with the %pulse centered at n0 n=[n1:n2]; x=[(n-n0)==0]; e.g. [x,n]=impseq(5,-2,8); 18
2. Μοναδιαία κλιμακωτή συνάρτηση. 0, n < 0 u( = 1, n 0 Επίσης: k = 0 u( = δ ( n k) ή u ( = δ ( k) n k = Και ανάποδα: δ ( = u( u( n 1) Αν θέλουμε ένα σήμα να ξεκινά από t=0, το πολλαπλασιάζουμε με τη μοναδιαία κλιμακωτή συνάρτηση. Χρήσιμη για καθορισμό συνάρτησης με διαφορετική μαθηματική σχέση σε διαφορετικά διαστήματα. 19
Matlab: function [x,n]=stepseq(n0,n1,n2); %creates a step function %between n1 and n2 and %starting at n0 n=[n1:n2]; x=[(n-n0)>=0]; e.g. [x,n]=stepseq(3,0,10); 20
3. Ημιτονοειδή σήματα: ( ω n + ) < < x ( = Acos 0 φ, n Πραγματική ημιτονοειδής σειρά όπου Α, ω 0 και φ: πραγματικοί αριθμοί. Α: πλάτος, ω 0 : κυκλική συχνότητα, και φ: φάση Matlab: sin, cos x=sin(π/8 21
4. Εκθετικά (exponential) σήματα: Για Α και α πραγματικοί αριθμοί πραγματική σειρά. Αν 0<α<1 και Α>0 η σειρά είναι θετική και οι τιμές μειώνονται καθώς n. Για -1<α<0 τα σύμβολα των τιμών εναλάσσονται και το μέγεθος τους μειώνεται καθώς n. Για α =1 το μέγεθος της σειράς αυξάνεται καθώς n. Γενικά, θέτοντας x( = Aa n, < n ( σ + jω ) 0 a = e, A = Ae 0 jφ < σ n ( ω n + φ) + j Ae ( ω + φ) 0 x( σ n = Ae cos 0 sin 0n : 0 } Real } Imaginary 22
Matlab: exp x( = e ( 1/12+ jπ / 6)n Re{x(} Im{x(} x ( = 0.2(1.2) n x ( = 20(0.9) n 23
Συνδυασμός σειρών Συχνά συνδυάζουμε βασικές σειρές για απλοποίηση συναρτήσεων άλλων σειρών Π.χ. μία εκθετική σειρά που είναι μηδέν για n<0 μπορεί να αναπαρασταθεί ως: n Aa, x( = 0, n 0 n < 0 Όμως, μια πιο απλή μορφή χρησιμοποιώντας τη μοναδιαία κλιμακωτή συνάρτηση: n x( = Aa u( 24
Παράδειγμα: 1.5δ ( n 1) δ ( n 4) 0.5δ ( n + 2) 0.75δ ( n 6) δ ( n 2) x( = 0.5δ ( n + 2) + 1.5δ ( n 1) δ ( n 2) + δ ( n 4) + 0.75δ ( n 6) 25
3-Φεβ-2009 Επόμενη διάλεξη: 5. Συστήματα 26