ΑΡΙΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΤΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΤΟΜΕΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΤΩΝ ΧΕ ΙΑΗ ΥΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΙΑ ΕΙΟ ΟΥ ΜΙΑ ΕΞΟ ΟΥ, ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΟΥ ΒΕΛΤΙΤΟΥ ΠΛΑΤΟΥ. ΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΠΡΟΕΓΓΙΕΩΝ. Ζ ΡΑΤΚΙ Η ΑΘΑΝΑΙΟ ΤΕΡΓΙ Η ΚΩΝΤΑΝΤΙΝΟ ΤΡΙΚΑΛΙΩΤΗ ΗΜΗΤΡΙΟ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Ν. ΜΑΡΓΑΡΗ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ 005
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΑΓΩΓΗ.................................................. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟ ΜΕ ΤΟΝ ΑΠΛΟ ΜΕΤΑΧΗΜΑΤΙΜΟ........ 5. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ Ι ΕΛΕΓΧΟ....................... 7. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ ΡΙ ΕΛΕΓΧΟ.......6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΡΙD ΕΛΕΓΧΟ.............................................. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΧΗΜΑΤΙΜΟ TUSTIN....... 8. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ Ι ΕΛΕΓΧΟ.......................8. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ ΡΙ ΕΛΕΓΧΟ.......7. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΡΙD ΕΛΕΓΧΟ.............................................. 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΠΕΥΘΕΙΑ ΜΕΤΑΧΗΜΑΤΙΜΟ Ζ ΕΙΑΓΩΓΗ ΤΟΥ ZERO ORDER HOLD................. 55. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ Ι ΕΛΕΓΧΟ.......................57. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ ΡΙ ΕΛΕΓΧΟ.......65
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΨΗΦΙΟΠΟΙΗΗ ΤΟΥ ΕΛΕΓΚΤΗ ΥΒΡΙ ΙΚΟ ΥΤΗΜΑ ΚΛΕΙΤΟΥ ΒΡΟΧΟΥ..............75. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ Ι ΕΛΕΓΧΟ.......................76. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ ΡΙ ΕΛΕΓΧΟ.......86. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΡΙD ΕΛΕΓΧΟ.............................................. 95 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΥΓΚΡΙΕΙ ΚΑΙ ΥΜΠΕΡΑΜΑΤΑ................... 06 5. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ Ι ΕΛΕΓΧΟ......................06 5. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ ΡΙ ΕΛΕΓΧΟ......08 5. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΡΙD ΕΛΕΓΧΟ............................................. 0 5. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Α...................................... 5.5 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Β...................................... 5 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΒΕΛΤΙΤΟΥ ΠΛΑΤΟΥ..................... 9 Π. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ Ι ΕΛΕΓΧΟ......................0 Π. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ ΡΙ ΕΛΕΓΧΟ..... Π. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΡΙD ΕΛΕΓΧΟ............................................. Π. ΥΝΘΗΚΕ ΒΕΛΤΙΤΟΠΟΙΗΗ..................... 5 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.......................................... 8
ΕΙΑΓΩΓΗ την παρούσα διπλµατική εργασία επιχειρείται να δοθεί διακριτή µορφή στα αναλογικά συστήµατα αυτοµάτου ελέγχου, έτσι ώστε τα τελευταία από συστήµατα συνεχούς χρόνου να µεταβούν σε συστήµατα διακριτού χρόνου. Με τον όρο «αυτόµατο έλεγχο» εννοούµε τον κλάδο της επιστήµης που έχει ς στόχο την κατά βούληση µεταβολή τν φυσικών ποσοτήτν, οι οποίες εµπλέκονται και συµβάλλουν στην εκδήλση τν φυσικών φαινοµένν, χρίς την άµεση παρέµβαση του ανθρώπου [6]. Μιλώντας για αυτόµατο έλεγχο, στην ουσία αναφερόµαστε σε συστήµατα κλειστού βρόχου. Αυτά αποτελούνται από βαθµίδες όπς το φυσικό σύστηµα το οποίο επιθυµούµε να ελέγξουµε, βαθµίδες ανάδρασης και κέρδους και φυσικά τη βαθµίδα του ελεγκτή, ο οποίος επιλέγεται ανάλογα µε τη µορφή του εκάστοτε φυσικού συστήµατος. ε µια εποχή όπου σχεδόν τα πάντα λειτουργούν υπό την καθοδήγηση και την επίβλεψη τν ηλεκτρονικών υπολογιστών, η υλοποίηση του προβλήµατος του αυτοµάτου ελέγχου µε διακριτό ή ψηφιακό τρόπο έχει, όπς γίνεται κατανοητό, µεγάλη σηµασία. Είναι γνστό ότι ο αναλογικός αυτόµατος έλεγχος είναι πολύ σηµαντικός, όχι µόνο γιατί χρησιµοποιείται σε πολλά επιστηµονικά πεδία, αλλά και γιατί πολλοί ψηφιακοί ελεγκτές εφαρµόζουν αλγορίθµους αναλογικού ελέγχου. ίγουρα υπάρχουν διαφορές ανάµεσα στον αναλογικό και στον ψηφιακό έλεγχο. Εντούτοις, στην παρούσα διπλµατική εργασία προσπαθούµε να επισηµάνουµε την στενή σχέση που υπάρχει µεταξύ τους. Για παράδειγµα, δείχνουµε ότι το διακριτοποιηµένο σύστηµα προσεγγίζει το αναλογικό, όσο η περίοδος δειγµατοληψίας τείνει προς το µηδέν. Ακόµη επισηµαίνουµε τα σηµεία στα οποία τα δύο συστήµατα είναι διαφορετικά, ειδικότερα για αργούς ρυθµούς δειγµατοληψίας.
Τα υπό µελέτη συστήµατα αρχικά εκφράζονται ς συναρτήσεις µεταφοράς στο πεδίο της µεταβλητής, δηλαδή στη µορφή του µετασχηµατισµού Llce, ο οποίος περιγράφει τα συνεχή γραµµικά χρονοαµετάβλητα LTF συστήµατα. Η ψηφιοποίηση ή διακριτοποίηση, όπς προαναφέραµε, σηµαίνει τη µετάβαση από το συνεχή φυσικό κόσµο, δηλαδή το πεδίο της µεταβλητής, στο διακριτό, δηλαδή το πεδίο της µεταβλητής z, η οποία εισάγεται από το µετασχηµατισµό Ζ. Οι τρόποι εφαρµογής της ψηφιοποίησης είναι κυρίς δύο: Από το αναλογικό βελτιστοποιηµένο σύστηµα κλειστού βρόχου µεταβαίνουµε κατάλληλα στο αντίστοιχο διακριτό, το οποίο θερούµε ς βέλτιστο. Από το αρχικό αναλογικό σύστηµα µεταβαίνουµε στο αντίστοιχο διακριτό. Κατόπιν, εφαρµόζουµε εκεί τις γνστές µεθόδους βελτιστοποίησης και προσαρµόζουµε τις βέλτιστες διακριτές παραµέτρους ανάλογα µε τις απαιτήσεις του συστήµατος κλειστού βρόχου []. την παρούσα εργασία θα ασχοληθούµε αποκλειστικά µε το δεύτερο τρόπο ψηφιοποίησης. Αυτή γίνεται, όπς είπαµε, µέσ του µετασχηµατισµού Ζ και µε τη βοήθεια µιας περιόδου δειγµατοληψίας T που καθορίζουµε. Η εύρεση της κατάλληλης δύσκολη διαδικασία. T, όπς θα δούµε, είναι µια πολύ σηµαντική αλλά και Η συγκεκριµένη διπλµατική εργασία έχει ς αντικείµενο την διερεύνηση τν µεθόδν σχεδίασης συστηµάτν διακριτού χρόνου και την σύγκριση αυτών µεταξύ τους. Η σχεδίαση για κάθε σύστηµα γίνεται µε βάση το πολύ σηµαντικό στον αυτόµατο έλεγχο κριτήριο του βέλτιστου πλάτους [6], µε σκοπό τον προσδιορισµό τν βέλτιστν παραµέτρν του συστήµατος. Η εργασία αυτή χρίζεται σε πέντε 5 κεφάλαια και το παράρτηµα: το πρώτο κεφάλαιο γίνεται απ ευθείας εφαρµογή του απλού Smle µετασχηµατισµού διακριτοποίησης [] σε σύστηµα κλειστού βρόχου. Εφαρµόζονται διαδοχικά στο φυσικό σύστηµα ολοκληρτικός Ι,
ολοκληρτικός αναλογικός ΡΙ και ολοκληρτικός αναλογικός διαφορικός PID έλεγχος, γίνεται διακριτοποίηση και στην συνέχεια σύγκριση µε τα αντίστοιχα αναλογικά συστήµατα. το δεύτερο κεφάλαιο γίνεται ψηφιοποίηση του συστήµατος κλειστού βρόχου µε τη βοήθεια του µετασχηµατισµού Tu []. Για το ίδιο φυσικό σύστηµα, όπς και στο πρώτο κεφάλαιο, εφαρµόζουµε διαδοχικά Ι, ΡΙ και PID-έλεγχο και στην συνέχεια γίνεται σύγκριση µε τα αντίστοιχα αναλογικά. Ο µετασχηµατισµός Tu προσεγγίζει σε µεγάλο βαθµό το αναλογικό, δίνοντας πολύ καλά αποτελέσµατα κυρίς λόγ της ανεξαρτησίας, όπς θα δούµε, τν βέλτιστν παραµέτρν από την περίοδο δειγµατοληψίας. το τρίτο κεφάλαιο εφαρµόζουµε απ ευθείας µετασχηµατισµό Ζ στο σύστηµα κλειστού βρόγχου, αναλύοντας σε µερικά κλάσµατα το φυσικό σύστηµα και χρησιµοποιώντας πίνακες µετασχηµατισµών z []. Για το ίδιο φυσικό σύστηµα εφαρµόζουµε διαδοχικά Ι και ΡΙ-έλεγχο. τη συνέχεια, τα µετασχηµατισµένα κατά Ζ συστήµατα συγκρίνονται µε τα αντίστοιχα αναλογικά. το τέταρτο κεφάλαιο καταφεύγουµε στην ψηφιοποίηση µόνο του ελεγκτή [6], θερώντας ότι η ψηφιοποίηση ολόκληρου του κλειστού βρόχου στερείται φυσικού νοήµατος. Το φυσικό σύστηµα παραµένει στην αναλογική µορφή. Αυτό οδηγεί σε µια υβριδική µορφή του συστήµατος κλειστού βρόχου και µε βάση τις κατάλληλες προσεγγίσεις καταλήγουµε στην πλήρη ψηφιοποίησή του. Το σύστηµα ελέγχεται διαδοχικά µε ολοκληρτικό Ι, ολοκληρτικό αναλογικό ΡΙ και ολοκληρτικό διαφορικό αναλογικό PID έλεγχο. Όπς και στις προηγούµενες περιπτώσεις, γίνεται σύγκριση ανάµεσα στις αποκρίσεις τν βέλτιστν διακριτών και τν αντίστοιχν αναλογικών συστηµάτν. το πέµπτο κεφάλαιο επιχειρείται µία σύγκριση όλν τν παραπάν µεθόδν και επισήµανση τν πλεονεκτηµάτν και µειονεκτηµάτν από την εφαρµογή τους. Παράλληλα, παρατίθενται συγκεκριµένα προβλήµατα
αυτοµάτου ελέγχου στα οποία εφαρµόζονται οι παραπάν µέθοδοι διακριτοποίησης και λαµβάνονται χρήσιµα συµπεράσµατα. Τέλος, στο παράρτηµα παραθέτουµε τις συνθήκες βελτιστοποίησης τν αντίστοιχν αναλογικών συστηµάτν, σύµφνα µε το κριτήριο του βέλτιστου πλάτους.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟ ΜΕ ΤΟΝ ΑΠΛΟ ΜΕΤΑΧΗΜΑΤΙΜΟ Θερούµε το σύστηµα αυτοµάτου ελέγχου του σχήµατος -: χήµα - ύστηµα κλειστού βρόχου Το σύστηµα του σχήµατος - αποτελείται από τα εξής στοιχεία: Το -lg φίλτρο F, το οποίο εµποδίζει την αναδίπλση υψηλών συχνοτήτν, που οφείλονται κυρίς σε θόρυβο, σε χαµηλότερες συχνότητες µέσ της δειγµατοληψίας. Το φίλτρο αυτό στην αναλογική του µορφή περιγράφεται από τη σχέση: F - T f όπου T f µια µικρή σταθερά χρόνου του φίλτρου. Το αναλογικό φυσικό σύστηµα: G - T T 5
Το σύστηµα αυτό έχει µία κυρίαρχη σταθερά χρόνου T και T είναι η συνολική άδηλη δυναµική του κλειστού βρόχου, η οποία για ευκολία έχει ενσµατθεί στην έκφραση της σχέσης - [6]. Ισχύει δηλαδή ότι: T T T c T f - Τον αναλογικό ελεγκτή G c, ο οποίος ανάλογα µε τη µορφή του φυσικού συστήµατος µπορεί να ασκήσει ολοκληρτικό Ι, ολοκληρτικό αναλογικό ΡΙ ή ολοκληρτικό αναλογικό διαφορικό PID έλεγχο. Τη βαθµίδα ανάδρασης h. Tη βαθµίδα Zero-Order Hold G h, η οποία προς το παρόν αγνοείται για λόγους που θα εξηγήσουµε και θα µας απασχολήσει σε επόµενο κεφάλαιο. κοπός µας είναι να µετατρέψουµε το σύστηµα κλειστού βρόχου από αναλογικό σε ψηφιακό, µε βάση µια περίοδο δειγµατοληψίας T που θα καθορίσουµε. Η ψηφιοποίηση αυτή θα γίνει µε τη βοήθεια του µετασχηµατισµού Z, µέσ του οποίου θα µεταβούµε από το πεδίο της µεταβλητής τν αναλογικών εκφράσεν στο πεδίο της µεταβλητής z τν αντίστοιχν ψηφιακών. Ο µετασχηµατισµός Z µπορεί να υλοποιηθεί µε πολλές µεθόδους, µία εκ τν οποίν είναι η αντικατάσταση: z - T η οποία είναι γνστή ς απλός µετασχηµατισµός [] και θα µας απασχολήσει στη συνέχεια του πρώτου κεφαλαίου. 6
. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ Ι ΕΛΕΓΧΟ Αρχικά, θα εφαρµόσουµε στο φυσικό σύστηµα ολοκληρτικό έλεγχο. την περίπτση αυτή ο ελεγκτής του συστήµατος κλειστού βρόχου δίνεται από τη σχέση: Gc.- T T c όπου T η σταθερά χρόνου του ολοκληρτικού όρου του ελεγκτή. Για ευκολία, η σταθερά χρόνου T c που αντιπροσπεύει την κατανεµηµένη άδηλη δυναµική του ελεγκτή ενσµατώνεται, όπς και η T f, στη σταθερά T σύµφνα µε τη σχέση -. Έτσι, η νέα έκφραση που περιγράφει τον αναλογικό Ι-ελεγκτή είναι: Gc.- T Κανονικοποιώντας τις σταθερές χρόνου ς προς την περίοδο δειγµατοληψίας T, προκύπτει ότι: G.- Gc.- όπου: και T T, T T, T.-5 T T.-6 7
τη συνέχεια, θα προχρήσουµε στην ψηφιοποίηση διακριτοποίηση του κλειστού βρόχου µέσ του απλού µετασχηµατισµού που περιγράψαµε παραπάν. Λόγ της κανονικοποίησης που εισάγεται από την.-6, στη σχέση - απαλείφεται η περίοδος δειγµατοληψίας T και καταλήγουµε στην τελική µορφή: z.-7 Το αντίστοιχο αναλογικό σύστηµα του Ι-ελέγχου αναλύεται στην ενότητα Π. του παραρτήµατος. Με αντικατάσταση της.-7 του απλού µετασχηµατισµού στη συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου Π.-, προκύπτει η ψηφιακή κανονικοποιηµένη συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος κλειστού βρόχου του σχήµατος -: z F z.-8 CL [ h ] z [ ] z z Θα προχρήσουµε στη βελτιστοποίηση της συνάρτησης µεταφοράς της σχέσης.-8, σύµφνα µε το κριτήριο βέλτιστου πλάτους. Όπς αναφέρουµε και στο παράρτηµα, σκοπός µας είναι η επίτευξη της συνθήκης: F CL j.-9 σε όσο το δυνατόν µεγαλύτερο εύρος συχνοτήτν [6], [7]. Για το λόγο αυτό χρησιµοποιούµε την ισότητα του Euler: j z e co j.-0 8
τη συνέχεια αναλύουµε το ηµίτονο και το συνηµίτονο σε σειρές Μαclur, κρατώντας τους τρεις πρώτους όρους: 5....-! 5! co....-!! Με χρήση, λοιπόν, τν.-0.- παίρνουµε τη συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου.-8 ς συνάρτηση του. Εντούτοις, η αντιµετώπιση της βελτιστοποίησης µε αυτό τον τρόπο εγκαταλείφθηκε λόγ της µεγάλης πολυπλοκότητας τν µαθηµατικών πράξεν. Για το λόγο αυτό, θα χρησιµοποιήσουµε µια άλλη απλούστερη προσέγγιση και η συνάρτηση θα µετατραπεί ξανά σε πηλίκο πολυνύµν του σύµφνα µε την ισότητα: z e...!.- Μετά την εφαρµογή της σχέσης.- [8] στην.-8, καταφεύγουµε στις συνθήκες βελτιστοποίησης του κριτηρίου βέλτιστου πλάτους [6] που παρατίθενται στην ενότητα Π. του παραρτήµατος. ύµφνα λοιπόν µε τη συνθήκη Π.- βρίσκουµε ότι:.- h δηλαδή έχουµε µοναδιαία αρνητική ανάδραση. 9
Παρόµοια, από την Π.-5 παίρνουµε ότι: D.-5 O δείκτης D σηµειώνεται για να υποδηλώσει τις ψηφιακές προδιαγραφές. Παρατηρούµε ότι στη σταθερά λόγο του ψηφιακού συστήµατος D υπεισέρχεται σε σχέση µε την αντίστοιχη του αναλογικού σχέση Π.-7, A η ποσότητα στον όρο που περικλείεται από την παρένθεση. Αν προχρήσουµε στην «αποκανονικοποίηση» της σχέσης.-5 µε τη βοήθεια της.-5, θα πάρουµε ότι: T T D T T.-6 δηλαδή η σταθερά χρόνου T του ολοκληρτικού όρου του διακριτού ελεγκτή D είναι µειµένη σε σχέση µε την αντίστοιχη του αναλογικού κατά τη χρονική ποσότητα T. τη συνέχεια, θα παραστήσουµε σε κοινά διαγράµµατα τις βηµατικές αποκρίσεις τν συναρτήσεν.-8 και Π.-, αν αντικατασταθούν σ αυτές οι βέλτιστες τιµές τν παραµέτρν τους που δίνονται από τις.-,.-5 και Π.-6, Π.-7 αντίστοιχα. κοπός µας είναι η εύρεση της κατάλληλης σταθεράς, έτσι ώστε το ψηφιακό µας σύστηµα να ακολουθεί ικανοποιητικά το αντίστοιχο αναλογικό. τα σχήµατα που ακολουθούν η σταθερά της άδηλης δυναµικής είναι 0 φορές µικρότερη από την κυρίαρχη σταθερά, η οποία ρυθµίζεται κατάλληλα. Θερούµε τις περιπτώσεις όπου η ισούται µε, 7 και : 0
χήµα.- Βηµατικές αποκρίσεις για, 0. χήµα.- Βηµατικές αποκρίσεις για 7, 0.
χήµα.- Αποκρίσεις συχνότητας πλάτους για, 7, 0. Παρατηρούµε ότι αύξηση της τιµής του λόγου συνεπάγεται την καλύτερη προσέγγιση του αναλογικού συστήµατος από το διακριτό. Αυτό συµβαίνει διότι, αύξηση του σηµαίνει µείση της περιόδου δειγµατοληψίας T σε σχέση µε την κυρίαρχη σταθερά χρόνου T του φυσικού συστήµατος, όπς φαίνεται από τη σχέση.-5. Θερητικά, τα δύο συστήµατα κλειστού βρόχου ταυτίζονται όσο ο λόγος τείνει στο άπειρο, ή ισοδύναµα η περίοδος T τείνει στο µηδέν. Κάτι τέτοιο όµς είτε είναι πρακτικά ανέφικτο να επιτευχθεί, είτε εισάγει υπερβολικές απαιτήσεις σε κόστος και υπολογιστική ισχύ για έναν µικροεπεξεργαστή που θα ήταν επιφορτισµένος µε τη διαδικασία της δειγµατοληψίας. Για το λόγο αυτό, θα θερήσουµε ς βέλτιστο ένα λόγο
που δεν προκαλεί σηµαντικές διαφορές κατά την απόκριση τν δύο συστηµάτν, όπς φαίνεται στα σχήµατα που ακολουθούν. Εδώ, παρατίθεται τόσο η βηµατική, όσο και η συχνοτική διάγραµµα Bode απόκριση τν δύο συστηµάτν. τα διαγράµµατα έχει περιληφθεί και η συνάρτηση ευαισθησίας, η οποία σύµφνα µε τη θεµελιώδη εξίσση κλειστού βρόχου [6] ορίζεται ς εξής: S F.-7 CL Φυσικά: S z F z.-8 CL χήµα.- Βηµατικές αποκρίσεις για, 0.
χήµα.-5 Αποκρίσεις συχνότητας πλάτους για, 0. Παρατηρούµε ότι για την τιµή αυτή του υπάρχει µεγάλη ταύτιση µεταξύ τν δύο συστηµάτν. Ειδικότερα, από το σχήµα.-5 φαίνεται ότι τα πλάτη τν δύο συναρτήσεν µεταφοράς είναι ταυτισµένα µέχρι την κανονικοποιηµένη συχνότητα τν u περίπου. Το σηµείο αυτό οριοθετεί την αρχή τν διαταραχών για το διακριτό σύστηµα, οι οποίες αυξάνουν καθώς αυξάνεται η συχνότητα. τα διαγράµµατα αυτά όπς και στα επόµενα οι σταθερές χρόνου, όπς έχουµε πει, είναι κανονικοποιηµένες ς προς την περίοδο δειγµατοληψίας T. Αυτό έχει ς αποτέλεσµα να παίρνουµε αποκρίσεις εκφρασµένες σε απόλυτα µεγέθη u. το παράδειγµά µας, λοιπόν, τα δύο συστήµατα είναι σχεδόν όµοια µε τα εξής χαρακτηριστικά:
Χρόνος ανόδου: 8.7 u.-9 r Χρόνος αποκατάστασης: 07.5 u.-0 Ποσοστό υπερύψσης: OVS.5%.- το σχήµα.-6 φαίνεται ειδικότερα το διάγραµµα Βode του πλάτους και της φάσης του διακριτού συστήµατος. Παρατηρούµε ότι αύξηση της συχνότητας επιφέρει διαταραχές στην απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου. χήµα.-6 Απόκριση συχνότητας πλάτους και φάσης του διακριτού συστήµατος για, 0. 5
. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ ΡΙ ΕΛΕΓΧΟ τη συνέχεια θα εφαρµόσουµε στο φυσικό σύστηµα ολοκληρτικό αναλογικό έλεγχο. την περίπτση αυτή ο ελεγκτής του συστήµατος κλειστού βρόχου δίνεται από τη σχέση: G T c.- T όπου T η σταθερά χρόνου του ολοκληρτικού όρου και T η σταθερά χρόνου του αναλογικού όρου του ελεγκτή. Η σταθερά χρόνου T c που αντιπροσπεύει την κατανεµηµένη άδηλη δυναµική του ελεγκτή ενσµατώνεται όπς και προηγουµένς στη σταθερά T. Κανονικοποιώντας τον ελεγκτή ς προς την περίοδο δειγµατοληψίας προκύπτει ότι: G T, c.- Ισχύουν ξανά οι σχέσεις.-5 και.-6 µε την προσθήκη: T.- T Το φυσικό σύστηµα παραµένει το ίδιο µε προηγουµένς, όπς εκφράζεται από τη σχέση.-. Κατόπιν, θα προχρήσουµε στην ψηφιοποίηση του συστήµατος κλειστού βρόχου χρησιµοποιώντας ξανά τον απλό µετασχηµατισµό που συσχετίζει την κανονικοποιηµένη µεταβλητή µε την ψηφιακή z: 6
z.- Η βελτιστοποίηση του αντίστοιχου αναλογικού συστήµατος για ΡΙ-έλεγχο παρατίθεται στην ενότητα Π. του παραρτήµατος. Έτσι, µε αντικατάσταση της.- στην Π.- προκύπτει η ψηφιακή κανονικοποιηµένη συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος κλειστού βρόχου: F z CL [ ] z { [ ] } z z h z z h.-5 Χρησιµοποιούµε ξανά την προσέγγιση για τη µεταβλητή z της σχέσης.- και βελτιστοποιούµε την.-5 σύµφνα µε το κριτήριο βέλτιστου πλάτους. Από τη συνθήκη Π.- παίρνουµε ότι:.-6 h δηλαδή έχουµε µοναδιαία αρνητική ανάδραση. Από την Π.-5 παίρνουµε ότι: D.-7 D Η σχέση.-7 είναι όµοια ποιοτικά µε την αντίστοιχη αναλογική της Π.-5, µε τη διαφορά ότι στην παρένθεση του δεύτερου όρου υπεισέρχεται η ποσότητα. 7
Παρόµοια, από την Π.-6 παίρνουµε ότι: D [ ].-8 τη συνέχεια, θα παραστήσουµε σε κοινά διαγράµµατα τις βηµατικές αποκρίσεις τν συναρτήσεν.-5 και Π.-, αν αντικατασταθούν σ αυτές οι βέλτιστες τιµές τν παραµέτρν τους που δίνονται από τις.-6.-8 και Π.- Π.-6 αντίστοιχα. κοπός µας είναι ξανά η εύρεση της κατάλληλης σταθεράς, έτσι ώστε το ψηφιακό µας σύστηµα να ακολουθεί ικανοποιητικά το αντίστοιχο αναλογικό. τα σχήµατα που ακολουθούν η σταθερά της άδηλης δυναµικής είναι όπς και στον Ι-έλεγχο 0 φορές µικρότερη από την κυρίαρχη σταθερά, η οποία ρυθµίζεται κατάλληλα. Θερούµε αυτή τη φορά τις περιπτώσεις όπου η ισούται µε, 70 και 0. την πρώτη περίπτση η σταθερά ισούται µε. Η τιµή αυτή έδινε ικανοποιητικά αποτελέσµατα στις αποκρίσεις του Ι-ελέγχου, όπς φαίνεται από τα σχήµατα.- και.-5. Εντούτοις, στον ΡΙ-έλεγχο µε αυτή την τιµή το διακριτό σύστηµα απέχει πολύ στη βηµατική του απόκριση από το αντίστοιχο αναλογικό, κάτι που φαίνεται στο σχήµα.-: 8
χήµα.- Βηµατικές αποκρίσεις για, 0. το σχήµα.- η αυξάνει σηµαντικά και γίνεται ίση µε 70. Εδώ η προσέγγιση είναι σαφώς ικανοποιητικότερη: χήµα.- Βηµατικές αποκρίσεις για 70, 0. 9
Τέλος, εξετάζουµε την περίπτση όπου η σχεδόν διπλασιάζεται και γίνεται ίση µε 0. την περίπτση αυτή τα δύο συστήµατα έχουν σχεδόν ταυτιστεί: χήµα.- Βηµατικές αποκρίσεις για 0, 0. χήµα.- Αποκρίσεις συχνότητας πλάτους για 0, 0. 0
Tα δύο συστήµατα έχουν τα εξής χαρακτηριστικά: Χρόνος ανόδου: 6 u.-9 r Χρόνος αποκατάστασης: 00.5 u.-0 Ποσοστό υπερύψσης: OVS.%.- τα σχήµατα.- και.-5 φαίνονται τα κοινά διαγράµµατα Βode πλάτους αναλογικού και διακριτού και το διάγραµµα Bode πλάτους φάσης µόνο του διακριτού συστήµατος αντίστοιχα. Παρατηρούµε ότι αύξηση της συχνότητας επιφέρει διαταραχές στην απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου. Γενικότερα, παρατηρούµε ξανά ότι αύξηση της τιµής του λόγου, συνεπάγεται καλύτερη προσέγγιση του αναλογικού συστήµατος από το διακριτό. Με άλλα λόγια, η προσέγγιση είναι καλύτερη όσο µεγαλώνει η διαφορά της µεγάλης σταθεράς χρόνου T από την περίοδο δειγµατοληψίας T. Ειδικότερα, κατά τον ΡΙ-έλεγχο, καλή προσέγγιση έχουµε για µεγάλες τιµές του λόγου σχήµατα.-.-5. Κάτι τέτοιο όµς είναι ανέφικτο να εφαρµοστεί στην πράξη, διότι πολύ µικρή περίοδος δειγµατοληψίας συνεπάγεται αυξηµένες απαιτήσεις σε κόστος και υπολογιστική ισχύ του hrdwre που απαιτείται για την υλοποίηση του διακριτού ελεγκτή.
χήµα.-5 Απόκριση συχνότητας πλάτους και φάσης του διακριτού συστήµατος για 0, 0.. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΡΙD ΕΛΕΓΧΟ Tέλος, θα εξετάσουµε την ανταπόκριση του φυσικού συστήµατος κατά την εφαρµογή ολοκληρτικού αναλογικού διαφορικού ελέγχου. την περίπτση αυτή, ο PID-ελεγκτής έχει ένα επιπλέον µηδενικό σε σχέση µε τον ΡΙ και δίνεται από τη σχέση: G c T T v.- T
όπου T η σταθερά χρόνου του ολοκληρτικού όρου και T, T v οι σταθερές χρόνου του αναλογικού και του διαφορικού όρου του ελεγκτή. Η σταθερά χρόνου T c που αντιπροσπεύει την κατανεµηµένη άδηλη δυναµική του ελεγκτή ενσµατώνεται όπς και προηγουµένς στη σταθερά T του φυσικού συστήµατος. το τελευταίο, λόγ της µορφής του ΡΙD-ελεγκτή, προσαρτάται ένας ακόµη πόλος µε σταθερά χρόνου T. Έτσι, η νέα του µορφή είναι: G.- T T T Κανονικοποιώντας τις σχέσεις.- και.- ς προς την περίοδο δειγµατοληψίας T, προκύπτει ότι: G v c.- G.- Ισχύουν ξανά οι σχέσεις.-5,.-6 και.- µε την προσθήκη: T v v, T T.-5 T Η εύρεση και βελτιστοποίηση της αντίστοιχης αναλογικής συνάρτησης µεταφοράς για PID-έλεγχο γίνεται στην ενότητα Π. του παραρτήµατος. Για ευκολία, αναφέρουµε ξανά την κανονικοποιηµένη σχέση του απλού µετασχηµατισµού:
z.-6 Με αντικατάσταση της.-6 στην Π.- προκύπτει η ψηφιακή κανονικοποιηµένη συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος κλειστού βρόχου: v v v v CL z z z z z z z z F 0.-7α όπου: [ ] [ ] { } [ ] v h v v h v h 0 6.-7β Χρησιµοποιούµε ξανά την προσέγγιση για τη µεταβλητή z της σχέσης.- και βελτιστοποιούµε την.-7 σύµφνα µε το κριτήριο βέλτιστου πλάτους. Από τη συνθήκη Π.- παίρνουµε ότι: h.-8 δηλαδή έχουµε µοναδιαία αρνητική ανάδραση. Από την Π.-5 παίρνουµε ότι: D D D v.-9
Η σχέση.-9 είναι όµοια ποιοτικά µε την αντίστοιχη αναλογική της Π.-5, µε τη διαφορά ότι στην παρένθεση του δεύτερου όρου υπεισέρχεται η ποσότητα. Παρόµοια, από τις Π.-6 και Π.-7 παίρνουµε τις σχέσεις τν σταθερών D και vd, συναρτήσει τν, αναφέρονται εδώ λόγ του µεγάλου τους όγκου. και. Οι αναλυτικές τους εκφράσεις δεν Κατά την προσπάθεια εύρεσης του κατάλληλου λόγου, διαπιστώνουµε ότι ο PID-έλεγχος οµοιάζει σε µεγάλο βαθµό µε τον ΡΙ. Πιο συγκεκριµένα, όπς και στον ΡΙ-έλεγχο, τιµές του της τάξης του 0 ή του 50 δεν προκαλούν ικανοποιητική αναπαράσταση του αναλογικού συστήµατος από το διακριτό. Θέτουµε λοιπόν στην µια αρκετά µεγάλη τιµή της τάξης του 0 και παρατηρούµε ότι τότε υπάρχει οµοιότητα µεταξύ τν βηµατικών σχήµα.- και συχνοτικών σχήµα.- αποκρίσεν τν δύο συστηµάτν. Τα και παραµένουν σταθερά και ίσα µε 0.7 και 0. αντίστοιχα. χήµα.- Βηµατικές αποκρίσεις για 0, 0.7, 0. 5
χήµα.- Αποκρίσεις συχνότητας πλάτους για 0, 0.7, 0. Για τις τιµές αυτές τν παραµέτρν, τα δύο συστήµατα έχουν τα εξής χαρακτηριστικά: Χρόνος ανόδου: 5. u.-0 r Χρόνος αποκατάστασης: 98.75 u.- Ποσοστό υπερύψσης: OVS.65%.- 6
Από τις σχέσεις.-0 και.- παρατηρούµε ότι το σύστηµα αυτό είναι ελαφρώς γρηγορότερο από το αντίστοιχο του ΡΙ-ελέγχου σχέσεις.-9 και.-0 και αρκετά γρηγορότερο από το αντίστοιχο του Ι-ελέγχου σχέσεις.-9 και.-0. Αυτό συµβαίνει λόγ της αντιστάθµισης τν πόλν του φυσικού συστήµατος από τα µηδενικά του ελεγκτή στις περιπτώσεις του ΡΙ και PID-ελέγχου. Ισχύει ξανά όµς το µειονέκτηµα της καλής παρακολούθησης του αναλογικού συστήµατος µόνο για πολύ µικρές τιµές τις περιόδου T σε σχέση µε τη µεγάλη σταθερά T, ή ισοδύναµα, για µεγάλες τιµές του λόγου. Τέλος, στο σχήµα.- φαίνονται τα διαγράµµατα Βode του πλάτους και της φάσης του διακριτού συστήµατος. Όπς και στις προηγούµενες περιπτώσεις, αύξηση της συχνότητας επιφέρει διαταραχές στην απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου. χήµα.- Απόκριση συχνότητας πλάτους και φάσης του διακριτού συστήµατος για 0, 0.7, 0. 7
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟ ΜΕ ΤΟ ΜΕΤΑΧΗΜΑΤΙΜΟ TUSTIN Το σύστηµα κλειστού βρόχου που εξετάζουµε σε αυτό το κεφάλαιο και τα στοιχεία που το αποτελούν είναι τα ίδια µε αυτά του προηγούµενου, όπς περιγράφονται στο σχήµα -. Το µόνο που αλλάζει είναι ο τρόπος υλοποίησης του µετασχηµατισµού Ζ, µέσ του οποίου ψηφιοποιείται ο κλειστός βρόχος. ε αυτό το κεφάλαιο, λοιπόν, θα χρησιµοποιήσουµε την αντικατάσταση: T z z - η οποία είναι γνστή ς µετασχηµατισµός Tu ή διγραµµικός µετασχηµατισµός [].. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ Ι ΕΛΕΓΧΟ Αρχικά, θα εφαρµόσουµε στο φυσικό σύστηµα ολοκληρτικό έλεγχο. την περίπτση αυτή ο ελεγκτής του συστήµατος κλειστού βρόχου δίνεται από τη σχέση: Gc.- T T c όπου T η σταθερά χρόνου του ολοκληρτικού όρου του ελεγκτή. Για ευκολία, η σταθερά χρόνου T c που αντιπροσπεύει την κατανεµηµένη άδηλη 8
δυναµική του ελεγκτή ενσµατώνεται στη σταθερά T [6] και επιπλέον ο ελεγκτής κανονικοποιείται ς προς την περίοδο δειγµατοληψίας, όπς και το φυσικό σύστηµα. Έτσι, οι νέες εκφράσεις που περιγράφουν τα δύο αυτά στοιχεία του κλειστού βρόχου δίνονται από τις σχέσεις: G.- Gc.- όπου: T T, T T, T.- T και T.-5 τη συνέχεια, θα προχρήσουµε στην ψηφιοποίηση σύµφνα µε το µετασχηµατισµό Tu. Λόγ της κανονικοποίησης που εισάγεται από την.-5, η περίοδος δειγµατοληψίας T απαλείφεται και από τη σχέση - µεταβαίνουµε στην: z.-6 z τη συνέχεια, αντικαθιστούµε την.-6 στη συνάρτηση Π.-, που εκφράζει το αντίστοιχο αναλογικό σύστηµα κλειστού βρόχου. Η ψηφιακή συνάρτηση µεταφοράς που προκύπτει είναι η παρακάτ: 9
0 CL D Cz Bz Az z z F.-7α όπου: [ ] [ ] [ ] [ ] h h h h D C B A.-7β Αντικαθιστώντας όπου: e z.-8 παίρνουµε τον διακριτό µετασχηµατισµό Llce της.-7: CL D Ce e B e A e e F ' ' '.-9 τη συνέχεια, µε βάση την προσέγγιση [8]: ' ' ' e.-0 λαµβάνουµε τον ισοδύναµο µετασχηµατισµό Llce της σχέσης.-7 : 0 5 5 6 6 0 5 5 6 6...... F CL.-
µε τους συντελεστές της.- να προσδιορίζονται κατάλληλα. τη συνέχεια, καταφεύγουµε στις συνθήκες βελτιστοποίησης του κριτηρίου βέλτιστου πλάτους [6] που παρατίθενται στο παράρτηµα. ύµφνα λοιπόν µε τη συνθήκη Π.- βρίσκουµε ότι:.- h δηλαδή έχουµε µοναδιαία αρνητική ανάδραση. Παρόµοια, από την Π.-5 παίρνουµε ότι:.- D Παρατηρώντας τις σχέσεις.- και Π.-7, παρατηρούµε ότι η έκφραση της σταθεράς είναι η ίδια και για τα δύο συστήµατα. Αντίθετα µε τον απλό µετασχηµατισµό, εδώ η περίοδος δειγµατοληψίας δεν εµπλέκεται στην έκφραση της σταθεράς χρόνου του ολοκληρτικού όρου του διακριτού ελεγκτή. Το γεγονός αυτό πιθανόν να αποδεικνύει ότι ο µετασχηµατισµός Tu είναι ακριβέστερος για την ψηφιοποίηση συστηµάτν σε σχέση µε τον απλό µετασχηµατισµό που µελετήσαµε στο πρώτο κεφάλαιο. Αυτό θα σχολιαστεί στη συνέχεια αυτού του κεφαλαίου, όπου θα παραστήσουµε σε κοινά διαγράµµατα τις αποκρίσεις τν συναρτήσεν.-7 και Π.-, αν αντικατασταθούν σ αυτές οι βέλτιστες τιµές τν παραµέτρν τους που δίνονται από τις.-,.- και είναι κοινές και για τα δύο συστήµατα. κοπός µας είναι η εύρεση της κατάλληλης σταθεράς, έτσι ώστε το ψηφιακό µας σύστηµα να ακολουθεί ικανοποιητικά το αντίστοιχο αναλογικό. τα σχήµατα που ακολουθούν η σταθερά της άδηλης δυναµικής είναι 0 φορές µικρότερη από την κυρίαρχη σταθερά, η οποία ρυθµίζεται κατάλληλα. Θερούµε τις περιπτώσεις όπου η ισούται µε, 5 και 0. Αρχικά, θέτουµε, δηλαδή η κυρίαρχη χρονική σταθερά του φυσικού
συστήµατος T είναι ίση µε την περίοδο δειγµατοληψίας T. Από το σχήµα.- παρατηρούµε ότι τα δύο συστήµατα ψηφιακό και αναλογικό παρουσιάζουν την ίδια σχεδόν ταχύτητα απόκρισης, ενώ αντίθετα έχουν διαφορετική υπερύψση 5.% και.% αντίστοιχα. χήµα.- Βηµατικές αποκρίσεις για, 0. χήµα.- Αποκρίσεις συχνότητας πλάτους για, 0.
τη συνέχεια θερούµε ότι 5, δηλαδή η κυρίαρχη χρονική σταθερά του φυσικού συστήµατος T είναι 5 φορές µεγαλύτερη από την περίοδο δειγµατοληψίας T. Από το σχήµα.- παρατηρούµε ότι τα δύο συστήµατα παρουσιάζουν την ίδια σχεδόν ταχύτητα απόκρισης ενώ παράλληλα έχουν σχεδόν ίδια υπερύψση.7% και.% αντίστοιχα. Από το σχήµα.- παρατηρούµε ότι αυτή τη φορά το ψηφιακό σύστηµα παρουσιάζει µεγαλύτερη πτώση σε db σε σχέση µε την προηγούµενη περίπτση, µέχρι να αρχίσουν οι διαταραχές. χήµα.- Βηµατικές αποκρίσεις για 5, 0.
χήµα.- Αποκρίσεις συχνότητας πλάτους για 5, 0. τη συνέχεια θέτουµε 0. Από το σχήµα.-5 παρατηρούµε ότι τα δύο συστήµατα παρουσιάζουν την ίδια ταχύτητα απόκρισης, ενώ παράλληλα έχουν και την ίδια υπερύψση που βρίσκεται στο.%. Με άλλα λόγια, όσο περισσότερο αυξάνει η T, δηλαδή όσο µικραίνει η περίοδος δειγµατοληψίας T, τόσο περισσότερο ταυτίζεται το ψηφιακό µε το αναλογικό σύστηµα.από το σχήµα.-6 παρατηρούµε ότι αυτή τη φορά το ψηφιακό σύστηµα παρουσιάζει ακόµη µεγαλύτερη πτώση λόγ µεγαλύτερης τιµής της ολοκληρτικής σταθεράς του ελεγκτή, σε σχέση µε τις προηγούµενες περιπτώσεις, µέχρι να αρχίσουν οι διαταραχές. Παράλληλα, το διάγραµµα Βode του ψηφιακού ακολουθεί πιο πιστά σε µεγαλύτερο εύρος συχνοτήτν αυτό του αναλογικού. Θερητικά, τα δύο συστήµατα κλειστού βρόχου ταυτίζονται όσο ο λόγος τείνει στο άπειρο, ή ισοδύναµα η περίοδος τείνει στο µηδέν. Κάτι τέτοιο όµς, όπς έχουµε εξηγήσει, είναι πρακτικά ανέφικτο να επιτευχθεί. Για το λόγο αυτό θερήσαµε ς βέλτιστο ένα λόγο T
που δεν προκαλεί σηµαντικές διαφορές κατά την απόκριση τν δύο συστηµάτν, όπς φαίνεται στα σχήµατα που ακολουθούν: χήµα.-5 Βηµατικές αποκρίσεις για 0, 0. χήµα.-6 Αποκρίσεις συχνότητας πλάτους για 0, 0. 5
Για τις τελευταίες τιµές τν και, τα δύο συστήµατα είναι σχεδόν όµοια µε τα εξής χαρακτηριστικά: Χρόνος ανόδου: 6 u.- r Χρόνος αποκατάστασης: 79 u.-5 Ποσοστό υπερύψσης: OVS.%.-6 το σχήµα.-7 φαίνεται ειδικότερα το διάγραµµα Βode του πλάτους και της φάσης του διακριτού συστήµατος. Παρατηρούµε ότι αύξηση της συχνότητας επιφέρει τις αναµενόµενες διαταραχές στην απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου. χήµα.-7 Απόκριση συχνότητας πλάτους και φάσης του διακριτού συστήµατος για 0, 0. 6
. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ ΡΙ ΕΛΕΓΧΟ τη συνέχεια θα εφαρµόσουµε στο φυσικό σύστηµα ολοκληρτικό αναλογικό έλεγχο. Ο ελεγκτής της περίπτσης αυτής έχει ήδη περιγραφεί από τη σχέση.-. Για ευκολία, παραθέτουµε ξανά την έκφρασή του σε κανονικοποιηµένη µορφή: G c.- Ισχύουν ξανά οι σχέσεις.- και.-5 µε την προσθήκη: T.- T Το φυσικό σύστηµα παραµένει το ίδιο µε προηγουµένς, όπς εκφράζεται κανονικοποιηµένο από τη σχέση.-. Κατόπιν, θα προχρήσουµε στην ψηφιοποίηση τν δύο συστηµάτν, χρησιµοποιώντας ξανά το µετασχηµατισµό Tu: z.- z Με αντικατάσταση του µετασχηµατισµού Tu της.- στη σχέση Π.- που περιγράφει τη συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου του αντίστοιχου αναλογικού συστήµατος, προκύπτει η ψηφιακή κανονικοποιηµένη συνάρτηση µεταφοράς: 7
8 [ ] D C z B z A z z z z z F CL.-α όπου: [ ] [ ] [ ] [ ] h h h h D C B A.-β Αντικαθιστώντας τη σχέση.-8 στην.-, παίρνουµε το διακριτό µετασχηµατισµό Llce: [ ] D C e e B e A e e e e F CL ' ' ' ' ' ' '.-5 τη συνέχεια, µε βάση την προσέγγιση για το ' e [8] της σχέσης.-0, λαµβάνουµε τον παρακάτ ισοδύναµο µετασχηµατισµό Llce της σχέσης.- : 0 5 5 6 6 0 5 5 6 6...... F CL.-6 µε τους συντελεστές της.-6 να προσδιορίζονται κατάλληλα. τη συνέχεια, καταφεύγουµε στις συνθήκες βελτιστοποίησης του κριτηρίου βέλτιστου πλάτους που παρατίθενται στο παράρτηµα. ύµφνα λοιπόν µε τη συνθήκη Π.- βρίσκουµε ότι:
.-7 h δηλαδή έχουµε µοναδιαία αρνητική ανάδραση. Παρόµοια, από την Π.-5 παίρνουµε ότι: D D.-8 Η έκφραση.-8 είναι ίδια ποιοτικά µε την αντίστοιχη αναλογική Π.-5. Επίσης, από την Π.-6 παίρνουµε ότι: D 8.-9 Παρατηρούµε ότι η σχέση.-9 είναι ίδια µε την αντίστοιχη αναλογική Π.- 6, µε τη διαφορά της πρόσθεσης της ποσότητας 8 στον αριθµητή. τη συνέχεια, θα παραστήσουµε σε κοινά διαγράµµατα τις βηµατικές αποκρίσεις τν συναρτήσεν.- και Π.-, αν αντικατασταθούν σ αυτές οι βέλτιστες τιµές τν παραµέτρν τους που δίνονται από τις.-7.-9 και Π.- Π.-6 αντίστοιχα. κοπός µας είναι ξανά η εύρεση της κατάλληλης σταθεράς, έτσι ώστε το ψηφιακό µας σύστηµα να προσοµοιάζει ικανοποιητικά το αντίστοιχο αναλογικό. τα σχήµατα που ακολουθούν η σταθερά της άδηλης δυναµικής είναι όπς και στον Ι-έλεγχο 0 φορές µικρότερη από την κυρίαρχη σταθερά. Θερούµε τις περιπτώσεις όπου η ισούται µε 0, 50 και 0. 9
χήµα.- Βηµατικές αποκρίσεις για 0, 0. χήµα.- Αποκρίσεις συχνότητας πλάτους για 0, 0. 0
Από το σχήµα.- παρατηρούµε ότι τα δύο συστήµατα ψηφιακό και αναλογικό παρουσιάζουν παρόµοια ταχύτητα απόκρισης, ενώ αντίθετα έχουν διαφορετική υπερύψση 5.8% και.% αντίστοιχα. υγκρίνοντας µε τον Ι-έλεγχο την αντίστοιχη απόκριση του ψηφιακού συστήµατος κλειστού βρόχου, βλέπουµε ότι µε τον ΡΙ-έλεγχο το σύστηµα γίνεται σαφώς πιο γρήγορο λόγ της αντιστάθµισης του πόλου του φυσικού συστήµατος από το µηδενικό του ελεγκτή. τη συνέχεια θερούµε 50. Από το σχήµα.- παρατηρούµε ότι τα δύο συστήµατα ψηφιακό και αναλογικό παρουσιάζουν την ίδια σχεδόν ταχύτητα απόκρισης ενώ παράλληλα έχουν σχεδόν ίδια υπερύψση.7% και.% αντίστοιχα. Επίσης, από το σχήµα.- παρατηρούµε ότι αυτή την φορά το ψηφιακό σύστηµα παρουσιάζει µεγαλύτερη πτώση σε db, σε σχέση µε την προηγούµενη περίπτση, µέχρι να αρχίσουν οι διαταραχές. Παράλληλα, από την συχνοτική απόκριση φαίνεται ακόµα ότι το ψηφιακό σύστηµα ακολουθεί ακόµη πιο πιστά το αναλογικό, σε µεγαλύτερο εύρος συχνοτήτν. χήµα.- Βηµατικές αποκρίσεις για 50, 0.
χήµα.- Αποκρίσεις συχνότητας πλάτους για 50, 0. Τέλος, θερούµε την περίπτση όπου 0. Προκύπτει από το σχήµα.-5 ότι τα δύο συστήµατα παρουσιάζουν τους ίδιους χρόνους απόκρισης, καθώς και την ίδια υπερύψση, η οποία βρίσκεται στο.%. Επιπλέον, το διάγραµµα Βode του ψηφιακού ακολουθεί πιο πιστά σε µεγαλύτερο εύρος συχνοτήτν αυτό του αναλογικού. Γενικά, σε σχέση µε τον Ι-έλεγχο, µπορούµε να πούµε ότι απαιτούνται µικρότερες τιµές για την περίοδο δειγµατοληψίας µεγαλύτερα ώστε το ψηφιακό σύστηµα να προσεγγίσει το αντίστοιχο αναλογικό. το συµπέρασµα αυτό καταλήξαµε και στο πρώτο κεφάλαιο, όπου αντί για τον Tu είχαµε τον απλό µετασχηµατισµό.
χήµα.-5 Βηµατικές αποκρίσεις για 0, 0. χήµα.-6 Αποκρίσεις συχνότητας πλάτους για 0, 0.
Για τις τελευταίες τιµές τν και, βρίσκουµε ότι τα δύο συστήµατα έχουν τα εξής χαρακτηριστικά: Χρόνος ανόδου: 6.05 u.-0 r Χρόνος αποκατάστασης: 0 u.- Ποσοστό υπερύψσης: OVS.%.- το σχήµα.-7 φαίνεται το διάγραµµα Βode πλάτους φάσης του διακριτού συστήµατος. Παρατηρούµε ότι αύξηση της συχνότητας επιφέρει διαταραχές στην απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου. χήµα.-7 Απόκριση συχνότητας πλάτους και φάσης του διακριτού συστήµατος για 0, 0.
. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΡΙD ΕΛΕΓΧΟ Με βασικό άξονα τη µελέτη και την ολοκληρµένη διερεύνηση όλν τν µεθόδν που εφαρµόζονται στο διακριτό έλεγχο προχρήσαµε και στην εφαρµογή του µετασχηµατισµού Tu διγραµµικού µετασχηµατισµού στην περίπτση του PID-ελέγχου. Όπς και στις προηγούµενες περιπτώσεις, έτσι και στη συγκεκριµένη, δεν αρκεστήκαµε στην απλή εφαρµογή του αντίστοιχου µετασχηµατισµού σε ένα αριθµητικό τυπικό παράδειγµα του υπό µελέτη συστήµατος, αλλά εµβαθύναµε την έρευνα µας µε µια διερεύνηση για την εύρεση τν συνθηκών που επιφέρουν την όσο το δυνατόν πιστότερη έκφραση του προκύπτοντος ψηφιακού συστήµατος κλειστού βρόχου. Όπς στον I καθώς και στον PI, έτσι και στον PID-έλεγχο εφαρµόσαµε το διγραµµικό µετασχηµατισµό της γενικής σχέσης - στη συνάρτηση κλειστού βρόχου, προκειµένου να έχουµε την µορφή της στο πεδίο του z. Πιο αναλυτικά, για φυσικό σύστηµα G µε δυο µεγάλες σταθερές χρόνου T και T και σταθερά άδηλης δυναµικής T, προχρήσαµε σε κανονικοποίηση και εφαρµογή του αντίστοιχου αναλογικού PID-ελεγκτή, σύµφνα µε τις σχέσεις: G.- G v c.- 5
όπου: T T, T T, T T, T, T T, T T v v.- T και T.- Αντικαθιστώντας στην αναλογική συνάρτηση µεταφοράς Π.- τη σχέση: z.-5 z του κανονικοποιηµένου µετασχηµατισµού Tu, βρίσκουµε ότι η αντίστοιχη συνάρτηση κλειστού βρόχου στο πεδίο του z είναι: A z B z C z D z E F z CL A z B z Cz D z.-6α E όπου: A B C D E v v v v v.-6β και 6
7 [ ] [ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } 8 6 8 v h v h v h v h v h E D C B A.-6γ τη συνέχεια, µε την αντικατάσταση [8]:! z.-7 καταλήγουµε στη τελική µορφή της συνάρτησης µεταφοράς κλειστού βρόχου: 0 5 5 6 6 7 7 8 8 0 5 5 6 6 7 7 8 8 F CL.-8 Από αυτή την τελική µορφή της συνάρτησης µεταφοράς και µε βάση τις συνθήκες βελτιστοποίησης που προκύπτουν από την εφαρµογή του κριτηρίου βέλτιστου πλάτους, προκύπτουν οι σχέσεις οι οποίες αφορούν στις κανονικοποιηµένες σταθερές, και v του ελεγκτή. Βέβαια, στη γραπτή αναφορά δε παρατίθενται οι τιµές τν συντελεστών του αριθµητή και του παρονοµαστή, µιας και πρόκειται για ιδιαίτερα µεγάλες και πολύπλοκες παραστάσεις. Έτσι, βάσει της σχέσης Π.- του παραρτήµατος προκύπτει: h.-9
Από τη συνθήκη βελτιστοποίησης Π.-5 βρίσκουµε: D.-0 D vd Η έκφραση.-0 είναι όµοια ποιοτικά µε την αντίστοιχη Π.-5 του αναλογικού συστήµατος. Παρόµοια, από τις Π.-6 και Π.-7 παίρνουµε τις σχέσεις τν σταθερών D και vd, συναρτήσει τν, και. Οι αναλυτικές τους εκφράσεις δεν αναφέρονται εδώ λόγ του µεγάλου τους όγκου. Βέβαια, στα αρχεία του Μl χρησιµοποιούνται για την εύρεσή τους το άθροισµα και το γινόµενό τους, προκειµένου να εξασφαλιστεί µεγαλύτερη ευκολία προγραµµατισµού. Εξετάζοντας τις αποκρίσεις, δίνουµε στα δύο συστήµατα για την τις τιµές 5, 0 και 80. Τα και παραµένουν σταθερά και ίσα µε 0.7 και 0. αντίστοιχα. χήµα.- Βηµατικές αποκρίσεις για 5, 0.7, 0. 8
χήµα.- Αποκρίσεις συχνότητας πλάτους για 5, 0.7, 0. Η υπερύψση του διακριτού συστήµατος είναι 7.88%, ενώ του αντίστοιχου αναλογικού.65%. Όπς φαίνεται, η συγκεκριµένη τιµή του δε δίνει ικανοποιητικά αποτελέσµατα, κάτι που φαίνεται και στο συγκριτικό διάγραµµα Βode. Όπς παρατηρείται, το εύρος συχνοτήτν για το οποίο το διακριτό παρουσιάζει συµπεριφορά ανάλογη του αντίστοιχου αναλογικού είναι σχετικά περιορισµένο. τη συνέχεια, θερούµε την περίπτση µιας µέσης τιµής της περιόδου δειγµατοληψίας και παίρνουµε τις αποκρίσεις τν σχηµάτν.- και.-. Όπς παρατηρούµε, για µέσες τιµές της περιόδου δειγµατοληψίας έχουµε ικανοποιητική προσέγγιση, µιας και η υπερύψση του αναλογικού είναι.65% και του διακριτού.85%. Όσον αφορά στο συγκριτικό Βode, το εύρος τν συχνοτήτν για τις οποίες έχουµε ικανοποιητική συµπεριφορά του διακριτού αυξάνεται. τις συχνότητες αυτές δεν έχουµε διαταραχές. 9
χήµα.- Βηµατικές αποκρίσεις για 0, 0.7, 0. χήµα.- Αποκρίσεις συχνότητας πλάτους για 0, 0.7, 0. 50
Τέλος, εξετάζοντας την περίπτση µικρής περιόδου δειγµατοληψίας, θερούµε τα σχήµατα.-5 και.-6: χήµα.-5 Βηµατικές αποκρίσεις για 80, 0.7, 0. χήµα.-6 Αποκρίσεις συχνότητας πλάτους για 80, 0.7, 0. 5
Για τις τελευταίες τιµές τν παραµέτρν, βρίσκουµε ότι τα δύο συστήµατα έχουν τα εξής χαρακτηριστικά: Χρόνος ανόδου:. u.- r Χρόνος αποκατάστασης: 66. u.- Ποσοστό υπερύψσης: OVS.65%.- Όπς φαίνεται στο διάγραµµα της βηµατικής απόκρισης καθώς και στα συγκριτικά διαγράµµατα Βode, επιτυγχάνεται µια ιδιαίτερα ικανοποιητική προσέγγιση του αναλογικού από το διακριτό όσο µειώνεται η περίοδος της δειγµατοληψίας, συµπέρασµα το οποίο ισχύει για όλες τις περιπτώσεις διακριτοποίησης του αναλογικού ελέγχου. Τέλος, στο σχήµα.-7 φαίνονται τα διαγράµµατα Βode του πλάτους και της φάσης µόνο του διακριτού συστήµατος. Όπς και στις προηγούµενες περιπτώσεις, αύξηση της συχνότητας επιφέρει διαταραχές στην απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου. 5
χήµα.-7 Απόκριση συχνότητας πλάτους και φάσης του διακριτού συστήµατος για 80, 0.7, 0. Εντούτοις, η εφαρµογή του µετασχηµατισµού Tu στην περίπτση διακριτοποίησης του PID-ελέγχου θερείται ακατάλληλη, µιας και η έξοδος του ελεγκτή παρουσιάζει έντονες ταλαντώσεις. Οι τελευταίες, παρόλο που αποσβαίνουν, επιφέρουν φθορές στο hrdwre τόσο του ελεγκτή όσο και του ελεγχόµενου συστήµατος και αυξάνουν το επίπεδο της ενέργειας που καταναλώνει το σύστηµα κλειστού βρόχου []. Οι ταλαντώσεις αυτές είναι σηµαντικά εντονότερες από εκείνες που παρουσιάζει στην έξοδό του ο αντίστοιχος PID-ελεγκτής που υλοποιείται σύµφνα µε τον απλό αλγόριθµο του πρώτου κεφαλαίου. Αυτό φαίνεται καθαρά στο γράφηµα του σχήµατος.-8, στο οποίο παρουσιάζονται οι βηµατικές αποκρίσεις τν δύο ελεγκτών για την περίπτση µικρής περιόδου δειγµατοληψίας. Για τους παραπάν λόγους, αποφεύγεται η χρήση του µετασχηµατισµού Tu κατά τη διακριτοποίηση τν αναλογικών PID-ελεγκτών. 5
χήµα.-8 Βηµατικές αποκρίσεις τν διακριτών PID-ελεγκτών υλοποιηµένν µε τον απλό και τον Tu µετασχηµατισµό για 80, 0.7, 0. Τέλος, µια άλλη παρατήρηση που µπορούµε να κάνουµε σχετικά µε τους δύο πρώτους τρόπους διακριτοποίησης που εφαρµόσαµε µέχρι τώρα είναι η µη χρήση της διάταξης του Zero Order Hold. Η διάταξη αυτή, όπς θα περιγράψουµε στο επόµενο κεφάλαιο, είναι επιφορτισµένη µε την εισαγγή καθυστέρησης στα δεδοµένα της εξόδου του ελεγκτή ίσης µε µια περίοδο δειγµατοληψίας. Αυτό αποσκοπεί στην ορθή αναπαράσταση τν διακριτών δεδοµένν, κάθε φορά που γίνεται δειγµατοληψία τν αντίστοιχν αναλογικών και στην κράτησή τους µέχρι την επόµενη. Εντούτοις, κατά την ψηφιοποίηση µε τον απλό µετασχηµατισµό και το µετασχηµατισµό Tu, η καθυστέρηση αυτή εισάγεται εξ αρχής βάσει τν τύπν αντικατάστασης - και - αντίστοιχα. Για το λόγο αυτό, στα δύο πρώτα κεφάλαια η χρήση του Zero Order Hold θερήθηκε περιττή. 5
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΠΕΥΘΕΙΑ ΜΕΤΑΧΗΜΑΤΙΜΟ Ζ ΕΙΑΓΩΓΗ ΤΗ ΒΑΘΜΙ Α ZERO ORDER HOLD Θερούµε το σύστηµα αυτοµάτου ελέγχου του σχήµατος -: χήµα - ύστηµα κλειστού βρόχου Το σχήµα - αποτελείται από τα ίδια στοιχεία που έχουµε περιγράψει στο πρώτο κεφάλαιο, αν εξαιρέσουµε το -lg φίλτρο F. Επιγραµµατικά αναφέρουµε ξανά τα στοιχεία αυτά για ευκολία: Το αναλογικό φυσικό σύστηµα G. Ο αναλογικός ελεγκτής G c, ο οποίος ανάλογα µε τη µορφή του φυσικού συστήµατος µπορεί να ασκήσει Ι, ΡΙ ή PID-έλεγχο. H βαθµίδα κέρδους του φυσικού συστήµατος. Η βαθµίδα ανάδρασης h. Η διάταξη που µετράει και κρατάει την έξοδο του ελεγκτή σταθερή για χρόνο µιας περιόδου δειγµατοληψίας T, η οποία ονοµάζεται Zero 55
Order Hold ZOH, ή κύκλµα συγκράτησης µηδενικής τάξης. Η ονοµασία αυτή προέρχεται από την ιδιότητα του Zero Order Hold να συγκρατεί µόνο την τιµή της εξόδου του ελεγκτή και όχι, για παράδειγµα, το ρυθµό µεταβολής της τιµής αυτής. Η διάταξη αυτή στην αναλογική της µορφή περιγράφεται [] από τη σχέση: e Gh T - Κατά τα γνστά, θα προχρήσουµε στην ψηφιοποίηση του συστήµατος κλειστού βρόχου. Αυτό τώρα δε θα γίνει µε κάποια αντικατάσταση όπς στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, αλλά θερώντας τη σχέση: z T jt e e - που αντιστοιχεί σε µια σύµµορφη απεικόνιση από το µιγαδικό επίπεδο της αναλογικής µεταβλητής στο επίπεδο της ψηφιακής µιγαδικής µεταβλητής z, µέσ της περιόδου δειγµατοληψίας T. Ο µετασχηµατισµός Ζ θα υλοποιηθεί απ ευθείας, µετατρέποντας αναλογικά συστήµατα σε ψηφιακά µε περιοχή ευστάθειας το µοναδιαίο κύκλο σύµφνα µε τον ορισµό []: { } f F z Z f T z - 0 όπου f µια συνάρτηση συνεχούς χρόνου. Από έτοιµους πίνακες µετασχηµατισµών Ζ βρίσκουµε γενικά ότι ένα αναλογικό σύστηµα της παρακάτ µορφής µετασχηµατίζεται στο αντίστοιχο ψηφιακό ς εξής: z z e T - 56
όπου σταθερά και T η περίοδος δειγµατοληψίας που χρησιµοποιούµε []. Παρακάτ, εφαρµόζουµε αυτή τη µεθοδολογία στις περιπτώσεις του Ι και ΡΙελέγχου.. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ Ι ΕΛΕΓΧΟ Θερούµε το φυσικό σύστηµα: G.- T T όπου: T T T.- c η συνολική κατανεµηµένη άδηλη δυναµική του συστήµατος κλειστού βρόχου. Κατά την εφαρµογή του ολοκληρτικού ελέγχου, ο ελεγκτής µας όπς είδαµε έχει τη µορφή: Gc.- T όπου T η σταθερά χρόνου του ολοκληρτικού όρου του ελεγκτή. Λόγ του πολλαπλασιασµού τν εν σειρά βαθµίδν, ο παρανοµαστής της σχέσης - του ΖΟΗ µπορεί να προσαρτηθεί στην έκφραση.- του φυσικού συστήµατος [], το οποίο πλέον γίνεται: 57
G.- T T Κατά συνέπεια, η σχέση - αλλάζει µορφή και γίνεται: G e T h.-5 τη συνέχεια, θα αναλύσουµε σε απλά κλάσµατα το τροποποιηµένο φυσικό σύστηµα της σχέσης.-. Κάνοντας τις πράξεις βρίσκουµε ότι: G T T T T T T T T.-6 Οι σταθερές χρόνου και πάλι θα κανονικοποιηθούν ς προς την περίοδο δειγµατοληψίας T, όπς έχουµε περιγράψει στα προηγούµενα κεφάλαια. τα αναλογικά, λοιπόν, συστήµατα η µεταβλητή θα αντικατασταθεί µε την, όπου: T.-7 Έτσι, οι.-,.-5 και.-6 ψηφιοποιούνται αντίστοιχα µε τη βοήθεια της - ς εξής: z Gc z.-8 z 58
59 z z G h.-9 e z z e z z z z z G.-0 Θερούµε τις σταθερές: e.- e.- Από τις.-8.-, παίρνουµε κατά τα γνστά τη συνάρτηση µεταφοράς του ψηφιακού συστήµατος κλειστού βρόχου: [ ] [ ] CL z z z z z z F 0.-α όπου: [ ] { } [ ] h h 0.-β
τη συνέχεια, χρησιµοποιούµε τη γνστή προσέγγιση [8] για τη µεταβλητή z: z e...!.- και βελτιστοποιούµε το ψηφιακό σύστηµα σύµφνα µε το κριτήριο βέλτιστου πλάτους [6]. Από τη συνθήκη Π.- παίρνουµε ότι:.-5 h δηλαδή έχουµε µοναδιαία αρνητική ανάδραση. Παρόµοια, από την Π.-5 παίρνουµε ότι: D.-6 Η αντιµετώπιση της βελτιστοποίησης θα γίνει τώρα µε διαφορετικό τρόπο σε σχέση µε αυτόν που είχαµε εφαρµόσει στα δύο πρώτα κεφάλαια, προχρώντας αρχικά στην κατάλληλη ρύθµιση τν λόγν και. Όπς έχουµε πει, ο λόγος είναι σχετικά µικρός σε σχέση µε τον, έτσι θερούµε ότι παίρνει τιµές από 0. και κάτ. Όσον αφορά στο λόγο, είναι γενικά γνστό ότι για την ψηφιοποίηση συστηµάτν απαιτείται συχνότητα δειγµατοληψίας η οποία κυµαίνεται σε περιοχή τιµών 5 µε 0 φορές πολλαπλάσια της κυρίαρχης συχνότητας του αναλογικού συστήµατος, έτσι ώστε να αποφεύγεται το φαινόµενο της αναδίπλσης συχνότητας lg []. το σύστηµά µας κυρίαρχη σταθερά 60
χρόνου είναι η T. Για το λόγο αυτό, αν f η συχνότητα δειγµατοληψίας και f η κυρίαρχη συχνότητα του φυσικού συστήµατος, θα θερήσουµε ότι: f f.-7 όπου: [ 5,0].-8 Λόγ της.-7 και επειδή: T.-9 T τελικά προκύπτει ότι:.-0 Έτσι, θα δώσουµε στο λόγο τις τιµές 5, 6, 7, 8, 9 και 0 και θα τις συνδυάσουµε µε µια χαρακτηριστική τιµή του λόγου 0., ώστε να προκύψει η βέλτιστη απόκριση. Βέλτιστη απόκριση σηµαίνει όσο το δυνατόν πιστότερη αναπαράσταση του αντίστοιχου αναλογικού συστήµατος του Ι- ελέγχου, το οποίο παρατίθεται στην παράγραφο Π. του παραρτήµατος. 6
χήµα.- Βηµατικές αποκρίσεις για {5,6,7,8,9,0}, 0. χήµα.- Αποκρίσεις συχνότητας πλάτους για {5,6,7,8,9,0}, 0. 6
Η κάθετη γραµµή στο σχήµα.- λίγο µετά την κανονικοποιηµένη συχνότητα τν u σηµατοδοτεί την έναρξη τν διαταραχών για το διακριτό σύστηµα. Εναλλακτικά οι συχνοτικές αποκρίσεις παριστάνονται µε το σχήµα.-: χήµα.- Αποκρίσεις συχνότητας πλάτους για {5,6,7,8,9,0}, 0. Από τα σχήµατα.-.- παρατηρούµε ότι για όλες τις τιµές του που προαναφέραµε, το διακριτό σύστηµα ακολουθεί ικανοποιητικά το αντίστοιχο αναλογικό. Εντούτοις, γρηγορότερη απόκριση έχουµε όσο το µειώνεται, δηλαδή στην περίπτση όπου είναι ίσο µε 5. Η υπερύψση δεν επηρεάζεται 6
από τις τιµές του και µένει σταθερή στο.%. Επίσης, στο σύστηµα αυτό, όπς φαίνεται από τα σχήµατα.- και.-, το µέτρο της συνάρτησης µεταφοράς κλειστού βρόχου είναι ίσο µε τη µονάδα σε µεγαλύτερο εύρος συχνοτήτν, αξίµα που αποτελεί τη βάση για τη βελτιστοποίηση που εφαρµόζουµε. Έτσι, καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι βέλτιστη απόκριση στην ψηφιοποίηση ενός συστήµατος κλειστού βρόχου µετασχηµατισµένου απευθείας κατά Ζ επιτυγχάνεται όταν η περίοδος δειγµατοληψίας T είναι περίπου 5 φορές µικρότερη από την κυρίαρχη σταθερά χρόνου T του φυσικού συστήµατος. Η άδηλη δυναµική T παίρνει µε τη σειρά της τιµές αρκετά µικρότερες της T. Για τις τιµές λοιπόν τν και που προαναφέραµε, τα δύο συστήµατα έχουν τα παρακάτ χαρακτηριστικά: Χρόνος ανόδου: 6 u.- r Χρόνος αποκατάστασης:.9 u.- Ποσοστό υπερύψσης: OVS.%.- Tα συµπεράσµατα αυτά για τη δειγµατοληψία δεν ισχύουν, όπς θα δούµε, στον ΡΙ-έλεγχο. Τέλος, στο σχήµα.- παρατίθεται το διάγραµµα Bode του πλάτους και της φάσης του βέλτιστου διακριτού συστήµατος, όπου φαίνονται οι διαταραχές που εµφανίζονται περίπου λίγο µετά τη συχνότητα τν u: 6
.- Απόκριση συχνότητας πλάτους και φάσης του διακριτού συστήµατος για 5, 0.. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟ ΡΙ ΕΛΕΓΧΟ Το επόµενο βήµα µας είναι η εφαρµογή ΡΙ-ελέγχου στο σύστηµα κλειστού βρόχου, το οποίο περιγράφεται ξανά από το σχήµα -. Ως γνστόν, σε σχέση µε την προηγούµενη µεθοδολογία, ο ελεγκτής µας έχει τώρα και έναν αναλογικό όρο πέραν του ολοκληρτικού. την αναλογική του µορφή, λοιπόν, ο ΡΙ-ελεγκτής περιγράφεται από τη σχέση: T Gc T.- 65
66 µε τη σταθερά χρόνου της άδηλης δυναµικής c T να έχει περιληφθεί στην έκφραση του φυσικού συστήµατος, την οποία επαναλαµβάνουµε για ευκολία: T T G.- το φυσικό σύστηµα έχει προσαρτηθεί όπς και πριν ο παρονοµαστής της αναλογικής έκφρασης του Zero Order Hold []. Κατόπιν, κανονικοποιούµε µε την περίοδο δειγµατοληψίας και διακριτοποιούµε κατά Z όλα τα στοιχεία του κλειστού βρόχου:.- e z z e z z z z z G.- z z G h.-5 Θερούµε ξανά τις σταθερές: e.-6 e.-7 z z z G c
67 Από τις παραπάν σχέσεις καταλήγουµε στην έκφραση της ψηφιακής κανονικοποιηµένης συνάρτησης µεταφοράς κλειστού βρόχου για ΡΙ-έλεγχο: CL z z z z z z F 0 0.-8α όπου: [ ] [ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] 0 0 h h h.-8β τη συνέχεια, µετασχηµατίζουµε τη συνάρτηση.-8 από το πεδίο του z στο πεδίο του µε τη βοήθεια της προσέγγισης.- και βελτιστοποιούµε το ψηφιακό σύστηµα σύµφνα µε το κριτήριο βέλτιστου πλάτους [6] του παραρτήµατος. Από τη συνθήκη Π.- παίρνουµε ότι: h.-9 δηλαδή έχουµε µοναδιαία αρνητική ανάδραση. Από την Π.-5 παίρνουµε ότι: D D ] [.-0
και από την Π.-6 βρίσκουµε το λόγο Η αναλυτική έκφραση του λόγου συναρτήσει τν D,, και. δεν αναφέρεται εδώ λόγ του µεγάλου D της όγκου. To αντίστοιχο αναλογικό σύστηµα του ΡΙ-ελέγχου παρατίθεται στην παράγραφο Π του παραρτήµατος. τα επόµενα σχήµατα σχεδιάζουµε σε κοινά διαγράµµατα τις βηµατικές και συχνοτικές αποκρίσεις τν.-8 και Π.-. Θερούµε για το λόγο την τιµή 5, η οποία όπς είδαµε έδινε ικανοποιητικότατα αποτελέσµατα στην εφαρµογή του Ι-ελέγχου. Ισχύει ξανά ότι 0. : χήµα.- Βηµατικές αποκρίσεις για 5, 0. 68
χήµα.- Αποκρίσεις συχνότητας πλάτους για 5, 0. Όπς φαίνεται από τα σχήµατα.- και.-, το διακριτό σύστηµα δεν ακολουθεί ικανοποιητικά το αντίστοιχο αναλογικό όταν η περίοδος δειγµατοληψίας είναι 5 φορές µικρότερη από τη µεγάλη σταθερά χρόνου του φυσικού συστήµατος. τα επόµενα σχήµατα ο λόγος έχει τιµή µεγαλύτερη κατά µία τάξη µεγέθους, δηλαδή 50. Τώρα τα δύο συστήµατα οµοιάζουν σε µεγάλο βαθµό: 69
χήµα.- Βηµατικές αποκρίσεις για 50, 0. χήµα.- Αποκρίσεις συχνότητας πλάτους για 50, 0. 70
κοπός µας είναι ο προσδιορισµός της βέλτιστης περιόδου δειγµατοληψίας, έτσι ώστε τα δύο συστήµατα να έχουν παρόµοιες αποκρίσεις. Ως γνστόν, όσο µειώνεται η T, τόσο το σύστηµα διακριτού χρόνου προσεγγίζει καλύτερα το αντίστοιχο αναλογικό. Προφανώς, η προσέγγιση αυτή θα είναι τέλεια όταν η T τείνει στο µηδέν. Κάτι τέτοιο όµς δεν µπορεί να επιτευχθεί για δύο λόγους: Η υλοποίηση ενός µικροϋπολογιστικού συστήµατος που θα ήταν επιφορτισµένο µε µια τόσο πυκνή δειγµατοληψία είναι πολύ δύσκολη, λόγ της µεγάλης υπολογιστικής ισχύος την οποία θα πρέπει να διαθέτει το συγκεκριµένο σύστηµα, καθώς και του µεγάλου κόστους που κάτι τέτοιο συνεπάγεται.. Όπς φαίνεται από τα σχήµατα.- και.- του Ι-ελέγχου, αύξηση της T συνεπάγεται τη µείση του εύρους φάσµατος της F CL z. Αυτό αντιτίθεται στο κριτήριο του βέλτιστου πλάτους που εφαρµόζουµε, βασική αρχή του οποίου είναι η διατήρηση του µέτρου της συνάρτησης µεταφοράς κλειστού βρόχου ίσο µε τη µονάδα σε όσο το δυνατόν µεγαλύτερο εύρος συχνοτήτν [6], [7]. Κατά συνέπεια, η περίοδος δειγµατοληψίας που θα χρησιµοποιήσουµε πρέπει να παίρνει τέτοια τιµή ώστε να µην έρχεται σε αντίθεση µε τους δύο παραπάν περιορισµούς. Μπορούµε, λοιπόν, ς κριτήριο να θερήσουµε ότι η βέλτιστη περίοδος είναι η ελάχιστη T που δεν προκαλεί σχετικό σφάλµα µεγαλύτερο από ένα ποσοστό της τάξης του 5% στις βηµατικές αποκρίσεις τν δύο συστηµάτν. Το σχετικό αυτό σφάλµα θα αφορά στη διαφορά τν χρόνν ανόδου και αποκατάστασης, καθώς και του ποσοστού υπερύψσης που παρουσιάζουν τα δύο συστήµατα και θα εκφράζεται από τη σχέση: e απόκρισηδιακριτού απόκρισηαναλογικού απόκρισηαναλογικού 00%.- 7
Για να πάρουµε τις αποκρίσεις θέτουµε ξανά 0. και αυξάνουµε την τιµή του λόγου στην τιµή 60, δηλαδή θέτουµε την T 60 φορές µικρότερη από την T. Το αποτέλεσµα φαίνεται στα σχήµατα.-5 και.-6. Κρατάµε την τιµή αυτής της τάξης µεγέθους για την T ς βέλτιστη, διότι οι βηµατικές αποκρίσεις τν δύο συστηµάτν διαφέρουν ελάχιστα κάτ από 5%. χήµα.-5 Βηµατικές αποκρίσεις για 60, 0. 7
χήµα.-6 Αποκρίσεις συχνότητας πλάτους για 60, 0. Για τις τελευταίες τιµές τν παραµέτρν, τα δύο συστήµατα έχουν κατά µέσο όρο τα παρακάτ χαρακτηριστικά: Χρόνος ανόδου: 8.55 u.- r Χρόνος αποκατάστασης: 5. u.- Ποσοστό υπερύψσης: OVS.%.- 7
Τέλος, στο σχήµα.-7 παραθέτουµε το διάγραµµα Bode του πλάτους και της φάσης του βελτιστοποιηµένου διακριτού συστήµατος. Φαίνεται καθαρά ότι αύξηση της συχνότητας επιφέρει διαταραχές στην απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου. χήµα.-7 Απόκριση συχνότητας πλάτους και φάσης του διακριτού συστήµατος για 60, 0. Γενικά, µπορούµε να πούµε ότι η βελτιστοποίηση µε τη µεθοδολογία του απευθείας µετασχηµατισµού Ζ ολόκληρου του κλειστού βρόχου που περιγράψαµε σε αυτό το κεφάλαιο είναι µια αρκετά χρονοβόρα και επίπονη διαδικασία, κυρίς λόγ του όγκου και της πολυπλοκότητας τν µαθηµατικών πράξεν που εισάγει. Επίσης, ειδικότερα για τον ΡΙ-έλεγχο, τα αποτελέσµατα δεν είναι τα καλύτερα δυνατά και επιτυγχάνονται µόνο όταν η περίοδος δειγµατοληψίας είναι σηµαντικά µικρότερη από την κυρίαρχη σταθερά χρόνου του φυσικού συστήµατος. Για τους λόγους αυτούς, δεν θα προχρήσουµε στον PID-έλεγχο µε αυτή τη µεθοδολογία. 7