Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56)

ΓΕΝΙΚEΣ AΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Κώστας Βακαλόπουλος, Κώστας Παπαϊωάννου, Θανάσης Χριστόπουλος Άσκηση ( λ) λ λ 5 Δίνεται η συνάρτηση F(x) x λx. α) Να βρεθεί η F (x). Ν(Β) Άρα: Β = {5}, οπότε Ρ(Β) β) Να βρεθεί η εφαπτόμενη (ε) στο A(,F()). γ) Θεωρούμε το δ.χ. Ω {,,,0,,,,,5} iii) lim F(x) lim(x λx ) ενός πειράματος τύχης αποτελούμενο από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και λ Ω. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων. Α {λ Ω / η ευθεία (ε) να είναι παράλληλη στην ευθεία (η): y = 8x } Β {λ Ω / η ευθεία (ε) να είναι κάθετη στην ευθεία (ζ): y x } Γ {λ Ω / limf(x) λ } x Δ {λ Ω/ ο ρυθμός μεταβολής της F να παίρνει την ελάχιστη τιμή }. δ) Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Ε: Να πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β, Γ, Δ. Ζ: Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α, Β, Γ, Δ. Η: Να πραγματοποιείται ένα μόνο από τα Α, Β, Γ, Δ. α) F (x) 6x λx x(x λ) β) F() 6 λ F () λ Άρα: η εξίσωση της εφαπτόμενης στο A(, F()) είναι: y ( λ) x β ενώ 6 λ ( λ) β β λ άρα y ( λ) x λ : (ε) γ) i) Πρέπει: λ 8 λ Άρα: Α {}, οπότε ii) Πρέπει: Ν(Α) Ρ(Α). ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λη τ./6 x x λ λ Πρέπει: λ λ λ λ 0 λ ή λ. Άρα Γ {,} οπότε i) F (x) 6x λx F (x) x λ (6x λ) Ν(Γ) Ρ(Γ) Από τον πίνακα μεταβολής του προσήμου της F προκύπτει ότι ο ρυθμός μεταβολής λ ελαχιστοποιείται για x ενώ η ελάχιστη τιμή του είναι: F 6 λ λ. 6 6 λ Πρέπει: λ. 6 Ν(Δ) Άρα: Δ {,}, οπότε Ρ(Δ) δ) Τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ, Δ είναι ανά δύο ξένα μεταξύ τους άρα: Ρ(Ε) Ρ(ΑΒΓΔ) Ρ(Α) Ρ(Β) Ρ(Γ) Ρ(Δ) 6. 9 9 9 9 9 Ρ(Z) Ρ(Α Β Γ Δ) 6 Ρ(Α Β Γ Δ) 9

Επειδή τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ και Δ είναι ανά δύο ξένα μεταξύ τους θα ισχύει: Α Β Γ Δ Α, Β Α Γ Δ Β, Γ Α Β Δ Γ και Δ Α Β Γ Δ Άρα: 6 Ρ(H) Ρ(Α) Ρ(Β) Ρ(Γ) Ρ(Δ) 9 Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση x. α) Να βρεθεί η F. F(x) x κx 6λx, β) Αν η F παρουσιάζει ακρότατα για x = και x = δείξτε ότι κ = 9 και λ =. γ) Αν κ = 9 και λ = να μελετηθεί η F ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. δ) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της F στο σημείο A(λ,F(λ)). Για ποια τιμή του λ αυτός γίνεται ελάχιστος; Ποια η ελάχιστη τιμή του; ε) Θεωρούμε συνάρτηση h(x) F (x) x 5 Να υπολογιστεί το όριο: lim h(x). x α) Για κάθε x, F (x) 6x κx 6λ. β) Θα ισχύει: F () 0 κ λ () και F () 0 κ λ () Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (), () προκύπτει: κ = 9 και λ =. γ) Για κ = 9 και λ =, F(x) x 9x x F (x) 6x 8x Από τον παρακάτω πίνακα προκύπτει ότι: η F είναι γν. αύξουσα στο (,] και στο [, ) ενώ στο [, ] είναι γν. φθίνουσα. Παρουσιάζει στο τ. μέγιστο το F() = 9 και στο τ. ελάχιστο F() = 8. δ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της F στο Α(λ, F(λ)) είναι: F(λ) 6λ 8λ F(λ) λ 8 ε) Από το παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι ο συντελεστής διεύθυνσης F(λ) γίνεται ελάχιστος για λ με ελάχιστη τιμή: lim x x F. 0 0 F (x) 6x 8x lim x 5 x 5 (6x 8x )( x 5 ) lim x ( x 5 )( x 5 ) 6(x )(x ) x 5 lim x (x 5) 9 6(x )(x )( x 5 ) lim... 9 x (x )(x ) Άσκηση Η ομάδα ποδοσφαίρου του ου Ε.Λ. Κοζάνης αποτελείται από μαθητές της Α, Β και Γ τάξης. Η συμμετοχή τους στην ομάδα σε σχέση με την ηλικίας τους ακολουθεί την κανονική κατανομή. Οι σημερινές ηλικίες των μαθητών έχουν συντελεστή μεταβολής CV 6,5%. Πριν από χρόνια ο συντελεστής μεταβολής ήταν CV 0%. α) Να βρεθεί η μέση σημερινή τους ηλικία. β) Πριν πόσα χρόνια από σήμερα οι ηλικίες των μαθητών είχαν για πρώτη φορά ομοιογένεια. γ) Δείξτε ο τύπος που δίνει τη διακύμανση μπορεί να πάρει την μορφή: S x i (x). i δ) Αν το άθροισμα των τετραγώνων των σημερινών ηλικιών των μαθητών είναι 5.0 να βρεθεί πόσοι μαθητές απαρτίζουν την ομάδα ποδοσφαίρου. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λη τ./7

ε) Αν οι μαθητές της Α τάξης είναι μέχρι και 5 χρόνων, της Β μέχρι 7 χρόνων και πάρουμε τυχαία ένα μαθητή από την ομάδα i) να βρεθεί η πιθανότητα των ενδεχομένων: Ε: να είναι μαθητής της Α ή της Β τάξης. Ζ: Να είναι μαθητής της Β και όχι της Α. ii) Πόσοι περίπου είναι οι μαθητές κάθε τάξης που συμμετέχουν στην ομάδα ποδοσφαίρου. α) Έστω x i,i,,..., οι σημερινές ηλικίες των παιδιών. Sx Τότε: CV 6,5% Sx 0,05 x () x y x, I =,, ν οι ηλικίες πριν Αν i i από χρόνια, τότε: Sy Sx ενώ y x. Sy Sx Άρα CV 0% 0% y x Sx 0, x, () Από (), () έχουμε: 0,065 x 0,x, x 6 β) Έστω πριν από t χρόνια οι ηλικίες των μαθητών είχαν για πρώτη φορά ομοιογένεια. Τότε θα ισχύει: CV 0%. Αν οι ηλικίες των μαθητών ήταν τότε: z x t, I =,,,, θα ισχύει: S i z i S και z x t. x Sz Sx Άρα: CV 0% z x t () Όμως: Sx (ερώτημα (α)). Άρα: () 0, t 6 6 t Άρα: Πριν από 6 χρόνια θα είχαν για πρώτη φορά ομοιογένεια. xi i γ) Από τον τύπο: S x i i xi xi i i x i x i i i δ) Για x i (x) i xi 50, x 6 i και Sx ο προη- γούμενος τύπος δίνει: 50 6 0 ε) Αφού οι ηλικίες των παιδιών ακολουθούν κανονική κατανομή θα έχουμε: i) P(E) (50 )% 8% (x 7) P(Z) 68% (5 x 7) ii) Για την Α τάξη έχουμε ποσοστό 6% (x 5). Άσκηση Έστω ο δ.χ. Άρα 6% 0 μαθητές Για την Β τάξη έχουμε ποσοστό 68% (5 x 7) Άρα 68% 0 ενώ για την Γ τάξη έχουμε πάλι 6% x 7 άρα μαθητές. Ω {,,6,...,ν}, ν ενός πειράματος τύχης αποτελούμενος από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Αν τα στοιχεία του Ω, είναι οι παρατηρήσεις t i μιας μεταβλητής Χ με μέση τιμή x 9, α) Να βρεθεί το σύνολο Ω. β) Να βρεθεί η διάμεσος (δ) και το εύρος (R) των παρατηρήσεων. γ) Δείξτε ότι: S x. δ) Αν θεωρήσουμε τα ενδεχόμενα, A {αω/ α πολ} * ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λη τ./8

Β {β Ω/ β ρίζα της εξίσωσης: (x 6x 8)(x ) 0 x να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, A B, A B, Α Β α) Τα στοιχεία του Ω αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου με α =, ω = και πλήθος ν. Άρα: x ti x [α (ν )ω] 9 [ (ν )]... ν 8 Άρα Ω {,,6,...6} t t 8 0 δ 9 R t t 6 β) 5 max min γ) S (ti x) 68 [( 9) ( 9)... (6 9) ] 8 8 Άρα: S 9 x. δ) A {,8,,6}, N(A) Β = {}, Ν(Β) = Άρα: P(A), P(B) 8 8 Όμως: A B {} ενώ AB {,8,,6} Άρα: P(A B), P(A B) και 8 8 P(A B) P(A) P(A B) 8 Άσκηση 5 Το πολύγωνο συχνοτήτων της κατανομής (Χ) του μηνιαίου τζίρου των βιοτεχνιών μιας κωμόπολης, (σε εκατοντάδες ευρώ) ομαδοποιημένη σε κλάσεις ίσου πλάτους, έχει κορυφές τα σημεία: Α(0, 0), Β(0, 5), Γ(60, 0), Δ(80, 0) Ε(00, 0), Ζ(0, ν 5 ), Η(0, 0), Θ(60, 0). Η κατακόρυφη γραμμή με εξίσωση x = 00 χωρίζει το χωρίο που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα σε δύο ι- σεμβαδικά χωρία. α) Να αποδείξετε ότι ν 5 = 5. β) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων της κατανομής (x). γ) Να υπολογίσετε τις τιμές των μέτρων θέσης της (Χ). δ) Αν ως όριο βιωσιμότητας τη βιοτεχνίας είναι τα 700 ευρώ, να εκτιμήσετε το ποσοστο (%) των βιοτεχνιών που δεν μπορούν να επιβιώσουν. ε) Να χαρακτηρίσετε την κατανομή ως προς τη συμμετρία της. Ιστόγραμμα Συχνοτήτων Κλάσεις x i i x i i f i f i % F i % [0, 50) 0 5 00 0,05 5 5 [50, 70) 60 0 600 0,0 0 5 [70, 90) 80 0 600 0,0 0 5 [90, 0) 00 0 000 0,0 0 65 [0, 0) 0 ν 5 000 0,5 5 90 [0, 50) 0 0 00 0,0 0 00 α) Πρέπει: 5 6 5 0 0 5 5 0 5 5 5 β) Βλέπε σχήμα! (ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ) γ) 9800 x i i x 98 00 δ 00 ΔΒ ΕΓ ΔΒ 0 (ΑΒΔ ΑΓΕ ΑΔ ΑΕ 5 0 ΔΒ 0). Άρα δ 90 0 00 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λη τ./9

δ) Από το πολύγωνο αθροιστικών σχετ. συχν. (%) έχουμε: ΚΛΜ ΚΑΝ ΚΜ ΚΝ ΚΜ 0 ΚΜ ΜΛ ΝΑ 0 Άρα: ζητούμενο ποσοστό: 5 + = 7% ε) Επειδή x δ έχουμε αρνητική ασυμμετρία. Άσκηση 6 Αν το τοπικό ελάχιστο και το τοπικό μέγιστο της συνάρτησης f με f(x) x x είναι 5 αντίστοιχα οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α, Β του δ.χ. Ω ενός πειράματος τύχης. α) Να εξετάσετε αν τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα. β) Να βρείτε σε ποιο διάστημα βρίσκεται η πιθανότητα: P(A B). Για κάθε x, f (x) x x. f (x) 0 x 0 ήx f (x) 0 x 0 ήx f (x) 0 0 x Άρα η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 0 το f (0) και τοπικό ελάχιστο στο 5 το 88 f. 5 88 Άρα P(A) και P(B) 5 5 α) Αν τα ενδεχόμενα Α, Β ήταν ασυμβίβαστα θα 88 ίσχυε: P(A B) P(A) P(B) 5 5 άτοπο! Άρα: τα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα. β) AB A P(A B) P(A) AB B P(AB) P(B) Άρα: P(A B) min{p(a),p(b)} 88 88 min, 5 5 5 88 Άρα: P(A B) () Επίσης: 5 P(A B) P(A) P(B) P(A B) 88 P(A B) 5 5 6 P(A B) () 5 Από (), () προκύπτει ότι: 6 88 P(A B) 5 5 Άσκηση 7 Έστω Ω = {,,,, 5, 6} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης. Αν P() P() P() P() P(5) P(6). α) Να βρεθούν οι πιθανότητες όλων των απλών ενδεχομένων του Ω. β) Αν E {λ Ω/ η συνάρτηση f(x) x λx λx δεν έχει ακρότατα στο Ρ(Ε). }, να βρεθεί η α) Προφανώς ισχύει: Ρ() Ρ() Ρ()... Ρ(6) Ρ() Ρ() Ρ() Ρ() Ρ() Ρ() 6...Ρ() 59 ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λη τ./0

8 άρα: P(), P(), P(), 59 59 59 6 P(5) και P(6) 59 59 β) Για κάθε x, f (x) x λx λ Η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα. Άρα Δ 0 λ λ 0 0 λ οπότε: Ε {,,}. Άρα: Άσκηση 8 6 8 7 Ρ(Ε) Ρ() Ρ() Ρ() 59 59 Αν Α, Β ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης και η συνάρτηση: f(x) [P(A)] x P(A B)x P(B) lnx (P(A) ) x έχει εφαπτομένη στη γραφική της παράσταση στο σημείο της με τετμημένη x 0 =, παράλληλη στο x x τότε: P(A) και P(B) 0. Για x > 0, P(A) f (x) [P(A)] x P(A B) P(B) x x Θα ισχύει: f () 0 [P(A)] (P(A) P(B)) P(B) P(A) 0 [P(A)] P(A) 0 [P(A) ] 0 P(A) Επειδή Α, Β ασυμβίβαστα ως γνωστόν ισχύει: P(AB) P(A) P(B) P(B) 0 Όμως: P(B) 0. Άρα Ρ(Β) = 0. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β λη τ./