ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΣ 3.1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: f x = { x e 1/ x,αν x 0 x ημx,αν x 0} είναι παραγωγίσιμη στο 0. 3.2. Δίνεται η συνάρτηση f x = { x 2 αx 1,αν x 1 2x 2, αν x 1 } η οποία είναι συνεχής στο 1. i) Να βρείτε την τιμή του α R ii) Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 1. 3.3. Δίνεται η συνάρτηση f x = { x 3,αν x 2. Να βρείτε τις x 2 αx β, αν x 2} τιμές των α, β R, ώστε η συνάρτηση f να είναι παραγωγίσιμη στο 2. 3.4. Δίνεται η συνάρτηση { f x = x 2 ax β, αν x 1 χ 3 4x 2 α 1 x 2β 4, αν x 1}. Να βρείτε τις τιμές των α, β R, ώστε η συνάρτηση f να είναι παραγωγίσιμη στο 1. 3.5. Δίνεται η συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει 2 x 4 f x 2 x 4 για κάθε x R.Να αποδείξετε ότι: i) f(0)=2 ii) η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο x 0 =0. iii) η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x 0 =0. 3.6. Δίνεται η συνάρτηση f :R R παραγωγίσιμη στο 0 με f ' 0 =3, για την οποία ισχύει: f x y = f x f y 4xy για κάθε x, y R i) να βρείτε την τιμή f 0. ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x 0 R και ισχύει : f ' x 0 =4x 0 3 3.7. Δίνεται η συνάρτηση f :R R παραγωγίσιμη στο 0 με f ' 0 =2, της οποίας η γραφική παράσταση δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων.επιπλέον ισχύει: f x y = f x f y 3xy για κάθε x R i) Να βρείτε την τιμή του f 0 ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x 0 R και ισχύει f ' x 0 =2 f x 0 3x 0 3.8. Δίνεται συνάρτηση f :R R με f 2 =1 και f ' 2 =3. Θεωρούμε επίσης συνάρτηση g :R R για την οποία ισχύει: g x xf x =x 2 6 για κάθε x R. Να αποδείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο 2 και να βρείτε την τιμή g'(2). 3.9. Έστω f,g :R R συνεχείς συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει ότι: f x = x 2 g x για κάθε x R. Αν επιπλέον η f είναι

παραγωγίσιμη στο, τότε: i) να αποδείξετε ότι g 2 =0 και f ' 2 =0 f 2 x 2 f x ii) να βρείτε το lim x x 2 4 3.10. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει f x ημx ότι : lim = 1 x 2 x 2 i) να βρείτε την τιμή f 2. ii) να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 2 και να βρείτε τη f ' 2. f 2x 4x 2 iii) να υπολογίσετε το όριο lim x 1 x 2 1 3.11. Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων: i) e σφx v) lnx x ii) ln(lnx) vi) συνx 2 iii) συν 3 1 x vii) iv) lnx x ln ημx viii) x 2 x x 3.12. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει: f ημx f συνx =ημx συνx 1 για κάθε x R. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(1,1), να βρείτε: i) το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα y ' y, ii) την f ' 0 iii) το όριο lim x 0 f x x 1 ημx 3.13. Δίνεται συνάρτηση f :R R δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει: f x y =f x f y ημx ημy για κάθε x, y R. Να αποδείξετε ότι για κάθε x, y R ισχύει: f '' x f y =f '' y f x 3.14. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=e^x+x. a. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. b. Να βρείτε την f 1 ' 1 3.15. Δίνεται η συνάρτηση f :R R άρτια και δυο φορές παραγωγίσιμη με: f 1 =f ' 1 =f '' 1 =2. Αν g x =x 3 f ' x f 2 x να βρείτε τη g ' 1.

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE 3.16. Δίνεται η συνάρτηση: f x =x e x 1 ax 2 a 1 x, με α R. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 0,1 τέτοιο, ώστε f ' ξ =0. 3.17. Δίνεται η συνάρτηση: f x =α ημ2x xσυνx, με α R. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο Μ ξ, f ξ με ξ 0, π 2, στο οποίο η C f έχει οριζόντια εφαπτομένη. 3.18. Δίνεται η συνάρτηση: f x = { x 2 αx 4,αν x 1 με α, β,γ R, βx 2 5 x γ, αν x 1} η οποία ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [-1,3].Να βρείτε τις τιμές των α, β,γ R και στη συνέχεια να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης f ' x =0, που ανήκουν στο διάστημα 1,3. 3.19. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R, με f 1 =2. Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση g x =xf x ax 2 4, με a R, η οποία ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [0,1]. i) Να βρείτε τον αριθμό α. ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστο ξ 0,1 τέτοιο ώστε f ξ =ξ 4 f ' ξ. 3.20. Δίνεται η συνάρτηση: f x =ax 3 βx 2 γx δ με α, β,γ, δ R για τα οποία ισχύει 7α+3β+γ=0. Να αποδείξετε ότι: i) η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [1,2], ii) υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 1,2 τέτοιο, ώστε 3αξ 2 2βξ γ=0 3.21. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R 0,, με f 1 =1. Να αποδείξετε ότι: i) η συνάρτηση g x =xlnf x ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα 0,1, ii) η εξίσωση f x lnf x xf ' x =0 έχει μία τουλάχιστον λύση στο 0,1 3.22. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4x 3 3 a x 2 =2 a 8 x 4 a όπου α R, έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα (-2,2). 3.23. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R, για την οποία ισχύει f 1 f 0 =e. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: f ' x 2x=e x έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα 0,1. 3.24. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :[2,4] R, για την οποία ισχύει f 4 f 2 =ln2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: xf ' x =2x 2 6x 1 έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα 2,4.

3.25. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R, με f ' x 0 για κάθε x R.Να αποδείξετε ότι: i) η f είναι 1-1, ii) η εξίσωση: f 4x 3 3 a 3 x 2 f 2 3a β x 3β =0 όπου α, β R, έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα (0,3). 3.26. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει f 1 =3 και f 2 =6. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ 1,2 τέτοιο ώστε f ' ξ =2ξ. 3.27. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :[0, π 4 ] R, για την οποία ισχύει f π 4 f 0 =1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ 0, π 4 τέτοιο ώστε συν 2 ξ f ' ξ =1 3.28. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R με f 2 =0. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: f x x f ' x =0 έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα 0,2. 3.29. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει f 0 =2f π 3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 0, π 3 τέτοιο ώστε: f ' ξ συνξ f ξ ημξ=0. 3.30. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R, της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα x ' x στο σημείο με τετμημένη 1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: x 2 f ' x f x =0 έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα 1,2. 3.31. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει f π 2 = 2 π. να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 0, π 2 συνξ f ξ τέτοιο ώστε: f ' ξ =. ξ 3.32. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει f 1 =2 και f 0 =1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 0,1 τέτοιο ώστε: 2f ' ξ f ξ 1 =3ξ 2 3.33. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :[α, β ] R. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ α, β τέτοιο ώστε: f ' ξ f ξ ξ α f ξ ξ β =0 3.34. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει f 1 =e 6 f 3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ' x 3f x =0 έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα 1,3. 3.35. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: x 6 x 2 =αx β όπου α, β R, έχει το πολύ δυο ρίζες στο R. 3.36. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R, με f 2 0 και

f 1 0, για τα οποία ισχύει lnf 1 =3 lnf 2. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ' x 2 x f x =0 έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα 1,2. 3.37. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, R για την οποία ισχύει: f 2 x 4f x 2 x=e x 3 για κάθε x R. Να αποδείξετε ότι η C f τέμνει τον x ' x το πολύ σε ένα σημείο. 3.38. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει f 1 = f 2 =0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 1,2 τέτοιο ώστε: f ' ξ = f ξ 3.39. i) Αν η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και ισχύει f ' ' x 0 για κάθε x Δ, να αποδείξετε ότι η f έχει το πολύ δυο ρίζες στο Δ. ii) Να λύσετε την εξίσωση 5 x =4 x 1 3.40. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :[1,2] R για την οποία ισχύει 1 f x 2 και f ' x 1 για κάθε x [1,2]. Να αποδείξετε ότι η C f τέμνει την ευθεία y=x σε ακριβώς ένα σημείο. 3.41. Δίνεται δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει f 2 f 1 =6 και f ' ' x 4 για κάθε x 1,2. Αν η συνάρτηση g x = f x ax 2, με a R, ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [1,2], τότε: i) να βρείτε τον αριθμό α, ii) να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ 1,2 τέτοιο ώστε f ' ξ =4ξ. 3.42. Δίνεται η συνάρτηση f x =ax 7 a 2 x 5 x 4 2 2 a x 3 x 2 4x 2012 με α R.Να αποδείξετε ότι: i) η C f έχει τουλάχιστον δυο σημεία με τετμημένες στο διάστημα 1,1 στα οποία δέχεται οριζόντια εφαπτομένη, ii) υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 1,2 τέτοιο ώστε f ' ' ξ =0 3.43. Δίνεται δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει f 0 = 1, f 1 =e και f 2 =e 2. Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση g x = f x e x x 2 3x. i) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δυο τουλάχιστον σημεία της C g με τετμημένες στο διάστημα (0,2) στα οποία η C g δέχεται οριζόντια εφαπτομένη, ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 0,2 τέτοιο ώστε f ' ' ξ 2=e ξ. 3.44. Δίνεται συνάρτηση f :[1,3] R με: f 1 =2, f 2 =ln 2 e 3 και f 3 =ln 3e 4. Να αποδείξετε ότι: i) η γραφική παράσταση της g x = f x lnx x έχει δύο

οριζόντιες εφαπτομένε ς στο διάστημα [1,3], ii) υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 1,3 τέτοιο ώστε ξ 2 f ' ' ξ = 1 3.45. Δίνεται συνάρτηση f :R R με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύει: f 3 f 0 =9 και f ' 0 0. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχει x 0 0,3 τέτοιο, ώστε f ' x 0 =x 2 0, ii) υπάρχει ξ 0,3 τέτοιο ώστε f ' ξ =3ξ. 3.46. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία f 1 f 2 ισχύει: f 3 = και f 1 f 2. Να αποδείξετε ότι: 2 i) υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 1,2 τέτοιο ώστε 2f ξ = f 1 f 2, ii) υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 1,3 τέτοιο ώστε f ' x 0 =0 ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 3.47. Δίνεται η συνάρτηση : f x ={ x 2 αx β,αν x 1 2x 2 β 1 x 2β 1,αν x 1} με α, β R. Για την f εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. στο [-1,3]. i) Να βρείτε τις τιμές των α και β. ii) Να εφαρμόσετε το Θ.Μ.Τ. Για την f στο [-1,3]. 3.48. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει f 4 = f 1 3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο Μ ξ, f ξ, με ξ 1,4, στο οποίο η εφαπτομένη της C f σχηματίζει γωνία π με τον 4 άξονα x'x. 3.49. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :[α, β ] R για την οποία ισχύει : f α =2β 6α και f β =5β 3α.Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ α, β, ώστε f ' ξ =3 3.50. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει f 6 = f 2 10. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ 1, ξ 2 2,6, διαφορετικά μεταξύ τους, ώστε f ' ξ 1 f ' ξ 2 =5. 3.51. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύουν f 0 = f 2 f 6 =. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 5 3 ξ 1, ξ 2 0,6 τέτοια ώστε: f ' ξ 1 f ' ξ 2 =0 3.52. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :[α, β ] R για την οποία ισχύει : f α =α 2β και f β =4β α.να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ 1, ξ 2, ξ 3 α, β, διαφορετικά ανά δύο, ώστε : f ' ξ 1 f ' ξ 2 f ' ξ 3 =6 3.53. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει

f 22 = f 2 4. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ 1, ξ 2, ξ 3 2,22, διαφορετικά ανά δύο, ώστε f ' ξ 1 3f ' ξ 2 6f ' ξ 3 =2 3.54. Δίνεται συνάρτηση f :R R δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει f 2 = f 0 4 και f 4 = f 3 2. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 0,4 τέτοιο, ώστε f ' ' ξ =0 3.55. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :[α, β ] R για την οποία ισχύει : f α = β 2α και f β =3β 4α.Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ 1, ξ 2 α, β, ώστε: 2f ' ξ 1 3f ' ξ 2 =10 3.56. Δίνεται συνάρτηση f :R R με συνεχή πρώτη παράγωγο,για την οποία ισχύει f 1 =α, f 2 = β, f 4 =α β και f 5 =2α 4, με α, β R. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν ξ 1, ξ 2 1,5, ώστε: f ' ξ 1 f ' ξ 2 =4 ii) υπάρχει ξ 1,5, ώστε f ' ξ =2 3.57. Δίνεται συνάρτηση f :R R δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει f 1 f 4 = f 2 f 3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 1,4, ώστε f ' ' ξ =0 3.58. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει : f 1 =2 και f 3 =8. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχει x 0 1,3, ώστε f x 0 =6, ii) υπάρχουν ξ 1, ξ 2 1,3, διαφορετικά μεταξύ τους, ώστε: 2 f ' ξ 1 1 f ' ξ 2 =1 3.59. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει : f 4 =1 και 1 f ' x 2 για κάθε x R. Να αποδείξετε ότι: i) -3<f(2)<-1, ii) υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ 2,4, ώστε f ξ =1 ξ. 3.60. Δίνεται συνάρτηση f :R R δύο φορές παραγωγίσιμη, με f 1 = f 3 =0 και f 2 0. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν ξ 1, ξ 2 1,3 με ξ 1 ξ 2, ώστε : f ' ξ 1 f ' ξ 2 =0 ii) υπάρχει ξ 1,3, ώστε f''(ξ)<0. 3.61. Για κάθε x 0 να αποδείξετε ότι: 1 x e x 1 xe x 3.62. Για κάθε x 1 να αποδείξετε ότι: x 1 lnx 1 1 x

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 3.63. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, π 2 R για την οποία ισχύει f π 6 =1 και f ' x = f x σφx για κάθε x 0, π 2. i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g x = f x ημx 0, π 2 είναι σταθερή στο ii) Να βρείτε τον τύπο της f. 3.64. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, 0, για την οποία ισχύει f ' 1 =2 και f 1 x f ' x = 2 x για κάθε x>0 i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g x = f x f 1 x είναι σταθερή στο 0,. ii) Να βρείτε τον τύπο της f. 3.65. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει : f 0 =3 και f ' x =e x ημx για κάθε x R. Να βρείτε τον τύπο της f 3.66. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει : f 0 =0 και f ' x =2x ημx x 2 συνx για κάθε x R. Να βρείτε τον τύπο της f. 3.67. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει : e x f ' x =x 3 3x 2 για κάθε x R. Επίσης η εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α 1, f 1 τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο με τετμημένη 1 2. i) Να αποδείξετε ότι f'(1)=2f(1). ii) Να βρείτε τον τύπο της f. 3.68. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, R για την οποία ισχύει f ln2 =ln16 και f ' x x f x =x 2 e x για κάθε x 0. Να βρείτε τον τύπο της f. 3.69. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει : f π =0 και xe x f ' x e x f x =συνx ημx για κάθε x R. Να βρείτε τον τύπο της f. 3.70. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, R για την οποία ισχύει f e = 2 και e f x xf ' x 1 = 1 x 2 για κάθε x 0. Να βρείτε τον τύπο της f.

3.71. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει : f ' x f x =e x συνx για κάθε x R και η C f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Να βρείτε: i) τον τύπο της f, ii) lim x f x 3.72. Δίνεται συνάρτηση f :R 0, δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει: f ' ' 1 =15e,f ' 1 =3e και f ' ' x =6xf x 3x 2 f ' x για κάθε x R. Να βρείτε: i) την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της A 1, f 1 ii) τον τύπο της f. 3.73. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει f ' x f x συνx=0 για κάθε x R i) Να αποδείξετε ότι η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R ii) Αν επιπλέον ισχύει ότι f ' ' 0 = 2, να βρείτε: a. την εφαπτομένη της C f στο σημείο της. b. τον τύπο της f. 3.74. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει f 1 =1 και f 1 = 4και x 3 f ' x x 2 f x =1 για κάθε x 0 i) Να βρείτε τον τύπο της f ii) Να υπολογίσετε τα όρια: a. lim f x x 0 b. lim xf x x c. lim x ημ 1 x f x 3.75. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει f 0 =3 και f ' x x 3 = f x 3x 2. Να βρείτε τον τύπο της f. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3.76. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων: i) f x =x lnx ii) f x =x 2 lnx x 2 5 iii) f x =e x x 3 iv) f x =e 2x 3 e x x 1 3.77. Έστω η συνάρτηση f x =e x x2 2 x lnx i) Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία

3.78. ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f iii) Να δείξετε ότι η f έχει μια ακριβώς ρίζα στο διάστημα (0,1) i) Για κάθε x>0, να δείξετε ότι: a. e x 1 x 1 b. e x 1 ln 1 x ii) Για κάθε x 0, να δείξετε ότι e x 2 1 ln 1 x 2 3.79. Για κάθε x>e, να αποδείξετε ότι: ln x 1 x 1 ln 2 x 1 ln 2 x lnx 2 x 3.80. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, R με f π =0. Αν για κάθε x 0 ισχύει xf ' x f x x 2 συνx, να δείξετε ότι f x xημx, για κάθε x π 3.81. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: i) f x =3e x x 2 3x 7 ii) f x =2e x 1 x 2 3 iii) f x =2ex lnx 1 x 2 iv) f x = ημx x στο (0,π] 3.82. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: i) f x =x 2 4x 3 2x 4 ii) f x = 2 x x 2 2x 1 3.83. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: i) f x ={ ex 3x 2,αν x 0 x 2 e 1 x, αν x 0 ii) f x = { 2x 3 3x 2 2, αν x 1 xlnx 2x,αν x 1 3.84. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: i) f x ={ 2x3 3x 2 11, αν x 0 e x x 2 7x 11, αν x 0 ii) f x = { x 3 12x 5,αν χ 1 2xlnx 6x, αν x 1 3.85. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i) e x =1 2x ii) e x 1 x 3 =3 x iii) 1 xlnx= x 3.86. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) e x 1 1 lnx ii) x 2 4x ln 1 x 1 iii) 2 x 3 x 5 x iv) ln x 2 1 e x 1 x

3.87. Να αποδείξετε τις παρακάτω ανισότητες: i) 2 x 1 x 1 lnx για κάθε x>1, ii) x x 3 συνx 1 για κάθε x 0, iii) lnx x 1 για κάθε x 0, iv) x 2 1 2lnx για κάθε x 0, ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3.88. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2lnx-2x+1. i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g x =2xlnx x 2 x είναι γνησίως φθίνουσα. 3.89. Να βρείτε τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων: i) f x = { x 2 2x 6,αν x 2 x 2 8x 14, αν x 2 ii) { x 2 2x 3,αν x 0 x 2 6x 3, αν x 0 3.90. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης: f x ={x 2 8x 10, αν x 2 x 2 8,αν 2 x 2 x 2 6x 2, αν x 2 3.91. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : f x ={ x 3 4αx α,αν χ 3 χ 2 3α 1 χ 3α, αν x 3 3.92. Δίνεται η συνάρτηση: f x =2x 3 3 α 2 x 2 6 α 1 2 x β με α,β R. Να βρείτε για ποιές τιμές των α και β η f παρουσιάζει στο 1 τοπικό ελάχιστο το 3. 3.93. Δίνεται η συνάρτηση: f x =2x 3 3αx 2 6 α 2 5α 3 x β με α,β R, η οποία παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για x=-3. i) Να βρείτε την τιμή του α. ii) Αν επιπλέον η f έχει τοπικό ελάχιστο ίσο με -3 να βρείτε την τιμή του β. 3.94. Δίνεται η συνάρτηση: f x =x 3 κx 2 3x 2 όπου x, κ R της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(1,1).Να αποδείξετε ότι: i) κ=-1 ii) η συνάρτηση f δεν έχει τοπικά ακρότατα iii) η εξίσωση f x =0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (0,1) 3.95. Δίνεται η συνάρτηση: f x =e 2x 2xe 2x 1 i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

ii) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0. 3.96. Δίνεται η συνάρτηση : f x =2e x 1 2x 3 i) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να αποδείξετε οτι η συνάρτηση g x =2e x 1 x 2 3x είναι γνησίως αύξουσα. 3.97. Για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει ότι: x 2 x 2 αlnx για κάθε x 0. Να αποδείξετε ότι α=3. 3.98. Δίνεται η συνάρτηση: f x =2 x α x 3 x 4 x, με x R όπου α>0, για την οποία ισχύει f x 0 για κάθε x R. Να βρείτε: i) τον αριθμό α, ii) το lim x f x 3.99. Να βρείτε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: i) f x = x2 x 1 x 1 ii) f x = x 2 6x 7 iii) f x = x2 7x 10 x 2 3x 3.100. Δίνεται η συνάρτηση: f(x)=ln(x-5)+2x-12 i) ποιό είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f; ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. iii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. iv) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=2006 έχει μοναδική λύση στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. 3.101. Δίνεται η συνάρτηση: f x = x x 2 ln x 1 i) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει ακριβώς δύο ρίζες στο πεδίο ορισμού της. 3.102. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί: z=α x 1 i και w=1 xi με x R και α>0, για τους οποίους ισχύει: z w z w i) Να αποδείξετε ότι α x 1 x για κάθε x R. ii) Να βρείτε τον αριθμό α. iii) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του Im z w ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3.103. Να μελετήσετε ως προς τη κυρτότητα και τα σημεία καμπής τις παρακάτω συναρτήσεις: i) f x =x 3 6x 2 3x 2 ii) f x =ln x 2 4 iii) f x =x 2 3 2lnx iv) f x =2x 3ln x 1 x 1 2