ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο ονομάζετι ιδιόμορφο ή νώμλο σημείο της συνάρτησης f, ότν η f είνι ορισμένη σε μι γειτονιά [a, ) ή (, ] ή [a, ) (, ] του κι το όριο lim f() ή lim f() ή lim f() ντίστοιχ πειρίζετι θετικά ή ρνητικά. - Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ ( a, ] κι το είνι ιδιόμορφο σημείο ή η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) κι το είνι ιδιόμορφο σημείο, τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή f() d Ορισμός 4. Έν γενικευμένο ολοκλήρωμ που είνι συγχρόνως κι είδους ονομάζετι γενικευμένο ολοκλήρωμ γ είδους Πρτήρηση ) Κάθε γενικευμένο ολοκλήρωμ γ είδους μπορεί ν νλυθεί σε άθροισμ ενός είδους κι ενός είδους. Πράγμτι ν το σημείο ποτελεί ιδιομορφί της συνάρτησης τότε δ f() d = f() d f() d δ Το ολοκλήρωμ του ριστερού μέλους είνι γ είδους, ενώ το το πρώτο ολοκλήρωμ του δεξιού μέλους είνι είδους κι το δεύτερο ολοκλήρωμ του δεξιού μέλους είνι είδους. ) Είνι δυντόν η ιδιομορφί ν εμφνίζετι σν το εσωτερικό σημείο του διστήμτος ολοκλήρωσης. Στην περίπτωση υτή νλύουμε το ολοκλήρωμ σε δυό ολοκλήρώμτ είδους, έν με την ιδιομορφί στο κάτω άκρο ολοκλήρωσης κι έν στο άνω άκρο ολοκλήρωσης. Πράγμτι, ν το γ είνι νώμλο σημείο της συνάρτησης κι γ (, ), τότε γ f() d = f() d f() d γ 8
Πρτήρηση Ο υπολογισμός των γενικευμένων ολοκληρωμάτων γίνετι με την οήθει των πρκάτω τύπων είδους είδους f() d= lim f() d f() d= lim f() d - a f() d= lim ε - - f() d= lim ε ε ε f() d f() d Κριτήρι σύγκλισης Θεώρημ. Αν g() d f, g συνεχείς κι f() g(), τότε εάν το ολοκλήρωμ συγκλίνει, έπετι ότι συγκλίνει κι το ολοκλήρωμ ισχύει f() d g() d. f() d κι Θεώρημ. Αν g() d f, g συνεχείς κι g() f(), τότε εάν το ολοκλήρωμ ποκλίνει, έπετι ότι ποκλίνει κι το ολοκλήρωμ ισχύει g() d f() d. f() d κι Θεώρημ. Ισχύουν τ κόλουθ (γι τ p-ολοκληρώμτ) συγκλίνει γι p> p d= ποκλίνει γι p συγκλίνει γι p< p d= ποκλίνει γι p Προσοχή στ όρι της ολοκλήρωσης κι στην δύνμη του p γι την σύγκλιση. 8
Εφρμογή Α. Ν υπολογιστούν τ πρκάτω ολοκληρώμτ. Τι είδους είνι τ κθέν πό υτά; () ed () d a R (γ) ( ) a d (δ) d Λύση () ed είδους (λόγω της ύπρξης του ) = lim lim lim ( ) lim = = = ed ed e e e e e = e συγκλίνει. (το lim e = ) () d a R είδους (λόγω της ύπρξης του ) ( ) a Θέτουμε u = du = d κι λύνουμε το όριστο ολοκλήρωμ u u u= ( ) u ( ) Άρ d = du = c = c = c = c u d = lim d = lim = lim = a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a = ( a ) συγκλίνει. (γ) d είδους (η d = lim d () f( ) = δεν ορίζετι στο σημείο ) o = Θέτουμε u = du = d κι λύνομε το όριστο ολοκλήρωμ u== d = du = ln u c = ln c u () 8
Άρ ( ) ( ) () () d lim ln lim ln ln = = ( ) ( ) = lim ln lim ln = = Το d δεν συγκλίνει. (δ)to d γ είδους, γιτί: το ολοκλήρωμ ορίζετι στο σημείο = d έχει έν πό τ όριά του λλά κι o = f( ) = δεν άρ το «σπάμε» σε δύο άλλ ολοκληρώμτ π.χ. όπου = γενικευμένο είδους, = γενικευμένο γ είδους, Τώρ, το γενικευμένο είδους άρ το = d = lim d () Υπολογίζουμε το όριστο ολοκλήρωμ : d = d d c c c c = = = = = () Άρ () () d = lim = lim = lim = = Κι (νάλογ): d = lim = lim = lim = 8
Δηλδή το d πειρίζετι (ποκλίνει) Τελικά, φού = κι το d ν πειρίζετι (ποκλίνει). πειρίζετι θ έχουμε κι το ολοκλήρωμ Εφρμογή Β. Ν υπολογιστούν τ πρκάτω ολοκληρώμτ. Τι είδους είνι τ κθέν πό υτά; () ln d () d 5 (γ) d (δ) e sin d (ε) d Λύση () Το ln d είνι είδους (λόγω της ύπρξης του ). Αν Άρ ln u u = ln du = d & d udu c = = ( ln ) ln d = c οπότε ( ln ) ln d = = άρ ποκλίνει. () Το d είνι είδους (λόγω της ύπρξης του ). 5 Έχουμε > < = < = = 5 5 f( ) g 5 5 5 5 4 ( ) Αλλά το 4 d συγκλίνει (σύμφων με το θεώρημ πρπάνω, p = 4 ), άρ κι το d συγκλίνει (σύμφων με το θεώρημ πρπάνω). 5 84
(γ) Το d είνι είδους (λόγω της ύπρξης του ). Έχουμε > > = =. Αλλά το: d = = ποκλίνει, άρ κι το (σύμφων με το θεώρημ πρπάνω). d ποκλίνει (δ) Το e d είνι είδους (λόγω της ύπρξης του ). e Έχουμε e f( ) = = g( ). Αλλά το ln( ) d = = ποκλίνει, άρ κι το (σύμφων με το θεώρημ πρπάνω). e d ποκλίνει sin (ε) Το d είνι είδους (λόγω της ύπρξης του ). sin Έχουμε ότι: sin f( ) = g( ) =. Αλλά το d συγκλίνει sin (σύμφων με το θεώρημ πρπάνω, p = ), άρ κι το d συγκλίνει (σύμφων με το θεώρημ πρπάνω). 85
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Θεωρί Ορισμός. Ο μετσχημτισμός Laplace μις ολοκληρώσιμης συνάρτησης f που ορίζετι στο [ δίνετι πό το γενικευμένο ολοκλήρωμ,) t L( f)( ) = e f( t) dt Την πράξη μέσω της οποίς πργμτοποιείτι ο μετσχημτισμός, την κλούμε κι τελεστή. Έτσι ορίζουμε τον τελεστή Laplace L. Εφρμογή. Ν ρεθεί ο μετσχημτισμός Laplace της ) f( t) = ( t > ) ) f( t) = t ( t > ) Λύση ) f() t = ( t > ) οπότε Αλλά t f () t = t t L( f)( ) = e f( t) dt e dt t t e t e dt = dt = e c κι t t t L{ f( t) }( ) = e tdt = lim e dt = lim e = lim e e =, > ) f( t) = t ( t > ) Αλλά t f () t = t t L( f )( ) = e f ( t) dt e tdt t ή ή t πργοντικ ολοκλ ρωση e t t e tdt t dt e t e t dt e t = = e t c κι 86
t t t t t te tdt = lim te dt lim e e lim e e e e = = = = = L t {} ( ) Πρτήρηση (μετσχημτισμός Laplace σικών συνρτήσεων) Ανάλογ μπορεί ν δειχθεί ότι sint ()= ) L { } cost ()= ) L { } γ) L { } δ) L { t } e ()=, >k -k kt k! ()= k k Ιδιότητες μετσχημτισμού Laplace. L( c f ( t) c f ( t)) = c L( f ( t)) c L( f ( t)) (γρμμικότητ) t. Εάν L( f)( ) = g() τότε Le ( f( t))( ) = g() (μετάθεση) Πχ -t L{ cost }()= L{ } e cost ()= 4 () 4. Εάν L( f( t))( ) = g() τότε Π.χ. L{ sint }()= L{ } t L( f( ))()= g( ) sint ()= = ( ) 9 ' 4. ( ( ))( ) g() τότε g()= L( f())( t ) = L( t f())( t ) (πράγωγος) L f t = ( ) ' - t sint ()=- ( = ) Π.χ. L{ sint }()= L{ } ' 87
Εφρμογή. ) Αν f, f, f (μις τυχούσς συνάρτησης) έχουν μετσχημτισμό Laplace, ν δείξετε ότι:. L( f )( ) = L( f)( ) f(). L f L f f f ( )( ) = ( )( ) () () ) Αν γι μί συνάρτηση y = f( ) έχουμε y() = y () = κι Λύση ρεθεί ο Ly ( ).). L( f )( ) = L( f)( ) f() L( f)( ) =, ν Σχέση -5, σελίδ 68 ιλίου (υπάρχει πόδειξη). L f L f f f ( )( ) = ( )( ) () () Πρόλημ ξιολόγησης (), σελίδ 69 ιλίου. ) L( f)( ) = Χρησιμοποιώντς τον τύπο της () έχουμε : Ly Ly y y ( )( ) = ( )( ) () () Ly ( )( ) όπου =, y () = κι y () = άρ Ly ( )( ) = = Ορισμός. (ντίστροφος μετσχημτισμός Laplace ) Έστω ότι ο μετσχημτισμός Laplace L( f( t))( ) = g(). Ο μετσχημτισμός, που οδηγεί, ντίστροφ, πό την συνάρτηση g() στην f () t κλείτι ντίστροφος μετσχημτισμός Laplace L ( g( ))( t) = f( t) Πράδειγμ 88
L{ cost }()= L (t)=cost Εφρμογή. (επίλυση διφορικών εξισώσεων) Ν λυθεί η διφορική εξίσωση (πρόλημ ρχικών τιμών Π.Α.Τ.) y ' ( ) =, y() = Λύση ος τρόπος (π ευθείς ολκλήρωση) Ολοκληρώνοτς κι τ δυό μέλη της δ.ε. dy dy y ' ( ) = d d y( ) d = d = = c Αλλά y() = = c c = οπότε η λύση της διφορικής εξίσωσης είνι η y ( ) = ος τρόπος (με την οήθει του ντίστροφου μετσχημτισμού Laplace) Πίρνοντς τον μετσχημτισμό Laplace κι των δυό μελών της δ.ε. κι χρησιμοποιώντς το της εφρμογής, έχουμε ' Ly ( ( t)) = Lt ( ) Ly ( ) y() = Ly ( ) = Ly ( ) = = Ly ( ) = Ly ( ) = κι πίρνοντς τον ντίστροφο μετσχημτισμό Laplace των δυό μελών της τελευτίς, έχουμε Ly ( ) = L ( Ly ( )) = yt ( ) = L L L = = yt () = 89