.Δίνονται οι παραστάσεις: A,B=,Γ=συν i)να δείξετε ότι Α=ημ,Β=σφ,Γ=συν ii)να λύσετε την εξίσωση: Α+Β=log(lne) log iii)να λύσετε την εξίσωση: A00.Δίνεται το πολυώνυμο : P( ) 4, ω, Α)Να βρείτε το ω για το οποίο το υπόλοιπο της διαίρεσης του P() με το -ημω είναι ίσο με. Β)να λύσετε την εξίσωση P ( ) ( ) για την τιμή ω του προηγούμενου ερωτήματος. Γ)Να λύσετε την εξίσωση 6 P() 0 ln.δίνεται η συνάρτηση: f ( ) e a Α)Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Β)αν ισχύει f (), να βρείτε την τιμή του a Γ)Για α=-ln4 i)να αποδείξετε ότι : f( ) M, να ii)να βρείτε τον αριθμό λ ώστε το σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση της f. Δ)να βρείτε το διάστημα στο οποίο η ευθείες y=- και y=6. Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 48 - C f βρίσκεται ανάμεσα στις 4.Δίνεται η συνάρτηση f ( ), Α)να βρείτε τη περίοδο, την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση σε διάστημα μιας περιόδου. Β)Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες. Γ)να λύσετε την εξίσωση f ( ) f ( ) στο διάστημα 0, 4 5 Δ)να αποδείξετε ότι f log log f log f log8 4 Ε)Να βρείτε τα a, για τα οποία το πολυώνυμο
P( ) 6 a έχει παράγοντες f και f 4 5. Δίνονται οι παραστάσεις και Β=ημ i)να δείξετε ότι Α=εφα και A ii)να λύσετε την εξίσωση e 0 iii)να λύσετε την εξίσωση 4 6.Δίνεται το πολυώνυμο P( ) 7 a το οποίο έχει παράγοντα το - και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το + είναι -8. Α)Να δείξετε ότι α=7 και β=- Β)Να λύσετε την εξίσωση 7 7 0 Γ)Να λύσετε την εξίσωση: 8 74 7 7. Δίνεται η συνάρτηση ( ) log( 4 f 5 ) Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Β)Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την ευθεία y=log Γ) Να λύσετε στο διάστημα 0, την εξίσωση f 4 f 8. Α.Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ), 0, Β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης Γ)Να βρείτε για ποιες τιμές του a η εξίσωση f()=α έχει λύση Δ)Να εξετάσετε αν η εξίσωση f ( ) e έχει λύση. 8. Για τη γωνία, ισχύει ότι log 00 4 Α)Να δείξετε ότι 5 Β)Να βρείτε την τιμή της παράστασης log 7 0 0 Γ)Να λύσετε την εξίσωση 5 0 5 log Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 49 -
9.Το πολυώνυμο P( ) log a 5 log log 4 έχει παράγοντα το α)να βρείτε τα α,β β)να λύσετε την εξίσωση P()=0 γ)αν ρ είναι η μικρότερη λύση της εξίσωσης P()=0, να λύσετε την ανίσωση : 00 0.Δίνεται το πολυώνυμο P( ) 6 7 του οποίου η τιμή για = είναι 0. i)να δείξετε ότι κ=6 ii)να λύσετε την εξίσωση P()=0 iii)να λύσετε την εξίσωση Pe ( ) 0 iv)να λύσετε την εξίσωση P(ln ) 0 0. Δίνεται το πολυώνυμο P a το οποίο διαιρούμενο με - δίνει υπόλοιπο 8 Α) Να βρεθούν τα a, Β)Να λύσετε την εξίσωση Γ)Να λύσετε την εξίσωση ln.δίνονται οι συναρτήσεις ln4 f ( ) και g()=log f i)να δείξετε ότι ( ) ii)να βρείτε το πεδίο ορισμού της g iii)να λύσετε την εξίσωση f ( ) g(9) 0 0,.Θεωρούμε τα πολυώνυμα P( ) a και Q()=α όπου α>0, τα οποία είναι ίσα. i)να δείξετε ότι α= ii)να αποδείξετε ότι η εξίσωση P()=0 δεν έχει ακ εραιες ρίζες. P( ) P( ) iii)να λύσετε την εξίσωση 5 5 0.Δινεται το πολυώνυμο οποίο έχει παράγοντα το 8. Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 50 - P( ) log a ln 7 6 το
Α)Να προσδιοριστούν τα α,β Β)Για τις τιμές των α,β που βρήκατε να λύσετε την P()=0. Γ)να λύσετε την εξίσωση P 0 Δ)να λύσετε την ανίσωση P(log ) 0 4.Δίνεται το πολυώνυμο P( ) a 6 του οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 0 και ακόμη ισχύει P0 P 0 Α) Να αποδείξετε ότι α=-5 και β=8 Β)Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση του P() βρίσκεται πάνω από την ευθεία y=0 Γ)να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P() με το e ln(log5 log40) 4y 5.Δίνεται το σύστημα λ. Έστω ότι 5 ( ) y (,y)=(α,β) είναι η λύση του συστήματος για λ=. Α)Να λύσετε το σύστημα για τις διάφορε τιμές του πραγματικού λ. B)Να αποδείξετε ότι,, Γ)Να εξετάσετε αν υπάρχει γωνία φ, τέτοια ώστε ημφ=α και συνφ=β. Δ)Να λύσετε την ανίσωση e e 0 Ε)Να λύσετε την εξίσωση : a t t 6.Δίνεται το πολυώνυμο P 6 6 Α)να βρείτε τις ρίζες του, να το παραγοντοποιήσετε και να βρείτε το πρόσημο του για τις διάφορες τιμές του. Β)Να λυθούν οι ανισώσεις P 0 και P 0 Γ)Να λυθεί η εξίσωση 6 6 0 Δ)Να λυθεί η ανίσωση e 6e e 6 0 Ε)Να λυθεί η ανίσωση ln 6ln ln 6 0 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 5 -
6. Δίνεται το πολυώνυμο Το P() όταν διαιρείται με το πολυώνυμο 5-5. Α)Να αποδείξετε ότι α= και β= Β)Να λύσετε την ανίσωση P()<0 Γ)Να λύσετε την εξίσωση P 0 P( ) 7 a α,β. Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 5-7.Δίνονται τα πολυώνυμα P a a δίνει πηλίκο ( ) ln ln ln 6 05 και Q( ) ln 49 05 α>0 και β 0 τα οποία είναι ίσα. i)να βρείτε τις τιμές των α και β. ii)για α= και β=- να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση του P() βρίσκεται πάνω από τον άξονα των τετμημένων για κάθε 8.Δίνεται το πολυώνυμο P( ) ln k 4 6 a το οποίο είναι ου βαθμού και έχει παράγοντα το 6 Α)Να δείξετε ότι κ=e, α=-5 και β=6 Β)Να λύσετε την εξίσωση P()=0 Γ)Να λύσετε την εξίσωση P(ln)=0 Δ)Να λύσετε την εξίσωση 5 9.Δίνεται η συνάρτηση f( ) ω 0, Να βρείτε τις τιμές του ω για τις οποίες η f είναι α)στεθερή β) γνησίως αύξουσα γ)γνησίως φθίνουσα δ) να λύσετε την εξίσωση f() f() 6 05 04 0.Δίνεται το πολυώνυμο ( ) P a το οποίο έχει άθροισμα συντελεστών 9 και ο σταθερός όρος είναι 7. Α)να δείξετε ότι α= και β=8 Αν επιπλέον το πολυώνυμο Q( ) 8 0 το οποίο log a διαιρούμενο με το 00 αφήνει υπόλοιπο Β)Να δείξετε ότι λ= Γ)Να λύσετε την ανίσωση P ( ) 0. Δίνεται η συνάρτηση f( ) ln Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ln e
Β)Να λύσετε την εξίσωση f()=ln5+ Γ)Να λύσετε την ανίσωση f ( ) ln Δ)Να λύσετε την εξίσωση f( ) ln.έστω η συνάρτηση f( ) ln Α)Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή Β)Να λύσετε την εξίσωση f()=0 στο (-π,π).δίνεται η συνάρτηση f ( ) 4 και οι αριθμοί a ln5 log 00 e και log44 log5 log 4 log f Α)Να δείξετε ότι ( ) και να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή, καθώς και την περίοδο της. Β)Να δείξετε ότι α=4 και β= f ( ) a Γ)Να λύσετε την εξίσωση e e e f (06 ) 4.Δίνεται η συνάρτηση ln a ln f( ) ln ln a με <α<β η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Α)Να συγκρίνετε τους αριθμούς lnα και lnβ. Β)Να αποδείξετε ότι: a Γ)Αν α=6 και β=4, τότε : i)να αποδείξετε ότι: f( ) ii)να αποδείξετε ότι για κάθε, ισχύει η ανισότητα : f f f iii)να λυθεί η εξίσωση : f ( ) f ( ) 5.Δίνεται το πολυώνυμο P ( ) 4 8 το οποίο έχει παράγοντα το +. i) Να δείξετε ότι λ= ii)να λύσετε την ανίσωση P ( ) 0 iii)αν π() το πηλίκο της διαίρεσης του P() με το -4, να λύσετε την εξίσωση ( ) Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 5 -
y 7 6.Δίνεται το σύστημα 7 y Α)Να βρείτε τη λύση του συστήματος Β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) έχει, y 0 0 κορυφή το σημείο i) να βρείτε τους αριθμούς β και γ ii) να λύσετε την ανίσωση, y 0 0 iii)να λύσετε το σύστημα f( ) 0 y f ( ) y 6 7.Θεωρούμε το πολυώνυμο P() το οποίο είναι ου βαθμού και η διαίρεση του με το συντελεστών του είναι ίσο με και έχει ρίζα το 0,τότε : i)να δείξετε ότι : P( ) ii)να λύσετε την ανίσωση P( ) P( ) P( ) iii)να λύσετε την εξίσωση ln P ( ) ln 0 iv)να λύσετε την εξίσωση είναι τέλεια. Αν το άθροισμα των log8 P() 5 y a 8.Δίνεται η συνάρτηση f( ) Α)Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της. Β)Αν η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο Α(,8) να προσδιορίσετε το α. Γ)Να λυθεί η εξίσωση 4 f ( ) f ( ) f 0 9.Δίνεται η συνάρτηση : a f( ) a Α)Να βρείτε για ποιες τιμές του α η συνάρτηση είναι εκθετική συνάρτηση Β) Να βρείτε για ποιες τιμές του α η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Γ)Για α= να λύσετε την ανίσωση f ( ) 8 f ( ) 4 0 Δ)Για α= να λύσετε την εξίσωση ln f ( ) ln( f ( ) 6) 4ln 0.Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln 4 ln 6 Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού Β)Να λύσετε την εξίσωση f( ) 0 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 54 -
Γ)Να λύσετε την ανίσωση f( ) 0.Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln e ln e 5 Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Β)Να λύσετε την εξίσωση f( ) ln Γ)Να λύσετε την ανίσωση f( ) 0.Δίνεται η συνάρτηση 6 8 f( ) ln 4 7 Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Β)Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Γ)Να λύσετε την εξίσωση Δ)Να λύσετε την εξίσωση f( ) 0 e f ( ) f log y log.α)να αποδείξετε ότι για κάθε,y>0 ισχύει y Β)Αν,y>0 να λύσετε το σύστημα log y log y 0 log y 4.Δίνεται το πολυώνυμο P( ) log log,κ>0 Α)Να αποδείξετε ότι το χ- είναι παράγοντας του P(). Β)Να βρείτε τις τιμές του κ, ώστε το πολυώνυμο να έχει τρεις πραγματικές ρίζες. Γ)Για κ=0 να λύσετε : i)την ανίσωση P ( ) 0 ii)την εξίσωση P( ), 0, 5.Δίνεται η συνάρτηση συστήματος: a f( ) 4 a e e e a7 7 9 όπου α,β οι λύσεις του Α)Να δείξετε ότι α= και β=6. Β)Να λύσετε την ανίσωση f( ) 0 Γ)Να λύσετε την εξίσωση 5 e 5e f e 0 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 55 -
6.Δίνεται η συνάρτηση f Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Β)Να λύσετε την εξίσωση f( ) Γ)Να λύσετε την ανίσωση f ( ) f () Δ)Να λύσετε την εξίσωση ( ) ln ln f () f ( e) 7.Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln(log ) Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Β)Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα. Γ)Να λύσετε την εξίσωση f( )) 0 Δ)Να λύσετε την εξίσωση 0 f f ( ) f ( ) e 8. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln e 5e 6 Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. Β)Να λύσετε την ανίσωση f( ) ln Γ)Να λύσετε την εξίσωση f ( ) ln Δ)Να λύσετε το σύστημα ln ln y e y f (ln 4) 9. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln a Α)Αν ln 6 ln ln 5 ln i)να αποδείξετε ότι τότε : f f ii)να λύσετε την εξίσωση e e ( ) ( ) Β)Αν η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα στο σημείο Α(,0) τότε: i)να αποδείξετε ότι α-β=0 ii)να λύσετε την ανίσωση f ( ) ln 6 e 4 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 56 -
40. Δίνεται η συνάρτηση f( ) ln Α) να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Β) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή Γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f (0) και f f Δ) Να λύσετε την εξίσωση f ( ) ( ) 0 4.Δίνεται η συνάρτηση 4 f a Α) Αν f(0)=5 να αποδείξετε ότι α=. Β) Για την τιμή α= ( ) log 8 log log 00, >0 α i)να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f ( ) log 4log ii) να λύσετε την εξίσωση f()=0 Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 57 -
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Γιάννη Μειντάνη, Εκδόσεις Παπαδημητρόπουλου.ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Γιώργος Μπαραλός, Εκδόσεις Παπαδημητρόπουλου. ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μπάρλας Αναστάσιος, Εκδόσεις Ελληνοεκδοτική 4.ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αλέξανδρος Τραγανίτης, Εκδόσεις Σαββάλας 5.ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Γιάννης Βιδάλης, Βασίλης Γκιμιίσης, Εκδόσεις Πατάκη 6.ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Δημήτρης Κεφαλάς, Αντώνης Σπέρτος, Εκδόσεις Πατάκη 7.ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Παπαδάκης Βασίλης, Εκδόσεις Σαββάλας 8.ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ, Νίκος Τάσος, Εκδόσεις Πουκαμισάς Επίσης από τις παρακάτω ηλεκτρονικές διευθύνσεις:.http://users.sch.gr/fergadioti.www.oktonia.com.www.ems.gr 4.www.pi-schools.gr/lessons/mathematics/ Σε όποιες ακήσεις μπροστά έχει το γράμμα Π σημαίνει ότι οι ασκήσεις αυτές έχουν μπει στις Προαγωγικές εξετάσεις στα Λύκεια της Στερεάς Ελλάδας και είναι στην ηλεκτρονική διεύθυνση : http://stellad.pde.sch.gr/ Efstathioupetros.weebly.com Σελίδα - 58 -