ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σελ. σχολ. βιβλ. 5 Α. α Λ Έστω η συνάρτηση f() τότε η f δεν είναι αραγωγίσιμη στο, ενώ η f είναι συνεχής στο Α. Θεωρία σελ. σχολ. βιβλ. 7 Α4. αλ,βσ, γλ,δσ,ε Σ ΘΕΜΑ Β Β. f ln, D f, D g,,, g D g Df g,. g D f Άρα Df g, με τύο hf g ln για κάθε,. Β. h για κάθε, Άρα h γνησίως αύξουσα, άρα και, άρα και αντιστρέψιμη. lim h lim ln lim h lim ln Η h είναι γνησίως αύξουσα, άρα το σύνολο τιμών της θα είναι το διάστημα lim h, lim h άρα,. Θέτω :,
h ln h Άρα h Β. φ, με D, h φ Άρα η φ() είναι γνησίως αύξουσα. Άρα η φ() δεν έχει ακρότατα. φ φ για για
φ + φ Άρα η φ στρέφει τα κοίλα άνω στο (, ] και στρέφει τα κοίλα κάτω στο [, ) και έχει σημείο καμής το (,φ ) όου φ. Άρα A, ηβ4. lim φ lim lim lim DLH Εομένως η ευθεία είναι οριζόντια ασύμτωτη της lim φ lim lim Άρα η ευθεία είναι οριζόντια ασύμτωτη της C φ στο. C φ στο. f + f + + f
ΘΕΜΑ Γ Γ. f ημ f συν Η εφατομένη της C f σε ένα σημείο της θα είναι ε :ff,f, Το σημείο Α, ανήκει στην ε, άρα ημσυν ημ συν ημ συν Έστω η συνάρτηση g ημ συν Παρατηρούμε ότι gημ συν και g ημσυν g συν ημσυν ημ ημ g g + + Άρα στο,, η g μηδενίζεται μόνο στο g και στο. Άρα τα σημεία εαφής είναι τα, f, f και Άρα ε : f f ημσυν ε : ε :f f και 4
ημσυν ε : Γ. Ε Ε Ε4 Ε Α, 4 Ε Ε Ε f ε d f ε d ημ dημ d συν συν συν συν συν συν 6 4 8 4 6 8 8 8 8 Ε f d ημ d ημd συν συν συν 6 Ε 8 6 6 Ε 6 6 6 8 Γ. f lim lim f f f lim f lim ημ ημ 5
και lim f ισχύει f f για κάθε, lim f lim ημ Άρα lim f Εομένως Γ4. f f Ξέρουμε ότι f για κάθε,, άρα για : Άρα f f f d d d d d f f f d d d ln d ln ln f f d d ΘΕΜΑ Δ Δ. lim 4 4, f o ημ lim f o εκθετική, ημ τριγωνομετρική f συνεχής στο ο H f συνεχής για κάθε o, ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων: Η f συνεχής στο,ως άρρητη (),, η f συνεχής στο, Ως γνωστόν τα κρίσιμα σημεία της f είναι τα εσωτερικά σημεία του, για τα οοία i. η f μηδενίζεται ii. δεν αραγωγίζεται H f είναι αραγωγίσιμη στο, ως άρρητη με 4 4 4 4 4 4 f 4 4 ( ) 4 6
Η f είναι αραγωγίσιμη στο, ως γινόμενο αραγόντων με f() ημ ημ ημ ημ συν ημ συν Η. 4 f() για κάθε, Η f() ημ συνημ συν ημ συν εφ εφ εφ εφ κ, κ, κρίσιμο σημείο Για f() f( ) f() f( ) f lim lim ημ ημ f lim lim Άρα η f δεν αραγωγίζεται στο Άρα το, κρίσιμο σημείο Δ. f [, ) ημ συν, (,] i) Η f συνεχής στο, ii) fγια κάθε [, ) η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, iii) Έστω f (για (,] ημ συν ) f + 4 f Τ.Ε. 7 Τ.Μ.
Για, f ημ συν f() για κάθε, διότι η fδιατηρεί σταθερό ρόσημο, καθ όσον συνεχής και δεν αρεμβάλλονται άλλες ρίζες. Για, f ημ συν ημ συν f () για κάθε, Για τον ίδιο λόγο η f γνησίως αύξουσα στο,, η f γνησίως φθίνουσα στο, Η f συνεχής, f(a) f, f( ),f( ) f( ),f f,f f( ),f( ),f ημ f() ημ άρα f(α),,,, Έστω το οοίο και ισχύει, διότι Άρα f(a), 8
Δ. E f() () d ημ d Έστω h() ημ για, h() ημ συν (ημ συν) Αλλά ημ συν (ημ συν) (ημ συν) h() και h(), για h( ) h( ) h() h() h() h( ), όου h() ημ h( ) ημ Άρα h() Άρα h() ημ συνd συν ημd E ημ d ημ d E ημd ημd ημ συνd ημ συν συν ΙΙ I I d d Άρα Ε II 9
Δ4. f() ( ) f() f() f() f() f Παρατηρώ ότι μία ροφανή ρίζα είναι η όου, Είσης ισχύει: f (,), όουf f ma Η συνάρτηση f() δεν μορεί να άρει τιμή μεγαλύτερη της μέγιστης fma f() f ma Εομένως στην εξίσωση Άρα μοναδική λύση Παρατηρούμε ότι για f() fma ρέει το U,, ισχύει f() όου f() εομένως f αδύνατο δίνει Άρα η f έχει μοναδική λύση την Οι αραάνω ααντήσεις είναι ενδεικτικές