ΜΡΟΣ 4.4 Η ΠΥΡΜΙ Ι Τ ΣΤΟΙΧΙ ΤΗΣ 89 4.4 Η ΠΥΡΜΙ Ι Τ ΣΤΟΙΧΙ ΤΗΣ Ορισμός Πυρμίδ λέγετι έν στερεό, ου µί έδρ του είνι έν ολύγωνο κι όλες οι άλλες έδρες του είνι τρίγων µε κοινή κορυφή. Τ στοιχεί της υρμίδς Το ολύγωνο ΖΗ λέγετι άση της υρμίδς Τ τρίγων με κοινή κορυφή το σημείο :,,,, Ζ, ΖΗ κι Η λέγοντι ράλευρες έδρες της υρμίδς. Το κοινό σημείο των ράλευρων εδρών λέγετι κορυφή της υρμίδς. Το κάθετο ευθύγρµµο τµήµ Θ ρος τη άση λέγετι ύψος της υρμίδς. Τετράεδρο νονική υρμίδ τετρλευρική Πεντγωνική Μι υρµίδ λέγετι κνονική, ν η άση της είνι κνονικό ολύγωνο κι η ροολή της κορυφής της στη άση είνι το κέντρο του κνονικού ολυγώνου, όως φίνετι στο διλνό σχήμ. Σε οοιδήοτε κνονική υρµίδ οι ράλευρες έδρες είνι ίσ μετξύ τους ισοσκελή τρίγων. Ζ
90 ΜΡΟΣ 4.4 Η ΠΥΡΜΙ Ι Τ ΣΤΟΙΧΙ ΤΗΣ μδόν ειφάνεις υρμίδς ι ν υολογίσουμε το εμδόν της ολικής ειφάνεις ολ της υρμίδς, ροσθέτουμε στο εμδόν της ράλευρης ειφάνεις το εμδόν της άσης. ολικής + μδόν ειφάνεις κνονικής υρμίδς ι ν ρούμε το εμδόν της ολικής ειφάνεις της κνονικής υρμίδς, ρκεί ν ροσθέσουμε στο εμδόν της ράλευρης ειφάνεις κι το εμδόν του κνονικού ολυγώνου, ου οτελεί τη άση της κνονικής υρμίδς. ( Περίμετρος άσης).όστημ Όγκος υρμίδς Ο Όγκος της υρμίδς ισούτι με: μδόν άσης. ΡΩΤΗΣΙΣ ΤΝΟΗΣΗΣ V ( )( ύψος). H τετργωνική υρµίδ κι το τετράεδρο έχουν το ΣΩΣΤΟ ίδιο λήθος εδρών. H τετργωνική υρµίδ έχει 5 έδρες ενώ το τετράεδρο 4 έδρες.. άθε κνονική τριγωνική υρµίδ είνι τετράεδρο. ΣΩΣΤΟ ΛΘΟΣ ΛΘΟΣ Στην κνονική τριγωνική υρμίδ μόνο η άση της είνι κνονικό ολύγωνο. Άρ μορεί ν θεωρηθεί οοιδήοτε έδρ της ως ολύγωνο κι εομένως μορεί ν θεωρηθεί τετράεδρο.. Στο ρκάτω σχήµ φίνετι το νάτυγµ υρµίδς ΣΩΣΤΟ ΛΘΟΣ Πράγμτι είνι νάτυγµ υρµίδς 4. O ριθµός των εδρών µις υρµίδς είνι άντ άρτιος ριθµός.
ΜΡΟΣ 4.4 Η ΠΥΡΜΙ Ι Τ ΣΤΟΙΧΙ ΤΗΣ 9 ΣΩΣΤΟ ΛΘΟΣ ι ράδειγμ η τετρλευρική υρµίδ έχει 5 έδρες 5. Σε µι υρµίδ το ύψος ρίσκετι άνω στην ράλευρη ειφάνει. Το ύψος μις υρμίδς είνι το κάθετο τμήμ ό την κορυφή ρος τη άση. 6. Οι υρµίδες ΙΖΗΘ κι ΗΖ έχουν τον ίδιο όγκο. ΣΩΣΤΟ ΛΘΟΣ Θ ΣΩΣΤΟ ΛΘΟΣ ίνι σωστό γιτί : V ( ) ΙΖΗΘ ΖΗΘ.Θ ΖΗ.Ζ.Θ V ( Ζ ) ΗΖ.ΗΖ ΖΗ.Ζ.Ζ 7. Ο λόγος των όγκων µις υρµίδς κι ενός ρίσµτος µε ίδι άση κι ίσ ύψη είνι: A: B: : : 4 Ν κυκλώσετε τη σωστή άντηση. Vυρμίδς Vυρμίδς Vρίσμτος. Άρ είνι το. V ρίσμτος 8. Οι ράλευρες έδρες µις κνονικής υρµίδς είνι τρίγων: A: Ισόλευρ : Ισοσκελή : Ορθογώνι : Σκληνά Ν κυκλώσετε τη σωστή άντηση. Οι ράλευρες έδρες µις κνονικής υρµίδς είνι ίσ μετξύ τους ισοσκελή τρίγων: Άρ είνι το. 9. Η υρµίδ του διλνού σχήµτος έχει άση: A: Ο : Ο : : Ο Ν κυκλώσετε τη σωστή άντηση. Ο
9 ΜΡΟΣ 4.4 Η ΠΥΡΜΙ Ι Τ ΣΤΟΙΧΙ ΤΗΣ Η υρµίδ του ράνω σχήµτος έχει άση την. Άρ είνι το. Σ Η Σ Ι Σ ΣΗΣΗ Ν συµληρώσετε τον ρκάτω ίνκ ου φορά στ στοιχεί µις κνονικής τετργωνικής υρµίδς. Ύ ψ ο ς ( c m ) 8 6 λευρά άσης (cm) 8 όστημ (cm) 0,65 8 εμδόν ράλευρης ειφάνεις (cm) 40 0,4 9 Ό γ κ ο ς ( c m ) 84 56 88 ( Περίμετρος άσης).όστημ Χρησιμοοιούμε τους τύους ( Περίμετρος άσης).όστημ (4.).0 40 cm. V ( μδόν άσης)(. ύψος) V.( μδόν άσης)(. ύψος)..8 84 cm ι ν ρούμε το όστημ χρησιμοοιούμε το υθγόρειο θεώρημ στο ορθογώνιο τρίγωνο ου δημιουργείτι με κάθετες V.( μδόν άσης)(. ύψος) λευρές το ύψος της υρμίδς κι το μισό της λευράς του τετργώνου κι υοτείνουσ ο cm x υ + όστημ. V υ x.56 8 + 4 x 60 ( ) x Περίμετρος άσης.όστημ (4.8).,65 0,4 cm. 60,65
ΜΡΟΣ 4.4 Η ΠΥΡΜΙ Ι Τ ΣΤΟΙΧΙ ΤΗΣ 9 ( ) ( ) Περίμετρος άσης 4 48 V E Περίμετρος άσης.όστημ 48 4.υ ΣΗΣΗ. cm..6 88 cm. όστημ.9 8 48 cm Χρησιμοοιούμε τους τύους ( Περίμετρος άσης).όστημ ( )( ) V μδόν άσης. ύψος 4 είνι η ερίμετρος της άσης. Μι κνονική υρµίδ έχει άση τετράγωνο µε λευρά cm κι ύψος 0 cm. Ν υολογίσετε τον όγκο της..( μδόν άσης)(. ύψος)..0 480 cm Χρησιμοοιούμε τον τύο:.v ( )( ) V μδόν άσης. ύψος ΣΗΣΗ Μι κνονική εξγωνική υρµίδ έχει άση µε λευρά 9 cm κι ράλευρο ύψος (όστηµ) cm. N υολογίσετε το εµδόν της ράλευρης ειφάνειάς της. ( Περίμετρος άσης ).όστημ ( 6.9 ). 4 cm ) ολ + 44 + 9 5 cm Χρησιμοοιούμε τον τύο: ( Περίμετρος άσης).όστημ ΣΗΣΗ 4 Μι κνονική υρµίδ έχει άση τετράγωνο λευράς 9 cm κι το ύψος της ράλευρης έδρς της είνι 8 cm. Ν υολογίσετε το εµδόν: ) της ράλευρης ειφάνεις, ) της ολικής ειφάνεις της υρµίδς. Χρησιμοοιούμε τους τύους, ) ( Περίμετρος άσης).όστημ ( Περίμετρος άσης).όστημ ( 4.9).8 44 cm ολικής +
94 ΜΡΟΣ 4.4 Η ΠΥΡΜΙ Ι Τ ΣΤΟΙΧΙ ΤΗΣ ΣΗΣΗ 5 Μι τετργωνική υρµίδ έχει όγκο 700 cm κι ύψος 7 cm. Ν υολογί σετε την λευρά του τετργώνου της άσης της. Χρησιμοοιούμε τους τύους V V E.υ V.υ V.υ υ V ( μδόν άσης)(. ύψος).700,5 4,4 cm 7 ι ειλύουμε την εξίσωση ου ροκύτει ως ρος ΣΗΣΗ 6 Μι κνονική τετργωνική υρµίδ έχει όστηµ 0 cm κι λευρά άσης 6 cm. Ν υολογίσετε το εµδόν της ράλευρης ειφάνειάς της κι τον όγκο της. ( Περίμετρος άσης).όστημ Χρησιμοοιούμε τους τύους ( Περίμετρος άσης).όστημ ( 4.6).0 0 cm V ( μδόν άσης)(. ύψος) V E.υ 6.6 5 cm ΣΗΣΗ 7 Έν τετράεδρο έχει όλες τις κµές του ίσες με 6 cm. Ν υολογίσετε το εμδόν της ολικής ειφάνεις. λ 6 λ 6 9 7 λ 5, c ( Περίμετρος άσης).όστημ ( ).6.5, 46,8 cm.υ.6.5, 5,6 cm + 46,8 +5,6 6,4 cm ολ m Ρ 6 cm 6 cm λ ΤΤΡΡΟΥ cm cm φρμόζουμε το υθγόρειο θεώρημ σε μί ό τις 4 ίσες έδρες γι ν ρούμε το όστημ λ. ρίσκουμε το εμδόν της άσης ου είνι ισόλευρο τρίγωνο με ύψος ίσο με το όστημ λ κι κτόιν χρησιμοοιούμε τους τύους ( Περίμετρος άσης).όστημ ολικής +
ΜΡΟΣ 4.4 Η ΠΥΡΜΙ Ι Τ ΣΤΟΙΧΙ ΤΗΣ 95 ΣΗΣΗ 8 Ο όγκος µις κνονικής τετργωνικής υρµίδς είνι εννελάσιος ό τον όγκο µίς άλλης κνονικής τετργωνικής υρµίδς µε την οοί έχει το ίδιο ύψος. Ν ρείτε το λόγο των λευρών των άσεών τους. V V 9V E E.υ 9E 9 κι V E.υ 9 E E 9 9.υ.υ Χρησιμοοιούμε τον τύο. ( )( ) V μδόν άσης. ύψος ι τις δύο υρμίδες, όου V,V οι όγκοι των δύο υρμίδων. κι τ εμδά των άσεων των υρμίδων κι τέλος κι οι λευρές των άσεων τους. ΣΗΣΗ 9 Στο διλνό σχήµ φίνετι ένς κύος λευράς 0 cm κι µι υρµίδ µε άση µί έδρ του κύου κι ύψος υ 6 cm. N υολογίσετε τον όγκο του στερεού. Ο V V V στερεού στερεού υρμίδς Vστερεού.0 ΣΗΣΗ 0 + V E.υ +.υ +.6 +0 κύου 00 cm Χρησιμοοιούμε τους τύους. ( )( ) V μδόν άσης. ύψος V κύου Μι κνονική υρµίδ µε άση εξάγωνο έχει ύψος 8 cm κι ράλευρη κµή 0 cm. Ν υολογίσετε: ) το εµδόν της ράλευρης ειφάνεις της υρµίδς, ) το εµδόν της ολικής ειφάνεις της υρµίδς, γ) τον όγκο της υρµίδς.
96 ΜΡΟΣ 4.4 Η ΠΥΡΜΙ Ι Τ ΣΤΟΙΧΙ ΤΗΣ x 0 8 x 00 64 ) x 6 x 6 cm Σε έν ό τ ισόλευρ της άσης ε- φρμόζουμε το υθγόρειο θεώρημ υ 6 υ 6 9 7 υ 5, cm Στο ορθογώνιο τρίγωνο ου δημιουργείτι ό το όστημ λ το ύψος ενός ι- σολεύρου τριγώνου της άσης κι το ύψος της υρμίδς έχουμε ότι: λ 8 + 5, λ 64 + 7 λ 9 λ 9,54 cm ντικθιστώντς το όστημ λ κι την λευρά της άσης στον τύο του εμδού της ράλευρης ειφάνεις έχουμε ( Περίμετρος άσης).όστημ ( ) 6.6.9,54 7,7 cm ).υ.6.5, 5,6 cm + 7,7 + 6.5,6 ολ 65, cm Vυρμίδς..υ γ) Vυρμίδς.6.5,6.8 49,6 cm ν στο τρίγωνο Θ εφρμόσουμε το υθγόρειο θεώρημ ρίσκουμε την λευρά x ενός ό τ 6 ισόλευρ τρίγων ό τ οοί οτελείτι η άση της υρμίδς. Άρ η λευρά της άσης είνι 6 cm. 8 υ 6 cm 6 cm υ 8 x 0 λ cm cm