5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5 _ 6 x ψ A 4 4 5 (ζ) x Θ ψ πάντηση Στο σχήµα (α) : x+ x= x = x + x = Στο σχήµα (β) : x =,5 και, 5 Στο σχήµα (γ): x =,5 και ψ = ψ = ψ = 5 Στο σχήµα (δ): x = = = 4 και ψ = 4 6 5 Στο σχήµα (ε): x = = = και ψ = = =,5 Στο σχήµα (ζ): x = = = 0 και ψ = = = 5
. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τις γωνίες φ και ω (α) (β) φ 4 ω ω (γ) φ ω πάντηση Στο σχήµα (α) : φού = 90 ο και = = 4 = θα είναι ˆ= 0 ο άρα ˆω= 60 ο Στο σχήµα (β) : φού = 90 ο και = = =, θα είναι ˆφ =0 ο Στο σχήµα (γ) : ίναι = 90 ο άρα ˆω + ˆω=90 ο ˆω= 0 ο και επειδή =, θα είναι ˆω= ˆφ =0 ο Στο σχήµα (δ) : Η σχεδιασµένη διάµεσος είναι ίση µε το µισό της πλευράς προς την οποία αντιστοιχεί, άρα ˆ= 90 ο, οπότε ˆω= 90 ο 5 5 5 ω. Υπάρχει τρίγωνο στο οποίο το ορθόκεντρο και το βαρύκεντρο να ταυτίζονται ; πάντηση Ναι. ίναι το ισόπλευρο αφού τα ύψη του ταυτίζονται µε τις διαµέσους του. 4. Στο παρακάτω σχήµα να δικαιολογήσετε την ισότητα = πάντηση φού ˆ = 90 ο και διάµεσος στην υποτείνουσα, θα είναι =. µέσο του και µέσο του άρα =, οπότε = =
5. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 90 ο ), ο κύκλος διαµέτρου διέρχεται από το ; ικαιολογήστε την απάντηση σας. πάντηση ν είναι το µέσο της υποτείνουσας, τότε ισχύει = = =. Οπότε ο κύκλος διαµέτρου διέρχεται και από το. σκήσεις µπέδωσης. ν και είναι τα µέσα των πλευρών και τριγώνου και τυχαίο σηµείο της, να αποδείξετε ότι η διχοτοµεί την., µέσα των, Στο τρίγωνο η θα τµήσει την στο µέσο της.. ίνεται τρίγωνο και η διάµεσός του. ν, και Η είναι τα µέσα των, και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το Η είναι παραλληλόγραµµο. Στο τρίγωνο, επειδή τα, είναι µέσα πλευρών = AB Η Οµοίως στο τρίγωνο είναι Η = AB () και () = Η άρα Η παραλληλόγραµµο. () ()
4. Σε τρίγωνο φέρουµε τα ύψη και. ν είναι το µέσο της, να αποδείξετε ότι =. διάµεσος του ορθογωνίου τριγώνου, άρα = B () Οµοίως στο τρίγωνο, = B () M () και () = 4. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90ο ) µε ˆB = 0 ο. ν, είναι τα µέσα των και, να αποδείξετε ότι = Â = 90 ο και ˆB = 0 ο E, µέσα = B = B Άρα = 5. ν σε τρίγωνο είναι µ =µ, να αποδείξετε ότι β=γ. β γ Έστω = µ, = µ και Θ το κέντρο βάρους. β γ ίναι Θ = µ και Θ = β µ άρα Θ = Θ () γ Θ µ και Θ = µ άρα Θ = Θ () β γ Θ = Θ ˆ =Θ ˆ () (), (), () τρ.θ = τρ.θ = =
5 6. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90ο ). Προεκτείνουµε τη κατά τυχαίο τµήµα. πό το φέρουµε Η, η οποία τέµνει την στο. Να αποδείξετε ότι. Τα, είναι ύψη του τριγώνου, άρα το είναι ορθόκεντρό του. Άρα η ευθεία είναι ο φορέας του τρίτου ύψους, δηλαδή. 7. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90ο ) µε ˆ = 0 ο και, τα µέσα των και αντίστοιχα. Προεκτείνουµε την κατά τµήµα =.. Να αποδείξετε ότι το είναι ρόµβος. = = Άρα το είναι παρ/µµο () ˆ = 0 ο στο ορθογώνιο τρίγωνο θα έχουµε = = () πό τις () και () το είναι ρόµβος.
6 ποδεικτικές σκήσεις. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90ο ) και το ύψος του. i) ν, είναι τα µέσα των και, να αποδείξετε ότι ˆ = ˆ = 90 ο. ii) ν είναι το µέσο της, να αποδείξετε ότι =. 4 i) διάµεσος του ορθογωνίου τριγώνου ii) () = διάµεσος του ορθογωνίου τριγώνου = () () και () τρ. = τρ. ( κοινή) Άρα ˆ = ˆ = 90 ο διάµεσος του ορθογωνίου τριγώνου = λλά = Άρα = αφού ενώνει τα µέσα και στο τρίγωνο 4. ίνεται παραλληλόγραµµο και τα µέσα και των και αντίστοιχα. ν η τέµνει τη διαγώνιο στο Η, να αποδείξετε ότι Η = Ο Η. 4 Φέρουµε και τη διαγώνιο. Στο τρίγωνο θα έχουµε, άρα και ΗΟ, και αφού µέσο, στο τρίγωνο Ο θα έχουµε και το Η µέσο του Ο Ο Ο Η = = = 4
7. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90ο ) µε > ˆ ˆ φέρουµε τη διάµεσό του και το ύψος του. Να αποδείξετε ότι =. ˆ ˆ ˆ ˆ = ˆ ˆ () διάµεσος του ορθ. τριγώνου = = δηλαδή τρίγωνο ισοσκελές, άρα ˆ = ˆ () ˆ = ˆ () () (οξείες µε κάθετες πλευρές) (),() ˆ ˆ ˆ =. 4. ν, είναι τα µέσα των πλευρών, παραλληλογράµµου αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι οι και τριχοτοµούν τη διαγώνιο. = παρ/µµο E Λ Κ Κ Στο τρίγωνο Κ, µέσο και ΛΚ Λ Λ µέσο της Κ Οµοίως Κ µέσο της Λ
8 5. ν, είναι τα µέσα των πλευρών, παραλληλογράµµου αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι οι και τριχοτοµούν τη διαγώνιο. Λ Ο Κ Έστω Ο το κέντρο του παρ/µµου. BΟ και A είναι διάµεσοι του τρ.b, άρα το σηµείο τοµής τους Κ είναι κέντρο βάρους του τριγώνου ΚΟ = Κ = Οµοίως ΛΟ = Λ = Ο () Ο () () + () ΚΟ + ΛΟ = (Ο +Ο) ΚΛ = () Κ κέντρο βάρους Κ = Ο = = Οµοίως Λ = = (), (4), (5) Κ = ΚΛ = Λ (4) (5) 6. Σε τρίγωνο, είναι το µέσο της διαµέσου. ν η τέµνει την πλευρά στο, να αποδείξετε ότι = E. Φέρουµε Λ. ρκεί να αποδείξουµε ότι = Λ = Λ Λ Στο τρίγωνο Λ, µέσο και Λ = Λ Στο τρίγωνο, µέσο και Λ Λ = Λ
9 7. Σε παραλληλόγραµµο προεκτείνουµε την κατά τµήµα =. ν η τέµνει την στο Η και τη στο, να αποδείξετε ότι i) BZ = Z, ii) Η = Ο Η Η ii) Oι και Ο είναι διάµεσοι του τρ., άρα το Η είναι το κέντρο βάρους του Η = Ο = = δ () και ΗΟ = Ο = 6 = δ (όπου δ = ) 6 δ δ 4δ Η = Ο + ΟΗ = + = = 6 6 Η πό τις () και () Η = δ () Φέρουµε τις, Ο το κέντρο του παρ/µµου i) = παρ/µµο. άρα οι διαγώνιοί του διχοτοµούνται στο, δηλαδή BZ = Z. 8. Σε ορθογώνιο τρίγωνο µε ˆ = 0 ο η κάθετος στο µέσο της υποτείνουσας τέµνει την πλευρά στο. Να αποδείξουµε ότι i) =, ii) M =. i) Στο τρίγωνο, ˆ = 0 ο = = Φέρουµε τη. τρ. = τρ. διότι είναι ορθογώνια µε κοινή και = Οπότε = ii) Στο τρίγωνο, ˆ = 0 ο = (i) =. Άρα = (i) =
0 9. ίνεται ορθογώνιο και, τα µέσα των και αντίστοιχα. ν Η, Κ οι προβολές των κορυφών και στη διαγώνιο αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι Η Κ. Έστω Σ η τοµή των Η, Κ. πό το τρίγωνο ΣΚΗ, αρκεί να δειχθεί ότι Σ Η K Ĥ + ˆK = 90 ο Η διάµεσος του ορθ. τριγώνου Η Η = AB = Ĥ = ˆB () Κ διάµεσος του ορθ. τριγώνου Κ Κ = B = ˆK = ˆK = ˆB () () + () Ĥ + ˆK = ˆB + ˆB = 90 ο. 0. Τρία χωριά, που δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία, ανήκουν στον ίδιο δήµο. Ο δήµος αποφασίζει να κατασκευάσει δρόµο (ευθεία), ο οποίος να ισαπέχει από τα τρία χωριά. Πώς θα γίνει η χάραξη του δρόµου; Πόσοι τέτοιοι δρόµοι υπάρχουν; ς είναι,, οι θέσεις των τριών χωριών. Λ νάλυση δ Κ Έστω δ ο ζητούµενος δρόµος και Κ, Λ τα σηµεία τοµής του µε τις,. Τότε οι αποστάσεις,, των τριών χωριών από το δρόµο θα είναι ίσες. Θα είναι τρ. Κ = τρ. Κ (ορθογώνια µε = και κατά κορυφή γωνίες στο Κ). Τότε Κ = Κ δηλαδή το Κ θα είναι µέσο του τµήµατος. Οµοίως το Λ θα είναι µέσο του τµήµατος. Ο δρόµος, λοιπόν θα είναι η ευθεία που ορίζεται από τα µέσα των και, ή από τα µέσα των και, ή από τα µέσα των και. Έτσι, θα υπάρχουν τρεις τέτοιοι δρόµοι.
Σύνθετα Θέµατα. Σε τρίγωνο µε B> ˆ ˆ φέρουµε το ύψος του. ν και τα µέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι = ˆ ˆ ˆ. A ίναι ˆ = ˆ + ˆ ( ˆ εξωτερική του τρ. ) Άρα ˆ = ˆ - ˆ () B ˆ = ˆ διάµεσος του ορθ. τριγώνου τρ. ισοσκελές ˆ = ˆ () ˆ = ˆ - ˆ. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90ο ) φέρουµε το ύψος του. Να αποδείξετε ότι αν ˆ = 5 ο, τότε = και αντίστροφα. 4 (Υπόδειξη : Φέρουµε τη διάµεσο ) Συµπεράσµατα που ισχύουν και για το ευθύ και για το αντίστροφο. = = = τρ. ισοσκελές ˆ = ˆ λλά ˆ = ˆ + ˆ (εξωτερική του τρ. ) ˆ = ˆ + ˆ = ˆ ποδεικνύουµε το ευθύ και το αντίστροφο ταυτόχρονα, µε ισοδυναµίες. ˆ = 5 ο ˆ = 0 ο = = = 4
. Σε κυρτό τετράπλευρο θεωρούµε το βαρύκεντρο Κ του τριγώνου και τα µέσα, και Η των, και Κ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΗΚ Φέρουµε τη διάµεσο και τη Η. ρκεί να αποδείξουµε ότι ΚΗ παρ/µµο, ή ότι Κ =Η. Κ Κ Η Κ βαρύκεντρο του τρ. Κ = () Κ Η, µέσα πλευρών του τρ.κ Η= () () και () Κ =Η. 4. ίνεται τρίγωνο µε ˆ ˆ κατά τµήµα =. Να αποδείξετε ότι η διχοτοµεί την πλευρά. 0 = < 90 και το ύψος του. Προεκτείνουµε την Η ευθεία τέµνει την σε σηµείο. Τρ. ισοσκελές ˆ = ˆ λλά ˆ = ˆ + ˆ (εξωτερική του ) Άρα ˆ = ˆ ˆ = ˆ ˆ = ˆ Έτσι ˆ = ˆ = ˆ = ˆ ˆ = ˆ τρ. ισοσκελές µε = () πό το ορθ. τρίγωνο, η ˆ είναι συµπληρωµατική της ˆ. Λόγω του ύψους, η ˆ είναι συµπληρωµατική της ˆ. Άρα ˆ = ˆ τρ. ισοσκελές µε = () πό τις (), () =.
5. ίνεται τρίγωνο µε <, η διχοτόµος του και το µέσο της. ν η προβολή του στη διχοτόµο, να αποδείξετε ότι : i) ii) EM = i), µέσα πλευρών του τριγώνου = ii) = = = Προεκτείνουµε τη και τέµνει την σε σηµείο. Το είναι ύψος και διχοτόµος του τρ., άρα και διάµεσος και το τρίγωνο ισοσκελές µε = Έτσι, το είναι µέσο του τµήµατος. 6. ίνεται τρίγωνο, το ύψος του και το µέσο του τµήµατος. Προεκτείνουµε τη κατά τµήµα =. Να αποδείξετε ότι η κάθετη από το στην, η κάθετη από το στην και η συντρέχουν. Φέρουµε τη, η οποία ενώνει τα µέσα δύο πλευρών του τρ., άρα. Έστω. Τότε, δηλαδή η είναι φορέας ύψους του τριγώνου. Φορείς υψών του ίδιου τριγώνου είναι και οι,. Άρα διέρχονται από το ίδιο σηµείο- ορθόκεντρο του τριγώνου, δηλαδή συντρέχουν.
4 7. ν Κ και Λ είναι οι προβολές της κορυφής τριγώνου στην εσωτερική και εξωτερική διχοτόµο της γωνίας ˆB αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι i) το ΚΛ είναι ορθογώνιο ii) η ευθεία ΚΛ διέρχεται από το µέσο της. Λ Ρ Κ Σ i) ίναι Λ Κ σαν διχοτόµοι δύο εφεξής παραπληρωµατικών γωνιών. Έτσι το τετράπλευρο ΚΛ έχει τρεις γωνίες ορθές, άρα είναι ορθογώνιο. ii) Συµβολίζουµε Σ την τοµή των Κ, και Ρ την τοµή των, ΛΚ. Το Κ είναι διχοτόµος και ύψος του τριγώνου Σ, άρα και διάµεσος, δηλαδή το Κ είναι µέσο του Σ. ΚΛ ορθογώνιο οι διαγώνιοί του διχοτοµούνται, δηλαδή το Ρ είναι µέσο του Στο τρίγωνο, λοιπόν, Σ θα είναι ΡΚ Σ, άρα και ΛΡΚ, οπότε η ΛΚ θα διέλθει από το µέσο της.
5 8. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 90ο ), το ύψος του και η διάµεσός του. ν, οι προβολές του στις και, να αποδείξετε ότι i) = ii) AM EZ iii) η διάµεσος, το τµήµα και η παράλληλη προς την από το συντρέχουν. i) Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο, αφού έχει τρεις γωνίες ορθές έχει ίσες διαγωνίους. Κ Λ τρ. = τρ. ˆ = ˆ. λλά ˆ = ˆB () Άρα () + () ˆ + ˆ = ˆ + ˆB ˆ + ˆ = 90 ο ii) Έστω Κ η τοµή των,. Στο τρίγωνο Κ, αρκεί να αποδείξουµε ότι ˆ + ˆ = 90 ο ίναι AM = = M τρ. ισοσκελές ˆ = ˆ. () ˆ = ˆB (οξείες µε πλευρές). iii) Έστω Λ η τοµή των,.. ρκεί να αποδείξουµε ότι Λ, ή αρκεί ότι το Λ είναι παρ/µµο. πειδή, όµως, Λ, αρκεί να αποδείξουµε ότι Λ =. Συγκρίνουµε τα τρίγωνα Λ και. ίναι ορθογώνια µε = και ˆ = ˆ (από την ()) = ˆ (εντός- εκτός επί τα αυτά). Άρα τρ. Λ= τρ..