ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN: 960-516-026-9 Copyright ΕΚΔΟΣΕΙΣ Θεσσαλονίκη 2011 ΕΚΔΟΣΕΙΣ Εγνατία 148 τηλ. 2310-239.537-546 21 Θεσσαλονίκη Εγνατία 156 τηλ. 2310-861.917, Fax 2310-265.126, εντός Πανεπιστημίου Μακεδονίας e-mail: anikoula@otenet.gr Απαγορεύεται η ανατύπωση, η μετάφραση, η αντιγραφή μερική ή ολική μέσω φωτοτυπιών ή φωτογράφησης, καθώς και ο τρόπος έκθεσης με οποιοδήποτε οπτικοακουστικό μέσο της περιεχόμενες ύλης, χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα.

Aφιερώνεται στους αληθινούς εραστές της Μαθηματικής Γνώσης iii

Περιεχόμενα Πρόλογος... 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Συναρτήσεις και η Διαγραμματική τους Παράσταση... 5 1.1. Ορισμοί και παραδείγματα συναρτήσεων... 5 1.2. Γραφήματα συναρτήσεων... 7 1.3. Συναρτήσεις και καμπύλες... 12 1.4. Ταξινόμηση συναρτήσεων... 14 1.5. Τύποι συναρτήσεων... 16 1.6. Η συμβολική παράσταση συναρτήσεων οποιασδήποτε μορφής... 17 1.7. Η διαγραμματική μέθοδος... 18 1.8. Η επίλυση εξισώσεων μιας μεταβλητής... 19 1.9. Συστήματα δύο εξισώσεων με δυο μεταβλητές... 23 1.10. Η κλίση μιας ευθείας... 27 1.11. Η εξίσωση μιας ευθείας... 31 1.12. Η παραβολή... 38 1.13. Η ορθογώνια υπερβολή... 44 1.14. Ο κύκλος... 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Όρια και Συνέχεια Συναρτήσεων... 51 2.1. Ορισμός του ορίου μιας μονότιμης συνάρτησης... 51 2.2. Μερικές ιδιότητες των ορίων... 57 2.3. Η συνέχεια των συναρτήσεων... 65 2.4. Επεξηγήσεις συνέχειας και ασυνέχειας συναρτήσεων... 67 2.5. Συναρτήσεις πολλών τιμών... 68

vi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Συναρτήσεις και Διαγράμματα στην Οικονομική Θεωρία... 77 3.1. Συναρτήσεις ζήτησης και οι καμπύλες τους... 77 3.2. Ειδικές συναρτήσεις ζήτησης και καμπύλες... 80 3.3. Συναρτήσεις συνολικών εσόδων και καμπύλες... 83 3.4. Συναρτήσεις κόστους και οι καμπύλες τους... 91 3.5. Άλλες συναρτήσεις και καμπύλες στην οικονομική θεωρία... 96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Παράγωγοι και η Ερμηνεία τους... 101 4.1. Ορισμός παραγώγου... 101 4.2. Παραδείγματα εκτίμησης παραγώγων... 105 4.3. Παράγωγοι και προσεγγιστικές τιμές... 110 4.4. Παράγωγοι και εφαπτόμενες καμπυλών... 111 4.5. Παράγωγοι δεύτερης και ανώτερης τάξης... 118 4.6. Εφαρμογές των παραγώγων στις φυσικές επιστήμες... 119 4.7. Εφαρμογές των παραγώγων στην οικονομική θεωρία... 121 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Η Τεχνική της Παραγώγισης... 127 5.1. Η δυναμο-συνάρτηση και η παράγωγός της (Power Function)... 127 5.2. Κανόνες παραγώγισης... 129 5.3. Παραδείγματα υπολογισμού παραγώγων... 131 5.4. Η συνάρτηση ενός συναρτησιακού τύπου. Παραγώγιση σύνθετης συνάρτησης... 137 5.5. Παραγώγιση αντίστροφης συνάρτησης... 142 5.6. Υπολογισμός παραγώγων δεύτερης και ανώτερης τάξης... 144

vii ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Εφαρμογές των Παραγώγων... 149 6.1. Πρόσημο και μέγεθος παραγώγου... 149 6.2. Μέγιστες και ελάχιστες τιμές... 152 6.3. Εφαρμογές της δεύτερης παραγώγου... 155 6.4. Πρακτικές μέθοδοι εύρεσης μεγίστων και ελαχίστων τιμών... 157 6.5. Ένα γενικό πρόβλημα μέσων και οριακών τιμών... 162 6.6. Σημεία καμπής... 164 6.7. Προβλήματα μονοπωλείου στην οικονομική θεωρία... 168 6.8. Προβλήματα οικονομικού διπόλου... 173 6.9. Γενικές εφαρμογές των παραγώγων... 178 6.10. Οικονομικές εφαρμογές των παραγώγων... 199 6.11. Βασικά θεωρήματα του διαφορικού λογισμού... 210 6.12. Απροσδιόριστες μορφές... 232 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Εκθετικές και Λογαριθμικές Συναρτήσεις... 245 7.1. Εκθετικές συναρτήσεις... 245 7.2. Λογάριθμοι και οι ιδιότητές τους... 247 7.3. Λογαριθμικές συναρτήσεις... 249 7.4. Φυσικές εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις... 251 7.5. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις... 254 7.6. Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων... 264 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Λογαριθμική παραγώγιση... 271 8.1. Παράγωγοι εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων... 271 8.2. Λογαριθμική παραγώγιση... 274 8.3. Η ελαστικότητα μιας συνάρτησης... 277 8.4. Υπολογισμός ελαστικοτήτων... 278 8.5. Η ελαστικότητα της ζήτησης... 281

viii 8.6. Η ελαστικότητα του κόστους και κανονικές συνθήκες κόστους... 284 8.7. Eλαστικότητα κόστους και κανονικές συνθήκες κόστους... 288 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Συναρτήσεις Δύο ή Περισσοτέρων Μεταβλητών... 294 9.1. Συναρτήσεις δύο μεταβλητών... 294 9.2. Διαγραμματική παράσταση συναρτήσεων δύο μεταβλητών... 301 9.3. Συναρτήσεις περισσότερων των δύο μεταβλητών... 302 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Μερικές Παράγωγοι και η Εφαρμογή τους... 305 10.1. Μερικές παράγωγοι συναρτήσεων δύο μεταβλητών... 305 10.2. Μερικές παράγωγοι δεύτερης και ανώτερης τάξης... 311 10.3. Το εφαπτόμενο επίπεδο μιας επιφάνειας... 320 10.4. Μερικές παράγωγοι συναρτήσεων περισσότερων των δύο μεταβλητών... 327 10.5. Οικονομικές εφαρμογές μερικών παραγωγών... 329 10.6. Οικονομικές συναρτήσεις... 341 10.7. Θεώρημα Euler και άλλες ιδιότητες των ομογενών συναρτήσεων... 345 10.8. Η γραμμική ομογενής συνάρτηση παραγωγής... 361 10.9. Ισοσταθμικές των συναρτήσεων Cobb-Douglas και η ελαστικότητα υποκατάστασής τους... 367 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Διαφορικά και Διαφορισιμότητα... 373 11.1. Μεταβολή μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών... 373 11.2. Το διαφορικό μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών... 375 11.3. Η τεχνική της διαφόρισης... 377 11.4. Διαφόριση σύνθετης συνάρτησης... 384 11.5. Διαφόριση ασαφών συναρτήσεων... 392 11.6. Διαφορικό συνάρτησης περισσότερων των δύο μεταβλητών... 405

ix 11.7. Η αντικατάσταση των παραγόντων στην παραγωγή... 410 11.8. Η αντικατάσταση σε άλλα οικονομικά προβλήματα... 421 11.9. Επιπλέον θεώρηση προβλημάτων οικονομικού διπόλου... 423 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Προβλήματα μέγιστων και ελάχιστων τιμών... 431 12.1. Μερικές στάσιμες τιμές... 431 12.2. Μέγιστα και ελάχιστα συνάρτησης δύο ή περισσότερων μεταβλητών... 434 12.3. Παραδείγματα μέγιστων και ελάχιστων τιμών... 439 12.4. Μονοπώλιο και σχετική παραγωγή... 454 12.5. Παραγωγή, κεφάλαιο, τόκος... 462 12.6. Σχετικές μέγιστες και ελάχιστες τιμές... 473 12.7. Παραδείγματα σχετικών μεγίστων και ελαχίστων τιμών... 477 12.8. Η ζήτηση για τους συντελεστές της παραγωγής... 492 12.9. Η ζήτηση για καταναλωτικά αγαθά και για δάνεια... 502 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 Ολοκληρώματα συναρτήσεων μιας μεταβλητής... 519 13.1. Ορισμός του ορισμένου ολοκληρώματος... 519 13.2. Ορισμένα ολοκληρώματα και εμβαδά... 526 13.3. Αόριστα ολοκληρώματα και αντίστροφη διαφόριση... 536 13.4. Η τεχνική της ολοκλήρωσης... 540 13.5. Η σχέση μεταξύ μέσων και οριακών εννοιών... 577 13.6. Κεφαλαιακές τιμές... 601 13.7. Ένα πρόβλημα αγαθών διαρκούς κεφαλαίου... 611 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 Διαφορικές εξισώσεις... 622 14.1. Η φύση του προβλήματος... 622 14.2. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις και η ολοκλήρωσή των... 630 14.3. Το γενικό ολοκλήρωμα (η γενική λύση) μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης... 650

x 14.4. Συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων... 661 14.5. Ορθογώνια συστήματα καμπύλων και επιφανειών... 676 14.6. Άλλες διαφορικές εξισώσεις... 687 14.7. Δυναμικές μορφές των συναρτήσεων ζήτησης και προσφοράς... 728 14.8. Η γενική θεωρία της επιλογής καταναλωτών... 739 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 15 Δεύτερης και Ανώτερης Τάξης Διαφορικά... 751 15.1. Ένα πλήρες κριτήριο για τα μέγιστα και τα ελάχιστα... 751 15.2. Δεύτερης και ανώτερης τάξης διαφορικά... 756 15.3. Διαφορικά μιας συνάρτησης δύο ανεξάρτητων μεταβλητών... 757 15.4. Διαφορικά μιας συνάρτησης δύο εξηρτημένων μεταβλητών... 766 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 Ορίζουσες, Γραμμικές Εξισώσεις και Τετραγωνικές Μορφές... 783 16.1. Εναλλακτική θεώρηση οριζουσών... 783 16.2. Γραμμικές και ομογενείς συναρτήσεις διαφόρων μεταβλητών... 784 16.3. Επίλυση γραμμικων εξισώσεων... 789 16.4. Επίλυση γραμμικών συστημάτων... 792 16.5. Συστήματα Cramer... 802 16.6. Τετραγωνικές μορφές δύο και τριών μεταβλητών... 832 16.7. Παραδείγματα τετραγωνικών μορφών... 838 16.8. Δύο γενικά αποτελέσματα τετραγωνικών μορφών... 847 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 Περισσότερα Προβλήματα Μέγιστων και Ελάχιστων Τιμών... 933 17.1. Μέγιστα και ελάχιστα συνάρτησης μερικών μεταβλητών... 933 17.2. Δεσμευμένα μέγιστα και ελάχιστα... 938 17.3. Παραδείγματα μεγίστων και ελαχίστων τιμών... 941

xi 17.4. Η ευστάθεια της ζήτησης για τους συντελεστές της παραγωγής... 949 17.5. Μερικές ελαστικότητες της αντικατάστασης... 956 17.6. Μεταβολή της ζήτησης για τους συντελεστές της παραγωγής... 959 17.7. Η ζήτηση καταναλωτικών αγαθών (περίπτωση ολοκληρωσιμότητας)... 968 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 979

Πρόλογος Σκοπός του παρόντος συγγράμματος είναι να αναδείξει τη συμβολή των καθαρών μαθηματικών στην ανάπτυξη και λειτουργία οποιουδήποτε οικονομικού συστήματος. Σε κάθε βήμα των μαθηματικών μεθόδων που περιγράφονται, αντικατοπτρίζεται η σημασία τους στην επίλυση των προβλημάτων της οικονομικής θεωρίας. Ο προσδιορισμός και η μελέτη του συνόλου των σχέσεων αλληλεξάρτησης των διαφόρων οικονομικών μεγεθών, όπως κόστος, έσοδα, τιμές, παραγωγή, κατανάλωση, επένδυση κ.ά., αποτελεί βασική επιδίωξη κάθε οικονομικής ανάλυσης. Για την εφαρμογή της μαθηματικής ανάλυσης στη μελέτη και επίλυση οικονομικών προβλημάτων δεν είναι πάντα αναγκαίο να γνωρίζουμε την ακριβή μορφή των μαθηματικών σχέσεων που συνδέουν τις οικονομικές μεταβλητές. Δηλαδή, η απόδειξη μιας πληθώρας οικονομικών προτάσεων βασίζεται μόνο στην πληροφορία, ότι οι τιμές ενός οικονομικού μεγέθους εξαρτώνται από τις τιμές ενός άλλου οικονομικού μεγέθους και η συναρτησιακή αυτή σχέση εκφράζεται με μια παραγωγίσιμη συνάρτηση. Η μαθηματική ανάλυση των οικονομικών σχέσεων μπορεί να πάρει τη μορφή ποιοτικής, παραμετρικής και ποσοτικής ανάλυσης. Η ποιοτική ανάλυση (qualitative analysis) αναφέρεται στον προσδιορισμό της κατεύθυνσης μεταβολής μιας ή περισσότερων οικονομικών μεταβλητών σε σχέση με τη μεταβολή μιας ή περισσότερων άλλων οικονομικών μεταβλητών. Στην περίπτωση παραγωγίσιμων οικονομικών συναρτήσεων, η κατεύθυνση μεταβολής εκφράζεται πλήρως με το πρόσημο της παραγώγου ή των μερικών παραγώγων. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να τονίσουμε, ότι τα προβλήματα ποιοτικής οικονομικής ανάλυσης, από τη φύση τους είναι προβλήματα συνδυαστικής ανάλυσης και βρίσκουν την πιο αποτελεσματική τους αντιμετώπιση στα πλαίσια της θεωρίας των προσημασμένων γραφημάτων (signed graphs).

2 Η παραμετρική ανάλυση (parametric analysis) αναφέρεται σε μια οικογένεια οικονομικών σχέσεων ή συναρτήσεων που έχουν την ίδια μορφή έτσι ώστε κάθε μέλος της οικογένειας αυτής προκύπτει, όταν δώσουμε συγκεκριμένες τιμές στις παραμέτρους. Με την παραμετρική ανάλυση προσδιορίζονται διαστήματα μεταβολής των παραμέτρων, έτσι ώστε να ενσωματώνονται οι πραγματικές οικονομικές συνθήκες που διαμορφώνουν τις τιμές των μεταβλητών του διαστήματος. Εκφράζονται ακόμη τυχόν τυπικά ακρότατα ή σημεία καμπής των συναρτήσεων αυτών σα συναρτήσεις των τιμών των παραμέτρων. Τέλος, η ποσοτική ανάλυση (quantitative analysis) μελετά τις ποσοτικοποιημένες σχέσεις που προκύπτουν, όταν οι παράμετροι πάρουν συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές. Έτσι με την ανάλυση αυτή προσδιορίζονται συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές των οικονομικών μεταβλητών, που είναι οι βασικές για την επίλυση προβλημάτων οικονομικής επιλογής και πιο γενικά για τη διαδικασία λήψης οικονομικών αποφάσεων. Το είδος, η έκταση και η μορφή της μαθηματικής ανάλυσης που χρησιμοποιείται εξαρτάται κυρίως από τη φύση των οικονομικών σχέσεων και μεταβλητών που μελετώνται. Έτσι η μελέτη οικονομικών μεταβλητών που δεν συνδέονται με συναρτησιακές σχέσεις μπορεί να γίνει πιο αποτελεσματικά στα πλαίσια μιας περιοχής των μοντέρνων μαθηματικών που ονομάζεται θεωρία γραφημάτων. Όταν όμως οι οικονομικές μεταβλητές εκφράζονται με συναρτήσεις πραγματικών μεταβλητών, τότε η πιο κατάλληλη μαθηματική ανάλυση για τη μελέτη των οικονομικών αυτών σχέσεων είναι οι τεχνικές του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού. Επομένως, η χρησιμοποίηση της μαθηματικής ανάλυσης στην καλύτερη κατανόηση και επίλυση οικονομικών προβλημάτων είναι θέμα αναγκαιότητας και όχι επιλογής. Αναφορικά με τη δομή του βιβλίου αυτού, θα ήθελα να επισημάνω ότι αναφέρεται σε διαφορετικούς τύπους αναγνωστών. Τα πρώτα κεφάλαια στοχεύουν πρωταρχικά σε αναγνώστες χωρίς μαθηματικό υπόβαθρο, το οποίο θα αποκτηθεί πιθανόν μεταγενέστερα με κα-

3 τάλληλη σειρά μαθημάτων. Τέτοιου είδους αναγνώστες θα πρέπει να συνηθίσουν στην εφαρμογή των στοιχειωδών μεθόδων, πριν προχωρήσουν σε πιο δυναμικές διαδικασίες που περιγράφονται στα τελευταία κεφάλαια. Ο πιο ενημερωμένος αναγνώστης μπορεί να χρησιμοποιήσει τα πρώτα κεφάλαια για επανάληψη και να προχωρήσει αμέσως στην επόμενη εργασία. Ο έμπειρος μαθηματικός οικονομολόγος μπορεί να θεωρήσει το βιβλίο σαν εργαλείο αναφοράς και έρευνας νέων μεθόδων επίλυσης οικονομικών προβλημάτων. Σε κάθε κεφάλαιο επισυνάπτεται ικανός αριθμός ασκήσεων, που θα εξοικειώσουν τον αναγνώστη με τα μαθηματικά εργαλεία και τις εφαρμογές τους σε διακριτά οικονομικά προβλήματα. Η μέθοδος θεραπείας τους θα καταδείξει την προσπάθεια μιας συστηματικής ανάπτυξης της μαθηματικής οικονομικής θεωρίας, αλλά οι ουσιώδεις δομές μιας τέτοιας θεωρίας θα βρεθούν είτε στο κείμενο είτε στις ασκήσεις. Σεπτέμβριος 2011 Α. Αλεξανδράκης

Συναρτήσεις και η διαγραμματική τους παράσταση 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ Η ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΙΚΗ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 1.1. Ορισμός και παραδείγματα συναρτήσεων Η ιδέα της συνάρτησης εμπεριέχει τις έννοιες της σχέσης μεταξύ των τιμών δυο μεταβλητών και της εξάρτησης της μιας μεταβλητής από την άλλη. Ασαφή συνάρτηση (implicit function) ή συναρτησιακή σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών x και y, όταν έχουν δοθεί τα πεδία των τιμών τους, έχουμε, όταν οι τιμές που παίρνουν οι μεταβλητές x και y δεν είναι ανεξάρτητες αλλά συνδέονται κατά κάποιο προκαθορισμένο τρόπο. Αν η τιμή του x είναι γνωστή, τότε η τιμή ή οι τιμές του y μπορεί να είναι σταθερές και αντίστροφα. Μια ασαφής συνάρτηση είναι μια αμοιβαία σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών, και κάθε μεταβλητή "προσδιορίζει" την άλλη. Η μεταβλητή y είναι μια σαφής συνάρτηση (explicit function) της μεταβλητής x, αν η τιμή ή οι τιμές του y εξαρτώνται με κάποιο ορισμένο τρόπο από την τιμή που παίρνει αυθαίρετα η x. Τώρα, η μεταβλητή x "προσδιορίζει" τη μεταβλητή y. Μπορεί όμως η x να δοθεί σαν σαφής συνάρτηση της y. Οι δύο αυτές σαφείς συναρτήσεις λέγονται αντίστροφες, η μια της άλλης. Όταν η μεταβλητή y είναι σαφής συνάρτηση της x, η x λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή και η y εξαρτημένη. Παράδειγμα 1. Η μεταβλητή y εξαρτάται από τη μεταβλητή x, η οποία μπορεί να πάρει οποιαδήποτε αριθμητική τιμή, σύμφωνα με τον τύπο:

6 Κεφάλαιο 1ο y = x 2 + 3x - 2 To x παίρνει τιμές από το. H ασαφής συνάρτηση από την οποία προκύπτει, είναι η: x 2 + 3x - y - 2 = 0 H αντίστροφη συνάρτηση προκύπτει αν σε κάθε δοσμένη τιμή του y, αντιστοιχίσουμε είτε ένα ζεύγος τιμών του x είτε καμία τιμή του x. Λύνοντας τη δευτεροβάθμια εξίσωση βρίσκουμε: 1 x = ( 3± 4y + 17) 2 H σχέση αυτή δίνει το x σαν μια σαφή συνάρτηση του y, όπου το πεδίο τιμών της y, για μια πραγματική τιμή της x, πρέπει να περιοριστεί, έτσι 1 ώστε αρνητικές τιμές αριθμητικά μεγαλύτερες από το 4 να αποκλει- 4 στούν, δηλαδή: 1 y 4, + 4 Παράδειγμα 2: Η μεταβλητή y ορίζεται σαν αποτέλεσμα της διαδικασίας: y = 100 (1,05) x όπου το πεδίο τιμών της x αποτελείται από τους θετικούς ακέραιους μόνο. Η αντίστροφη συνάρτηση είναι η: logy = log100 + log (1,05) x = log100 + xlog1,05 y log y 2 = xlog1,05 x= log 2 log1,05. Aυτό είναι ένα παράδειγμα μιας συνάρτησης μιας ασυνεχούς μεταβλητής, και εκφράζει το ποσό y που προκύπτει όταν καταθέτουμε 100 ν.μ. για x χρόνια προς επιτόκιο 5% το χρόνο. Παράδειγμα 3: Μια ασαφής συνάρτηση μεταξύ των x και y ορίζεται από: x 3 + y 3-3xy = 0

Συναρτήσεις και η διαγραμματική τους παράσταση 7 Oι δύο σαφείς συναρτήσεις που προκύπτουν από αυτή, δεν μπορούν να παρασταθούν με κάποιο αλγεβρικό τρόπο, αυτό όμως δεν σημαίνει ότι οι συναρτήσεις αυτές δεν υπάρχουν. Παράδειγμα 4: Οι αντίστοιχες τιμές των x και y oρίζονται από τον πίνακα: 0 < x < 3 3 < x < 4 4 < x < 5 5 < x < 6 6 < x < 7 7 < x < 8 8 < x <15 y = 6 y = 7 y = 8 y = 9 y = 10 y = 11 y = 12 Το y είναι συνάρτηση του x και το πεδίο τιμών του x αποτελείται από όλους τους θετικούς αριθμούς τους μικρότερους του 15. Όταν το x θεωρείται σαν μια συνάρτηση του y, το πεδίο τιμών του y είναι ασυνεχές και αποτελείται μόνο από τους θετικούς αριθμούς μεταξύ 6 και 12. Μια τέτοια συνάρτηση λέγεται κλιμακωτή συνάρτηση (step function). 1.2. Γραφήματα συναρτήσεων Προκειμένου να παραστήσουμε γραφικά μια συνάρτηση, ακολουθούμε τη διαγραμματική μέθοδο που περιγράψαμε για την παράσταση μεταβλητών σημείων στο προηγούμενο κεφάλαιο. Παράδειγμα 5: Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση: y = x 2 + 3x - 2 Έχουμε τον ακόλουθο πίνακα τιμών: x -4-3 -2-1 1 2-1 0 1 2 y 2-2 -4-4 1 4-4 -2 2 8 To χαμηλότερο σημείο της καμπύλης είναι πολύ κοντά στο σημείο 1 1 1, 4 2 4 το γράφημα παριστάνει μια παραβολή.

8 Κεφάλαιο 1ο 2 y x x = + 3 2 y 4 2-4 1 1 2 Ο -2 2 x -2-4 1 4 4 Σχήμα 5 Παράδειγμα 6: Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση: xy = 3 To γράφημα της συνάρτησης μπορεί να σχεδιαστεί από τον ακόλουθο πίνακα τιμών: x -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 y - 3-1 - 3 3 3-3? 3 1 4 2 2 4 Από το σχήμα 6 κατωτέρω, παρατηρούμε ότι μια ομαλή καμπύλη μπορεί να σχεδιαστεί από το σύνολο των μεταβλητών σημείων που δίνονται, εκτός του γεγονότος ότι υπάρχει κάποια αμφιβολία για τη συμπε-

Συναρτήσεις και η διαγραμματική τους παράσταση 9 ριφορά της, όταν το x είναι μικρό. Όταν το x είναι πράγματι μηδέν, ο τύπος της συνάρτησης δεν προβλέπει καμία τιμή για το y. Παρά ταύτα, βρίσκουμε ότι, η τιμή της y αυξάνει γρήγορα, καθώς το x παίρνει όλο και πιο μικρές θετικές τιμές, και μειώνονται γρήγορα, καθώς το x παίρνει όλο και πιο μικρές αρνητικές τιμές. Το γράφημα αυτό παριστάνει μια ορθογώνια υπερβολή. y 4 xy = 3 2-4 Ο -2 2 4 x -2-4 Σχήμα 6 Παράδειγμα 7: Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση: x 2 + y 2 = 16 Λύση: Έχουμε τον ακόλουθο πίνακα τιμών, όταν το x 4,4 [ ]. x -4-3 -2-1 0 1 2 3 4-2 6-3 5-3 9-4 -3 9-3 5-2 6 y 0 0-2 6-3 5-3 9-4 -3 9-3 5-2 6

10 Κεφάλαιο 1ο Έξω από το διάστημα [-4,4] που φαίνεται, δεν υπάρχουν καθόλου τιμές του y. Στο x = ±4 υπάρχει μόνο μια τιμή του y, ενώ στις άλλες τιμές του x αντιστοιχούν δυο τιμές τoυ y. Το γράφημα της συνάρτησης φαίνεται στο Σχήμα 7, και η καμπύλη αυτή είναι κύκλος ακτίνας 4 μονάδων με κέντρο στην αρχή των συντεταγμένων Ο (0,0). y 4 x 2 + y 2 = 16 2-4 Ο -2 2 4 x -2-4 Σχήμα 7 Παράδειγμα 8: Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση: x 3 + y 3-3xy = 0 Λύση: Ο πίνακας των αντίστοιχων τιμών των x και y, από τον οποίο μπορεί να προκύψει το γράφημα της συνάρτησης είναι ο εξής: x -4 9-3 9-2 8-1 7 0 0 7 1 3 1 5 1 9 2 9 3 9 y 3 9 2 9 1 9 0 9 0 1 3 0 15-1 5 1 6 0 7-2.25 1 5 0 9-2 4-2 8-3 9-4 9

Συναρτήσεις και η διαγραμματική τους παράσταση 11 Εδώ, για να αποκτήσουμε τις τιμές του y που αντιστοιχούν σε οποιαδήποτε τιμή του x, πρέπει να επιλύσουμε μια κυβική εξίσωση. Το σύνολο των σημείων που προκύπτουν από τον πίνακα μπορούν να ενωθούν με μια συνεχή καμπύλη που αποτελείται από ένα βρόχο ("loop") και δύο ουρές ("tales"). Το γράφημα του σχήματος 8 παριστάνει μια καμπύλη, γνωστή σαν φύλλο του Descartes (Folium of Descartes), και είναι ασυνήθους τύπου, σε σχέση με τα γραφήματα που αποκτήθηκαν προηγούμενα. y 4 x 3 + y 3-2x = 0 2-4 Ο -2 2 4 x -2-4 Σχήμα 8 Παράδειγμα 9: Η κλιμακωτή συνάρτηση που δίνεται από τον πίνακα του παραδείγματος 4, μπορεί να σχεδιαστεί με παρόμοιο τρόπο. Δεν προκύπτει καμία συνεχή καμπύλη από τα σχεδιασμένα σημεία τα οποία στην πραγματικότητα συνδέονται μόνο με ένα σύνολο επτά ανεξάρτητων γραμμών παράλληλων στον άξονα των x.

12 Κεφάλαιο 1ο y 12 9 6 3 Ο 3 6 9 12 15 Σχήμα 9 x 1.3. Συναρτήσεις και καμπύλες Η γραφική μέθοδος παράστασης συναρτήσεων μπορεί να επεκταθεί, έτσι ώστε να καθιερωθεί μια γενική σύνδεση μεταξύ συναρτήσεων και καμπύλων. Αν δοθεί μια συναρτησιακή σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών x και y, τότε δεν υπάρχει περιορισμός στον αριθμό των στοιχείων που θα εισάγουμε στον πίνακα των αντίστοιχων τιμών των μεταβλητών, και άρα κανένας περιορισμός στον αριθμό των σημείων που μπορούμε να σχεδιάσουμε στο επίπεδο Οxy. Η συνάρτηση μετατρέπεται σε ένα άπειρα μεγάλο αριθμό σημείων του επιπέδου, και μόνο μερικά από αυτά φαίνονται στο πραγματικό γράφημα. Άρα, σε κάθε συνάρτηση που συνδέει τις μεταβλητές x και y, αντιστοιχεί ένα σύνολο σημείων που περιλαμβάνει μια καμπύλη στο επίπεδο Oxy. Η ιδιότητα που ορίζει την καμπύλη, μπορεί να μεταφραστεί σε μια αναλυτική σχέση μεταξύ των x και y, που ικανοποιείται από όλα τα σημεία (x,y) της καμπύλης, μια σχέση που λέγεται η εξίσωση της καμπύλης.

Συναρτήσεις και η διαγραμματική τους παράσταση 13 Παράδειγμα 10. Θεωρούμε έναν κύκλο ακτίνας 4 μονάδων και κέντρου Ο (0,0). Έστω Ρ(x,y) τυχόν σημείο του κύκλου, τότε από το σχήμα 10 έχουμε: Από το Πυθαγόρειο θεώρημα: OP 2 = OM 2 + ON 2 = OM 2 + MP 2 = x 2 + y 2 αφού ΟΜ = x μονάδες και ON = y μονάδες. Αλλά το ΟΡ = 4 μονάδες, για όλες τις θέσεις του Ρ πάνω στον κύκλο. Άρα x 2 + y 2 = 16 είναι η σχέση που ικανοποιείται από όλα τα σημεία (x,y) του δοθέντος κύκλου, δηλαδή είναι η εξίσωση του κύκλου. y N P O M x Σχήμα 10 Η αντιστοιχία μεταξύ των συναρτήσεων και των καμπύλων είναι τέλεια. Σε κάθε συνάρτηση των μεταβλητών x και y αντιστοιχεί μια ορισμένη καμπύλη στο επίπεδο Oxy, και αντίστροφα. Η μοναδικότητα της σύνδεσης αυτής εξαρτάται πλήρως από το σταθερό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο.

14 Κεφάλαιο 1ο 1.4. Ταξινόμηση συναρτήσεων Μια συνάρτηση είναι αναλυτική, αν μπορεί να εκφραστεί συμβολικά, χρησιμοποιώντας ένα μόνο τύπο, που συνδέει τις μεταβλητές, έναν τύπο που είναι ο γενικός νόμος της συνάρτησης. Η επόμενη διάκριση είναι σημαντική. Εδώ θεωρούμε τις συναρτήσεις σαν σαφείς (explicit), λαμβάνοντας, είτε την y σα συνάρτηση της x, είτε την x σα συνάρτηση της y. Οι συναρτήσεις αυτές χωρίζονται σε δύο κλάσεις εκείνες που είναι μονότιμες (single-valued) και εκείνες που παίρνουν πολλές τιμές (multi-valued). Όταν μόνο μια τιμή της y αντιστοιχεί σε κάθε τιμή της x, τότε λέμε ότι η y είναι μια μονότιμη συνάρτηση της x. Η αντίστροφη μιας μονότιμης συνάρτησης δεν είναι αναγκαία μια μονότιμη συνάρτηση. Γραφικά, αν y είναι μια μονότιμη συνάρτηση της x, τότε η καμπύλη που αντιστοιχεί στη συνάρτηση τέμνεται από μια ευθεία παράλληλη στον Oy άξονα μόνο σε ένα σημείο. Αν η y είναι πολλών-τιμών συνάρτηση, τότε η καμπύλη μπορεί να τέμνεται από τέτοιες γραμμές σε δύο ή περισσότερα σημεία. Αν η y είναι μια μονότιμη συνάρτηση μιας συνεχούς μεταβλητής x, και η y αυξάνει σε τιμή καθώς η x αυξάνει, τότε η y καλείται αύξουσα συνάρτηση της x. Όμοια, αν η τιμή της y μειώνεται καθώς το x αυξάνεται, έχουμε μια φθίνουσα συνάρτηση της x. Η κλάση των συναρτήσεων που είναι αύξουσες ή φθίνουσες λέγεται κλάση των μονότονων συναρτήσεων. Η αντίστροφη μιας μονότιμης και μονότονης συνάρτησης είναι επίσης μονότιμη και μονότονη συνάρτηση, με την ίδια έννοια που είναι και η αρχική συνάρτηση. Επιστρέφοντας στην έννοια των συναρτήσεων με πολλές τιμές (multivalued), μερικές φορές μπορούμε να χωρίσουμε, μια τέτοια συνάρτηση σε δύο ή περισσότερους κλάδους, όπου ο κάθε κλάδους είναι μια μονότιμη συνάρτηση. Η συνάρτηση του παραδείγματος 7 είναι μια τέτοια περίπτωση.