0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Ζαχαράκης Δημήτρης Καρύμπαλης Νώντας Κλίτσας Γιώργος Κοτσώνης Γιώργος Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος Βασίλης Σκέντζος Δημήτρης Σκίτσας Νώντας Τσούκας Βαγγέλης ελεύθερη διάθεση για εκπαιδευτικούς σκοπούς από:
Θέμα ο Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα,, με 0. i. Αν ισχύει ότι 0, για κάθε, φθίνουσα στο,. ii. Να αποδείξετε ότι 0. και,, να δείξετε ότι η είναι γνησίως iii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική σταθερά c α,β τέτοια, ώστε c d 0. c Θέμα ο Έστω ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει Α. Να δείξετε ότι η εικόνα του z κινείται σε παραβολή. z i Im z (). Β. Έστω οι εικόνες Α και Β των μιγαδικών z και z αντίστοιχα. Να βρεθεί ο z που επαληθεύει την () αν το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισόπλευρο. Γ. Έστω ότι κατά τη χρονική στιγμή t η απόσταση της εικόνας του μιγαδικού z από την ευθεία y γίνεται ελάχιστη. i. Να βρείτε το μιγαδικό z του οποίου η εικόνα έχει την ελάχιστη απόσταση από την ευθεία ii. y. Να αποδείξετε ότι κατά τη χρονική στιγμή ρυθμό μεταβολής του Im z. t ο ρυθμός μεταβολής του R z ισούται με το
Θέμα ο Έστω η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση : 0, R, για την οποία ισχύουν: και 0, για κάθε 0, g t dt 0 Α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g με τύπο, με 0, γνησίως φθίνουσα. Β. Για τη συνάρτηση K t tdt να αποδείξετε ότι Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0, τέτοιο ώστε Δ. Αν 0. K 0., είναι h g, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει ότι: z και h z i h z i. Θέμα 4 ο Έστω η συνάρτηση g ln και η συνεχής συνάρτηση : 0, 0 0 και Α. Να βρεθεί ο τύπος της. Β. Να βρεθεί η εξίσωση της κοινής εφαπτομένης των R για την οποία ισχύει: t dt 8 8 t, για κάθε 0. C και Γ. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της, της Δ. Να αποδείξετε ότι g, για κάθε 0. Ε. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ΣΤ. Έστω 4 και C που έχει κλίση. ln 0 έχει μοναδική ρίζα στο 0,. η εφαπτομένη της C στο, g C και του άξονα.. Αν Β είναι το σημείο τομής της με τον άξονα και Γ το ίχνος του σημείου Α πάνω στον, να αποδείξετε ότι το Γ κινείται με τη διπλάσια ταχύτητα από το Β καθώς το διατρέχει το διάστημα 0,.
Θέμα 5 ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει κάθε R και η συνάρτηση g με g, με R. Α. Να αποδείξετε ότι g Β. Αν υπάρχει σημείο, g, για κάθε R., για, το οποίο είναι το σημείο της C g που απέχει την ελάχιστη απόσταση από την ευθεία : y 0 παράλληλη στην ευθεία., να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C g στο Γ. Αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του ερωτήματος Β, να βρείτε το σημείο. είναι Θέμα 6 ο Δίνεται η συνάρτηση ln, με 0. Α. Στο διάστημα, να: i. μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και το πρόσημο. ii. αποδείξετε ότι d Β. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της, του άξονα και των κατακόρυφων ευθειών και Γ. Έστω η συνάρτηση ώστε g 0. Δ. Έστω σημείο t, yt g d.. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό, τέτοιο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του Μ τη χρονική στιγμή t όπου ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του Μ είναι αντίθετος από το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του Μ, αν υποθέσουμε ότι t 0 για κάθε t 0,. Ε. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,,, τέτοια ώστε 4
Θέμα 7 ο Έστω η συνάρτηση, δυο φορές παραγωγίσιμη, με πεδίο ορισμού το R, για την οποία ισχύει ότι για κάθε R και η συνάρτηση g. Α. Αν η γραφική παράσταση της διέρχεται από την αρχή των αξόνων και η κλίση της στο 0,0 είναι, τότε: i. Να αποδείξετε ότι η g είναι σταθερή συνάρτηση. ii. Να βρείτε τον τύπο της Β. Αν να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 0 Γ. Να μελετηθεί η ως προς τη κυρτότητα και τα σημεία καμπής. έχει ακριβώς μία θετική ρίζα. Δ. Να αποδειχθεί ότι, για κάθε 0. Θέμα 8 ο Δίνονται οι συναρτήσεις και g Α. Να δείξετε ότι η εξίσωση 0,.. 4 έχει τουλάχιστον μία ρίζα που να ανήκει στο διάστημα Β. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές τους παραστάσεις C και εφαπτομένη. Γ. Έστω η συνάρτηση h g. C g, αντίστοιχα, έχουν τουλάχιστον μία κοινή i. Να εξετάσετε αν η C h δέχεται δύο εφαπτομένες, μεταξύ τους παράλληλες., με ii. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν αριθμοί, 0,4 4 h a h, για τους οποίους να ισχύει ότι: 5
Θέμα 9 ο Έστω συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού όλο το R. Α. Αν για κάθε 0 ισχύει να βρεθεί το 0 Β. Αν ο τύπος της για κάθε 0 i. Να βρεθεί η παράμετρος a. ii. Για είναι a, να βρεθεί το lim iii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση.. a, με a R, τότε: έχει τουλάχιστον μία θετική ρίζα. 4 Θέμα 0 ο Α. Δίνεται η εξίσωση z 4 (), με z 0. z i. Να λυθεί η () στο σύνολο των μιγαδικών. ii. Αν z, z οι λύσεις της () να αποδείξετε ότι 0 04 z z z z 0 Β. Αν για τον w C ισχύει ότι 6 w z w z (), όπου z, z οι λύσεις της (), να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού w και να αιτιολογήσετε ότι w. Γ. Έστω οι μιγαδικοί w, w που ικανοποιούν την () και για τους οποίους ισχύει ότι ww 4. Να αποδείξετε ότι ww 4 Δ. Αν οι μιγαδικοί w, w, w ικανοποιούν την (), να αποδείξετε ότι: w w w 6 4 w w w 6
Θέμα ο Δίνεται η συνάρτηση ln, με 0. Α. Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Β. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες στο 0,. Γ. Να μελετηθεί η ως προς τη κυρτότητα και τα σημεία καμπής. Δ. Να αποδειχθεί ότι ln, για κάθε. Θέμα ο Δίνεται η συνάρτηση g 0. g, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με g 0 για κάθε R και Επίσης οι συναρτήσεις g g και h g, με g 0 Α. Να αποδείξετε ότι η C διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Β. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της C στο Ο Γ. Αν : y και g g να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της ευθεία (ε) σε τουλάχιστον ένα σημείο με τετμημένη 0,. Δ. Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα. h τέμνει την Θέμα ο Δίνεται η συνάρτηση ln Α. Αν η C εφάπτεται της ευθείας y στο σημείο, Β. Για να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. να βρεθούν οι παράμετροι α, β. Γ. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό, τέτοιο ώστε 0 Δ. Να αποδείξετε ότι 4 Ε. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,,, με, τέτοια ώστε 7
Θέμα 4 ο Έστω συνάρτηση : R R, παραγωγίσιμη στο R, με Α. Να βρεθεί ο τύπος της. 0 για την οποία ισχύει:, για κάθε R. Β. Αν, να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Γ. Να αποδείξετε ότι. Δ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I d. 0 0,. Θέμα 5 ο Έστω οι συναρτήσεις: : 0, R, με γνησίως αύξουσα στο 0, και g στο 0,. Αν ισχύει ότι 0 0, και 0 0, τότε: Α. Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο 0,. Β. Να δείξετε ότι υπάρχει 0, τέτοιο ώστε 0. Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 έχει μοναδική λύση στο Δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε 0, Ε. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της g..., ορισμένη ΣΤ. Να δείξετε ότι η εξίσωση 0 έχει μοναδική ρίζα στο 0, 8
Θέμα 6 ο Έστω η συνάρτηση, ορισμένη στο R, για την οποία ισχύει ότι R. Α. Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο R. Β. Να λυθεί η ανίσωση. για κάθε Γ. Αν Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της C, του άξονα και των κατακόρυφων ευθειών και, να αποδείξετε ότι:. Δ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 έχει ακριβώς μία ρίζα, Ε. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,,, με ΣΤ. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό,5 ώστε:., τέτοια ώστε 4 t dt t dt t dt t dt. Θέμα 7 ο Δίνεται η συνάρτηση z z, με z i z i Α. Να δείξετε ότι ο αριθμός 0 Β. Έστω οι μιγαδικοί 0 είναι φανταστικός. w, με z z και u όπου u Ru. i. Να αποδείξετε ότι αν η εικόνα Μ του z ανήκει σε κύκλο κέντρου,0 και ακτίνας, τότε η εικόνα του w κινείται στην ευθεία : 4 y 0. ii. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του u. iii. Να λυθεί η εξίσωση u z, για z. iv. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης w. 9
Θέμα 8 ο Δίνεται η συνάρτηση t dt, t, με R., Α. Να βρεθεί η παράμετρος α ώστε η να είναι συνεχής στο. Β. Για : i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι 0, για κάθε R. ii. Να αποδείξετε ότι η C δεν παρουσιάζει σημεία καμπής. iii. Να αποδείξετε ότι αν η εφαπτομένη της C στο σημείο 0,, τότε η εξίσωση iv. Να αποδείξετε ότι ln. ln, διέρχεται από το σημείο έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο 0,. Θέμα 9 ο Έστω η συνάρτηση, συνεχής σε όλο το R, για την οποία ισχύει 0 t dt και οι μιγαδικοί z ( ) i και. Α. Να δείξετε ότι w i, με R. Β. Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία και να βρεθούν οι ρίζες και το πρόσημό της. Γ. Έστω ο μιγαδικός u zw. Αν u I να αποδειχθεί ότι z w i. Δ. Αν g ελάχιστο z. z για κάθε R να βρεθεί για ποιόν μιγαδικό z η g παρουσιάζει ελάχιστο και ποιο το Ε. Να λυθεί η εξίσωση:. 0
Θέμα 0 ο Έστω η συνάρτηση συνεχής στο 0, για τον οποίο ισχύει z z i για κάθε 0. 0, και ο μιγαδικός Α. Να βρεθεί η ευθεία πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες του z. Β. Να βρεθεί ο τύπος της Γ. Να υπολογιστεί το όριο lim R z z Δ. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της. Ε. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης R. z t t dt i, με για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου