ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Τίτλος Θεματικές Ενότητες Σελίδες Προλογικό Σημείωμα Δυο λόγια προς τους μαθητές. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Όρια Συνέχεια Συνάρτησης 1-177 Μέρος 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-85 Μάθημα 1 Έννοια συνάρτησης Πεδίο ορισμού Σύνολο Τιμών 1-13 Μάθημα Γραφική παράσταση συνάρτησης - Μονοτονία -Ακρότατα 14-44 Συνάρτησης Μάθημα 3 Ισότητα & πράξεις συναρτήσεων 45-56 Μάθημα 4 Σύνθετη & Αντίστροφη Συνάρτηση 57-85 Μέρος ο ΟΡΙΑ 86-150 Μάθημα 5 Η έννοια του ορίου Απροσδιοριστία 0/0 - Έμμεσος υπολογισμός ορίου 86-111 Μάθημα 6 Κριτήριο Παρεμβολής - Τριγωνομετρικά όρια - Όριο Σύνθετης 11-11 Συνάρτησης Μάθημα 7 Μη Πεπερασμένα Όρια 1-136 Μάθημα 8 Όρια στο Άπειρο 137-150 Μέρος 3 ο ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 151-185 Μάθημα 9 Συνέχεια Συνάρτησης 151-163 Μάθημα 10 Θεωρήματα Συνέχειας 164-185 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός 170-343 Μάθημα 11 Ορισμός Παραγώγου 170-184 Μάθημα 1 Παράγωγος Συνάρτησης 185-07 Μάθημα 13 Εφαπτομένη Συνάρτησης 08-3 Μάθημα 14 Ρυθμός Μεταβολής 4-35 Μάθημα 15 Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού 36-59 Μάθημα 16 Μονοτονία, Ακρότατα, Θ.Fermat 60-90 Μάθημα 17 Πλήθος Ριζών Συνάρτησης 91-307 Μάθημα 18 Καμπυλότητα Συνάρτησης 308-33 Μάθημα 19 Ασύμπτωτες Συνάρτησης 34-338 Μάθημα 0 Μελέτη Συνάρτησης 339-343 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Ολοκληρωτικός Λογισμός 344-406 Μάθημα Ορισμένο Ολοκλήρωμα 359-37 Μάθημα 3 Μέθοδοι Σελίδα Ολοκλήρωσης -0-373 - 39 Μάθημα 4 Εμβαδόν Χωρίου 393-406 Μάθημα Συνδυαστικές Ασκήσεις σε ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ 407-444 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
Σελίδα -1-
Μάθημα 1 Κεφάλαιο: Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Θεματικές Ενότητες: 1. Η έννοια της συνάρτησης.. Πεδίο ορισμού συνάρτησης. 3. Σύνολο τιμών συνάρτησης. Τι είναι πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής ; Από πού «επιλέγει» η συνάρτηση αυτούς τους αριθμούς ; Από ένα σύνολο υποσύνολο του R, το οποίο συμβολίζεται με ονομάζεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης. A ή D και Τα στοιχεία (οι αριθμοί) που περιέχονται στο σύνολο A συμβολίζονται με και αποτελούν τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής της συνάρτησης. Πού τους «μεταφέρει» αυτούς τους αριθμούς ; Σε ένα σύνολο που το συμβολίζω με ( A ) ή ( D ) και το ονομάζω σύνολο τιμών της συνάρτησης. Τα στοιχεία (οι αριθμοί) που περιέχονται στο σύνολο ( A ) συμβολίζονται με y ( ) και αποτελούν τις τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής της συνάρτησης. Σελίδα -1-
Τελικά: Μια συνάρτηση που έχει πεδίο ορισμού το σύνολο A R και οι τιμές της είναι πραγματικοί αριθμοί, αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο (δηλαδή κάθε αριθμό) χ του συνόλου A, σε ένα μόνο στοιχείο (δηλαδή σε ένα μόνο αριθμό) y ( ) του συνόλου τιμών της ( A ) R. ΠΡΟΣΟΧΗ: Για παράδειγμα η σχέση + y 1 (μοναδιαίος κύκλος) ΔΕΝ είναι συνάρτηση αφού αν λύσουμε ως προς y, κάθε τιμή του χ προκύπτουν τιμές του y. y 1 y ± 1, για Συμβολίζουμε: 1. D ή A, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. ( D ) ή ( A ), το σύνολο τιμών της συνάρτησης 3. Όταν γράφουμε : ( A ) Β. A Β, το Β λέγεται σύνολο αφίξεως, και ισχύει ότι 4. Γενικά ορίζουμε : A R κάθε πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής, η οποία αντιστοιχεί κάθε στοιχείο (δηλαδή κάθε αριθμό) χ του συνόλου A στο στοιχείο (δηλαδή στον αριθμό) y ( ) του συνόλου ( A ) R. 5. Έτσι ισχύει ο παρακάτω ορισμός: : A B συναρτηση Για καθε, Αισχυει: ( ) ( ) Αν 1 1 1 ή ισοδύναμα : A B συναρτηση Για καθε, Αισχυει: ( ) ( ) Αν 1 1 1 Πότε μπορώ να πω ότι «ξέρω» μια συνάρτηση ; 1. Όταν ξέρω (ή μπορώ να βρω) το πεδίο ορισμού της. Όταν ξέρω τον τύπο της Σελίδα --
Ποιοι περιορισμοί καθορίζουν το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης ; Περιορισμοί που καθορίζουν το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης Αν η συνάρτηση περιέχει Απαιτώ Κλάσμα ( ) ( ) ( ) P Q Παρονομαστής Q ( ) 0 Ρίζα (οποιασδήποτε τάξης) * ( ) ν ( ), ν { 1} P R Υπόριζη ποσότητα P( ) 0 ln ( P ) Λογάριθμο (ln ή log) ( ) ( ) ( ) εϕ ( ( )) P Ό,τι λογαριθμίζεται P > ( ) 0 π P ( ) κπ +, κ Z P κπ κ Z ( ) σϕ ( ( )) ( ), ( ) ( ( )) Q( ) P( ) > 0 P P Παρατηρήσεις Μπορεί να απαιτείται και συνδυασμός δύο ή περισσότερων από τους προηγούμενους περιορισμούς (π.χ. στον τύπο της συνάρτησης να έχουμε και κλάσμα και ρίζα, ή και ρίζα και λογάριθμο). Σε κάθε τέτοια περίπτωση, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης προκύπτει από το αποτέλεσμα της συναλήθευσης όλων των απαιτούμενων περιορισμών. Αν δεν απαιτείται κανένας περιορισμός (αν δηλαδή ο τύπος της συνάρτησης δεν περιέχει ούτε κλάσμα ούτε λογάριθμο ούτε ρίζα), τότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι (ολόκληρο) το R. Σελίδα -3-
Εύρεση του συνόλου τιμών μιας συνάρτησης Το σύνολο τιμών αφορά τις τιμές του ψ και (με τις μέχρι τώρα γνώσεις μας) δεν υπολογίζεται εύκολα, παρά μόνο σε συγκεκριμένες περιπτώσεις. Με όσα έχουμε μάθει μέχρι τώρα, δύο πράγματα μπορούμε να κάνουμε ώστε να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης (το τρίτο θα το δούμε στο Μάθημα 10): 1. Να παρατηρήσουμε (παρατηρώ προσπαθώ να ανιχνεύσω κάποιες μόνιμες σχέσεις (π.χ. ανισότητες) που υπάρχουν στον τύπο της συνάρτησης και από αυτές να συμπεράνουμε (είτε άμεσα, είτε «χτίζοντας» τον τύπο της ) τους περιορισμούς στους οποίους υπόκειται το y. Π.χ : Αν () +1, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι 0 και πάνω σε αυτή την ανίσωση να χτίσουμε την, δηλαδή + 1 1ή A 1, +. ( ) 1. Οπότε, ( ) [ ). Να θεωρήσουμε την εξίσωση ( ) y, να τη λύσουμε ως προς χ και να απαιτήσουμε το χ που βρίσκουμε να ανήκει στο πεδίο ορισμού της. Το σύνολο που προκύπτει από την συναλήθευση όλων των περιορισμών που παίρνουμε για το y σε όλη αυτήν τη διαδικασία, δίνουν το σύνολο 1 τιμών της συνάρτησης. Π.χ : Αν ( ) με 1. Θέτω + 1 1 ( ) y y 1 y ( + 1) 1 y + y y + 1 y + 1 1 y 1 y ( y + 1) 1 y ( y 1 ) και 1 1 1 y y 1 y + 1 y + 1 που ισχύει. Τελικά έχουμε μόνο 1 y και άρα ( A ) R { 1}. 3. Με τη βοήθεια της μονοτονίας της συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. (Μάθημα 10) Παραδείγματα 1. Η 018 ( ) 1 + έχει σύνολο τιμών το [1, + ), αφού ισχύει 018 018 0 1 1 + για κάθε R.. Η ( ) ηµ 1 έχει σύνολο τιμών το [ 3,1], αφού ισχύει 1 ηµ 1 ηµ 1 ηµ 1 1 3 ηµ 1 1 για κάθε R. 3. Η ( ) 4 έχει σύνολο τιμών το [0, + ), αφού ισχύει 4 0 για κάθε 4. 4. Η ( ) ln έχει σύνολο τιμών όλο το R, όπως θυμόμαστε (λέω εγώ τώρα) από την Β Λυκείου. Σελίδα -4-
Λυμένες ασκήσεις 1. Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ, ώστε να είναι συνάρτηση η λ, 3 σχέση: ( ). λ 4, 3 Παρατηρούμε ότι για χ 3 η παίρνει δύο τιμές: τις 6 λ και 3λ 4. Για να αποτελεί συνάρτηση η, θα πρέπει οι παραπάνω τιμές να είναι ίσες, δηλαδή: 6 λ 3λ 4 λ + 3λ + 0 λ 1 η λ.. Να βρείτε τις ακέραιες τιμές της παραμέτρου λ, ώστε να είναι 4 + 3, λ + λ 1 συνάρτηση η σχέση: ( ), R + 7, λ + 5λ 4 Όπως και πιο πάνω εδώ θα απαιτήσουμε λ + λ 1 λ + 5λ 4 λ 4λ + 3 0 1 λ 3. Άρα λ 1,, 3. Αναλυτικά τώρα έχουμε: 4 + 3,, η οποία είναι συνάρτηση, αφού και + 7, από τους δύο κλάδους προκύπτει ότι () 11. Για λ 1 είναι ( ) Για λ είναι ( ) Για λ 3 είναι ( ) 4 + 3, 9, η οποία είναι συνάρτηση. + 7, 10 4 + 3, 0, η οποία είναι ΔΕΝ είναι συνάρτηση + 7, 0 αφού (0) 83 (από τον 1 ο κλάδο) και (0) 407 (από τον ο κλάδο), άτοπο. Τελικά λ 1 ή λ. Σελίδα -5-
3. Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης () ln( + 1) 1 Πρέπει: + 1 > 0 > 1 1 0 1 1 0 1 0 1 Συναληθεύοντας τα αποτελέσματα έχουμε A (1, + ). 1 4. Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης () 3 +. Πρέπει να είναι: 3 + 0 1, (οι ρίζες 1 και βρίσκονται κατά β ± Δ τα γνωστά, με τη διακρίνουσα Δ β 4αγ και τον τύπο 1, ), a Α R 1, (,1) (1,) (, + ) οπότε έχουμε: { } 5. Όμοια, της () 1 0 0 0 0 0 Πρέπει : 1 1 0 1 1 1 1 Άρα A [ 1, 0) (0,1]. 6. Όμοια, της () ln(1-e ). Πρέπει : 1- e > 0 e < 1 e < e 0 <0. Άρα Α ( -, 0 ). Σελίδα -6-
+ 1 7. Όμοια, της () 3. 1 + 1 0 3 Πρέπει : 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 Άρα Α (1, + ). 8. Να βρεθεί ο ακέραιος αριθμός α, ώστε το πεδίο της συνάρτησης 1 ( ) να είναι το R. + a + 1 Θα πρέπει ο παρονομαστής να μην έχει ρίζες στο R, οπότε (αφού ο παρονομαστής είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο), θα πρέπει η διακρίνουσά του να είναι αρνητική. Επομένως θα έχουμε ότι: 4a 4 0 4a 4 4a 4 a a 1 1 a 1 < < < < < < < και αφού ο α είναι ακέραιος, θα είναι α0. 9. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης ( ), R + 1 Θέτω y y + y + 1 0 το οποίο για να έχει ρίζες στο R θα πρέπει 1 1 1 1 1 1 0 1 4y 0 y y y ( R) [, ] 4 10. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης ( ) 1 1 /[1, + ) Σελίδα -7-
Θέτω y 1 1 y 1 1 1 y 1 (1 y) 1 + (1 y) [1, + ) y y y 1 + (1 ) 1 (1 ) 0 ισχύει άρα 1 ([1, + )) (,1] 11. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης ( ) 1+ ln /(0, + ) Εδώ αν γνωρίζουμε τις ιδιότητες του λογαρίθμου βγάζω συμπέρασμα χωρίς πράξεις διότι : Αν < 1 ln < 0 ( ) < 0 ένωση 1 ln1 0 (1) 0 (0, + ) R > 1 ln > 0 ( ) > 0 1. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης ( ) 4 + Είναι Α R. Θέτουμε y ( y) είναι και ( ) 4 + 4 + 0. Αφού R, θα 0 16 4 y 0 16 8 + 4y 0 4y 8 y. Επομένως, το σύνολο μέσα στο οποίο παίρνει τιμές η εξαρτημένη μεταβλητή R, +. y (), είναι το ( ) [ ) 13. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της τιμών της είναι το διάστημα [,5]. ( ) + 6 3, αν το σύνολο Αρχικά, θα προσδιορίζουμε τις πραγματικές τιμές του χ, για τις οποίες είναι: + 6 3 5 + 6 3 και + 6 3 5 6 + 5 0 και 6 + 8 0 Η επίλυση των δύο παραπάνω ανισώσεων μας δίνει ότι 1 5 και η 4 Α 1, 4,5.. Άρα [ ] [ ] Σελίδα -8-
Ερωτήσεις τύπου «Σωστού ή Λάθους» Σε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ). A τότε ( ) 0, A 1. Αν ( ) (,0). Αν 0 ( A ) < Σ Λ τότε η εξίσωση ()0 έχει μία τουλάχιστον λύση Σ Λ στο σύνολο Α 3. Έστω : A B μία συνάρτηση. Αν η είναι ορισμένη σ ένα Σ Λ σύνολο Β, τότε ( B) { y / y ( ) για καποιο A} 4. Υπάρχουν 1, 5. Υπάρχουν 1, A τέτοια ώστε: ( ) ( ) Σ Λ 1 1 A τέτοια ώστε: με ( ) ( ) Σ Λ 1 1 Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής 1. Το πεδίο ορισμού της ( ) είναι το : Α. [0,+ ) Β. (0,+ ) Γ. R Δ. (-,0) (0,+ ) 1. Το πεδίο ορισμού της ( ) + είναι το : * Α) [0,+ ) Β) [0,+ ] Γ) (0,+ ) Δ) R 3. Το πεδίο ορισμού της ( ) είναι το : * Α) R Β) R Γ) [0,+ ) Δ) (-,0) (0,+ ) 4. Το πεδίο ορισμού της ( ) ln είναι το : * Α) R Β) R Γ) [0,+ ) Δ) (0,+ ) 5. Το πεδίο ορισμού της 1 ( ) είναι το : + 1 { } { ± } * Α) R Β) R Γ) R- -1 Δ) R- 1 6. Το πεδίο ορισμού της ( ) είναι το : e + 1 Α) R- -1 Β) R Γ) R Δ) δεν οριζεται { } * Σελίδα -9-
7. Το πεδίο ορισμού της + 1 ( ) 1 είναι το : Α) R Β) R-{ 1 } Γ) R-{ ± 1 } Δ) [0,+ ) 8. Το πεδίο ορισμού της ( ) + + 1 είναι το : * Α) R Β) R Γ ) (0,+ ) Δ) [-,+ ] Ερωτήσεις Αντιστοίχισης Αντιστοιχίστε τα δεδομένα των δύο στηλών ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Α. [0,+ ) 1. ( ) + 1 Β. R. 1 ( ) ln( ) Γ. R * 3. ( ) 1 + 3 Δ. R 4. ( ) ln Ε. [0,π/) 5. ( ) συν Ζ. (0,+ ) 6. ( ) 5 Η. R 7. ( ) e Θ. (1,+ ) ηµ 8. ( ) συν Ι. [-5, 5] 9. ( ) e 1 K. R * 10., > 0 ( ), < 0 Σελίδα -10-
Άλυτες Ασκήσεις 1. Να βρείτε (αν υπάρχουν) τις τιμές της παραμέτρου k, ώστε να είναι 3, συνάρτηση η σχέση: ( ), R. + k,. Να βρείτε (αν υπάρχουν) τις ακέραιες τιμές της παραμέτρου λ, ώστε να + 1, λ 3λ είναι συνάρτηση η σχέση: ( ), R. 3 1, λ + λ 3 3. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των επόμενων συναρτήσεων 1 a. ( ) 1 + b. ( ) 5 c. ( ) d. ( ) e. ( ). ( ) ( ) 3 ( 1) + 1 1 ηµ + 4 συν 1 + 1 e e g. ( ) 5 + 6 h. ( ) 4 16 i. ( ) 4 + 4 j. ( ) + 1 k. ( ) + 1 + l. ( ) 3 + 1 m. 5 1 ( ) + + + 3 + 4 n. ( ) + 4 + + 4 o. ( ) 10 + 5 Σελίδα -11-
e 1 e ( ) ln(4 ) p. ( ) q. r. ( ) ln ( 3 5 + ) s. ( ) ln ( ln ) t. ( ) log[ln( )] u. ( ) ln(4 + 0) v. ( ) ln 1 w. ( ) ( ) ln ln. ( ) log( + 3) log( ) log 5 y. z. ( ) log( 1) + log 1+ log ( ) log (log ) 1 aa. ( ) 3 5 bb. ( χ) συν + 1 4. Βρείτε τα σύνολα τιμών και τα ακρότατά τους αν υπάρχουν : ηµ 3 a. ( ) b. ( ) c. ( ) συν ηµ d. ( ) e. ( ). ( ) e g. ( ) e -1 h. ( ) ln i. ( ) ln( 1) 5. Βρείτε τα σύνολα τιμών και τα ακρότατά τους αν υπάρχουν : a ηµ ηµ ηµ συν. ( ) b. ( ) + c. ( ) + d e. ( ) + 1 e. ( ) + 1. ( ) + 3 + 1 ln ( ) [ ] g. ( ) ln 0,1 h. ( ) 0, i. ( ) 6. Να βρεθούν το Π.ορισμού και το σ.τιμών της + 1 ( ) ln( ). 1 7. Να βρεθoύν τα α, β, ώστε το πεδίο της συνάρτησης να είναι το R. ( ) α + β 1 8. Βρείτε το α ώστε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 3 + a ( ) a R, να είναι όλο το R. a + a Σελίδα -1-
9. Αν ( ) a + a + 1 και η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το R, βρείτε το α. 10. Βρείτε το min, ma / R για να ορίζεται η συνάρτηση g( ) 4 ( ). 11. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 16 ln ( + 3 + 4) i) ( ) ii) g ( ) 1 8 ( ) 1 1 3 9 ln 3 ( + ) ( ) ( + ) ( ) iii) h iv) ϕ π + εϕ v) ω 3 5 3 ln 1. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 4 3. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της. 13. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ισχύουν (-4)8 και (-1)0. Να βρείτε: α) το πεδίο ορισμού της. β) τους αριθμούς α και β γ) τις τιμές (-) και ((-3)) και δ) Να λύσετε την εξίσωση ()3. + a, αν 5 + β, αν < < 6 για την οποία 14. Δίνεται η συνάρτηση : R ( ) ( ) R για την οποία ισχύει: 4 + 1 6, R. + 8 6 R α) Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) β) Να βρείτε τον τύπο της. 15. Έστω τραπέζιο ΑΒΓΔ με ˆ ˆ 90 ο Α Β είναι ΑΒ6,ΒΓ4 και ΑΔ. Θεωρούμε σημείο Μ της ΑΒ που απέχει χ από το σημείο Α. Να εκφράσετε ως συνάρτηση του χ το εμβαδόν του τριγώνου ΓΔΜ και την περίμετρο του τριγώνου ΓΔΜ. Σελίδα -13-