Πανελλαδικές εξετάσεις 6 Ενδεικτικές ααντήσεις στο µάθηµα Μαθηµατικά Οµάδας Προσανατολισµού Θετικών Σουδών Οικονοµίας και Πληροφορικής Θέµα Α A. Σχολικό βιβλίο σελ.(6-6) A. Σχολικό βιβλίο σελ.(4) A. Σχολικό βιβλίο σελ.(46) A4. i) Λάθος ii) Σωστό iii) Λάθος iv) Σωστό v) Σωστό Θέµα Β Β. f() =, R + f () είναι συνεχής στο R ως ρητή f () είναι αραγωγίσιµη στο R µε ( + ) () f () = = ( + ) ( + ) f () = ( + ) f () > ( ) + > > = =
+ f () - + f () Μονοτονία: f () γνησίως φθίνουσα στο (-,] f () γνησίως αύξουσα στο [, + ) ΑΚΡΟΤΑΤΑ f () αρουσιάζει ελάχιστο στο = το f () = άρα f() f() f() για κάθε R Β. f είναι δύο φορές αραγωγίσιµη στο R µε ( + ) ( + ) 6 + f () = = ( + ) ( + ) f () = f () > ( ) ( + ) ( ) ( + ) 4 = > = ( ) ( + ) = = ή = +> > < < < < Εοµένως, η f είναι κοίλη σε καθένα αό τα διαστήµατα (-, ] και [ διάστηµα [, ] Εειδή η f ʹʹ µηδενίζεται στα σηµεία τα σηµεία Α(- αφού f ( ) = και 4,+ ) και κυρτή στο = ή = και εκατέρωθεν αλλάζει ρόσηµο,, 4 ) και Β(, 4 ) είναι σηµεία καµής της C f f ( ) = 4
Β. f () δεν αρουσιάζει κατακόρυφη ασύµτωτη αφού + (, ) Αναζητούµε λάγια οριζόντια ασύµτωτη Στο - f() lim = lim + = lim = lim = lim = + άρα λ= lim f () = lim = lim = + άρα β= Εοµένως η ασύµτωτη της Στο + C f στο - είναι η y=. f () lim = + άρα λ= lim + f () άρα β= = Εοµένως η ασύµτωτη της C f στο + είναι η y= Β4. f () - - + + f () - + + - f () 4 4 +
Θέµα Γ Γ. Έστω η συνάρτηση g() = e, R. H g() αραγωγίσιµη ως άθροισµα αραγωγίσιµων συναρτήσεων στο R µε ( ). g () = e = e Για κάθε R e e g () = = g () > > g () < < + g () - + g() H g() αρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = το g() =. Για > g g() > g() = Για < g g() > g() = Άρα η = είναι η µοναδική ρίζα της εξίσωσης e =. 4
Γ. f () = ( e ) f () = ( e ) f () = g() g() f () = g(). f () = e () Αό Γ, f () = () e = = H f () και συνεχής σε κάθε ένα αό τα διαστήµατα (,) και (,+ ). Άρα διατηρεί σταθερό ρόσηµο σε κάθε ένα αό τα διαστήµατα (,) και (,+ ). Στο (,) : o Αν f () > άρα αό () f () = e () o ( ) () Αν f () < άρα αό () f () = e f () = e Στο (,+ ) : o Αν f () > άρα αό () f () = e (4) o ( ) (5) Αν f () < άρα αό () f () = e f () = e Συνδιάζοντας τις () και () µε τις (4) και (5) έχουµε τους τύους της f () : f () = e, < ( e ), f () = ( e ), < e, f () = e, R, f () = ( e ), R 5
Γ. H f () = e, R είναι συνεχής ως άθροισµα συνεχών. H f () αραγωγίσιµη µε f () = ( e ) = ( e ) f () = ( ) ( e ) + ( e ) = ( e ) + e = 4 e + e Θεωρώ τη συνάρτηση h() = 4 e + e, R. h () = ( 4 ) e + 4 ( e ) + ( e ) = 8e + 4 e + e = 4e ( + ). h () = h () > ( )> 4e + ( )> 4e + = > + h () - + h() H h() αρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο = το h() =. Άρα h() για κάθε R (η ισότητα ισχύει για = ) Oότε f () = h(), R, άρα η f κυρτή στο R. Γ4. ( ) f ( ηµ ) = f + f ηµ + ( ) f () () Θεωρώ τη συνεχή συνάρτηση ϕ ( ) = f ( + ) f (), [,+ ) Στο διάστηµα (,+ ) ϕ () = ( f ( + ) f ()) = f ( + )( + ) f () = f ( + ) f () f κυρτή στο R εοµένως η f γνησίως αύξουσα. Για < + f f () < f ( + ) f ( + ) f () > ϕ () > άρα η ϕ() γνησίως αύξουσα στο [,+ ) οότε και -. 6
() ϕ ( ηµ ) = ϕ ( ) ηµ = ηµ = () (όµως ισχύει ηµ, R και η ισότητα ισχύει µόνο για = ) Άρα η εξίσωση () έχει µοναδική λύση την =. Θέµα Δ Δ ( f () + f ())ηµ d = f ()ηµ d + f () ( ) ηµ d = [ ] f ()ηµ d + f ()ηµ f ()συνd = f ()ηµ d + f ( )ηµ f ()ηµ [ f ()συν ] ( f ()( ηµ)d ) = f ()ηµd f ()συν [ ] f ()ηµ d = f ( )συν + f ()συν = f ( ) + f () = () f () lim ηµ = Θέτω g() = f () ηµ f () = g()ηµ και lim g() =. H f συνεχής στο R άρα και στο, οότε f () = lim f () = lim g()ηµ () f ( ) + = f ( ) =. ( ) = ηµ = f () f () lim = lim Άρα f () =. f () = lim g()ηµ = lim g() ηµ = = 7
Δ. Α) Έχουµε: e f () + = f H f αραγωγίσιµη στο R. f ( f ()) + e () ( f ()) αραγωγίσιµη ως σύνθεση αραγωγίσιµων. Παραγωγίζουµε τη σχέση (): e f () f () + = f ( f ()) + e (). Έστω ότι η f αρουσιάζει ακρότατο στο, τότε αό θεώρηµα Fermat θα ισχύει f ( ) =. Άρα () = ( ) e f ( ) + = f e = = f ( f ( )) f Άρα f () =, άτοο γιατί f () =. ( ) + e Eοµένως η f δεν αρουσιάζει ακρότατο στο R. Β) Αό το ερώτηµα (Δα), η f () R και αφού η f συνεχής στο R, η f διατηρεί σταθερό ρόσηµο στο R. Εφόσον λοιόν f () = > θα είναι f () > οότε η f γνησίως αύξουσα στο R. Δ. f συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R, άρα ( ) f ( R)= lim f (), lim f () lim f () = + () + +, και εειδή f (R) = R = (,+ ) άρα ηµ f () f () f () ηµ f () f () Αό (), είναι lim + ηµ lim + f () = () f () = και lim f () =, άρα αό κριτήριο αρεµβολής, 8
συν Oµοίως, lim + f () = () Άρα lim + ηµ f () + συν (),() f () = + = Δ4. ( ) e f ln < d < () Θέτω ln = u d = du Για = u = ln u = Για = e u = lne u = Άρα () < f (u)du < () Για u f f () f (u) f ( ) f ( u) ισότητα ισχύει για u = Άρα du < f (u)du < du (µε αόδειξη του f () g() f ()d g()d < f (u)du < ( ) < f (u)du < β α β ) α 9