ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ-ΕΠΙΠΕΔΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Μ. Nεραντζάκη Αναπλ. Καθηγήτρια ΕΜΠ ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 2
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ Τοπικό και καθολικό διάνυσμα ακραίων μετατοπίσεων = 2 { } D άκρου j = 2 { } D άκρου k { D } { D } 2 = { } = D 2 όλου του στοιχείου { } D { } D 2 = = { } D 2 Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 3 3
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ Κάθε σημείο του άξονα του μέλους επίπεδου δικτυώματος θα έχει αξονική παραμόρφωση: ( x) ( x) 3( x) ( x), ( x) Συναρτήσεις σχήματος εκφράζουν την αξονική 3 παραμόρφωση για και =, = =, =, αντίστοιχα. Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 4
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ Έστω τμήμα dx του μέλους : Η ισορροπία του τμήματος δίνει dn dx όπου d N A x EA x EA x dx x x d d Άρα, EA x dx dx και L c dx c A x 2 Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 5
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ Για μέλος επίπεδου δικτυώματος σταθερής διατομής: x cx c2 Οι σταθερές c και c 2 υπολογίζονται από τις συνοριακές συνθήκες. Έτσι, για την ψ (x):, L x, x L ενώ, για την ψ 3 (x): 3, 3 L 3 x, x L Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 6
Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 7
Το δυνατό έργο λόγω ελαστικής παραμόρφωσης ισούται με τη δυνατή μεταβολή της ενέργειας παραμόρφωσης. Έτσι, W dv A ( x ) E dx n V x x x x L V: ο όγκος του στοιχείου x x 3 x [ x 3 x ] N x T T x x 3 x [ x 3 x ] N x x 3 x, x L όπου N x N 3 x και Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 8
Αντικαθιστώντας προκύπτει: L T T W EA( x) dx n N N Για το έργο των εξωτερικών δυνάμεων ισχύει: W ex T T f όπου Εξισώνοντας (δw n = δw ex ): k k 3 k k 3 33 f όπου Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 9 9 L k EA x x x dx j, j, 3
Υπενθύμιση: σε ένα μέλος επίπεδου δικτυώματος, στο τοπικό σύστημα αξόνων ισχύει ότι Οπότε, 2 2 k k3 2 2 k3 k33 2 2 A Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ
Υπενθύμιση: σε ένα μέλος επίπεδου δικτυώματος, στο τοπικό σύστημα αξόνων ισχύει ότι Οπότε, 2 2 k k3 2 2 k3 k33 2 2 A k Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ
Υπενθύμιση: σε ένα μέλος επίπεδου δικτυώματος, στο τοπικό σύστημα αξόνων ισχύει ότι Οπότε, 2 2 k k3 2 2 k3 k33 2 2 A k Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 2 D
Τελικά, k k3 2 2 k3 k33 2 2 A k D Ε.Ι. Σαπουντζάκης Μ. Νεραντζάκη ΜΗΤΡΩΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΙΑ ΡΑΒΔΩΤΟΥΣ ΦΟΡΕΙΣ 3