Συνάρτηση χρησιμότητας (utility function): u(x)

Συνάρτηση χρησιμότητας (utility function): u(x) είναι ένας τρόπος να δώσουμε έναν αριθμό σε κάθε δυνατό συνδυασμό κατανάλωσης, τέτοιο ώστε να δίνονται μεγαλύτεροι αριθμοί στους πλέον προτιμώμενους συνδυασμούς από ότι στους λιγότερο προτιμώμενους, δηλαδή είναι μια απεικόνιση της διάταξης των προτιμήσεων με αριθμούς (διατάσει, δεν συγκρίνει). u(x): είναι μια συνάρτηση που αντιστοιχεί ένα πραγματικό αριθμό σε κάθε συνδυασμό κατανάλωσης x. Αν ο καταναλωτής είναι αδιάφορος μεταξύ των x και x, x x τότε u(x ) = u(x ) Αν ο καταναλωτής προτιμά το x από το x, x x τότε u(x ) > u(x ) 1

Παράδειγμα Πώς διατάσεις τους συνδυασμούς x, x, x, x σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα; u(x) v(x) h(x) w(x) x 5 10 10 6-4 x 2 4 1-8 x 2 4 1-8 x 0.1 0.2 0.001-500 Απάντηση: x x x x Εφόσον μας ενδιαφέρει μόνο η διάταξη των αριθμών, δεν μπορεί να υπάρχει μοναδικός τρόπος απόδοσης της χρησιμότητας. Όλες οι συναρτήσεις στον πίνακα εκφράζουν τις ίδιες προτιμήσεις. Πχ v(x) = 2 u(x), η v(x) είναι ένας μονοτονικός μετασχηματισμός της u(x) και διατηρεί την διάταξη των αριθμών. Εάν μια συνάρτηση f είναι μονοτονικά αύξουσα και έχω συνάρτηση χρησιμότητας u(x), τότε η f(u) θα είναι θετικός μονοτονικός μετασχηματισμός της u. πχ f(x)=cu(x), c>0, f(x)=a+bu(x), a,b>0, f(x)=lnu(x) 2

Συναρτήσεις χρησιμότητας & καμπύλες αδιαφορίας Μια καμπύλη αδιαφορίας περιλαμβάνει τους εξίσου προτιμώμενους συνδυασμούς. Ίσες προτιμήσεις ίδιο επίπεδο χρησιμότητας. Άρα, οι συνδυασμοί πάνω σε μια καμπύλη αδιαφορίας δίνουν το ίδιο επίπεδο χρησιμότητας. 3

Συναρτήσεις χρησιμότητας & καμπύλες αδιαφορίας Το σύνολο όλων των καμπυλών αδιαφορίας για μια δεδομένη σχέση προτιμήσεων είναι ο χάρτης αδιαφορίας. Ένας χάρτης αδιαφορίας είναι το ισοδύναμο μιας συνάρτησης χρησιμότητας. Το ένα είναι το άλλο. 4

Θεώρημα αντιπροσώπευσης Ας υποθέσουμε ότι οι προτιμήσεις του καταναλωτή είναι πλήρης, αντανακλαστικές, μεταβατικές και συνεχής, τότε υπάρχει μια συνεχής συνάρτηση χρησιμότητας η οποία αντιπροσωπεύει αυτές τις προτιμήσεις. Η κυρτότητα των προτιμήσεων είναι συμβατή με μια συνάρτηση χρησιμότητας που είναι κοίλη. Η μονοτονικότητα δηλώνει ότι μια συνάρτηση είναι αύξουσα. Παράδειγμα: Cobb-Douglas συνάρτηση χρησιμότητας u x 1,x 2 x 1 a x 2 Αν α=β=1/2, τότε x 2 6 1 1 u x 1,x 2 x 2 1 x 2 και οι καμπύλες αδιαφορίας δίνονται από x 2 2 k 2 x 1 k: επίπεδο χρησιμότητας 5 4 3 2 1 k=1 k=2 0 1 2 3 4 5 6 x 1 k=3 k 1 : x 2 x 1 1 k 2 : x 2 x 4 1 k 3 : x 2 x 9 1 5

Παράδειγμα: u(c,f)=cf 6

Αγαθά, κακά και ουδέτερα Αγαθό είναι μια μονάδα εμπορεύματος, η οποία αυξάνει τη χρησιμότητα (δίνει ένα πλέον προτιμώμενο συνδυασμό). Κακό είναι μια μονάδα εμπορεύματος, η οποία μειώνει τη χρησιμότητα (δίνει έναν λιγότερο προτιμώμενο συνδυασμό). Ουδέτερο είναι μια μονάδα εμπορεύματος, η οποία δεν μεταβάλλει τη χρησιμότητα (δίνει έναν εξίσου προτιμώμενο συνδυασμό). 7

Αγαθά, κακά και ουδέτερα Χρησιμότητα Μονάδες νερού που είναι καλές Συνάρτηση χρησιμότητας Μονάδες νερού που είναι κακές x Νερού Γύρω από τις x μονάδες, λίγο επιπλέον νερό είναι ουδέτερο. 8

Τέλεια υποκατάστατα και τέλεια συμπληρωματικά αγαθά Στο (a), u x 1,x 2 x 1 x 2. Γενικά, u x 1,x 2 ax 1 x 2 με x 2 k a x και σταθερή 1 κλίση α/β. Οι καμπύλες αδιαφορίας είναι ευθείες γραμμές και παράλληλες. Στο (b), u x 1,x 2 min x 1,x 2. Γενικά, u x 1,x 2 min ax 1, x 2 Καμπύλες αδιαφορίας με σχήμα ορθής γωνίας και με κορυφές πάνω σε μια ακτίνα από την αρχή των αξόνων. 9

Άλλες συναρτήσεις χρησιμότητας και οι καμπύλες αδιαφορίας τους Μια συνάρτηση της χρησιμότητας της μορφής U(x 1,x 2 ) = f(x 1 ) + x 2 είναι γραμμική μόνο στο x 2 και λέγεται οιονεί γραμμική. π.χ. U(x 1,x 2 ) = 2x 1 1/2 + x 2. 10

Οιονεί γραμμικές καμπύλες αδιαφορίας x 2 Κάθε καμπύλη αδιαφορίας είναι ένα κάθετο αντίγραφο των άλλων x 1 11

Άλλες συναρτήσεις χρησιμότητας και οι καμπύλες αδιαφορίας τους Μια συνάρτηση χρησιμότητας της μορφής U(x 1,x 2 ) = x 1 a x 2 b με a > 0 και b > 0 λέγεται συνάρτηση Cobb-Douglas. π.x. U(x 1,x 2 ) = x 1/2 1 x 1/2 2 (a = b = 1/2) V(x 1,x 2 ) = x 1 x 3 2 (a = 1, b = 3) 12

Καμπύλες αδιαφορίας Cobb-Douglas. Cobb-Douglas Indifference Curves x 2 Όλες οι καμπύλες είναι υπερβολές ασύμπτωτες στους άξονες. x 1 13

Οριακός Λόγος Υποκατάστασης (ΟΛΥ) Marginal Rate of Substitution (MRS) Είναι η μέγιστη ποσότητα που είναι διατεθειμένος να δώσει ο καταναλωτής από το ένα αγαθό για να πάρει μια μονάδα από το άλλο αγαθό. Δείχνει πως υποκαθιστά ο καταναλωτής το ένα αγαθό με το άλλο έτσι ώστε να μείνει στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας. Σχέση ανταλλαγής μεταξύ C και F στο διάγραμμα. 14

Οριακός Λόγος Υποκατάστασης (ΟΛΥ) Η κλίση της καμπύλης αδιαφορίας μετρά τον ΟΛΥ μεταξύ C και F, ΟΛΥ=dC/dF. Παρατηρήσεις: 1. ΟΛΥ<0 (ορισμένα βιβλία ορίζουν ΟΛΥ= -dc/df) 2. Στο διάγραμμα, ο ΟΛΥ από -6 (μεταξύ Α και Β) πηγαίνει στο -4 (μεταξύ Β και D) μετά σε -2 (μεταξύ D και E) και σε -1 (μεταξύ Ε και G). Ο ΟΛΥ φθίνει σε απόλυτες τιμές λόγω κυρτότητας των προτιμήσεων. 3. Αυστηρά κοίλη u(x) => αυστηρά κυρτές καμπύλες αδιαφορίας, δηλ. d 2 C/dF 2 >0 => φθίνων ΟΛΥ (σε απόλυτα) κατά μήκος της καμπύλης αδιαφορίας. 15

Οριακός Λόγος Υποκατάστασης (ΟΛΥ) Γενικά: O Y ji x j x i u u Άσκηση: Υπολογίστε τον ΟΛΥ της συνάρτησης χρησιμότητας όταν u=10, για x 1 5 x 1 20 u x 1,x 2 x 1 x 2 16

Οριακός Λόγος Υποκατάστασης (ΟΛΥ) Τέλεια υποκατάστατα/συμπληρωματικά ΟΛΥ σταθερός και ίσος με την κλίση των καμπυλών αδιαφορίας. ΟΛΥ= ΟΛΥ= 0 17

Οριακή χρησιμότητα (Marginal Utility) Οριακή χρησιμότητα του αγαθού i (MUi), μετρά πόσο αυξάνει η χρησιμότητα όταν αυξάνει οριακά η κατανάλωση του αγαθού i. MU i u x 1,x 2...,x n x i Η οριακή χρησιμότητα είναι εν γένει συνάρτηση, όχι υποχρεωτικά αριθμός (η 1 η παράγωγος της u). Το μέγεθος της οριακής χρησιμότητας δεν έχει καμία συμπεριφορική σημασία, πάλι μας ενδιαφέρει η διάταξη και όχι η ποσοτική σύγκριση. Π.χ. u x 1,x 2 x 1 a x 2 1 a MU 1 u x 1 ax a 1 1 x 1 a 2 a x 2 x 1 1 a MU 2 u x 2 1 a x a 1 x a 2 1 a x 1 x 2 a 18

Οριακή χρησιμότητα και ΟΛΥ (MRS) Έστω συνάρτηση χρησιμότητας u x 1,x 2 Ποιος είναι ο ΟΛΥ έτσι ώστε να βρίσκομαι στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας; du x 1,x 2 0 u dx x 1 u dx 1 x 2 0 2 MU 1 dx 1 MU 2 dx 2 0 dx 2 MU 1 dx 1 MU 2 O Y 21 MU 1 MU 2 Ο τρόπος που ο καταναλωτής είναι διατεθειμένος να ανταλλάξει τα δύο αγαθά είναι ίσος με τον τρόπο που είναι διατεθειμένος να ανταλλάξει τη χρησιμότητά τους. Άσκηση: Υπολογίστε τον ΟΛΥ των συναρτήσεων χρησιμότητας a u x 1,x 2 v x 1,x 2 2u x 1,x 2 u x 1,x 2 x 1 c x 2 d v x 1,x 2 lnu x 1,x 2 Τι παρατηρείτε; 19

Οριακές χρησιμότητες και οριακός λόγος υποκατάστασης (MRS): Ένα παράδειγμα Έστω U(x 1,x 2 ) = x 1 x 2. Τότε U x 1 ( 1)( x ) x 2 2 U x 2 ( x )( 1) x 1 1 Άρα MRS d x2 U / x1 d x U / x 1 2 x x 2 1. 20

Οριακές χρησιμότητες και οριακός λόγος υποκατάστασης (MRS): Ένα παράδειγμα x 2 U(x 1,x 2 ) = x 1 x 2 ; MRS x 2 x1 8 6 MRS(1,8) = - 8/1 = -8 MRS(6,6) = - 6/6 = -1. 1 6 U = 36 U = 8 x 1 21

Ομοθετικές Προτιμήσεις Μια συνάρτηση χρησιμότητας είναι ομοθετική αν ο MRS εξαρτάται μόνο από το λόγο των ποσοτήτων (x2/x1) και όχι από τις συνολικές ποσότητες των αγαθών. Παράδειγμα: Συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas: u x 1,x 2 x a 1 x b 2, a,b 0 MRS - a b x 2 x 1 Γεωμετρική ερμηνεία ομοθετικών προτιμήσεων: Τα σημεία που έχουν σταθερό MRS αποτελούν μια ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Έστω a=b=1, τότε MRS= - x2/x1. Για παράδειγμα, το σύνολο των σημείων που έχουν MRS=-1 βρίσκονται επί της ευθείας x2=x1. Όταν οι προτιμήσεις είναι ομοθετικές, κάθε καμπύλη αδιαφορίας είναι ένα απλό αντίγραφο των υπολοίπων. 22

MRS για οιονεί γραμμικές συναρτήσεις χρησιμότητας Μια οιονεί γραμμική συνάρτηση χρησιμότητας έχει τη μορφή U(x 1,x 2 ) = f(x 1 ) + x 2. Άρα U x 1 MRS f ( x1) U 1 x 2 d x2 U / x1 f ( x1). d x U / x 1 2 23

MRS για οιονεί γραμμικές συναρτήσεις χρησιμότητας MRS = - f (x 1 ) δεν εξαρτάται από το x 2 και επομένως η κλίση της καμπύλης αδιαφορίας για μια οιονεί-γραμμική συνάρτηση χρησιμότητας είναι σταθερή κατά μήκος κάθε γραμμής για την οποία το x 1 είναι σταθερό. Με τι μοιάζει ο χάρτης των καμπυλών αδιαφορίας για μια οιονεί γραμμική συνάρτηση χρησιμότητας; 24

MRS για οιονεί γραμμικές συναρτήσεις χρησιμότητας x 2 MRS = - f(x 1 ) MRS = -f(x 1 ) Κάθε καμπύλη είναι κάθετο αντίγραφο των άλλων. Ο MRS είναι σταθερός κατά μήκος κάθε γραμμής για την οποία το x 1 είναι σταθερό. x 1 x 1 x 1 25

Μονοτονικός μετασχηματισμός και MRS Ο μονοτονικός μετασχηματισμός μιας συνάρτηση χρησιμότητας, που αντιπροσωπεύει μια σχέση προτιμήσεων δημιουργεί μια άλλη συνάρτηση χρησιμότητας που αντιπροσωπεύει την ίδια σχέση προτιμήσεων. Τι θα συμβεί στον οριακό λόγο υποκατάστασης όταν κάνουμε μονοτονικό μετασχηματισμό; 26

Μονοτονικός μετασχηματισμός και MRS Για την U(x 1,x 2 ) = x 1 x 2 ο MRS = - x 2 /x 1. Αν πάρουμε την V = U 2 : δηλαδή. V(x 1,x 2 ) = x 12 x 22. ποιος είναι ο MRS για την V; V / x1 2x1x2 2 MRS V / x 2x x 2 1 2 2 x x 2 1 Που είναι ο ίδιος MRS με εκείνο της U. 27

Μονοτονικός μετασχηματισμός και MRS Πιο γενικά, αν V = f(u) όπου f είναι μια αυστηρά αύξουσα συνάρτηση, τότε MRS V / x1 f U U x ( ) / V / x f '( U ) U / x U U / / x x 2 1. 2 Άρα ο MRS παραμένει αμετάβλητος από ένα θετικό μονοτονικό μετασχηματισμό. 1 2 28