Κεφάλαιο 9 ο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΟΠΩΣΗ

Κεφάλιο 9 ο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΟΠΩΣΗ ρ. Ν. Αλεξό ουλος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο : ΚΟΠΩΣΗ ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Έχει πρτηρηθεί ότι εάν έν µετλλικό εξάρτηµ ή δοκίµιο υποβληθεί ε ενλλόµενες περιοδικές κι υνεχείς κτπονήεις, είνι δυντό ν τοχήει πό θρύη γι τιµές τάεων κτά πολύ µικρότερες της ντοχής του ε εφελκυµό R m ή κόµ κι του ορίου διρροής του R p. Η θρύη επέρχετι δίχως πρτηρούµενη πλτική πρµόρφωη, προυίζοντς τις χρκτηριτικές δυο διφορετικές επιφάνειες την επιφάνει θρύης του δοκιµίου, κι οφείλετι το φινόµενο της κόπωης του υλικού. Περιγρφή τως µηχνικών υνθηκών κτ όνηης ε κό ωη Τ χρκτηριτικά µεγέθη των δοκιµών κόπωης είνι: Η µέγιτη mx κι η ελάχιτη min τάη κτπόνηης, το εύρος της κτπόνηης, όπου η µέη τιµή της κτπόνηης m, όπου mx min, mx + min m, το πλάτος ή η µετβολή της κτπόνηης, όπου, κι τέλος mx min min ο λόγος των τάεων της κτπόνηης R, όπου R. Γι ν χρκτηριτεί πλήρως µι δυνµική κτπόνηη κόπωης, πιτείτι η γνώη µόνο δυο πό τις πρπάνω πρµέτρους: mx, min,, m, κι R. Ανάλογ µε τις τιµές που λµβάνει ο λόγος των τάεων R, µπορούµε ν διχωρίουµε τις πρκάτω περιπτώεις κτπονήεων: Α) υµµετρική ντιτρε τή Αυτή η κτπόνηη είνι πλήρως ντιτρεπτή, έχει m 0 κι mx min, η mx είνι εφελκυτική κι η min είνι θλιπτική τάη. Ο λόγος τάεων λµβάνει τιµή R - κι υτή η κτπόνηη είνι χρκτηριτική γι την εξγωγή της κµπύλης Wöhler του υλικού (Σχήµ 9.) mx

Β) υµµετρική µη ντιτρε τή 3 Αυτή η κτπόνηη έχει υµµετρί κθώς η µέη τάη m ιούτι µε το εύρος τάης, δηλδή m. ιχωρίζετι ε δυο περιπτώεις: ) εφελκυµός ιορροπί (µηδέν) εφελκυµός, δηλδή το m > 0 κι β) θλίψη ιορροπί (µηδέν) θλίψη µε το m < 0. Ο λόγος τάεων γι υτές τις κτπονήεις λµβάνει τιµή ίη µε µηδέν, R 0 (Σχήµ 9.β). Γ) ύµµετρη ντιτρε τή Η κτπόνηη υτή είνι ντιτρεπτή (πό εφελκυµό θλίψη εφελκυµό) κι έχουν µέη τάη 0. Η µέη τάη µπορεί ν είνι εφελκυτική ( m > 0), όπως το Σχήµ 9.γ ή κι θλιπτική ( m < m 0). Ο λόγος τάεων γι υτές τις κτπονήεις λµβάνει τιµές ρνητικές, - < R < 0. ) ύµµετρη µη ντιτρε τή Αυτή η κτπόνηη είνι µη ντιτρεπτή κι µπορεί ν γίνετι την περιοχή της θλίψης (m < 0) ή της περιοχής του εφελκυµού (m > 0), που προυιάζετι κι το Σχήµ 9.δ. Ο λόγος τάεων γι υτές τις κτπονήεις λµβάνει τιµές θετικές, 0 < R <. mx 0 min ¼ κύκλου ) t mx m 0 ¼ κύκλου β) t mx m 0 min ¼ κύκλου γ) t mx m min 0 ¼ κύκλου δ) t Σχήµ 9.: Χρκτηριτικές κµπύλες κτπόνηης κόπωης ε υνάρτηη µε τον χρόνο. Οριµοί µεγεθών την κό ωη Όριο ντοχής ε κό ωη ενός υλικού γι µι οριµένη µέη τάη m, είνι εκείνη η τάη κάτω πό την οποί θεωρείτι ότι το υλικό δεν τοχεί γι οποιοδήποτε ριθµό κύκλων φόρτιης (Ν ). Τεχνητό όριο κό ωης είνι το όριο κόπωης του υλικού, κάτω πό το οποίο δεν ηµειώνετι ηµντική µείωη της

4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ντοχής του µε ύξηη των κύκλων φόρτιης. Συµβτικό όριο κό ωης υλικού γι µι οριµένη µέη τάη m, ονοµάζετι η µέγιτη τιµή του πλάτους της περιοδικής φόρτιης, η οποί µπορεί ν εφρµοτεί το δοκίµιο χωρίς υτό ν τοχήει ε έν οριµένο ριθµό κύκλων φόρτιης Ν. Στους χάλυβες, ως υµβτικό όριο κόπωης ορίζετι η τάη την οποί το δοκίµιο ντέχει γι Ν 0 8 κύκλους κτπόνηης. Στ κράµτ λουµινίου, ως υµβτικό όριο κόπωης ορίζετι η τάη την οποί το δοκίµιο ντέχει γι Ν 0 7 κύκλους κτπόνηης. Σε µι κµπύλη Wöhler µπορεί ν πρτηρηθούν τρείς χρκτηριτικές περιοχές (Σχήµ 9.): Α) η περιοχή ολιγοκυκλικής κό ωης (Low Cycle Ftigue LCF), κτά την οποί η διάρκει ζωής του υλικού είνι ύντοµη, έως κι 0.000 κύκλοι φόρτιης γι την τοχί. Το υλικό υπόκειντι ε φορτίεις µε υψηλές τιµές τάης, οι οποίες είνι µεγλύτερες ή ίες πό το όριο διρροής του υλικού κι εποµένως νµένοντι ηµντικές πλτικές πρµορφώεις. Β) η περιοχή ολυκυκλικής κό ωης (High Cycle Ftigue HCF), κτά την οποί η διάρκει ζωής του υλικού κυµίνετι πό τις 0.000 έως περίπου τους.000.000 (0 6 ) κύκλους φορτίεων γι την τοχί. Οι εφρµοζόµενες τάεις δεν ξεπερνούν το όριο διρροής του υλικού. Γ) η περιοχή διρκούς ντοχής (Endurnce Limit), κτά την οποί το υλικό δεν πρόκειτι ν τοχήει υπό τ επιβλλόµεν φορτί κόπωης. Ενδεικτικά νφέρετι ότι η περιοχή υτή µπορεί ν ξεκινάει τους 0 8 κι 0 7 κύκλους φόρτιης γι κράµτ χάλυβ κι λουµινίου, ντίτοιχ. 500 400 Κμπύλες κόπωης Woehler κράμ λουμινίου 04 κράμ λουμινίου 98 κράμ λουμινίου 656 Έυρος τάης [MP] 300 00 00 Περιοχή Περιοχή Περιοχή ολιγοκυκλικής πολυκυκλικής ορίου διρκούς κόπωης κόπωης ντοχής ε 0 (LCF) (HCF) κόπωη 0 0 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 Κύκλοι κτπόνηης ε κόπωη Ν [-] Σχήµ 9.: Χρκτηριτικές κµπύλες Wöhler γι τρί διφορετικά κράµτ λουµινίου ( ιπλωµτική εργί Ευάγγελου Μιγκλή, 0, Πνεπιτήµιο Αιγίου).

5 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Στην περίπτωη που το υλικό φορτίζετι την περιοχή της πολυκυκλικής περιοχής της κµπύλης Wöhler κι η µέγιτη επιβλλόµενη τάη δεν ξεπερνά το όριο διρροής του υλικού, πρτηρήθηκε εµπειρικά ότι τ πειρµτικά δεδοµέν (πειρµτικά ζεύγη τιµών εύρους τάης κι κύκλοι τοχίς Ν ) µπορούν ν προρµοτούν την εξίωη της µορφής: Ν C, (9.) όπου κι C είνι τθερές που εξρτώντι πό το υλικό. Η τθερά m λµβάνει τιµές πό /8 έως /5 γι τ περιότερ τεχνολογικά υλικά. Η πρπάνω εξίωη είνι επίης γνωτή κι ως ο νόµος του Bsquin. Στην περίπτωη που το υλικό φορτίζετι την περιοχή της πολυκυκλικής περιοχής της κµπύλης Wöhler, όπου η µέγιτη επιβλλόµενη τάη ξεπερνά το όριο διρροής του υλικού, ο νόµος του Bsquin πλέον δεν ιχύει. Πρτηρήθηκε εµπειρικά πως τ πειρµτικά ποτελέµτ (ζεύγη τιµών εύρους πλτικής πρµόρφωης επλ κι κύκλους τοχίς Ν) κολουθούν µι γρµµική εξίωη, εάν ποτυπωθούν ε έν διάγρµµ µε ηµιλογριθµική κλίµκ. Η εξίωη είνι της µορφής: ε b πλ D, (9.) όπου b κι D είνι τθερές που εξρτώντι πό το υλικό. Η τθερά b λµβάνει τιµές πό 0,5 έως 0,6 γι τ περιότερ τεχνολογικά υλικά. Η πρπάνω εξίωη είνι επίης γνωτή κι ως ο νόµος των Coin - Mnson. Οι πρπάνω νόµοι των Bsquin κι Coin-Mnson, περιγράφουν ικνοποιητικά τ πειρµτικά ποτελέµτ ενός υλικού γι τη θρύη λόγω κόπωης µη-ρηγµτωµένων δοκιµίων, έχοντς ως δεδοµέν τις τθερές, b, C κι D. Ωτόο οι πρπάνω εξιώεις ιχύουν γι υµµετρική ντιτρεπτή φόρτιη, δηλδή γι m 0 (Σχήµ 9.). Σε περίπτωη που η εφρµοζόµενη µέη τάη m 0, τότε πρέπει ν υπολογιτεί έν υποκτάττο εύρος τάης, που θ επιφέρει τους ίδιους κύκλους κόπωης γι την τοχί µε την πργµτική κτπόνηη µε µέη τάη m κι εύρος τάης. Γι τον υπολογιµό του υποκτάττου εύρους τάης., έχει προτθεί ο κνόνς του Goodmn : + m Β, (9.3) όπου είνι το πργµτικό εύρος τάης, m είνι η πργµτική µέη τάη, είνι το ιοδύνµο εύρος τάης µε µέη τάη m 0, κι που επιφέρει τους ίδιους κύκλους θρύης µε την κτπόνηη ( m, ), κι Β είνι το όριο θρύης του υλικού ε εφελκυµό. Ο κνόνς του Goodmn είνι εµπειρικός κι δεν εφρµόζετι µε επιτυχί ε όλες τις περιπτώεις.

6 Υ ολογιµός διάρκεις ζωής ε κό ωη Ο υπολογιµός διάρκεις ζωής γι δοκίµι που κτπονούντι ε κόπωη µε τθερό εύρος τάης κι γι µέη τάη ίη µε µηδέν, µπορεί ν εξχθεί πό έν διάγρµµ Wöhler (Σχήµ 9.). Ωτόο, τις περιότερες των περιπτώεων κτπόνηης ε κόπωη, τ δοµικά τοιχεί κτπονούντι µε κνόνιτο τρόπο, που δεν προυιάζουν τθερή ούτε την επιβλλόµενη µέη τάη, ούτε κι το εύρος κτπόνηης (Σχήµ 9.3). Με κτάλληλες µετρητικές µεθόδους (π.χ. µέθοδος Rinlow) που ξεφεύγουν πό τον κοπό του πρόντος υγγράµτος, οι φορτίεις κόπωης νάγοντι ε επιµέρους τάδι κτπονήεων µε τθερή µέη τάη κι τθερό εύρος κτπόνηης, όπως προυιάζετι το Σχήµ 9.3β. Το κάθε έν τάδιο κτπόνηης προθέτει έν ποοτό βλάβης κόπωης το υλικό, το οποίο υπολογίζετι έχοντς ως πρµέτρους τις υνθήκες κτπόνηης ( m, ) κι τους κύκλους κτπόνηης του τδίου. Η υνάρτηη της βλάβης (dmge) έχει ορικές τιµές D 0 γι µηδενική βλάβη (πρθένο υλικό), κι D γι 00% βλάβη που ηµίνει τοχί λόγω κόπωης του υλικού (Σχήµ 9.4). Τάη Τάη Στάδιο Στάδιο Στάδιο 3 Χρόνος t () (β) Σχήµ 9.3: () Πργµτική κτπόνηη ε κόπωη ενός κτκευτικού τοιχείου κι (β) κτκερµτιµός του ιτορικού φόρτιης ε επιµέρους τάδι κτπόνηης. Χρόνος t Ο Miner διτύπωε έν γρµµικό νόµο υώρευης της βλάβης της µορφής D n, όπου n είνι ο ριθµός των επιβλλοµένων κύκλων κόπωης γι τθερές υνθήκες κτπόνηης ( m, ) κι Ν είνι ο ριθµός των επιβλλοµένων κύκλων κόπωης γι τοχί µε τις ίδιες υνθήκες κτπόνηης ( m, ). Ατοχί του υλικού θ υπάρξει ότν το άθροιµ των επιµέρους βλβών των τδίων κτπονήεων ιούτι µε την µονάδ, δηλδή: i ni i n n n3 nn, δηλ. + + +... +. (9.4) 3 n

7 Η πρπάνω γρµµική εξίωη που είνι γνωτή κι ως γρµµικός κνόνς του Miner, έχει βρεί µεγάλη εφρµογή γι τον χονδρικό υπολογιµό της διάρκεις ζωής κτκευτικών τοιχείων κυρίως λόγω της πλότητάς του. Ωτόο, µειονέκτηµ ποτελεί το γεγονός ότι δεν λµβάνει υπόψη την επίδρη του πρελθόντος, ούτε την επίδρη της ειράς τοποθέτηης των τδίων κτπόνηης κι οδηγεί ε ηµντικές πώλειες. Σχήµ 9.4 Ο γρµµικός κνόνς του Miner γι τον υπολογιµό της υώρευης της βλάβης κόπωης ε έν υλικό. Συνάρτηη βλάβης D D D 0 n/ n/ n/

8 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Η Κ Ο Π Ω Σ Η 9. Ν χεδιτεί η χρκτηριτική κµ ύλη Wöhler γι έν κράµ λουµινίου κι ν οριτεί το όριο διρκούς ντοχής. Πως µετβάλλετι η ρ άνω κµ ύλη µε την: ) ύξηη της µέης τάης, ) ύξηη της θερµοκρίς, 3) ε ίδρη της διάβρωης. ΛΥΣΗ

9 9. Έν µετλλικό υλικό µε όριο ντοχής Rm υ οβάλλετι ε δοκιµή κό ωης. Γι εύρος τάης, ρουίε διάρκει ζωής. Ν εκτιµηθεί η διάρκει ζωής ενός δοκιµίου ό το ίδιο υλικό, ε ερί τωη ου εφρµοτεί εύρος τάης. ίδετι ότι γι το υλικό ιχύει η εξίωη του Bsquin : C. ΛΥΣΗ Από την εξίωη του Bsquin ιχύει: Ν C Ν C (9..) Γι ν εκτιµηθεί η διάρκει ζωής πό την πρπάνω εξίωη, πρέπει ν προδιοριτούν οι τθερές C κι γι το υγκεκριµένο υλικό. Ο εφελκυµός µπορεί ν θεωρηθεί κόπωη µε διάρκει ¼ κύκλου, όπως φίνετι κι το Σχήµ 9.5. Στην περίπτωη υτή η φόρτιη έχει εύρος κόπωης Rm. Συνεπώς η εξίωη του Bsquin δίδει: R m 4 C (9..) R m ¼ κύκλου t κύκλος Σχήµ 9.5 Θεώρηη της δοκιµής του εφελκυµού ως κόπωη µε εύρος τάης ίο µε το όριο ντοχής Rm. O κνόνς του Bsquin ιχύει κι γι το ζεύγος τιµών. Οπότε: C. (9..3) Από τις εξιώεις (9..) κι (9..3) προκύπτει: ln( Rm / ), (9..4) ln ln(/ 4) κι ln( Rm / ) ln ln(/ 4) C R m (/ 4). (9..5) Αντικθιτώντς τις (9..4) κι (9..5) την (9..), προκύπτει πως: ln ln(/ 4) Rm ln( Rm / ) 4 (9..6)

9.3 ίδετι το ρκάτω ιτορικό φορτίεων ου εφρµόζετι ε έν δοκίµιο ό µετλλικό υλικό. Ν βρεθεί ο ριθµός των κύκλων φορτίεων κό ωης n ου ιτείτι γι την τελική τοχί του υλικού, εάν έχει ήδη υ οβληθεί ε n 500.000 κύκλους φόρτιης. ίδετι ότι ιχύει ο κνόνς του Miner, κι ότι το υλικό του δοκιµίου υµ εριφέρετι ύµφων µε την εξίωη του Bsquin µε C, ό ου είνι το εύρος κό ωης, είνι οι κύκλοι τοχίς κι C 400 MP κι 0, είνι τθερές του εν λόγω υλικού. 0 Σχήµ 9.6 Φoρτί κόπωης του δοκιµίου γι τ δυο διφορετικά τάδι κτπόνηης. ΛΥΣΗ Εφόον ιχύει ο γρµµικός κνόνς του Miner, τη υγκεκριµένη περίπτωη κι γι τ δυο διφορετικά τάδι κτπόνηης, ιχύει: n n +, (9.3.) όπου n κι n είνι οι κύκλοι κτπόνηης ε κόπωη του υλικού γι τ ντίτοιχ τάδι κτπόνηης κι κι είνι οι κύκλοι τοχίς γι τ δυο διφορετικά τάδι κτπόνηης. Οι πρπάνω κύκλοι τοχίς πρέπει ν νφέροντι ε κτπόνηη µε την ίδι µέη τάη m, η οποί την υγκεκριµένη περίπτωη είνι µηδενική, δηλδή m 0. Από την πρπάνω εξίωη γνωρίζουµε τους κύκλους n κι πρέπει ν βρεθούν οι κύκλοι φόρτιης n. Οι υπόλοιποι άγνωτοι Ν κι της εξίωης (9.3.) υπολογίζοντι µε την χρήη της εξίωης του Bsquin, ξεχωριτά γι κάθε τάδιο κτπόνηης. Γι το υγκεκριµένο µετλλικό υλικό, ιχύει η εξίωη του Bsquin: C (9.3.) Γι το πρώτο τάδιο κτπόνηης, η πρπάνω εξίωη δίδει: / / 0. C 400 MP C 80MP.60.855 κύκλοι φόρτιης (9.3.3) Γι το δεύτερο τάδιο κτπόνηης, η ίδι εξίωη δίδει: / / 0. C 400 MP C 0 MP 56.68 κύκλοι φόρτιης (9.3.4) Αντικθιτώντς τις (9.3.3) κι (9.3.4) την (9.3.), ιχύει:

n n + n 500000 n n 5668 60855 n 44.46 κύκλοι φόρτιης (9.3.5) Εποµένως ποµένουν 44.46 κύκλοι φόρτιης γι την τελική τοχί του δοκιµίου πό µετλλικό υλικό.

9.4 ίδετι το ίδιο ιτορικό φορτίεων του Σχήµτος 9.6, κι εφρµόζετι ε έν άλλο δοκίµιο ό το ίδιο µετλλικό υλικό. Ν βρεθεί ο ριθµός των κύκλων φορτίεων κό ωης n ου ιτείτι γι την τελική τοχί του υλικού, εάν έχει ήδη υ οβληθεί ε n 500.000 κύκλους φόρτιης. Ν υ ολογιτεί ο ριθµός των κύκλων, εάν το δεύτερο τάδιο κτ όνηης εφρµοτεί ρώτο. ίδετι ότι ιχύει ο κνόνς των Mnson-Hlord κι ότι το υλικό του δοκιµίου υµ εριφέρετι ύµφων µε την εξίωη του Bsquin µε C, ό ου είνι το εύρος κό ωης, είνι οι κύκλοι τοχίς κι C 400 MP κι 0, είνι τθερές του εν λόγω υλικού. ΛΥΣΗ Ο µη-γρµµικός κνόνς των Mnson-Hlord υχετίζει τους κύκλους κόπωης n, n των δυο τδίων κτπόνηης µε τους κύκλους τοχίς κι, ντίτοιχ: 0,4 ( / ) n n + (9.4.) Γι το µετλλικό υλικό, ιχύει η εξίωη του Bsquin, οπότε υπολογίζοντι οι τιµές των Ν κι Ν, ε ντιτοιχί µε την άκηη 9.3. Γι το πρώτο τάδιο κτπόνηης, υπολογίζετι ότι.60.855 κύκλοι φόρτιης, (9.4.) ενώ γι το δεύτερο τάδιο κτπόνηης, ιχύει: 56.68 κύκλοι φόρτιης. (9.4.3) Αντικθιτώντς τις εξιώεις (9.4.) κι (9.4.3) την (9.4.) κι γι n 500.000 κύκλους, ιχύει: 0.4 ( ) / 0.4 ( 56.68/.60. ) 500.000 855 n n n + 56.68.60.855 n 6.555 κύκλοι φόρτιης. (9.4.4) Εάν το δεύτερο τάδιο εφρµοτεί πρώτο, τότε η εξίωη (9.4.) γράφετι: 0.4 ( ) / 0.4 (.60.855/ 56. ) 6.555 68 n n n +.60.855 56.68 n.50.40 κύκλοι φόρτιης. (9.4.5) Πρτηρείτι µεγάλη διφορά µετξύ της υπολογιµένης τιµής των κύκλων γι την τοχί του πρώτου τδίου εάν λλάξουµε την ειρά της φόρτιης. Αυτό είνι χρκτηριτικό των µη-γρµµικών κνόνων που χρηιµοποιούντι γι την υώρευη της βλάβης ε κόπωη. Εάν είχε χρηιµοποιηθεί ο γρµµικός κνόνς του Miner, οι κύκλοι τοχίς n θ ήτν ίδιοι κι γι τις δυο περιπτώεις.

3 9.5 Η κµ ύλη Wöhler ενός υλικού γι m 0 εριγράφετι ό την εξίωη του Bsquin Ν C, ό ου 0,07 κι C 650 MP τθερές του υλικού. Έν δοκίµιο ό το ρ άνω υλικό ου ρουιάζει όριο ντοχής Β 500 MP, κτ ονείτι µε τ φορτί Α κι Β ου φίνοντι τον ρκάτω ίνκ. Ν βρεθεί όο χρόνο θ ζήει το ρ άνω δοκίµιο εάν µετά τ φορτί Α κι Β ε ιβληθεί το φορτίο Γ. Στάδιο Κτ όνηης Μέη Τάη Εύρος Τάης Κύκλοι κτ όνηης m [MP] [MP] Α 0 80 0 6 Β 80 00 3 0 5 Γ 50 75 n3 ίδετι ότι η υχνότητ κτ όνηης είνι ν 0 Hz κι ότι ιχύει ο κνόνς του Miner κι η εξίωη του Goodmn γι το υλικό. ΛΥΣΗ Εφόον ιχύει ο γρµµικός κνόνς του Miner, τη υγκεκριµένη περίπτωη κι γι τ τρι διφορετικά µπλοκ κτπόνηης, ιχύει: n n n3 + +, (9.5.) 3 όπου n, n κι n3 είνι οι κύκλοι κτπόνηης ε κόπωη του υλικού γι τ ντίτοιχ τάδι κτπόνηης κι, κι 3 είνι οι κύκλοι τοχίς γι τ τρι διφορετικά τάδι κτπόνηης. Οι πρπάνω κύκλοι τοχίς πρέπει ν νφέροντι ε κτπόνηη µε την ίδι µέη τάη m. Πρτηρούµε ότι γι τ τρι τάδι κτπόνηης εφρµόζετι διφορετική µέη τάη κόπωης. Γι την εφρµογή του κνόν του Miner, µεττρέπουµε τις τρεις διφορετικές κτπονήεις ε κτπονήεις µε την ίδι µέη τάη m 0 κι διφορετικό ιοδύνµο εύρος κτπόνηης, µε τη χρήη της εξίωης του Goodmn. Οπότε ιχύει: m + (9.5.) B m B Οι κύκλοι τοχίς γι κάθε ιοδύνµη κτπόνηη µπορεί ν υπολογιτεί πό την εξίωη του Bsquin, που µπορεί ν εφρµοτεί µόνο γι m 0. Συνεπώς οι κύκλοι τοχίς υπολογίζοντι ως: C C (9.5.3) Υπολογιµός γι το Στάδιο Α Το ιοδύνµο εύρος τάης υπολογίζετι πό την εξίωη (9.5.) ως: 80MP 0 MP 500 MP 05,6 ΜP (9.5.4) Οι κύκλοι τοχίς υπολογίζοντι µε εφρµογή της εξίωης (9.5.3) ως:

0.07 650 MP 4.857 6. 75 05,6 MP Ν 9,7. 0 0 κύκλοι κτπόνηης. (9.5.5) Υπολογιµός γι το Στάδιο Β Όµοι γι το τάδιο Β: 00 MP 80MP 500 MP κι 9,05 ΜP (9.5.6) 0.07 650 MP 4.857 5. 46 9,05MP Ν 3,39. 0 0 κύκλοι κτπόνηης. (9.5.7) Υπολογιµός γι το Στάδιο Γ Όµοι γι το τάδιο Γ: 75MP 3 50 MP 500 MP κι 3 07,5 ΜP (9.5.8) 0.07 650 MP 4.857 3 3 6. 066 07,5 MP Ν 3 5,9. 0 0 κύκλοι κτπόνηης. (9.5.9) Στην εξίωη (9.5.), ο µονδικός άγνωτος είνι οι κύκλοι κτπόνηης n3. Με ντικτάτη των εξιώεων (9.5.4) έως (9.5.9) την (9.5.), ιχύει: n 3 n n n n n3 3 3 6 5 0 0 3 0 n 3 5,9 0 0 0 9,7 0 3,39 0 n 3,03. 0 0 κύκλοι κτπόνηης. (9.5.0) Με δεδοµένο ότι η υχνότητ της κτπόνηης είνι τ v 0 Hz, δηλδή 0 κύκλοι κτπόνηης νά sec, ιχύει πως: 0 t n 3 ν t,03 0 / 0 t,03. 0 9 sec, που ντιτοιχεί περίπου ε 39 ηµερολογικά έτη. 4

5 9.6 οκίµιο ό χάλυβ AISI 4340 υ οβάλλετι ε ε νλµβνόµενη κυκλική κτ όνηη µε εφελκυτική µέη τιµή ε ιβλλόµενης τάης m 00 MP. Ν βρεθούν ) Ποι είνι η εκτιµώµενη διάρκει ζωής ε κό ωη εάν το εύρος κτ όνηης είνι 450 MP, κι β) ν εκτιµηθεί η κµ ύλη γι την ρ άνω τιµή της ε ιβλλόµενης µέης τάης κό ωης. ΛΥΣΗ

9.7 Μι χλύβδινη κυλινδρική ράβδος υ οβάλλετι ε κό ωη µε λήρη ντιτρέψιµ, εφελκυτικά φορτί: () µε 0 k γι.000.000 κύκλους κτ όνηης κι (β) µε 3 k γι 00.000 κύκλους κτ όνηης. Ν υ ολογιτεί η ιτούµενη διάµετρος της ράβδου, ώτε ν ντέχει τ ρ άνω φορτί γι τους κύκλους λειτουργίς δίχως τοχί. Ν θεωρηθεί ότι ιχύει ο κνόνς του Miner κι η εξίωη του Bsquin C, µε C 400 MP κι 0, ν είνι οι τθερές του χάλυβ. ΛΥΣΗ Εφόον ιχύει ο γρµµικός κνόνς του Miner, τη υγκεκριµένη περίπτωη κι γι τ δυο διφορετικά τάδι κτπόνηης, η ράβδος θ λειτουργεί µε φάλει, εάν: n n +, (9.7.) όπου n κι n είνι οι κύκλοι κτπόνηης ε κόπωη του υλικού γι τ ντίτοιχ τάδι κτπόνηης κι κι είνι οι κύκλοι τοχίς γι τ δυο διφορετικά τάδι κτπόνηης. Οι πρπάνω κύκλοι τοχίς, οι οποίοι πρέπει ν υπολογιτούν, νφέροντι ε κτπόνηη µε την ίδι µέη τάη m, η οποί την υγκεκριµένη περίπτωη είνι µηδενική, δηλδή m 0 (πλήρης ντιτρέψιµη φόρτιη). Εποµένως το εύρος τάης γι τo πρώτο τάδιο κτπόνηης είνι: P/A 4. P/π. d, (9.7.) µε P 0 k ν είνι το µέγιτο φορτίο κτά το πρώτο τάδιο κτπόνηης, Α κι d ν είνι η διτοµή κι η διάµετρος της ράβδου, ντίτοιχ. Όµοι, γι το δεύτερο τάδιο κτπόνηης, ιχύει: 4. P /π. d, (9.7.3) µε P 3 k ν είνι το µέγιτο φορτίο κτά το δεύτερο τάδιο κτπόνηης. Γι τον χάλυβ, ιχύει η εξίωη του Bsquin. Με βάη υτή την εξίωη υπολογίζοντι οι κύκλοι τοχίς γι κάθε τάδιο κτπόνηης. Γι το πρώτο τάδιο κι µε ντικτάτη της (9.7.), ιχύει: C / C / C A P Όµοι, γι το δεύτερο τάδιο κτπόνηης, ιχύει: / (9.7.4) C A P (9.7.5) Αντικθιτώντς τις εξιώεις (9.7.4) κι (9.7.5) την (9.7.), ιχύει: / / n P n P / / / + n + / / P n P ( C A ( C A) ( C A) ) / / A ( n ) P + n P. (9.7.6) C Αντικθιτώντς τις τιµές n.000.000, n 00.000, P 0.000, P 3.000 κι C 400 MP, η πρπάνω εξίωη (9.7.6) δίδει: 0. 0. 0. π d / 4 (.000.000 (0.000) / + 00.000 (3.000) / ) 400 6

d 3 mm. (9.7.7) Εποµένως η ελάχιτη διάµετρος της ράβδου γι φλή λειτουργί είνι 3 mm. 9.8 Ένς κυλινδρικός άξονς εριτρέφετι µε τθερή γωνική τχύτητ 0 rpm κι υ οβάλλετι ε υγκεντρωµένο φορτίο το έν άκρο του, ό ως φίνετι το Σχήµ 9.7 (L 0 cm). Το φορτίο µετβάλλετι µε τον χρόνο, ε διτήµτ της µίς ώρς, ό k ε. k, ό ως ρουιάζετι γρφικά το Σχήµ 9.3. Ν υ ολογιτεί η ιτούµενη διάµετρος του άξον ώτε ν λειτουργεί µε φάλει γι έν µήν. Ν θεωρηθεί ότι ιχύει ο κνόνς του Miner κι η εξίωη του Bsquin C, µε C 300 MP κι 0,. 7 Σχήµ 9.7: Σκρίφηµ του περιτρεφόµενου άξον. Σχήµ 9.3: Εφρµοζόµεν φορτί τον άξον. ΛΥΣΗ Λόγω του εφρµοζόµενυ φορτίου, ο άξονς υποβάλλετι ε κµπτική ροπή, η οποί λµβάνει τη µέγιτη τιµή της (Μ mx P. L), την έδρη. Η κµπτική τάη που νπτύετι είνι εφελκυτική το επάνω µέρος κι θλιπτική το κάτω µέρος του άξον. Ωτόο, λόγω της περιτροφής, µι τοιχειώδης ίν την επιφάνει του υλικού υποβάλλετι ε κόπωη (εφελκυµός θλίψη) µε µηδενική µέη τάη. Το εύρος υτής της φόρτιης είνι η κµπτική τάη την επιφάνει, η οποί υπολογίζετι ως εξής: M mx, P L 3 I π d 3 6 6,4 0 MP ( dε [mm]). (9.8.) π 3 d Όµοι, γι το φορτίο P, υπολογίζετι το εύρος της φόρτιης: 6 P L 7,68 0 MP ( dε [mm]) 3 3 π d π d. (9.8.) 3 Ο ριθµός των κύκλων φόρτιης γι την τοχί γι κάθε τάδιο κτπόνηης υπολογίζετι µε την χρήη της εξίωης του Bsquin: C / π 3/ d 6 C / C. (9.8.3) 6,4 0 Όµοι, γι το δεύτερο τάδιο κτπόνηης προκύπτει ότι: / π 3/ d 6 C. (9.8.4) 7,68 0

8 Σύµφων µε τον γρµµικό κνόν του Miner, ο άξονς θ λειτουργεί µε φάλει εάν: n n +. (9.8.5) Από το Σχήµ 9.3 προκύπτει ότι οι κύκλοι φόρτιης είνι ίδιοι, δηλδή n n. O άξονς πρέπει ν λειτουργεί µε φάλει γι έν µήν (43.00 min), µε τχύτητ περιτροφής 0 τροφές νά λεπτό (rpm). Συνεπώς οι ολικοί κύκλοι κτπόνηης είνι: n ολ t. v 43.00. 0 n ολ 43.000 κύκλοι φόρτιης. (9.8.6) Εποµένως, ιχύει ότι: nολ n n 6.000 κύκλοι φόρτιης. (9.8.7) Με ντικτάτη των (9.8.3), (9.8.4), (9.8.6) κι (9.8.7) την (9.8.5), προκύπτει: / 0, / 0, 6 6 6,4 0 7,68 0 3/ 0, 6.000 300 + 300 d π π d 3 mm. (9.8.8) Εποµένως η ελάχιτη διάµετρος του άξον είνι 3 mm.

9.9 Ένς µετλλικός γωγός µεγάλου µήκους, διµέτρου m κι άχους 4 cm, χρηιµο οιείτι γι τη µετφορά φυικού ερίου. Ο γωγός έχει κτκευτεί µε υγκόλληη µεγάλων ωλήνων µετξύ τους. Μετρήεις την εριοχή της υγκόλληης νέδειξν την ύ ρξη εφελκυτικών, εν οµενουών τάεων την εριφερεική διεύθυνη του ωλήν. Η τιµή των εν οµενουών τάεων δικυµίνοντι κτά το άχος του ωλήν, κι έχουν µέη τιµή ερί ου το 0% του ορίου διρροής του υλικού. Ο γωγός έχει χρηιµο οιηθεί γι 3 έτη ε µι εωτερική ίεη ου µετβάλλετι ό 0 ε 0 MP, ε διτήµτ των ωρών. Α οφίτηκε η ύξηη της µέγιτης ίεης τ MP. Ν εκτιµηθεί η οµένου διάρκει ζωής του γωγού µε κι δίχως τον υνυ ολογιµό της ε ίδρης των εν οµενουών τάεων. Ν θεωρηθεί ότι ιχύει ο κνόνς του Miner, η εξίωη του Goodmn κι του Bsquin: C, µε C 300 MP κι 0,. ίδοντι ε ίης το όριο διρροής Rp 50 ΜP κι το όριο ντοχής Rm 300 MP. ΛΥΣΗ Γι έν γωγό µεγάλου µήκους, νπτύετι µόνο περιφερεική τάη. Η τάη υτή δίδετι πό την εξίωη: t P d / t, (9.9.) όπου P είνι η εωτερική πίεη, d είνι η εωτερική διάµετρος κι t το πάχος του γωγού. Γι τις µέγιτες τιµές της πίεης, Ρ 0 MP κι Ρ MP, η εξίωη (9.9.) δίδει τις µέγιτες τιµές των περιφερεικών τάεων, ενώ οι ελάχιτες είνι µηδενικές. ) Ε ίλυη δίχως την ε ίδρη των εν οµενουών τάεων Οι τιµές του εύρους κι της µέης τάης υπολογίζοντι ως εξής: mx + min ( P d / t) + (0) m 6,5 MP κι m 6,5 MP (9.9.) κι mx + min ( P d / t) + (0) m 75 MP κι m 75 MP (9.9.3) Εφόον ιχύει ο γρµµικός κνόνς του Miner, τη υγκεκριµένη περίπτωη κι γι τ δυο διφορετικά µπλοκ κτπόνηης, ιχύει: n n +, (9.9.4) όπου n, κι n είνι οι κύκλοι κτπόνηης ε κόπωη του υλικού γι τ ντίτοιχ τάδι κτπόνηης κι, κι είνι οι κύκλοι τοχίς γι τ δυο διφορετικά τάδι κτπόνηης. Οι πρπάνω κύκλοι τοχίς πρέπει ν νφέροντι ε κτπόνηη µε την ίδι µέη τάη m. Πρτηρούµε ότι γι τ δυο τάδι κτπόνηης εφρµόζετι διφορετική µέη τάη κόπωης. Γι την εφρµογή του κνόν του Miner, µεττρέπουµε τις δυο διφορετικές κτπονήεις ε κτπονήεις µε την ίδι µέη τάη m 0 κι διφορετικό ιοδύνµο εύρος κτπόνηης, µε τη χρήη της εξίωης του Goodmn. Οπότε ιχύει: 9

0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ m + (9.9.5) B m B Γι το πρώτο τάδιο κτπόνηης, το ιοδύνµο εύρος τάης υπολογίζετι: 6,5 MP m 6,5 MP B 300 MP 78,95 ΜP (9.9.6) Γι το δεύτερο τάδιο κτπόνηης, ιχύει: 75MP m 75MP B 300 MP 00 ΜP (9.9.7) Ο ριθµός των κύκλων φόρτιης γι την τοχί γι κάθε τάδιο κτπόνηης υπολογίζετι µε την χρήη της εξίωης του Bsquin: / C 300 MP C 78,95MP Ν 86.478 κύκλοι φόρτιης (9.9.8) Όµοι, γι το δεύτερο τάδιο κτπόνηης προκύπτει ότι: / / 0, / 0, C 300 MP C 00 MP Ν.750 κύκλοι φόρτιης (9.9.9) ίδετι επίης ότι ο γωγός ήδη έχει χρηιµοποιηθεί (πρώτο τάδιο κτπόνηης) γι 3 χρόνι 6.80 ώρες, δηλδή: n 3.40 κύκλοι φόρτιης (9.9.0) Με ντικτάτη των (9.9.0), (9.9.8), (9.9.9) την (9.9.4) προκύπτουν οι νµενόµενοι κύκλοι φόρτιης n γι το δεύτερο τάδιο κτπόνηης: n n 3.40 n + + 86.478.750 n 0.7 κύκλοι φόρτιης ή 4,6 έτη λειτουργίς (9.9.) β) Ε ίλυη µε την ε ίδρη των εν οµενουών τάεων Εάν υνυπολογιτεί κι η επίδρη των ενποµενουών τάεων, τότε υτή πρέπει ν προτεθεί την ελάχιτη κι τη µέγιτη περιφερεική τάη που προκλλείτι πό την εωτερική πίεη του γωγού. Η τιµή της ενποµένους τάης είνι: res 0, Rp 0, 50 MP res 50 ΜP (9.9.) Οι τιµές του εύρους κι της µέης τάης υπολογίζοντι ως εξής: mx + min ( res + P d / t) + ( res ) 75 MP + 50MP m

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ m,5 MP (9.9.3) κι mx + min ( res + P d / t) + ( res ) 00 MP + 50MP m m 5 MP (9.9.4) Εποµένως, 0,5 ( mx min) 6,5 MP (9.9.5) κι.5 ( ) 75 MP (9.9.6) 0 mx min Πρτηρείτι ότι οι ενποµένουες τάεις λλάζουν τόο την µέη τάη όο κι το εύρος της κόπωης. Όµοι µε την πρώτη περίπτωη, υπολογίζοντι γι τ δυο τάδι κτπόνηης τ ιοδύνµ εύρη τάεων κόπωης κθώς κι οι νµενόµενοι κύκλοι φόρτιης γι την τοχί: 6,5 MP m,5mp B 300 MP 00 ΜP, (9.9.7) κι 75MP m 5MP B 300 MP 8,75 ΜP (9.9.8) Υπολογίζοντι οι ριθµοί των κύκλων φόρτιης γι την τοχί γι κάθε τάδιο κτπόνηης: κι / / 0, C 300 MP C 00 MP Ν.750 κύκλοι φόρτιης, (9.9.9) / / 0, C 300 MP C 8,75MP Ν.5 κύκλοι φόρτιης (9.9.0) Με ντικτάτη των (9.9.0), (9.9.9), (9.9.0) την (9.9.4), προκύπτουν οι νµενόµενοι κύκλοι φόρτιης n γι το δεύτερο τάδιο κτπόνηης: n n 3.40 n + +.750.5 n 877 κύκλοι φόρτιης ή 0, έτη λειτουργίς (9.9.) Πρτηρείτι µι δρµτική µείωη την ενποµένου διάρκει ζωής (0, έτη υγκρινόµεν µε τ 4,6 έτη), ότν υνυπολογιτεί η επίδρη των ενποµενουών τάεων την περιοχή της υγκόλληης. Ωτόο, πρέπει ν ηµειωθεί ότι το τελικό ποτέλεµ κρίνετι υπερβολικά υντηριτικό, κθώς το πιθνότερο είνι πως οι ενλόγω τάεις θ έχουν εξοµλυνθεί πολύ πριν την τοχί του γωγού.