ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ KAI ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ O μετασχηματισμός lc-ο αντίστροφος μετασχηματισμός lc-ύπαρξη-γραμμική ιδιότητα μια πραγματική συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα Ορισμοί Ας είναι μια πραγματική μεταβλητήτο γενικευμένο ολοκλήρωμα και d για τις τιμές του για τις οποίες υπάρχει συγκλίνει είναι συνάρτηση του Η συνάρτηση αυτή F d λέγεται μετασχηματισμένη lc της και συμβολίζεται με { } δηλ είναι { } F d Η διαδικασία με την οποία προκύπτει η συνάρτηση F F από την λέγεται μετασχηματισμός lc και το σύμβολο το οποίο όταν γράφεται στα αριστερά μιας συνάρτησης δηλώνει ότι τελέστηκε η διαδικασία του μετασχηματισμού της λέγεται τελεστής του lc Η αρχική συνάρτηση λέγεται αντίστροφη μετασχηματισμένη lc της F F και συμβολίζεται με { F } δηλ είναι { F } Το σύμβολο λέγεται αντίστροφος τελεστής lc Ορισμός Μια συνάρτηση ορισμένη στο κλειστό διάστημα Ι = αβ] λέγεται τμηματικά συνεχής στο Ι αν υπάρχει υποδιαίρεση του Ι σε πεπερασμένο πλήθος υποδιαστημάτων τέτοιων ώστε : α η είναι συνεχής στο εσωτερικό καθενός υποδιαστήματος β τα όρια της όταν το τείνει στα άκρα ενός υποδιαστήματος από το εσωτερικό μέρος αυτού υπάρχουν και είναι πεπερασμένοι αριθμοί για καθένα υποδιάστημα
Παρατήρηση Μια τμηματικά συνεχής συνάρτηση στο διάστημα αβ] έχει το πολύ πεπερασμένο πλήθος σημείων ασυνέχειας σε καθένα από τα οποία η συνάρτηση παρουσιάζει πεπερα-σμένο άλμα δηλ το πολύ πεπερασμένο πλήθους κανονικών σημείων ασυνέχειας Παρατήρηση Μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα αβ] είναι και τμηματικά συνεχής σ αυτό Ορισμός Μια συνάρτηση λέγεται συνάρτηση εκθετικής τάξης αν υπάρχουν σταθερές και M με M τέτοιες ώστε να είναι M 6 Θεώρημα Ύπαρξης μετασχηματισμένης lc Ας είναι μια πραγματική συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα Αν η είναι : α τμηματικά συνεχής σε κάθε διάστημα όπου R β συνάρτηση εκθετικής τάξης δηλ υπάρχουν σταθερές και M με M τέτοιες ώστε να είναι τότε η μετασχηματισμένη lc της υπάρχει για M F d 7 Παρατήρηση Αν η συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα είναι συνεχής και εκθετικής τάξης τότε υπάρχει η μετασχηματισμένη lc αυτής { } F 8 Παρατήρηση Ας είναι και g g δυο συναρτήσεις του ορισμένες στο διάστημα Αν η μετασχηματισμένη lc { } της υπάρχει και αν η συνάρτηση g διαφέρει από την σε πεπερασμένο μόνο πλήθος σημείων του τότε υπάρχει και η μετασχηματισμένη lc της g και μάλιστα είναι { } { g } Παρατήρηση Από την προηγούμενη παρατήρησή μας προκύπτει ότι η αντίστροφη μετασχηματισμένη lc { F } μιας συνάρτησης F F εφόσον υπάρχει δεν ορίζεται μονότιμα Η μοναδικότητα της αντίστροφης μετασχηματισμένης lc εξασφαλίζεται όταν η αρχική συνάρτηση είναι συνεχής όπως βεβαιώνει το επόμενο Θεώρημα Θεώρημα Ας είναι και g g δυο συνεχείς συναρτήσεις ορισμένες στο διάστημα Αν οι και g έχουν την ίδια μετασχηματισμένη lc δηλ αν είναι
τότε είναι και g { } { g } δηλ τότε είναι g Παρατήρηση Από το προηγούμενο Θεώρημα προκύπτει ότι αν μια συνάρτηση F F έχει μια συνεχή αντίστροφη μετασχηματισμένη lc τότε η είναι η μόνη συνεχής αντίστροφη μετασχηματισμένη lc της F Θεώρημα Ο τελεστής του lc και ο αντίστροφος τελεστής είναι γραμμικοί τελεστές δηλ ισχύουν : α { } { } { } για όλα τα R και όλες τις συναρτήσεις των οποίων οι μετασχηματισμένες lc υπάρχουν β { F F } { F } { F } για όλα τα R και όλες τις συναρτήσεις F F των οποίων οι αντίστροφες μετα- σχηματισμένες lc υπάρχουν Παράδειγμα Να βρεθούν οι μετασχηματισμένες lc των παρακάτω συναρτήσεων που ορίζονται στο διάστημα : α β g R γ h R δ R α { } d d im d im d im im im Παρατηρούμε τώρα ότι για είναι για είναι im και το ολοκλήρωμα δεν συγκλίνει Επίσης d d im d im ] im ] δηλ το ολοκλήρωμα δεν συγκλίνει Τέλος για είναι im = im ] και im ] δηλ το ολοκλήρωμα συγκλίνει στην τιμή Επομένως είναι
{ } β Είναι Θεωρ { } { } {} δηλ { } γ { } d d im d im d = Για im im το ολοκλήρωμα δεν συγκλίνει ενώ για είναι im το ολοκλήρωμα συγκλίνει στην τιμή δηλ είναι { } { } δ Αν στον προηγούμενο τύπο θέσουμε όπου το έχουμε Σύμφωνα με τον Ορισμό έχουμε και { } Επομένως για { } { } { } και { } Παράδειγμα Να βρεθούν οι μετασχηματισμένες lc των συναρτήσεων : α β g Υπολογίζουμε πρώτα τα αόριστα ολοκληρώματα Όταν δεν αναφέρεται ρητά το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων είναι το θα εξυπακούεται ότι
I d και K d Έχουμε I d d ] = = d d = d ] = = ] d d δηλ I I ] Άρα I ] ή I d ] c Από την και την ισότητα Ι= K την οποία δείξαμε παραπάνω προκύπτει ότι K d ] c α Έχουμε { } d im d
6 και σύμφωνα με τον τύπο είναι d ] c Άρα { } im ] ] = im Για το ολοκλήρωμα δεν συγκλίνει ενώ για είναι im im και επειδή και είναι και Άρα im και im και κατά συνέπεια im ] { } β { } d im d im ] ] im δηλ { }
7 Σύμφωνα με τον Ορισμό έχουμε και { } και { } Παράδειγμα Να βρεθούν οι μετασχηματισμένες lc των συναρτήσεων : α ih β g coh α Επειδή έχουμε και ο τελεστής έχει τη γραμμική ιδιότητα Θεώρημα { } { } { } { } Ακόμη Παράδειγμα είναι { } { } και άρα { } { } { } δηλ είναι {ih } β Ανάλογα αποδεικνύεται ότι είναι {coh } 6 Παράδειγμα Να βρεθούν οι αντίστροφες μετασχηματισμένες lc των συναρτήσεων : α F β G όπου R α Αναλύουμε το ρητό κλάσμα σε άθροισμα απλών κλασμάτων Για συντομία πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή του κλάσματος επί και γράφουμε
8 τον αριθμητή σαν διαφορά των παραγόντων του παρονομαστή δηλ γράφουμε Έτσι έχουμε και επομένως Ακόμη επειδή Θεώρημα ο τελεστής έχει τη γραμμική ιδιότητα και Παράδειγμα } { } { έχουμε } { } { δηλ είναι β Αναλύουμε το ρητό κλάσμα σε άθροισμα απλών ρητών κλασμάτων Για συντομία γράφουμε τον αριθμητή χωρίζουμε σε δυο κλάσματα και αναλύουμε το δεύτερο κλάσμα όπως και στην περίπτωση α Έτσι έχουμε και άρα
{ } { } δηλ είναι 7 Παράδειγμα Να βρεθούν οι μετασχηματισμένες lc των συναρτήσεων α β g α { } d im d] και Επομένως d d d c im d] im im Για το ολοκλήρωμα δεν συγκλίνει ενώ για είναι im im και im im Επειδή όταν έχουμε τότε εφαρμόζοντας τον κανόνα του Hoil im im im Άρα im και κατά συνέπεια
{ } β Είναι σύμφωνα με τον Ορισμό { } d im d Ολοκληρώνοντας κατά παράγοντες και παίρνοντας υπόψη μας ότι έχουμε d c d d d d c c και άρα είναι d Εφαρμόζοντας δυο φορές τον κανόνα του ' Hoil αποδεικνύουμε ότι είναι Επομένως έχουμε im { } im δηλ { } 8 Παράδειγμα Η συνάρτηση που ορίζεται από την ισότητα d λέγεται συνάρτηση Γ ή συνάρτηση γενικευμένο παραγοντικό αποδεικνύεται στα Μαθηματικά ότι το γενικευμένο αυτό ολοκλήρωμα συγκλίνει για ότι δηλ η συνάρτηση ορίζεται για Να δειχτεί ότι :
α β! N γ Με χρήση της συνάρτησης να δειχτεί ότι είναι α Είναι και άρα! N d d d d Επειδή έχουμε β Έχουμε d d im και d d d d ] δηλ η ισότητα! ισχύει για υπενθυμίζουμε ότι είναι! = Θέτοντας στην ισότητα παίρνουμε και θέτοντας παίρνουμε! Επομένως η ισότητα ισχύει και για και Επαγωγικά αποδεικνύεται τώρα ότι η ισότητα ισχύει για κάθε N γ Είναι σύμφωνα με τον Ορισμό
{ } d Αν στο ολοκλήρωμα αυτό κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής τότε έχουμε d d d d ή d d Ακόμη έχουμε και για είναι ενώ για είναι Επομένως d { } d Επειδή όπως μας δίνεται παραπάνω το ολοκλήρωμα συγκλίνει για το ολοκλήρωμα { } συγκλίνει για δηλ για Τέλος όταν ν = ή N τότε είναι και! δηλ τότε το ολοκλήρωμα συγκλίνει στην τιμή! Επομένως είναι! { } για ν = ή N Λυμένες Ασκήσεις Άσκηση Να βρεθούν οι αντίστροφες μετασχηματισμένες lc των συναρτήσεων : α F β G 7 α Είναι και Άρα
} { } { δηλ είναι β Έχουμε και 7 Αλλά και άρα 7 7 Επομένως } { } { 7 7 7 7 δηλ 7 7 Άσκηση Να βρεθούν οι μετασχηματισμένες lc των συναρτήσεων :
α β g b α Είναι Θεώρημα { } { } { } και Παράδειγμα { } { } και άρα { } δηλ { } β Είναι b b b και άρα { b} { b b} Αλλά Παράδειγμα είναι και κατά συνέπεια b { } b { } { } { } b b { b} Άσκηση Να βρεθούν οι μετασχηματισμένες lc των συναρτήσεων : α β g α Επειδή έχουμε και άρα { } { } {} { } =
δηλ είναι } { β Επειδή έχουμε { } { } } { {} δηλ } { Άσκηση Να υπολογιστούν οι μετασχηματισμένες lc των συναρτήσεων : α β g α { } { } { } { } { } 6 6!! δηλ 6 6 } { β g { } { } { } { } { }!! δηλ
6 { } Άσκηση Να βρεθούν οι αντίστροφες μετασχηματισμένες lc των συναρτήσεων : α F β G Αναλύουμε το ρητό κλάσμα σε άθροισμα απλών κλασμάτων A B Μετά την απαλοιφή παρονομαστών έχουμε A B ή A A B B Εξισώνοντας τους συντελεστές των ίσων δυνάμεων του στα δυο μέλη έχουμε A A B B και λύνοντας το σύστημα αυτό βρίσκουμε A B Άρα 8 8 8 8 και { } { 8 8 } 8 { } { } { } 8 { }
7 8! { } 8 8 8 δηλ { } 8 8 β A B E A B E A B A B A B Άρα και { } { } { } {! } { } { }! δηλ { } Άσκηση 6 Nα βρεθούν με χρήση του Ορισμού οι μετασχηματισμένες lc των συναρτήσεων : α β g γ h α { } d d d d d
8 d β } { d d d g d g d g g d d γ } { d d d d d d d h h
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΣΕΙΡΑ F O U R I E Σειρά Forir περιοδικής συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής η οποία ορίζεται σε όλο το R λέγεται περιοδική αν υπάρχει τέτοιος ώστε να ισχύει R Ο θετικός αριθμός λέγεται περίοδος της Ο ελάχιστος για τον οποίο ισχύει η εφόσον βέβαια υπάρχει λέγεται αρχική περίοδος της Παρατήρηση Οι συναρτήσεις και είναι περιοδικές με αρχική περίοδο Οι συναρτήσεις και όπου είναι περιοδικές με αρχική περίοδο Παρατήρηση Η σταθερή συνάρτηση c είναι περιοδική Περίοδός της μπορεί να ληφθεί οποιοσδήποτε θετικός Επομένως η σταθερή συνάρτηση δεν έχει αρχική περίοδο Οι συναρτήσεις είναι μερικές από τις μη περιοδικές συναρτήσεις Παρατήρηση Ας είναι μια περιοδική με περίοδο συνάρτηση Επειδή όταν το διατρέχει το διάστημα τότε το διατρέχει το διάστημα από την προκύπτει ότι οι τιμές της στο διάστημα είναι μια επανάληψη των τιμών της στο Πιο γενικά οι τιμές της στο διάστημα όπου είναι ακέραιος είναι μια επανάληψη των τιμών της στο Παρατήρηση Ας είναι μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο Το γράφημα της στο διάστημα προκύπτει από το γράφημά της στο με μετατόπιση παράλληλη προς τον άξονα των κατά μονάδες μήκους Σχ Πιο γενικά το γράφημα της στο διάστημα προκύπτει από το γράφημά της στο με παράλληλη og
O προς τον άξονα των μετατόπιση Σχ Γράφημα περιοδικής συνάρτησης 6 Παρατήρηση Αν οι συναρτήσεις και είναι περιοδικές με περίοδο τότε και η συνάρτηση όπου R είναι περιοδική με περίοδο επίσης 7 Ορισμός Ας είναι μια περιοδική με περίοδο συνάρτηση ολοκληρώσιμη σε ένα διάστημα μήκους Οι αριθμοί και b που ορίζονται από τις ισότητες b d όπου N λέγονται συντελεστές Forir της συνάρτησης d d Οι συντελεστές Forir της συνάρτησης όπως ορίστηκαν παραπάνω είναι ανεξάρτητοι του πραγματικού αριθμού 8 Ορισμός Η σειρά συναρτήσεων b ] όπου b είναι οι συντελεστές Forir της περιοδικής με περίοδο συνάρτησης λέγεται τριγωνομετρική σειρά Forir ή απλά σειρά Forir της συνάρτησης Παρατήρηση Για τον υπολογισμό των συντελεστών Forir συχνά χρησιμοποιούμε τους παρακάτω τύπους ή 6
d b d d d b d d 6 Οι τύποι και 6 προκύπτουν από τους τύπους αν θέσουμε σ αυτούς και αντίστοιχα Όταν η περίοδος της συνάρτησης είναι ίση με τότε οι τύποι και 6 γίνονται αντίστοιχα d b d d 7 d b d d 8 Παράδειγμα Να βρεθεί η σειρά Forir της περιοδικής συνάρτησης όπου " και R Έχουμε δηλ και ] ] d d d Ακόμη d d d = ] ] ] ] ] και επειδή Βλέπε Άσκ είναι έχουμε
Για το συντελεστή b έχουμε ] " b d d και αν στο ολοκλήρωμα K d κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής έχουμε Κατά συνέπεια είναι K d d d b d d και η σειρά Forir της είναι η : ]] ] Ορισμός Μια συνάρτηση λέγεται άρτια συνάρτηση αν ισχύει και λέγεται περιττή συνάρτηση αν ισχύει R R Θεώρημα Αν η περιοδική με περίοδο συνάρτηση είναι άρτια τότε : α είναι b N δηλη σειρά Forir αυτής είναι σειρά συνημιτόνων β οι συντελεστές της και δίνονται από τους τύπους d και d
Απόδειξη α Έχουμε τύποι 6 b d d d I I όπου I d και I d Στο ολοκλήρωμα I κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής Έχουμε d d και για είναι ενώ για είναι Ακόμη αφού η συνάρτηση είναι άρτια και είναι για κάθε τόξο Επομένως έχουμε και άρα είναι β Έχουμε τύποι 6 I d d d d I b I I I I N d d d I I όπου I d και I d Στο ολοκλήρωμα I κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής Έχουμε τότε d d και αφού η είναι άρτια Επίσης για είναι και για είναι Άρα Υπενθυμίζουμε ότι d d b b Υπενθυμίζουμε ακόμη ότι στο ορισμένο ολοκλήρωμα δεν έχει σημασία η ονομασία της ανεξάρτητης μεταβλητής
d I I d d d και επομένως I I I I I d Ανάλογα για έχουμε d I I 6 όπου Αν στο ολοκλήρωμα I d και I 6 d I d κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής αποδεικνύουμε όπως και παραπάνω ότι είναι I I 6 και άρα I I 6 I 6 I 6 I 6 d Παράδειγμα Να βρεθεί η σειρά Forir της περιοδικής συνάρτησης όπου αν και R Έχουμε δηλ και η συνάρτηση είναι άρτια Σχ αφού Άρα Θεώρημα είναι R π -π -π -π -π Ο π π π π
Σχ b d d και d Αλλά d ] και Βλέπε Ασκ d d δηλ " Επομένως η σειρά Forir της είναι η Βλέπε Ασκ και ] ] Θεώρημα Αν η περιοδική με περίοδο συνάρτηση είναι περιττή τότε : α είναι και N δηλη σειρά Forir αυτής είναι σειρά ημιτόνων β οι συντελεστές b δίνονται από τους τύπους b d b N
6 b d Απόδειξη Είναι ανάλογη εκείνης του Θεωρήματος και παραλείπεται Παράδειγμα Να βρεθεί η σειρά Forir της περιοδικής συνάρτησης όπου αν και R Έχουμε δηλ και η συνάρτηση είναι προφανώς περιττή -π -π Ο π π Σχ Σχ Άρα είναι και b d d d ] d ] Επομένως η σειρά Forir της είναι η ] b 6 Πρόταση Οι συντελεστές Forir : ] α του αθροίσματος δυο συναρτήσεων και ισούνται με το άθροισμα των συντελεστών Forir των και
7 β της συνάρτησης c όπου c R ισούνται με το γινόμενο του c και των αντιστοίχων συντελεστών Forir της συνάρτησης Λυμένες Ασκήσεις Άσκηση Να υπολογιστούν τα αόριστα ολοκληρώματα α I d β K d γ d δ M d όπου R α Εφαρμόζοντας τη μέθοδο ολοκλήρωσης κατά παράγοντας έχουμε δηλ I d ] d ] c I d c β Ανάλογα K d ] d c δηλ K d c γ Εφαρμόζοντας κι εδώ τη μέθοδο ολοκλήρωσης κατά παράγοντες έχουμε d ] d d K
8 ] c δηλ d c δ Ανάλογα M I δηλ M d Άσκηση c Να υπολογιστούν για N τα : α β γ δ α Για και έχουμε και Άρα είναι Για περιττό έχουμε ] και για άρτιο έχουμε = N β Για περιττό έχουμε ] Άρα ενώ για άρτιο έχουμε
γ Για έχουμε για έχουμε για έχουμε και για Άρα είναι έχουμε ] ] ] " ή " " " δ Με όμοιο τρόπο διαπιστώνουμε ότι είναι " ή " " Άσκηση Να βρεθεί η σειρά Forir της περιοδικής συνάρτησης με περίοδο της οποίας το γράφημα στο διάστημα δίνεται στο παρακάτω Σχ
- π - Ο Σχ Είναι η συνάρτηση " " η οποία είναι προφανώς άρτια Άρα είναι b και επειδή είναι ακόμη Αλλά και d και d d d ] d d ] και άρα Ασκ είναι " Επομένως η σειρά Forir της είναι η 7 ] 7 ]
Άσκηση Να βρεθεί η σειρά Forir της περιοδικής με περίοδο συνάρτησης γράφημα στο διάστημα δίνεται στο παρακάτω Σχ της οποίας το O Σχ Είναι η συνάρτηση που ορίζεται από τις ισότητες " και R Έχουμε δηλ και ] d d d d d d ] ] Ακόμη b d d ] ] ] ] δηλ b " Επομένως η σειρά Forir της είναι η :
b ] Άσκηση ] Να βρεθεί η σειρά Forir της περιοδικής συνάρτησης όπου R R Έχουμε δηλ και άρα d d ] d d ] ] ] N και b d d ] ] Επομένως η σειρά Forir της είναι η : ] ] ] Άσκηση 6 Να βρεθεί η σειρά Forir της περιοδικής συνάρτησης όπου
" Έχουμε δηλ Άρα και R d d d ] d d ] N * και b d d ] ] ] δηλ b " Επομένως η σειρά Forir της είναι η : b ] ] Άσκηση 7 Να βρεθεί η σειρά Forir της περιοδικής συνάρτησης όπου " και R Έχουμε δηλ Άρα
d d d ] ] d d d ] ] N και b d d d ] ] ] ] ] δηλ b " Έπομένως η σειρά Forir της είναι η : ] Άσκηση 8 ] Να βρεθεί η σειρά Forir της περιοδικής συνάρτησης όπου " " " και R Έχουμε δηλ Άρα d d d d d
] ] d d d ] ] ] ] ] N και d d d b = ] ] ] ] ] Αλλά " " " b " " " και επομένως η σειρά Forir της είναι η : ] b ] 6 6 ] 7 7
6 ] 6 ] 7 ] 7 όπου Παρατήρηση Η συνάρτηση g g που ορίζεται απο τις ισότητες g " " " " και g g R είναι περιττή και έχει τους ίδιους ακριβώς με την συντελεστές Forir αφού οι τιμές της διαφέρουν από τις τιμές της μόνο σε πεπερασμένου πλήθους σημείων του διαστήματος Επομένως αν είναι οι συντελεστές Forir της συνάρτησης g τότε έχουμε και δηλ έχουμε Άσκηση Να βρεθεί η σειρά Forir της περιοδικής συνάρτησης όπου " " " και R Έχουμε δηλ Άρα d d d d d d d d
7 ] ] ] ] δηλ " " " Άκόμη d d d b ] ] ] ] ] ] δηλ b " Επομένως η σειρά Forir της είναι η : ] ] ] 7 7
8 Άσκηση Να βρεθεί η σειρά Forir της περιοδικής συνάρτησης όπου και R Έχουμε δηλ Επειδή η συνάρτηση είναι άρτια είναι b Ακόμη d d ] και d d ] δηλ " Επομένως η σειρά Forir της είναι η : Βλέπε Ασκ