Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών και Χημικών ιεργασιών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, 38334 Βόλος Νοέμβριος 01 4

1. Εισαγωγή Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισμένες και διαδεδομένες υπολογιστικές τεχνικές επίλυσης διαφορικών εξισώσεων με πλήθος εφαρμογών στην φυσική, στην μηχανική και σε άλλες επιστήμες. Στο κεφάλαιο αυτό, παρουσιάζεται μία εισαγωγή στη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών, διατυπώνοντας και αναλύοντας τα κύρια βήματα και βασικά χαρακτηριστικά της μεθόδου σε σχέση με την επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν προβλήματα οριακών τιμών. Η συγκεκριμένη επιλογή είναι εκπαιδευτικά σκόπιμη, αφού πρόκειται για την απλούστερη ίσως εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών. Στο σημείο αυτό είναι σκόπιμο να δώσουμε μία πρώτη σύντομη και γενική περιγραφή της μεθόδου που ισχύει για συνήθεις και μερικές διαφορικές εξισώσεις, ενώ στη συνέχεια θα επικεντρωθούμε μόνο σε συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Το συνεχές πεδίο ορισμού, όπου ορίζεται η διαφορική εξίσωση αντικαθίσταται από ένα πεπερασμένο αριθμό σημείων, όπου το είναι υποσύνολο του ( ) και παράλληλα το όριο του πεδίου ορισμού αντικαθίσταται από ένα πεπερασμένο αριθμό σημείων που μπορεί να ανήκουν ή και να μην ανήκουν στο. Το νέο πεδίο ορισμού του προβλήματος ονομάζεται υπολογιστικό πλέγμα, δομικά στοιχεία του οποίου είναι τα επιλεγέντα σημεία που ονομάζονται κόμβοι. Για κάθε σημείο (κόμβο) P του, διατυπώνεται μια αλγεβρική εξίσωση που περιλαμβάνει την τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής στο σημείο P και σε γειτονικά σημεία του P εντός των και. Η αλγεβρική εξίσωση ονομάζεται εξίσωση πεπερασμένων διαφορών και αποτελεί προσέγγιση της μερικής διαφορικής εξίσωσης στο σημείο P. Η συστηματική διατύπωση της αλγεβρικής εξίσωσης πεπερασμένων διαφορών εξαρτάται από τις πολλές εναλλακτικές δυνατότητες που προσφέρονται μέσω της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών. Εάν υπάρχουν N σημεία στο προκύπτει ένα σύστημα N αλγεβρικών εξισώσεων με N αγνώστους. Εάν το σύστημα έχει μοναδική λύση, που συνήθως έχει, οι 5

τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής που προκύπτουν θεωρούνται προσεγγιστικές σε σχέση με αυτές της αναλυτικής λύσης. Η καλή ή κακή προσέγγιση ανάμεσα στην υπολογιστική (αριθμητική) και πραγματική (αναλυτική αν υπάρχει) λύση εξαρτάται από την συγκεκριμένη μεθοδολογία πεπερασμένων διαφορών που υιοθετείται και αξιολογείται μελετώντας την σύγκλιση, την ευστάθεια και την συνοχή του αριθμητικού σχήματος. Η διαδικασία αντικατάστασης της αναλυτικής διαφορικής εξίσωσης και του συνεχούς πεδίου ορισμού της με ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών που ορίζονται στους κόμβους του υπολογιστικού πλέγματος ονομάζεται διακριτοποίηση.. Προβλήματα δύο οριακών τιμών Ο αριθμός προβλημάτων οριακών τιμών που περιγράφονται από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις είναι ιδιαίτερα μεγάλος. Στις περιπτώσεις αυτές, και σε αντίθεση με ότι συμβαίνει στα προβλήματα αρχικών τιμών, οι συνθήκες του προβλήματος ορίζονται σε δύο διαφορετικές τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής. Για τον συγκεκριμένο λόγο, τα προβλήματα αυτά είναι γνωστά στη βιβλιογραφία σαν προβλήματα δύο οριακών τιμών. Μερικά κλασσικά παραδείγματα προβλημάτων δύο οριακών τιμών περιλαμβάνουν τη ροή Poseulle ανάμεσα σε δύο πλάκες ή σε κυλινδρικό αγωγό, το πρόβλημα της ροής θερμότητας σε μονοδιάστατη ράβδο και το πρόβλημα του λυγισμού λεπτής μονοδιάστατης δοκού. Η ροή Poseulle ανάμεσα σε πλάκες περιγράφεται από την Σ Ε d du dp dy dy dx όπου 0 y dp είναι η απόσταση ανάμεσα στις δύο πλάκες, dx κλίση της πίεσης στην αξονική διεύθυνση x της ροής και (.3.1) είναι η u u y η άγνωστη κατανομή της ταχύτητας. Οι οριακές συνθήκες μη ολίσθησης είναι u 0 0. 6

Το πρόβλημα της ροής θερμότητας σε μονοδιάστατη ράβδο περιγράφεται από την Σ Ε d dt k h T T dx dx όπου 0 x 0 είναι το μήκος της ράβδου, T T x (.3.) η άγνωστη θερμοκρασιακή κατανομή κατά μήκος της ράβδου, T η θερμοκρασία του περιβάλλοντος χώρου και k και h οι συντελεστές θερμικής αγωγής και συναγωγής αντίστοιχα. Οι οριακές συνθήκες στην αρχή και στο τέλος της ράβδου είναι θερμοκρασίες. T 0 T και T T, όπου T και T είναι γνωστές Τέλος το πρόβλημα του λυγισμού λεπτής μονοδιάστατης δοκού, κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες και υποθέσεις περιγράφεται από την Σ Ε d f f 0 dx (.3.3) όπου 0 x είναι το μήκος της δοκού και f f x η απομάκρυνση (παραμόρφωση) από τη θέση ισορροπίας. Επίσης P/ EI, όπου P είναι το εξωτερικό αξονικό φορτίο, E το μέτρο ελαστικότητας και I η ροπή αδρανείας. Θεωρώντας ότι τα δύο άκρα της δοκού είναι πακτωμένα, προκύπτουν οι οριακές συνθήκες f f 0 0. Παρατηρούμε ότι το πρόβλημα του λυγισμού, όπως διατυπώνεται στη συγκεκριμένη περίπτωση, περιγράφεται από ομογενή διαφορική εξίσωση και ομογενείς οριακές συνθήκες. Επομένως, σε αντίθεση με τα δύο προηγούμενα προβλήματα, είναι ένα πρόβλημα ιδιοτιμών τύπου Sturm-ouvlle που μπορεί να λυθεί, όπως και τα δύο προηγούμενα κλασσικά προβλήματα οριακών τιμών, με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών. Στα παραπάνω παραδείγματα όταν οι συντελεστές των παραγώγων θεωρούνται σταθεροί τότε οι εξισώσεις είναι γραμμικές και μπορούν να επιλυθούν αναλυτικά και αριθμητικά. Στη περίπτωση αυτή τα αριθμητικά αποτελέσματα συγκρίνονται με τα αντίστοιχα αναλυτικά και είναι εφικτό να μελετήσουμε και να προσδιορίσουμε την ακρίβεια των αριθμητικών 7

αποτελεσμάτων. Αντίθετα, όταν οι συντελεστές είναι συναρτήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής (άμεσα ή έμμεσα) τότε οι εξισώσεις είναι μη γραμμικές και τις περισσότερες φορές επιλύονται μόνο αριθμητικά. Στις περιπτώσεις αυτές θα πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί σχετικά με την ακρίβεια των αριθμητικών αποτελεσμάτων. Πρόκειται για ένα ιδιαίτερα σημαντικό ζήτημα που θα εξετασθεί συστηματικά σε επόμενα κεφάλαια. Σημειώνεται τέλος ότι είναι ιδιαίτερα χρήσιμο για τον μη μυημένο αναγνώστη να ανατρέξει και να εντοπίσει στη βιβλιογραφία προβλήματα δύο οριακών τιμών που περιγράφονται από γραμμικές και μη γραμμικές Σ Ε. 3. Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών Έχοντας πλέον μία σύντομη περιγραφή των οριακών προβλημάτων δύο σημείων και κυρίως γνωρίζοντας τις μεθοδολογίες διατύπωσης εκφράσεων πεπερασμένων διαφορών για τις παραγώγους μιας συνάρτησης, μπορούμε να προχωρήσουμε στην περιγραφή της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών σε Σ Ε. Θεωρούμε τη γραμμική Σ Ε ης τάξης στη γενική μορφή P x y'' Q x y' x ys x 0 (.4.1) στο διάστημα x x, x y y με οριακές συνθήκες για x x και y y για x x. (.4.) Οριακές συνθήκες, όπως οι (.4.), που περιέχουν τιμές μόνο της εξαρτημένης μεταβλητής (και όχι των παραγώγων της) ονομάζονται οριακές συνθήκες τύπου rchlet και δύναται να είναι ομογενείς ή μη ομογενείς. Το πρώτο βήμα, στη εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών, είναι ο καθορισμός του υπολογιστικού πλέγματος και των κόμβων. Το διάστημα x x, x, όπως φαίνεται στο Σχήμα (.3), διαιρείται σε N ίσα τμήματα και το κάθε τμήμα έχει μήκος h x N x. Τα σημεία που ορίζουν την αρχή και το τέλος κάθε τμήματος ονομάζονται 8

κόμβοι και η θέση τους στο υπολογιστικό πλέγμα προσδιορίζεται από τις σχέσεις x x 1 h, 1,, N 1. Είναι προφανές ότι x1 x και xn 1 κόμβοι, εκ των οποίων οι N 1 κόμβοι (.4.3) x. Συνολικά, ορίζονται N 1 x,,3,, N είναι εσωτερικοί κόμβοι, ενώ οι δύο κόμβοι x 1 και xn 1 ταυτίζονται με τα δύο όρια x και x αντίστοιχα. Επίσης οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στους κόμβους του πλέγματος ορίζονται από τις σχέσεις y x y, 1,, N 1. (.4.4) Οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στους εσωτερικούς κόμβους είναι άγνωστες και αποτελούν το αντικείμενο της υπολογιστικής επίλυσης του προβλήματος, ενώ οι αντίστοιχες τιμές στα όρια είναι γνωστές από τις οριακές συνθήκες (.4.). 1 3-1 +1 N-1 N N+1 x 1 x x 3 x -1 x x +1 x N-1 x N x N+1 Σχήμα.3: Το υπολογιστικό πλέγμα και οι κόμβοι του πλέγματος. Το δεύτερο βήμα είναι η προσέγγιση της Σ Ε σε ένα τυχαίο εσωτερικό κόμβο, έστω x, του πλέγματος. Η πράξη αυτή συμβολίζεται ως εξής: P x y '' Q x y ' x y S x 0 (.4.5) xx x x xx xx Η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος της Σ Ε προσεγγίζονται με τις κεντρώες εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών ης τάξης y' και y'' xx xx y y h 1 1 O h (.4.6α) y y y h 1 1 O h (.4.6β) 9

αντίστοιχα. Οι εκφράσεις (.4.6) αντικαθίστανται στη εξίσωση (.4.5) που γράφεται στη μορφή y 1y y 1 y 1 y 1 P Q 0 y S,,, N. (.4.7) h h Οι δείκτες 1, και 1 στις διάφορες ποσότητες συμβολίζουν τις ποσότητές αυτές στους αντίστοιχους κόμβους. Σημειώνεται ότι η εξίσωση (.4.8) δεν ταυτίζεται αλλά αποτελεί προσέγγιση της εξίσωσης (.4.5) και το σφάλμα είναι Oh. Βλέπουμε επίσης ότι είναι αλγεβρική και ότι ισχύει για κάθε εσωτερικό κόμβο. Επομένως με βάση την εξίσωση (.4.7) δημιουργείται ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων με αγνώστους τις τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στους εσωτερικούς κόμβους του πλέγματος. Η εξίσωση (.4.7) ονομάζεται εξίσωση πεπερασμένων διαφορών. Αναδιατάσσοντας κατάλληλα τους όρους της (.4.7), την ξαναγράφουμε στη μορφή P Q P P Q y1 y y 1 S,,, N (.4.8) h h h h h Επομένως έχουμε N 1 αλγεβρικές εξισώσεις με αγνώστους τις N 1 τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής y, y3,, yn. Οι τιμές y 1 και yn 1 που εμφανίζονται στην πρώτη ( ) και τελευταία ( N ) εξίσωση του συστήματος αντίστοιχα είναι γνωστές από τις οριακές συνθήκες. Επομένως, οι αντίστοιχοι όροι θα πρέπει να μετακινηθούν στην δεξιά πλευρά του συστήματος με αποτέλεσμα να έχουμε το σύστημα: P P Q P Q y y S y h h h h h 3 1 P Q P P Q y1 y y 1 S, 3,, N 1 h h h h h P Q P P Q y y S y h h h h h N N N N N N1 N N N N1 (.4.9α) (.4.9β). (.4.9γ) Το τρίτο (και τελευταίο) βήμα είναι η επίλυση του συστήματος (.4.9). Το σύστημα έχει τριδιαγώνια μορφή και γνωρίζουμε, ότι στη περίπτωση αυτή, η 30

πλέον αποτελεσματική μέθοδος επίλυσης είναι ο αλγόριθμος Thomas. Τονίζεται ότι η λύση του συστήματος και ο υπολογισμός των αγνώστων y, y3,, yn αποτελεί προσέγγιση της αναλυτικής λύσης της αρχικής εξίσωσης (.4.1) στα σημεία x, x3,, xn. Λέμε ότι η αριθμητική μέθοδος συγκλίνει, εφόσον καθώς ο αριθμός N 1 των κόμβων αυξάνει και το διάστημα h 0, βελτιώνεται η ακρίβεια των αριθμητικών αποτελεσμάτων σε σχέση με τα αναλυτικά. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα αφού οι εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών είναι ης τάξης, αναμένεται η σύγκλιση να είναι τετραγωνική. Βέβαια αυτό δεν ισχύει γενικώς αλλά για μικρές τιμές του διαστήματος h και ακόμα καλύτερα για h 0. Είναι προφανές ότι καθώς αυξάνει ο αριθμός των κόμβων αυξάνει παράλληλα ο αριθμός των αλγεβρικών εξισώσεων του συστήματος και βεβαίως το υπολογιστικό κόστος (μνήμη υπολογιστή και χρόνος υπολογισμών). Η επιλογή του κατάλληλου πλέγματος εξαρτάται από την εκάστοτε εφαρμογή. Είναι όμως χρήσιμο και τις περισσότερες φορές απαραίτητο να γίνονται δοκιμές με διαφορετικά πλέγματα ώστε να εξετάζεται η συμπεριφορά των αποτελεσμάτων για διαφορετικά h και να επιβεβαιώνεται η σύγκλισή τους. Όπως βλέπουμε το σύστημα (.4.9) αλλά όπως θα δούμε και στη συνέχεια, ο πίνακας των συντελεστών των αλγεβρικών συστημάτων που προκύπτουν με την εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών, περιέχει πολλά μηδενικά στοιχεία και μόνο ένας μικρός αριθμός συντελεστών, σε σχέση με τη τάξη του συστήματος, είναι μη μηδενικοί. Επομένως, πρόκειται για αραιούς πίνακες. Επίσης η απόλυτη τιμή των διαγωνίων στοιχείων είναι μεγαλύτερη ή ίση από το άθροισμα των απολύτων τιμών των υπολοίπων στοιχείων κάθε γραμμής. Άρα οι επαναληπτικές μέθοδοι επίλυσης συστημάτων (Jacob, Gauss-Sedel, SO) θα πρέπει να προτιμώνται αντί των άμεσων μεθόδων (απαλοιφή Gauss, παραγοντοποίηση U), εκτός βεβαίως αν πρόκειται για ειδικές μορφές πινάκων όπως οι τριδιαγώνιοι ή οι συμμετρικοί πίνακες όπου ο αλγόριθμος Thomas και η μέθοδος Cholesky αντίστοιχα είναι οι πλέον αποτελεσματικές μέθοδοι επίλυσης. 31

4. Οριακές συνθήκες με παραγώγους Αρκετά συχνά μία από τις δύο οριακές συνθήκες προσδιορίζει την τιμή της παραγώγου της εξαρτημένης μεταβλητής (και όχι την ίδια την μεταβλητή) στο όριο αυτό. Στη περίπτωση αυτή οι οριακές συνθήκες της Σ Ε (.4.1) δίδονται από τις σχέσεις y y για x x και Η οριακή συνθήκη στο όριο dy y dx για x x. (.5.1) x x ονομάζεται οριακή συνθήκη τύπου Newmann και δύναται να είναι ομογενής ή μη ομογενής. Επομένως, τώρα η τιμή yn 1 δεν είναι γνωστή και θα πρέπει να υπολογισθεί μαζί με τις υπόλοιπες τιμές της y. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η τιμή N 1 y είναι άγνωστη, η εξίσωση (.4.9γ), τροποποιείται και γράφεται στη μορφή P Q P P Q y y y S h h h h h N N N N N N1 N N N1 N. (.5.) Επίσης, θα πρέπει να διατυπωθεί μία επιπλέον εξίσωση για τον κόμβο xn 1, ώστε ο αριθμός των εξισώσεων να ισούται με τον αριθμό των αγνώστων. Αυτό επιτυγχάνεται με δύο διαφορετικούς τρόπους: Ο πρώτος τρόπος εμπλέκει μόνο την οριακή συνθήκη Newmann στο x x. Η παράγωγος στην οριακή συνθήκη προσεγγίζεται από την ανάδρομη έκφραση πεπερασμένων διαφορών 1 ης τάξης dy y y dx N1 N O h (.5.3) N 1 h και η οριακή συνθήκη στο όριο έκφραση N N1. x x αντικαθίσταται από την αλγεβρική y y hy (.5.4) Η εξίσωση (.5.4) είναι η επιπλέον εξίσωση που απαιτείται και μαζί με τις εξισώσεις (.4.9α), (.4.9.β) και (.5.) αποτελούν ένα σύστημα N εξισώσεων για τους N αγνώστους 3 1. Η μεθοδολογία αυτή y, y,, yn είναι απλή και το σύστημα των αγνώστων παραμένει τριδιαγώνιο. Το 3

μειονέκτημα της μεθόδου είναι ότι η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών (.5.4) για το κόμβο xn 1 είναι 1 ης τάξης, ενώ όλες οι άλλες εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών για τους υπόλοιπους κόμβους είναι ης τάξης. υστυχώς η ακρίβεια του σχήματος μειώνεται από δεύτερη σε πρώτη τάξη, αφού το σφάλμα στην τιμή yn 1 θα διαδοθεί και στις άλλες τιμές y. Ο δεύτερος τρόπος εμπλέκει την οριακή συνθήκη Newmann και την Σ Ε στο x x. Η παράγωγος στην οριακή συνθήκη προσεγγίζεται από την κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών ης τάξης dy y y dx ή N N O h (.5.5) N 1 h y N y N hy. (.5.6) Ο όρος yn αντιστοιχεί στο εικονικό κόμβο xn (βλέπε Σχήμα.4). N-1 N N+1 N+ x N-1 x N x N+1 x N+ Σχήμα.4: Οριακή συνθήκη με παράγωγο - εικονικός κόμβος πλέγματος. Στη συνέχεια η γενική έκφραση πεπερασμένων διαφορών (.4.7) εφαρμόζεται στον κόμβο xn 1 και παίρνουμε την εξίσωση πεπερασμένων διαφορών P Q P P Q y y y S h h h h h N1 N1 N1 N1 N1 N N1 N1 N N1. (.5.7) Συνδυάζοντας τις (.5.6) και (.5.7) προκύπτει, για το κόμβο xn 1, η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών ης τάξης PN 1 PN 1 PN1 QN 1 y N N 1 y N1 SN 1hy h h h h. (.5.8) 33

Τώρα το σύστημα των εξισώσεων αποτελείται από τις εξισώσεις (.4.9α), (.4.9.β), (.5.) και (.5.8). Το σύστημα είναι και πάλι τριδιαγώνιο και επιλύεται με τον αλγόριθμο Thomas, ενώ η ακρίβεια όλων των εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών και επομένως ολόκληρου του αριθμητικού σχήματος είναι ης τάξης. Τέλος σημειώνεται ότι οι κεντρώες εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών είναι η πλέον συνήθης προσέγγιση για προβλήματα οριακών τιμών τόσο για συνήθεις όσο και για μερικές διαφορικές εξισώσεις. 34