Θέμα Α Α. Θεωρία (Σχ.Βιβλίο σελ.34) Α2. Θεωρία (Σχ.Βιβλίο σελ.279) Α3. Θεωρία (Σχ.Βιβλίο σελ.273) Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Τετάρτη 9 Μαΐου 2 Α4. (α)- Σ ( β)- Σ ( γ)- Λ ( δ)- Λ ( ε)- Σ Θέμα Β Β. Έχουμε z + z = 2 z2 2z + 2 = Δ = ( 2) 2 4 2 = 4 <, z = + i, z 2 = i z,2 = 2 ± 4i2 = 2 ± 2i = ± i 2 2 B2. z 2 + z 2 2 = + i 2 + i 2 = + i 2 5 + i 2 5 = = (2i) 5 + ( 2i) 5 = B3. Έχουμε w 4 + 3i = z z 2 w 4 + 3i = 2i w (4 3i) = 2 28-2 Σελίδα

Επομένως συμπεραίνουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w είναι κύκλος κέντρου K(4,-3) και ακτίνας ρ=2. Β4. Επείδη ο γ.τ. των εικόνων των εικόνων του w βρίσκονται πάνω στον κύκλο κέντρου K(4,-3) και ακτίνας ρ=2 θα έχουμε ότι ΟΚ ρ w ΟΚ + ρ (βλ.εφαρμογή 2 σχ.βιβλίου σελ.99-) με ΟΚ = 4 2 + ( 3) 2 = 5 Δηλαδή ΟΚ ρ w ΟΚ + ρ 5 2 w 5 + 2 3 w 7 Θέμα Γ Γ. Για την συνάρτηση f έχουμε ότι ορίζεται σε όλο το R και είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με πρώτη παράγωγο f = 2 + 2 + 2 + = 2 + 2 Επομένως η f είναι γν.αύξουσα σε όλο το R Γ2. 2 χ 2 3χ + 2 = ln 3 2 2 + 4 + = 2( 2 ++) 2 + 2 + > για κάθε χεr. 2χ 2 2 3χ 2 = ln 3 2 2 + ln 4 + 2χ 2 + ln 4 + = 2 3χ 2 + ln 3 2 2 + f χ 2 = f 3χ 2 () Από το ερώτημα Γ έχουμε ότι η f είναι γν.αύξουσα άρα και - επομένως από την σχέση () προκύπτει ότι χ 2 = 3χ 2 χ 2 3χ + 2 = χ = ή χ = 2 28-2 Σελίδα 2

Γ3. f = 2( 2 ++) 2 + = 2( 2 ++) ( 2 +) 2( 2 ++)( 2 +) = 2 2 2 + 2 2 2 2 + 2 = 2 2 = = ή χ = f > 2 2 > + > < < - + f - + - f Απο τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f έχει δυο σημεία καμπής τα, ln2 2 και (, ln2 + 2) 2 + 2 = Έστω (ε ) η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο, ln2 2 με f = 2( +) = + άρα ε : y = χ + ln2 ε : y (ln2 2) = f ( + ) Έστω (ε 2 ) η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο, ln2 + 2 με f = 2(++) + = 3 άρα ε 2 : y = 3χ + ln2 ε : y (ln2 + 2) = f ( ) 28-2 Σελίδα 3

Επομένως το σημείο τομής των δυο ευθειών θα προκύψει από την επίλυση του παρακάτω συστήματος: y = χ + ln2 3χ + ln2 = χ + ln2 y = 3χ + ln2 y = 3χ + ln2 το οποίο είναι το (, ln2 ) και βρίσκεται στο άξονα ψ ψ. Γ4. Ι = f d = = 2 2 d + ln 2 + d = 23 χ = y = ln2 2 + ln 2 + d = 2 2 + ln 2 + d = 3 = 2 3 + 2 3 + 2 2 + ln 2 + 2 = 4 3 + 2 (2ln2 2ln2) 2 = 4 3 + 2 + 2 2 + ln 2 + d = 2 + [ln 2 + ] d = 2 + 2 + 2 + d = 2d = 4 3 2 2 = 4 3 28-2 Σελίδα 4

Θέμα Δ Δ. Η συνάρτηση t = t f t t έχει πεδίο ορισμού όλο το R διότι f t t και είναι επίσης συνεχής σε όλο το R ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων επομένως η συνάρτηση f με θα είναι παραγωγίσιμη στο R με f = t dt + + 3 = +f f = f f f = t dt + + 3, για κάθε R = t dt + = + = + = f Δ2. g = f 2 2f = 2f f 2f 2f = = 2f f 2f = 2 άρα g = c f f f 2f =, για κάθε R Δ3. Απο το (Δ2) θα έχουμε ότι g = c f 2 2f = c () ενώ από την σχέση f = t dt + + 3 για χ= έχουμε 28-2 Σελίδα 5

f = t dt + + 3 = 3 και η σχέση () θα γίνει f 2 2 f = c 3 2 = c c = 9 Επομένως έχουμε ότι f 2 2f = 9 για κάθε R δηλαδή f 2 2f + 2 = 9 + 2 f 2 = 9 + 2 (2) για κάθε R Έστω η συνεχής συνάρτηση φ με φ = f και φ για κάθε R άρα θα διατηρεί σταθερό πρόσημο σε όλο το R και επειδή φ = f = 3 > θα είναι φ > για κάθε R. Άρα από την σχέση (2) έχουμε f = 9 + 2 f = χ + 9 + 2, R. + Δ4. Έστω F = f(t) dt = με F χ = + f t dt f t Από το (Δ3) έχουμε ότι f = + dt f(t) dt f(t) dt, R + = f t dt = f + f, R 2χ 2 9+ 2 + = 2χ+2 9+ 2 f t χ+ 2 > = χ+ 2 9+ 2 9+ 2 dt 9+ 2 άρα η f είναι γνησίως αύξουσα. Δηλαδή < + f < f + f + f > για κάθε R = 28-2 Σελίδα 6

Επομένως F χ = f + f > για κάθε R, απ όπου προκύπτει ότι η F είναι γνησίως αύξουσα και τελικά θα έχουμε για < + F < F( + ) + f(t) dt < +2 + f(t) dt, για κάθε R 28-2 Σελίδα 7