ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑ.Λ. Α ΟΜΑ ΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Α. Τι ονοµάζετι εύρος µις µετβλητής; Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς, δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση, τη λέξη Σωστό, ν η πρότση είνι σωστή ή τη λέξη Λάθος, ν η πρότση είνι λνθσµένη. ) Η µέση τιµή (µέσος όρος) υπολογίζετι µόνο σε ποσοτικές µετβλητές. β) Αν υπάρχουν τ lim [ f( x) g( x) ] lim f ( x), = l l limg( x) κι είνι l, l R ντίστοιχ, τότε γ) Αν οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιµες στο R, τότε ισχύει: ( f g)'( x) = f '( x) g'( x), x R δ) Ισχύει ότι β ηµ x d x= συν β συν. ε) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη στο (, β) κι f (x) > 0 γι κάθε x (, β), τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο (, β). Α. Ν µετφέρετε στο τετράδιό σς τις πρκάτω ισότητες κι ν τις συµπληρώσετε: ) (ln x) =., µε x > 0 (Μονάδες ) β) (ηµ x) =. (Μονάδες ) a γ) Αν f συνεχής στο R µε a R, τότε f ( x )d x = (Μονάδες ) Μονάδες 9 Τεχνική Επεξεργσί: Keystone
ΘΕΜΑ Β ίνετι η συνάρτηση f : R R µε τύπο: Β. Ν βρείτε το Β. Ν βρείτε το lim f( x) x 4 lim f( x) + x 4 x x+ 7 ν x < 4 x 4 f( x) = ν x = 4 x 4 ν x > 4 x Β. Ν βρείτε γι ποι τιµή του a R η f είνι συνεχής στο x 0 = 4. ΘΕΜΑ Γ ίνετι το πρκάτω ιστόγρµµ, που φορά τις ηλικίες 40 εργζοµένων σε µι επιχείρηση. Συχνότητ V i 5 7 6 5 5 45 55 65 Ηλικίες σε έτη Γ. Ν µετφέρετε στο τετράδιό σς τον πίνκ που κολουθεί κι ν τον συµπληρώσετε µε βάση το πρπάνω ιστόγρµµ. Ηλικίες [, ) [5,5) [5,45) [45,55) [55,65) Σύνολ Μέσο διστήµτος K i Συχνότητ v i K i v i Αθροιστική Συχνότητ N i Σχετική Συχνότητ f i % Τεχνική Επεξεργσί: Keystone
Γ. Ν υπολογίσετε τη µέση τιµή των ηλικιών των εργζοµένων. Γ. Πόσοι εργζόµενοι έχουν ηλικί τουλάχιστον 45 ετών; Γ4. Τί ποσοστό εργζοµένων έχουν ηλικί κάτω των 5 ετών; ΘΕΜΑ ίνετι η συνάρτηση f (x) = x 6x + 9x + µε x.. Ν µελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη µονοτονί στο πεδίο ορισµού της.. Ν βρεθούν τ τοπικά κρόττ της συνάρτησης f.. Ν υπολογιστεί το ολοκλήρωµ Ι= f '( x) dx 4. Αν g(x) = x x + 9 µε x, ν υπολογιστεί το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης g, τον άξον x x κι τις ευθείες µε εξισώσεις x = 0 κι x =. Μονάδες 8 Τεχνική Επεξεργσί: Keystone
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Α. Θεωρί: Εύρος µις µετβλητής είνι η διφορά της µικρότερης πό τη µεγλύτερη τιµή της µετβλητής. Α. ) Σ, β) Σ, γ) Λ, δ) Λ, ε) Σ. Α. ) ( ln x ) =, µε x> 0. x β) (ηµ x) = συν x. γ) Αν f συνεχής στο R µε R, τότε f( x) dx= 0. ΘΕΜΑ Β Β. Γι x < 4 είνι: x 7x+ ( x)( x4) f( x) = = = x. x 4 x 4 Έτσι lim f( x) = lim( x ) = 4 =. Β. Γι x > 4 είνι: x4 ( x 4)( x + ) ( x 4)( x + ) f( x) = = = = x + = x. x ( x )( x + ) x 4 Έτσι lim f( x) = lim( x ) = 4 =. + + Β. Γι ν είνι συνεχής η f στο x 0 = 4, πρέπει κι ρκεί: lim f( x) = lim f( x) = f(4) a =. ΘΕΜΑ Γ Γ. + Ηλικίες [, ) Μέσο διστήµτος K i Συχνότητ v i K i v i Αθροιστική Συχνότητ N i Σχετική Συχνότητ f i % [5,5) 0 7 0 7 7,5 [5,45) 40 480 9 0 [45,55) 50 5 750 4 7,5 [55,65) 60 6 60 40 5 Σύνολ 40 800 00 800 Γ. Από τον πίνκ του προηγούµενου ερωτήµτος προκύπτει: x = = 45. 40 Τεχνική Επεξεργσί: Keystone 4
Γ. Από τον ίδιο πίνκ προκύπτει ότι ηλικί τουλάχιστον 45 ετών έχουν: 5 + 6 = εργζόµενοι. Γ4. Από τη στήλη της σχετικής συχνότητς του πίνκ προκύπτει ότι ηλικί κάτω των 5 ετών έχουν το 7,5 % των εργζοµένων. ΘΕΜΑ. Η f είνι συνεχής κι πργωγίσιµη στο R µε: ( ) ( ) f ( x) = x 6x + 9x+ = x x+ 9= = x 4x+ = ( x) ( x), x R. Προκύπτει έτσι ο επόµενος πίνκς µετβολών. x - + + + f T.M. Άρ η f είνι γνησίως ύξουσ σε κθέν πό τ διστήµτ (, ], [, + ) κι γνησίως φθίνουσ στο [, ].. Από τον πίνκ µετβολών προκύπτει ότι η f έχει τοπικό µέγιστο στη θέση x =, την τιµή f () = 5, ενώ έχει κι τοπικό ελάχιστο στη θέση x =, την τιµή f () =.. Είνι [ ] T.E. f '( x ) d x f ( x ) f () f () 5 4. Ι= = = = = 4. Το ζητούµενο εµβδόν υπολογίζετι πό το ολοκλήρωµ: 0 gx ( ) dx Όµως επειδή είνι g(x) = f (x) γνωρίζουµε πό τον πίνκ προσήµων της f (x) ότι είνι ) γι x [0, ]: g(x) = f (x) 0. β) γι x [, ]: g(x) = f (x) 0. Έτσι είνι: 0 0 [ ] [ ] E= gx ( ) d x+ gx ( ) d x= gx ( )d x gx ( )d x= f( x) f( x) = = f() f(0) f() + f() = 5 + 5 = 8 τ.µ. 0 Τεχνική Επεξεργσί: Keystone 5