Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x I (A.1) όπου οι p(x), q(x) και f(x) είναι συνεχείς συναρτήσεις σε κάποιο κοινό διάστημα I του πεδίου ορισμού τους. Οι παρακάτω μέθοδοι μας παρέχουν τη γενική λύση της σδε (A.1) στην περίπτωση που γνωρίζουμε δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις (ή αλλιώς το θεμελιώδες σύνολο λύσεων) της αντίστοιχης ομογενούς εξίσωσης της (A.1) y + p(x) y + q(x) y = 0, x I. (A.) Θεώρημα 1.1 (Lagrange). (Μέθοδος Μεταβολής των Παραμέτρων) Αν οι συναρτήσεις p(x), q(x) και f(x) είναι συνεχείς στο διάστημα I και οι συναρτήσεις y 1 (x), y (x) αποτελούν θεμελιώδες σύνολο λύσεων της ομογενούς σδε (A.), τότε μια ειδική λύση της αντίστοιχης μη-ομεγενούς σδε (A.1) δίνεται από τον τύπο y ε (x) = y 1 (x) y (x) f(x) W (y 1, y )(x) dx + y (x) y 1 (x) f(x) W (y 1, y )(x) dx, (A.3) Η μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων είναι γνωστή και ως μέθοδος (του) Lagrange Η γενική λύση της (A.1) είναι η y(x) = c 1 y 1 (x) + c y (x) + y ε (x), c 1, c R. (A.4) Προσοχή! Ο τύπος αυτός ισχύει για την μορφή της σδε (A.1), δηλαδή ο συντελεστής της ανώτερης τάξης παραγώγου είναι ίσος με μονάδα. Αν η σδε που θέλουμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα δεν είναι της μορφής αυτής διαιρούμε με τον κατάλληλο όρο για να την φέρουμε στην μορφή (A.1), κι επιλέγουμε κατάλληλο διάστημα I. Και φυσικά δεν ξεχνάμε να διαιρέσουμε ανάλογα και τον όρο μή-ομογένειας!
Η δεύτερη μέθοδος, γνωστή ως μέθοδος προσδιορισμού των συντελεστών, εφαρμόζεται μόνο στην ειδική περίπτωση που η σδε (A.1) έχει σταθερούς συντελεστές και η συνάρτηση μη ομογένειας f(x) ανήκει σε συγκεριμένη κλάση συναρτήσεων που αναλύουμε παρακάτω. Συγκεκριμένα, θεωρούμε τη σδε y + a y + b y = f(x), x I, (A.5) με a, b R. Τα βήματα που ακολουθούμε για να βρούμε μια ειδική λύση της σδε (A.5) είναι τα εξής: 1. Βρίσκουμε δυο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της διαφορικής εξίσωσης έστω y 1 (x), y (x). y + a y + b y = 0, x I, (A.6). Αν ο όρος μη ομογένειας χωρίζεται σε άθροισματα f(x) = f 1 (x) + + f m (x), και κρίνεται αναγκαίο, χωρίζουμε το γενικό πρόβλημα εύρεσης ειδικής λύσης σε m υπο-προβλήματα της μορφής y + a y + b y = f k (x), (A.7) k = 1,,... m. 3. Για κάθε ένα υπο-πρόβλημα (A.7) υποθέτουμε ότι μια ειδική λύση y εm (x), έχει τη μορφή που υποδεικνύει ο παρακάτω πίνακας: f(x) y ε (x) P n (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 0 x s (A n x n + A n 1 x n 1 + + A 0 ) P n (x) e a x x s (A n x n + A n 1 x n 1 + + A 0 ) e a x P n (x) e a x cos(b x) ή P n (x) e a x sin(b x) x s [ (A n x n + A n 1 x n 1 + + A 0 ) e a x cos(b x) + (B n x n + B n 1 x n 1 + + B 0 ) e a x sin(b x) ] όπου a, b, a j R για 1 j n, n N, και s είναι ο ελάχιστος s = min{0, 1, } που πρέπει πολλαπλασιάσουμε με τον όρο x s, έτσι ώστε κανένας όρος της y ε (x) να μην είναι λύση της ομογενούς σδε (A.6). 4. Αντικαθιστούμε την συνάρτηση y ε (x) στην εξίσωση (A.5) και προσδιορίζουμε τους συντελεστές A j, B j R, για 1 j n. 5. Μια y ε (x) του γενικού προβλήματος είναι το άθροισμα των ειδικών λύσεων των επιμέρους m υπο-προβλημάτων, 6. Η γενική λύση της σδε (A.5) είναι η y ε (x) = y ε1 (x) + y ε (x) + + y εm (x). y(x) = c 1 y 1 (x) + c y (x) + y ε (x).
Παρατηρήσεις. 1. Η μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων (Lagrange) είναι γενικότερη της μεθόδου προσδιορισμού των συντελεστών. Η μέθοδος προσδιορισμού των συντελεστών εφαρμόζεται μόνο στην περίπτωση σδε με σταθερούς συντελεστές και όταν ο όρος μη ομογένειας έχει συγκεριμένη μορφή: είναι γραμμικός συνδυασμός πολυωνυμικών, εκθετικών και στοιχειωδών τριγωνομετρικών συναρτήσεων ημιτόνων και συνημιτόνων.. Αν για ένα δοσμένο πρόβλημα έχουμε την δυνατότητα να επιλέξουμε μια από τις δυο μεθόδους, η μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων είναι δυσκολότερη της μεθόδου προσδιορισμού των συντελεστών επειδή πρέπει να υπολογίσουμε τα ολοκληρώματα στη σχέση (A.3). 3. Οι τιμές που μπορεί να πάρει ο εκθέτης s στη μορφή της ειδικής λύσης στη μέθοδο προσδιορισμού των συντελεστών για σδε δεύτερης τάξης είναι 0, 1, ή. Για σδε ανώτερης τάξης η δύναμη s αυξάνει ανάλογα. 4. Ενδέχεται συνδυασμός των δυο μεθόδων να μας οδηγήσει στην εύρεση της ειδικής λύσης πιο εύκολα από ότι αν επιλέγαμε μόνον έναν από τους δυο. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται μια σδε με σταθερούς συντελεστές και ο όρος μη ομογένειας f(x) σπάει σε δυο συναρτήσεις f 1 (x) και f (x), δηλ. f(x) = f 1 (x) + f (x) από τις οποίες η f 1 (x) έχει την μορφή που μπορεί να εφαρμοστεί η μέθοδος προσδιορισμού των παραμέτρων, ενώ για την f (x) να είμαστε αναγκασμένοι να βρούμε την ειδική λύση με την μέθοδο Lagrange.
Μέρος ο: Διαφορικές Εξισώσεις Euler-Cauchy Οι (ομογενείς) διαφορικές εξισώσεις Euler-Cauchy αποτελούν την οικογένεια των γραμμικών σδε με μεταβλητούς συντελεστές της μορφής x y + a x y + b y = 0, (Β.1) όπου a και b είναι πραγματικοί αριθμοί. Η τεχνική επίλυσης των σδε της μορφής (Β.1), στηρίζεται στην ακόλουθη παρατήρηση: x (x r ) = r x r, x (x r ) = r (r 1) x r όταν x > 0 και r C. Συνεπώς, θεωρώντας ότι οι εξισώσεις επιδέχονται λύσεις της μορφής y(x) = x r, συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός r πρέπει να ικανοποιεί την αλγεβρική εξίσωση r + (a 1) r + b = 0. (Β.) Οι λύσεις της εξίσωσης (Β.) είναι οι r ± = (a 1) ± (a 1) 4 b. Αν (a 1) 4 b > 0, τότε έχουμε δυο διαφορετικές πραγματικές ρίζες r + r και άρα οι συναρτήσεις y 1 (x) = x r + και y (x) = x r αποτελούν λύσεις της δ.ε. (Β.1). Αν τώρα, (a 1) 4 b < 0, τότε r ± C και r = r +. Γράφοντας το x r + ως x r + = x λ x iµ = x λ e iµ ln x = x λ( cos(µ ln x) + i sin(µ ln x) ), ( ) όπου λ = Re(r + ) = a 1 (a 1) και µ = Im(r ) = 4 b, μπορούμε να επιλέξουμε για (πραγματικές) λύσεις της εξίσωσης (Β.1), τις συναρτήσεις y 1 (x) = x λ cos(µ ln x) και x λ sin(µ ln x). Σε κάθε περίπτωση, μπορούμε εύκολα να δούμε ότι W (y 1, y )(x) 0, οπότε τα ζευγάρια {y 1, y } αποτελούν κάθε φορά το θεμελιώδες σύνολο της εξίσωσης (Β.1). Τέλος, στην περίπτωση που (a 1) 4 b = 0, τότε r + = r = r, και χρησιμοποιώντας την μέθοδο υποβιβασμού τάξης, μπορούμε να δούμε ότι μια γραμμικά ανεξάρτητη από την y 1 (x) = x r λύση της εξίσωσης (Β.1), αποτελεί η συνάρτηση y (x) = x r ln x. Στην περίπτωση που x < 0, παρατηρούμε ότι η σδε (Β.1) παραμένει αναλλοίωτη κάτω από τον μετασχηματισμό x x. Άρα, στην περίπτωση που x < 0, οι λύσεις της σδε προκύπτουν από εκείνες που βρήκαμε προηγουμένως, θέτοντας όπου x το x, ή ισοδύναμα, με την αντικατάσταση x x.
Συνοψίζοντας, συμπεραίνουμε ότι η γενική λύση της δ.ε. (Β.1), για x I, όπου I οποιοδήποτε διάστημα που δεν περιέχει το μηδέν, δίνεται από τους εξής τύπους: όταν (a 1) 4 b > 0. y(x) = c 1 x r + + c x r, (Β.3) y(x) = c 1 x λ cos(µ ln x) + c x λ sin(µ ln x), (Β.4) όταν (a 1) 4 b < 0, όπου r ± = λ ± iµ = a 1 4 b (a 1) ± i. y(x) = c 1 x r + c x r ln x, (Β.5) όταν (a 1) 4 b = 0, όπου r ± = r. με c 1, c αυθαίρετες πραγματικές σταθερές. Παρατηρήσεις. 1. Οι διαφορικές εξισώσεις της μορφής (x x 0 ) y + a (x x 0 ) y + b y = 0, (Β.6) μπορούν να αναχθούν σε εξισώσεις Euler-Cauchy της μορφής (Β.1) μέσω του μετασχηματισμού (μετατόπισης) x ˆx = x x 0.. Ένας εναλλακτικός τρόπος επίλυσης των εξισώσεων Euler-Cauchy είναι η μετατροπή τους σε σδε με σταθερούς συντελεστές μέσω του μετασχηματισμού x = e t (στο διάστημα x > 0). Τότε y(x) = y ( (x(t) ) = y(e t ) = ỹ(t). Οπότε, μέσω του κανόνα της αλυσίδας οδηγούμαστε στις σχέσεις ή ισοδύναμα, στις σχέσεις dỹ dt = dy dx dx d ỹ dt = d y dx dt = dy dx x ( dx dt = d y dx x + dy dx x x dy dx = dỹ dt ) + dy d x dx dt (Β.7) x d y dx = d ỹ dt dỹ (Β.8) dt και άρα η εξίσωση (Β.1) μετατρέπεται στη σδε με σταθερούς συντελεστές ỹ + (a 1) ỹ + b ỹ = 0, (Β.9) για την επίλυση της οποίας μπορούμε να εφαρμόσουμε γνωστές μας μεθόδους που έχουμε αναπτύξει σε προηγούμενη μελέτη.
Άσκηση 1. Να βρεθεί η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών 4 x y + 8 x y + 17 y = 0, y(1) =, y (1) = 3. Ποιά είναι η συμπεριφορά της λύσης καθώς το x τείνει στο μηδέν? Λύση. Η διαφορική εξίσωση ανήκει στην κλάση των εξισώσεων. Διαιρώντας κατά μέλη με 4, παίρνουμε την ισοδύναμη δ.ε. x y + x y + 17 4 y = 0. (1.1) H χαρακτηριστική εξίσωση της (1.1), σύμφωνα με τον τύπο (Β.), είναι r + ( 1) r + 17 4 = r + r + 17 4 = 0. Συνεπώς, οι ρίζες της είναι οι r ± = 1 ± 1 4 17 4 = 1 ± 1 17 = 1 ± 16 = 1 ± i. Οπότε, με βάση τον τύπο (Β.7), η γενική λύση της δ.ε. (1.1), άρα και της αρχικής δ.ε., είναι η y(x) = c 1 x 1/ cos( ln x ) + c x 1/ sin( ln x ), c 1, c R. Επειδή η αρχική συνθήκη είναι για x 0 = 1 > 0, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι x > 0. Οπότε, η παραπάνω λύση ξαναγράφεται ως y(x) = c 1 x 1/ cos(ln x ) + c x 1/ sin(ln x ), x > 0, c 1, c R (1.) Έχουμε, λοιπόν, ότι = y(1) = c 1 cos(0) + c sin(0) = c 1. Αντικαθιστώντας στη σχέση (1.) την τιμή που μόλις βρήκαμε για τη σταθερή c 1 και στη συνέχεια παραγωγίζοντας, βρίσκουμε ότι y (x) = x 3/ cos(ln x ) 4 x 3/ sin(ln x ) 1 c x 3/ sin(ln x )+ c x 3/ cos(ln x ). Οπότε 3 = y (1) = cos(0) 4 sin(0) 1 c sin(0) + c cos(0) = 1 + c από όπου προκύπτει ότι c = 1. Συνεπώς, η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών είναι η y(x) = x 1/ cos(ln x ) x 1/ sin(ln x ), x > 0. Καθώς ο εκθέτης του x στην λύση του π.α.τ. είναι αρνητικός, η συνάρτηση x 1/ τείνει στο άπειρο όταν x 0 +. Από την άλλη, οι συναρτήσεις cos(ln x ) και sin(ln x ) ταλαντεύονται γύρω από το μηδεν καθώς x 0 +. Συνεπώς, συνδυάζοντας αυτά τα δύο αποτελέσματα, βλέπουμε ότι η συμπεριφορά της λύση του προβλήματος αρχικών τιμών καθώς το x τείνει στο μηδέν, είναι να ταλαντεύεται συνεχώς όλο και πιο γρήγορα και πιο απότομα γύρω από το μηδέν.
Άσκηση. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης x y x y + y = 3 x + ln x. Λύση. Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό x = e t, σύμφωνα με τους τύπους (Β.7)-(Β.9), η διαφορική εξίσωση μετατρέπεται στη διαφορική εξίσωση ỹ 3 ỹ + ỹ = 3 e t + t. (.1) Η διαφορική εξίσωση (.1) είναι μη ομογενής, με όρο μη ομογένειας f(t) = 3 e t + t. Μπορούμε, λοιπόν, να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο προσδιορισμού των συντελεστών για τη λύση της. Η αντίστοιχη ομογενής εξίσωση της (.1) είναι ỹ 3 ỹ + ỹ = 0, (.) και άρα η χαρακτηριστική εξίσωσή της είναι Οι ρίζες της είναι οι r 3 r + = 0. r ± = 3 ± 9 8 = 3 ± 1 δηλαδή r + = 3+1 = και r = 3 1 = 1. Συνεπώς, οι συναρτήσεις ỹ 1 (t) = e t, ỹ (t) = e t αποτελούν το θεμελιώδες σύνολο λύσεων της εξίσωσης (.). Η συνάρτηση t ως πολυωνυμική εμπίπτει στην ειδική μορφή του όρου μη ομογένειας για τον οποίο μπορεί να εφαρμοσθεί η μέθοδος προσδιορισμού των συντελεστών. Επιπλέον, δεν αποτελεί λύση της ομογενούς σδε. Οπότε η μορφή της ειδικής λύσης που αντιστοιχεί σε αυτό το κομμάτι του όρου μη ομογένειας f(t) είναι A 1 t + A 0. Από την άλλη, η συνάρτηση 3 e t ως εκθετική εμπίπτει κι αυτή κατηγορία συναρτήσεων που μπορεί να εφαρμοσθεί η μέθοδος προσδιορισμού των συνετελεστών. Όμως, ο όρος αυτός είναι λύση της ομογενούς σδε! Οπότε, σύμφωνα με την μέθοδο, η μορφή της ειδικής λύσης που αντιστοιχεί σε αυτή τη συνάρτηση είναι t B 0 e t. Επομένως, η ειδική λύση της εξίσωσης (.1) που θεωρούμε είναι Παραγωγίζοντας, βρίσκουμε και ỹ ε (t) = A 1 t + A 0 + t B 0 e t. ỹ ε(t) = A 1 + B 0 e t + t B 0 e t ỹ ε (t) = 4 B 0 e t + 4 t B 0 e t. Αφού απαιτούμε η συνάρτηση ỹ ε (t) να είναι λύση της εξίσωσης (.1), θα πρέπει να την επαληθεύει. Οπότε δηλαδή ỹ ε (t) 3 ỹ ε(t) + ỹ ε (t) = 3 e t + t, 4 B 0 e t +4 t B 0 e t 3(A 1 +B 0 e t + t B 0 e t )+(A 1 t+a 0 +t B 0 e t ) = 3 e t + t ή B 0 e t + A 1 t + A 0 3 A 1 = 3 e t + t Άρα λοιπόν, B 0 = 3, A 1 = 1 και A 0 3 A 1 = 0, δηλαδή A 0 = 3/ και έτσι, ỹ ε (t) = t + 3 + 3 t e t. H αντίστοιχη ομογενής εξίσωση της δ.ε. του προβλήματος είναι Euler-Cauchy. Θα μπορούσαμε λοιπόν, να βρούμε δυο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της μορφής x r, βρίσκοντας τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης (Β.). Για να βρούμε όμως την ειδική λύση, θα έπρεπε να χρησιμοποιήσουμε την μεθοδο Lagrange (αφού η εξίσωση δεν έχει σταθερούς συντελεστές!) που, λόγω του υπολογισμού ολοκληρωμάτων, θα είχε περισσότερες πράξεις.
Επομένως, η γενική λύση της δ.ε. (.1) είναι η ỹ(t) = c 1 e t + c e t + t + 3 + 3 t e t που σημαίνει ότι, επιστρέφοντας στην μεταβλητή x μέσω του μετασχηματισμού x = e t, η γενική λύση της αρχικής δ.ε. είναι y(x) = c 1 x + c x + ln x + 3 + 3 x ln x, c 1, c R. Άσκηση 3. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης 4 y 4 y + y = 16 e 1 x χρησιμοποιώντας τη μέθοδο μεταβολής των παραμέτρων. Επαληθεύστε ότι η λύση είναι ίδια αν εναλλακτικά, χρησιμοποιήσετε την μέθοδο προσδιορισμού των συντελεστών. Λύση. Η χαρακτηριστική εξίσωση της αντίστοιχης ομογενούς εξίσωσης είναι 4 r 4 r + 1 = ( r 1) = 0, από όπου βλέπουμε ότι r = 1/ είναι η μοναδική της λύση, με πολλαπλότητα. Άρα, οι συναρτήσεις y 1 (x) = e 1 x, y (x) = x e 1 x, αποτελούν το θεμελιώδες σύνολο λύσεων της ομογενούς εξίσωσης 4 y 4 y + y = 0. Η ορίζουσα Wronski των συναρτήσεων y 1 (x), y (x) είναι e 1 x x e 1 x W (y 1, y )(x) = 1 e 1 x e 1 x + 1 x e 1 x = ex + 1 x ex 1 x ex = e x. Η δ.ε. γράφεται ισοδύναμα ως y y + 1 4 y = 4 e 1 x. Οπότε, o όρος μη ομογένειας είναι f(x) = 4 e 1 x και άρα y 1 (x) y (x) 1 y (x) f(x) W (y 1, y )(x) dx = e 1 x e x x 4 e 1 x e x y 1 (x) f(x) W (y 1, y )(x) dx = x e 1 x Επομένως, η συνάρτηση e 1 x 4 e 1 x e x dx = e 1 x dx = x e 1 x y ε (x) = x e 1 x + 4 x e 1 x = x e 1 x είναι μια ειδική λύση της δ.ε. και άρα γενική λύση της δ.ε. (με τη μέθοδο μεταβολής παραμέτρων) είναι y(x) = c 1 e 1 x + c x e 1 x + x e 1 x, c 1, c R. 4 x dx = x e 1 x 4 dx = 4 x e 1 x.
Η δ.ε. έχει σταθερούς συντελεστές και ο όρος μη ομογένειας f(x) = 16 e 1 x είναι της μορφής P n (x) e a x cos(b x) με P n (x) = P 0 (x) = 16, a = 1/ και b = 0. Άρα μπορούμε να εφαρμόσουμε την μέθοδο προσδιορισμού συντελεστών για να βρούμε τη γενική λύση της δ.ε. Όμως, ο όρος x e x/ είναι λύση της ομογενούς. Άρα, σύμφωνα με την μέθοδο θα πρέπει να θεωρήσουμε ως μια ειδική λύση τον όρο αυτό με προσαυξημένη την δύναμη του x κατά ένα. Οπότε, θεωρούμε ειδική λύση της μορφής Είναι και Πρέπει, λοιπόν, δηλαδή y ε (x) = x A 0 e 1 x. y ε(x) = x A 0 e 1 x + 1 x A 0 e 1 x y ε (x) = A 0 e 1 x + x A 0 e 1 x + 1 4 x A 0 e 1 x. 4 y ε (x) 4 y ε(x) + y ε (x) = 16 e 1 x 8 A 0 e 1 x +8 x A 0 e 1 x +x A 0 e 1 x 8 x A 0 e 1 x x A 0 e 1 x +x A 0 e 1 x = 16 e 1 x από όπου συνεπάγεται ότι 8 A 0 = 16, δηλαδή A 0 =. Συνεπώς, η γενική λύση της δ.ε. (με τη μέθοδο προσδιορισμού συντελεστών) είναι y(x) = c 1 e 1 x + c x e 1 x + x e 1 x, c 1, c R, η οποία φυσικά ταυτίζεται με αυτήν που βρήκαμε με τη μέθοδο μεταβολής παραμέτρων. Άσκηση 4. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης y y + y = ex 1 + x + 3 ex. Λύση. Η χαρακτηριστική εξίσωση της ομογενούς δ.ε. είναι y y + y = 0 r r + 1 = (r 1) = 0 και άρα η μοναδική της λύση είναι η r = 1, πολλαπλότητας. Συνεπώς το σύνολο { y 1 (x), y (x) } = {e x, x e x } αποτελεί το θεμελιώδες σύνολο λύσεων της ομογενούς εξίσωσης. Ο όρος μη ομογένειας είναι f(x) = ex + 3 e x = f 1+x 1 (x) + f (x). Θα βρούμε λοιπόν, ειδική λύση ξεχωριστά για τους όρους f 1 (x), f (x). Για τον όρο f 1 (x) = ex μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο τη μέθοδο 1+x μεταβολής των παραμέτρων, αφού η συνάρτηση ex δεν μπορεί να γραφεί 1+x ως P n (x) e a x cos(b x) ή P n (x) e a x sin(b x) για κάποιο πολυώνυμο P n (x) και αριθμούς a, b.
Η ορίζουσα Wronski των συναρτήσεων y 1 (x), y (x) είναι e x x e x W (y 1, y )(x) = e x e x + x e x = e x + x e x x e x = e x. Άρα y 1 (x) και y (x) y (x) f 1 (x) dx = ex W (y 1, y )(x) y 1 (x) f 1 (x) dx = x ex W (y 1, y )(x) Επομένως, η συνάρτηση είναι μια ειδική λύση της δ.ε. x e x e x (1 + x dx = ex ) x 1 + x dx = 1 ex d(1 + x ) 1 + x = 1 ex ln(1 + x ) e x e x (1 + x dx = x ex ) y ε1 (x) = 1 ex ln(1 + x ) + x e x arctan x y y + y = ex 1 + x. 1 1 + x dx = x ex arctan x. Για τον όρο f (x) = 3 e x μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο προσδιορισμού των συντελεστών, αφού η συνάρτηση 3 e x είναι της μορφής P n (x) e a x cos(b x) με P n (x) = P 0 (x) = 3, a = 1 και b = 0. Θεωρούμε λοιπόν ειδική λύση της δ.ε. y y + y = 3 e x της μορφής Παραγωγίζοντας έχουμε και Οπότε y ε (x) = x A 0 e x. y ε (x) = x A 0 e x + x A 0 e x y ε (x) = A 0 e x + 4 x A 0 e x + x A 0 e x. y ε (x) y ε (x) + y ε = 3 e x A 0 e x = 3 e x Παρατηρήστε ότι δεν αρκεί να πάρουμε ως ειδική λύση της μορφής x A 0 e x γιατί αυτή αποτελεί λύση της ομογενούς σδε! Στην περίπτωση αυτή δηλαδή σύμφωνα με την μέθοδο προσδιορισμού των συντελεστών θα πρέπει να πάρουμε s =. A 0 = 3 και άρα y ε (x) = 3 x e x Κατά συνέπεια, η γενική λύση της δ.ε. είναι y y + y = ex 1 + x + 3 ex y(x) = c 1 e x + c x e x 1 ex ln(1 + x ) + x e x arctan x+ 3 x e x, c 1, c R.
Άσκηση 5. Να βρεθεί η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών y + y = { x, 0 x π π e π x, x > π, y(0) = 0, y (0) = 1. υποθέτοντας ότι οι συναρτήσεις y και y είναι συνεχείς στο x = π. Είναι η συνάρτηση y συνεχής στο x = π? Λύση. Καταρχήν βρίσκουμε το θεμελιώδες σύνολο λύσεων της αντίστοιχης ομογενούς εξίσωσης y + y = 0. Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι r + 1 = 0 r = 1 και άρα r = ±i. Επομένως το θεμελιώδες σύνολο λύσεων της ομογενούς εξίσωσης είναι το { y 1 (x), y (x) } = {cos x, sin x}. Έπειτα δουλεύουμε στα διαστήματα [0, π] και (π, ), ξεχωριστά. Πρώτα στο διάστημα [0, π] η δ.ε. είναι y + y = x. Θεωρούμε ειδική λύση της μορφής y ε1 (x) = A 1 x + A 0 (γιατί;). Τότε 0 + A 1 x + A 0 = x Ο όρος μη ομογένειας x, δεν λύνει την ομογενή σδε! που συνεπάγεται ότι A 0 = 0 και A 1 = 1. Άρα, η γενική λύση της δ.ε. στο διάστημα [0, π] είναι y(x) = c 1 cos x + c sin x + x, c 1, c R. Οι αρχικές συνθήκες είναι στο σημείο x 0 = 0 που ανήκει στο διάστημα [0, π]. Άρα, μπορούμε μέσω αυτών να προσδιορίσουμε τις σταθερές c 1 και c. Έχουμε 0 = y(0) = c 1 cos(0) + c sin(0) = c 1. Αντικαθιστώντας την τιμή που βρήκαμε για τη c 1 στη γενική λύση κι έπειτα παραγωγίζοντας, παίρνουμε y (x) = c cos(x) + 1. Συνεπώς 1 = y (0) = c cos(0) + 1 = c + 1, που σημαίνει ότι c = 0. Άρα, λοιπόν, η λύση του π.α.τ. στο διάστημα [0, π] είναι y(x) = x, x [0, π]. Στη συνέχεια, στο διάστημα (π, ) η δ.ε. είναι y + y = π e π x = π e π e x.
Οπότε Θεωρούμε, λοιπόν, ειδική λύση της μορφής y ε (x) = B 0 e x. Τότε y ε (x) = ( B 0 e x ) = B 0 e x. Η συνάρτηση e x που εμφανίζεται στον όρο μη ομογένειας π e π e x, δεν είναι μέρος του θεμελιώδους συνόλου.λύσεων της σδε. B 0 e x + B 0 e x = π e π e x B 0 e x = π e π e x B 0 = π eπ. Άρα, στο διάστημα (π, ), η γενική λύση της δ.ε. είναι y(x) = c 3 cos x + c 4 sin x + π eπ e x, c 3, c 4 R. Τώρα, για να υπολογίσουμε τις σταθερές c 3, c 4, θα χρησιμοποιήσουμε τη συνέχεια των συναρτήσεων y(x) και y (x) στο x = π: Αφού η συνάρτηση y(x) είναι συνεχής στο x = π, πρέπει δηλαδή lim y(x) = lim y(x) x π + x π Παρατηρήστε ότι οι σταθερές της λύσης της ομογενούς σδε είναι διαφορετικές από την προηγούμενη περίπτωση! Δουλεύουμε σε άλλο διάστημα τώρα! c 3 cos(π) + c 4 sin(π) + π eπ e π = π c 3 + π = π c 3 = π. Οπότε { x, 0 x π y(x) = π cos x + c 4 sin x + π eπ x, x > π Η παράγωγος της y(x) είναι { 1, 0 x π y (x) = π sin x + c 4 cos x π eπ x, x > π και επειδή και αυτή θα πρέπει να είναι συνεχής στο x = π, πρέπει Ουσιαστικά και στο διάστημα (π, ) λύνουμε ένα ΠΑΤ, με τις αρχικές τιμές της y και y να μας δίνονται στο σημείο x = π και να είναι ίσες με τις αντίστοιχες τιμές που έρχονται από την y που βρήκαμε αριστερά του σημείου x = π, δηλαδή στο διάστημα [0, π]. Με άλλα λόγια στο διάστημα (π, ) λύνουμε το ΠΑΤ y + y = π e π x, y(π) = π, y (π) = 1. δηλαδή lim x π y (x) = lim + x π y (x) π sin(π) + c 4 cos(π) π eπ π = 1 c 4 π = 1 c 4 = 1 π. Συνοψίζοντας, η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών είναι { x, 0 x π y(x) = π cos x (1 + π ) sin x + π eπ x, x > π Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση { x, 0 x π f(x) = π e π x, x > π είναι συνεχής στο σημείο x = π αφού π = lim f(x) = lim f(x) = π x π x π e0 = π. + Από την διαφορική εξίσωση έχουμε ότι Η γραφική παράσταση της λύσης στα διαστήματα [0, π], και (π, ). y (x) = y(x) + f(x). Επειδή η συνάρτηση y(x) είναι συνεχής στο x = π, έπεται ότι και η συνάρτηση y (x), ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων, είναι συνεχής στο σημείο x = π.