ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f είναι f, για κάθε. Μονάδες 7 Α. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο A; Μονάδες 4 Α. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων. Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για τη συνάρτηση f, ισχύει ότι f (μονάδες ) β) Για το γινόμενο δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων f, g ισχύει ότι f g f g f g (μονάδες ) ΘΕΜΑ Β γ) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής. (μονάδες ) δ) Η διάμεσος είναι ένα μέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις. (μονάδες ) ε) Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω με A B, ισχύει ότι PB P A (μονάδες ) Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω ω,ω,ω,ω4 A ω,ω και B ω,ω και τα ενδεχόμενα 4 Για τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων {ω } και {ω } του Ω ισχύει ότι: Pω lim Μονάδες Η Ρ(ω ) είναι ίση με το ρυθμό μεταβολής της f() ως προς, όταν =, όπου f ln, P ω και Ρω 4 Μονάδες P A, όπου Α το συμπληρωματικό του Α. 4 Μονάδες 7 Β. Να αποδείξετε ότι Β. Να αποδείξετε ότι Β. Αν Ρ(Α ) = 4, τότε να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω ), Ρ(ω 4 ), P A B B A και P A B, όπου Β το συμπληρωματικό του Β. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε ένα δείγμα ν παρατηρήσεων μιας συνεχούς ποσοτικής μεταβλητής Χ, τις οποίες ο- μαδοποιούμε σε 4 ισοπλατείς κλάσεις. Δίνεται ότι: η μικρότερη παρατήρηση είναι
η κεντρική τιμή της τέταρτης κλάσης είναι 4 = 8 η σχετική συχνότητα της τέταρτης κλάσης είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της τρίτης κλάσης η διάμεσος των παρατηρήσεων του δείγματος είναι δ = 7 και η μέση τιμή των παρατηρήσεων του δείγματος είναι 74 Γ. Να αποδείξετε ότι το πλάτος είναι c =. Μονάδες 4 Γ. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα συμπληρωμένο σωστά. Κλάσεις Κεντρικές Τιμές i Σχετική Συχνότητα f i Σύνολο Μονάδες 8 Γ. Δίνεται ότι f =,, f =,, f =, και f 4 =,4. Να αποδείξετε ότι η μέση τιμή των παρατηρήσεων, που είναι μικρότερος του 8, είναι. Μονάδες 7 Γ4. Επιλέγουμε κ παρατηρήσεις του αρχικού δείγματος με κ < ν, οι οποίες ακολουθούν κανονική κατανομή με το,% των παρατηρήσεων αυτών να είναι τουλάχιστον 74 το 6% των παρατηρήσεων αυτών να είναι το πολύ 68 Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων αυτών καθώς και να εξετάσετε αν το δείγμα των παρατηρήσεων αυτών είναι ομοιογενές. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Δ f ln κ,, όπου κ ακέραιος με κ > και την εφαπτομένη Θεωρούμε τη συνάρτηση (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο,f, η οποία σχηματίζει με τους άξονες, τρίγωνο εμβαδού Ε με Ε <. Δ. Να αποδείξετε ότι κ =. Μονάδες Δ. Έστω,,, οι τετμημένες σημείων της (ε) των οποίων οι αντίστοιχες τεταγμένες τους έχουν μέση τιμή y α. Να αποδείξετε ότι (μονάδες ) β. Για τις τετμημένες των παραπάνω σημείων θεωρούμε ότι: Κάθε μια από τις τετμημένες,,, αυξάνεται κατά, οι επόμενες τετμημένες παραμένουν σταθερές και κάθε μια από τις υπόλοιπες ελαττώνεται κατά λ με λ. Να βρείτε το λ, ώστε η νέα μέση τιμή των τετμημένων να είναι ίση με. (μονάδες 4) Μονάδες 6 η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Δ. Αν α β γ e e με α β γ 7 α β γ e, τότε να βρείτε το εύρος R και τη μέση τιμή των τιμών f(α), f(β), f(γ), f(e), f, e όπου f ln Μονάδες 7 Δ4. Θεωρούμε το δειγματικό χώρο Ω t n, n,,,...,: t t... t t... t e με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, καθώς και τα ενδεχόμενα: A {t Ω: t,f t, να σχηματίζει με τον άξονα οξεία γωνία}.
BtΩ:f t f t, όπου f t t ln t Να βρεθούν οι πιθανότητες: α. να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α (μονάδες ) β. να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β (μονάδες 4) Μονάδες 7 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ. 8 Α. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ. 4 Α.Θωρία σχολικό βιβλίο σελ. 87 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β. Έστω g τότε lim με,,, lim lim άρα Ρ(ω )= 4. Η f ln, ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων (πολυωνυμικής, λογαριθμικής) είναι παραγωγίσιμη στο, με f ln άρα Ρ(ω ) = f () =. B. Είναι Α = {ω,ω } και Ρ(Α ) = Ρ(ω ) Ρ(ω ) Ρ(ω ) = γιατί Ρ(ω ). Είναι Ρ(Ω) = Ρ(ω ) Ρ(ω ) Ρ(ω ) Ρ(ω 4 ) = 4 Ρ(ω ) Ρ(ω 4 ) = Ρ(ω ) = - Ρ(ω 4) άρα Ρ(Α ) = Ρ(ω ) Ρ(ω )= Ρ(ω ) = - Ρ(ω 4) = 4 - Ρ(ω 4) 4 γιατί Ρ(ω 4 ). Β. Είναι Ρ(Α ) = 4 άρα Ρ(ω ) Ρ(ω )= 4 Ρ(ω ) = 4 Ρ(ω )= 4 - = 9 4 = και Ρ(ω 4 ) = Ρ(ω ) Ρ(ω ) Ρ(ω )= - 4 = - 4 =.
Είναι A B A B ω,ω4ω,ω4 ω4 και B A B A ω,ω ω,ω ω άρα P A B B A P ω Ρ ω 4 A B A B ω,ω ω,ω ω άρα PA B Ρω ΘΕΜΑ Γ Κλάσεις i f i [,6), [6,7) 6, [7,8) 7, [8,9) 4 8,4 Σύνολο Γ. c c Είναι c c c 8 c 7c 7 c Γ. f4 f Η διάμεσος έχει την ιδιότητα: το % των παρατηρήσεων είναι δ και το άλλο f f % δ, άρα f f f4 f f f4 f4 όμως f f f f4 f4 f4 f4 f4,4, f, και f f,4 f,4 f () 4 74 f 74 f 6f 7, 8,4 74 i i i f 6 6f 4 74 f f, και f, Γ. Η μέση τιμή των παρατηρήσεων που είναι <8 είναι Κλάσεις i f i ν i [,6),,ν [6,7) 6,,ν [7,8) 7,,ν άρα η μέση τιμή είναι Γ4.,ν 6,ν 7,ν, 9, 4 4,ν,ν,ν,6,6 6 4% 4%,%,%,%,%,%,% -s -s -s s s s Το,% των παρατηρήσεων είναι τουλάχιστον 74, άρα s 74 ()
Το 6% των παρατηρήσεων είναι το πολύ 68, άρα s 68 () s 6 s και 7 s CV άρα το δείγμα είναι ομοιογενές. 7 ΘΕΜΑ Δ Δ. f ln κ, και κ ακέραιος με κ Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, με Η εξίσωση της εφαπτομένης στην C στο είναι ε : y f f y κ y κ κ Η (ε) για δίνει y κ Η (ε) για y δίνει κ f f ln,. άρα τέμνει τον Oy στο A,κ άρα τέμνει τον O στο B κ, (-κ,)β A(,κ- ) EOAB OA OB κ κ κ κ 4 κ, όμως κ ακέραιος με κ, άρα κ Δ. α) Είναι yi i i yi, i,,..., τότε y β) Έστω z i οι νέες τιμές. Τότε...... 6 λ 7 λ... λ z... λ 6 λ λ λ α β γ 7 α β γ 7 α β γ e ln α β γ lne αlnα βlnβ γln γ 7 Δ. Είναι: α Είναι: f α αln α ln α β f β βlnβ lnβ f e e γ f γ γln γ ln γ f ln, άρα f e e f f
f, e e Είναι α β γ e f f f α e e e f β f γ f e Άρα R f e f e e και e f α f β f γ f e f e α β γ ln α lnβ ln γ 6 e Δ4. α β γ ln α β γ 6 e 7 6 e e f ln, Για το Α Για να σχηματίζει με τον οξεία γωνία η εφαπτομένη της f ln e e άρα A t,t,...,t Για το Β f t f t tln t ln t ln t t, t t C f στο πρέπει lnt t- άρα B t,t,...,t Είναι 9 PA lnt(t-) άρα PA B A B t,t,...,t 9 9 Επιμέλεια: Μ. ΣΙΜΙΤΖΟΓΛΟΥ Π. ΛΥΓΚΩΝΗΣ Τ. ΝΤΡΙΤΣΟΣ Δ. ΣΤΡΟΥΖΑΚΗΣ Μ. ΤΣΙΜΕΛΑΣ