ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ BESSEL

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ BESSEL ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΑΠΟΚΤΗΣΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ ΠΑΠΑΪΩΑΝΝΟΥ ΜΑΡΙΑ Επιβλέπουσα : Χρυσή Γ. Κοκολογιαννάκη Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τµήµατος Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Πατρών ΠΑΤΡΑ 2018 1

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ BESSEL ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΑΠΟΚΤΗΣΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ ΠΑΠΑΪΩΑΝΝΟΥ ΜΑΡΙΑ ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Χ. Κοκολογιαννάκη - Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τµήµατος Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Πατρών Β. Παπαγεωργίου - Καθηγητής Τµήµατος Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Πατρών Ε. Πετροπούλου - Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Πατρών 2

Ευχαριστίες Καθώς η παρούσα εργασία αποτελεί το τελευταίο ϐήµα για την ολοκλήρωση των µεταπτυχιακών µου σπουδών, ϑα ήθελα να ευχαριστήσω όλους αυτούς που µε στήριξαν στην προσπάθεια αυτή. Η διπλωµατική αυτή εκπονήθηκε στα πλαίσια του Προγράµµατος Μεταπτυχιακών Σπουδών του Πανεπιστηµίου Πατρών «Μαθηµατικά και Σύγχρονες Εφαρµογές» στην κατεύθυνση των Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών. Η επίβλεψη της εργασίας αυτής, έγινε από την Αναπληρώτρια Καθηγήτρια του Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Πατρών κα. Χρυσή Κοκολογιαννάκη, η οποία µε ϐοήθησε τόσο µε τις γνώσεις της όσο και µε την κατανόησή της να ϕτάσω στο επιθυµητό αποτέλεσµα. Θα ήθελα λοιπόν, να ευχαριστήσω ϑερµά την επιβλέπουσα καθηγήτριά µου κα. Χρυσή Κοκολογιαννάκη, τόσο για την ευκαιρία που µου έδωσε να ασχοληθώ µε το ϑέµα της διπλωµατικής µου εργασίας, όσο και για την υποστήριξη που µου παρείχε καθ όλη τη διάρκεια της προετοιµασίας και της συγγραφής της εργασίας αυτής. Θα ήθελα επίσης, να ευχαριστήσω και τα µέλη της τριµελούς εξεταστικής επιτροπής της διπλωµατικής µου εργασίας, τον κ. Βασίλειο Παπαγεωργίου, Καθηγητή Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Πατρών και την κα. Ευγενία Πετροπούλου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστηµίου Πατρών όχι µόνο για τη συµµετοχή τους στην εξεταστική επιτροπή, αλλά και για τις επισηµάνσεις και τις παρατηρήσεις τους επί του τελικού κειµένου. Τέλος, ϑα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς µου που µε υποστηρίζουν µε κάθε τρόπο σε οποιοδήποτε εγχείρηµα και ιδιαίτερα για την στήριξή τους στην προσπάθεια να ολοκληρώσω τις µεταπτυχιακές µου σπουδές µε επιτυχία. Πάτρα, Μάιος 2018 Μαρία Παπαϊωάννου 3

Περιεχόµενα Περίληψη...σελ.6 Summary...σελ.7 Ιστορικά στοιχεία - Εισαγωγή...σελ.8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1.1 Προτάσεις σχετικά µε τις πραγµατικές ϱίζες των συναρτήσεων Bessel J ν z) και J νz)...σελ.11 1.2 Προτάσεις σχετικά µε τις πραγµατικές ϱίζες της J ν n) z) για n 2...σελ.13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 2.1 Κάτω ϕράγµατα για την πρώτη ϑετική πραγµατική ϱίζα j ν,1 της J ν z)...σελ.27 2.2 Κάτω ϕράγµατα για την κ -οστή ϑετική πραγµατική ϱίζα j ν,κ της J ν z), κ 1...σελ.29 2.3 Άνω ϕράγµατα για την πρώτη ϑετική πραγµατική ϱίζα j ν,1 της J ν z)...σελ.30 2.4 Άνω ϕράγµατα για την κ -οστή ϑετική πραγµατική ϱίζα j ν,κ της J ν z), κ 1...σελ.31 2.5 Κάτω ϕράγµατα για την πρώτη ϑετική πραγµατική ϱίζα j ν,1 της J νz)...σελ.33 2.6 Άνω ϕράγµατα για την πρώτη ϑετική πραγµατική ϱίζα j ν,1 της J νz)...σελ.34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1 Προτάσεις σχετικά µε τις πραγµατικές ϱίζες της συνάρτησης J ν z)...σελ.35 3.2 Προτάσεις σχετικά µε την ύπαρξη πραγµατικών ϱιζών της J ν z) στο διάστηµα 0, j ν,1 )...σελ.38 4

3.3 Κάτω ϕράγµατα για την πρώτη ϑετική πραγµατική ϱίζα j ν,1 της J ν z)...σελ.46 3.4 Άνω ϕράγµατα για την πρώτη ϑετική πραγµατική ϱίζα j ν,1 της J ν z)...σελ.50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 4.1 Προτάσεις σχετικά µε τις πραγµατικές ϱίζες της συνάρτησης J ν z)...σελ.53 4.2 Προτάσεις σχετικά µε την ύπαρξη πραγµατικών ϱιζών της J ν z) στο διάστηµα 0, j ν,1 )...σελ.58 4.3 Αποτελέσµατα σχετικά µε την µονοτονία των πραγµατικών ϱιζών της συνάρτησης J ν z)...σελ.63 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ταξινόµηση των πρώτων ϑετικών ϱιζών των συναρτήσεων Bessel J νz), J ν z) και J ν z) στο διάστηµα 0, j ν,1 ), για διάφορες τιµές του ν R...σελ.68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 6.1 Προτάσεις σχετικά µε τις µιγαδικές και καθαρά ϕανταστικές ϱίζες των συναρτήσεων Bessel J ν z)...σελ.73 6.2 Προτάσεις σχετικά µε τις µιγαδικές και καθαρά ϕανταστικές ϱίζες των συναρτήσεων Bessel J νz)...σελ.73 6.3 Προτάσεις σχετικά µε τις µιγαδικές και καθαρά ϕανταστικές ϱίζες των συναρτήσεων Bessel J ν z)...σελ.74 6.4 Προτάσεις σχετικά µε τις µιγαδικές και καθαρά ϕανταστικές ϱίζες των συναρτήσεων Bessel J ν z)...σελ.78 Παράρτηµα Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων Bessel J ν z) και J νz), για διάφορες τιµές του ν R...σελ.80 Βιβλιογραφία...σελ.84 5

Περίληψη Οι συναρτήσεις Bessel λόγω της ευρείας εφαρµογής τους σε διάφορα προ- ϐλήµατα της Μαθηµατικής Φυσικής, της Αστρονοµίας, της Κβαντοµηχανικής και αλλού, έχουν ερευνηθεί σε ϐάθος και ερευνώνται µέχρι και σήµερα. Υπάρχει πληθώρα ϐιβλιογραφίας αλλά και δηµοσιευµένων επιστηµονικών εργασιών που εξετάζουν τόσο τις συναρτήσεις Bessel όσο και τις ϱίζες αυτών, καθώς το πρόβληµα των ϱιζών αποτελεί ένα από τα πιο σηµαντικά Ϲητήµατα στη ϑεωρία των συναρτήσεων Bessel. Στην παρούσα εργασία, ϑα µελετήσουµε τις ϱίζες των συναρτήσεων Bessel και των παραγώγων αυτών. Πιο συγκεκριµένα, ϑα καταγράψουµε και ϑα α- ποδείξουµε προτάσεις που αφορούν στις πραγµατικές, µιγαδικές αλλά και καθαρά ϕανταστικές ϱίζες της n -οστής παραγώγου των συναρτήσεων Bessel z) για n 0. Ακόµη, όσον αφορά στις πραγµατικές ϱίζες, ϑα δώσουµε J n) ν ϕράγµατα γι αυτές, ϑα εξετάσουµε το πλήθος τους σε συγκεκριµένα διαστήµατα αλλά και ϑα προσπαθήσουµε να τις ταξινοµήσουµε στο διάστηµα 0, j ν,1 ), όπου µε j ν,1 έχουµε συµβολίσει την πρώτη ϑετική ϱίζα της συνάρτησης J ν z). Στο κεφάλαιο 1, αφού διατυπώσουµε µερικά αποτελέσµατα σχετικά µε τις πραγµατικές ϱίζες των συναρτήσεων Bessel J ν z) και J νz), ϑα αποδείξουµε κάποιες προτάσεις σχετικά µε τις πραγµατικές ϱίζες της n -οστής πα- ϱαγώγου των συναρτήσεων Bessel J ν n) z) για n 2, καθώς ϑα έχουµε ήδη αναφέρει τα αντίστοιχα αποτελέσµατα για n = 0 και 1. Στο κεφάλαιο 2, ϑα δώσουµε κάτω και άνω ϕράγµατα τόσο για την πρώτη ϑετική πραγµατική ϱίζα των συναρτήσεων Bessel J ν z) και J νz), όσο και για την κ -οστή ϑετική πραγµατική ϱίζα των συναρτήσεων J ν z), για κ 1. Στα κεφάλαια 3 και 4, ϑα αποδείξουµε προτάσεις σχετικά µε τις πραγ- µατικές ϱίζες των συναρτήσεων Bessel J ν z) και J ν z), αντίστοιχα και ϑα µελετήσουµε την ύπαρξη πραγµατικών ϱιζών των συναρτήσεων αυτών σε συγκεκριµένα διαστήµατα. Επίσης, όσον αφορά στις συναρτήσεις J ν z) ϑα δώσουµε κάτω και άνω ϕράγµατα για την πρώτη ϑετική πραγµατική ϱίζα αυτών, ενώ ϑα αποδείξουµε κάποια αποτελέσµατα σχετικά µε την µονοτονία των πραγµατικών ϱιζών των συναρτήσεων Bessel J ν z). Στο κεφάλαιο 5, για διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού ν, ϑα ταξινοµήσουµε τις πρώτες ϑετικές ϱίζες των συναρτήσεων Bessel J νz), J ν z) και J ν z) στο διάστηµα 0, j ν,1 ), σύµφωνα µε όσα έχουµε αναφέρει στα προηγούµενα κεφάλαια. Τέλος, στο κεφάλαιο 6, ϑα καταγράψουµε κάποιες προτάσεις που αφο- ϱούν στις µιγαδικές αλλά και στις καθαρά ϕανταστικές ϱίζες των συναρτήσεων Bessel J ν n) z) όπου n = 0, 1, 2 και 3, για διάφορες τιµές του ν R. 6

Summary Bessel functions due to their widespread applicability to various problems of Mathematical Physics, Astronomy, Quantum Mechanics and elsewhere, have been investigated in depth until today. There is plenty of bibliography and published scientific papers that study not only Bessel functions but also their zeros, since the problem of the zeros is one of the most important issues in the theory of Bessel functions. In the present thesis, we will study the zeros of Bessel functions and their derivatives. More specifically, we will present propositions concerning real, complex and also purely imaginary zeros of the n-th derivative of Bessel functions J ν n) z) for n 0. Furthermore, concerning the real zeros, we will give bounds for them, we will examine their location at specific intervals and we will also try to classify them at the interval 0, j ν,1 ), where j ν,1 is the first positive zero of the function J ν z). In chapter 1, we will first formulate some results on the real zeros of Bessel functions J ν z) and J νz) and then we will prove some propositions about the real zeros of the n-th derivative of Bessel functions J ν n) z) for n 2, as the corresponding results for n = 0 and 1 will have already been mentioned. In chapter 2, we will give lower and upper bounds not only for the first positive real zero of Bessel functions J ν z) and J νz), but also for the κ-th positive real zero of J ν z), for κ 1. In chapters 3 and 4, we will prove propositions about the real zeros of Bessel functions J ν z) and J ν z) respectively and we will study the existence of real zeros of these functions at specific intervals. Also, concerning the functions J ν z) we will give lower and upper bounds for their first positive real zero, while we will prove some results on the monotonicity of the real zeros of Bessel functions J ν z). In chapter 5, we will classify the first positive zeros of Bessel functions J νz), J ν z) and J ν z) at the interval 0, j ν,1 ), for various values of the real number ν, according to all these that have been stated on the previous chapters. Finally, in chapter 6, we will mention some propositions concerning the complex and the purely imaginary zeros of Bessel functions J ν n) z) where n = 0, 1, 2 and 3, for various values of ν R. 7

Ιστορικά στοιχεία - Εισαγωγή Οι συναρτήσεις Bessel, όπως αναφέρεται και στη ϐιβλιογραφία [3,27,28,30], πήραν το όνοµά τους προς τιµήν του αστρονόµου F.W. Bessel 1784-1846) ο οποίος τις µελέτησε λεπτοµερώς το 1824. Μελετώντας την τροχιά του κοµήτη Haley και την κίνηση των πλανητών, κατέληξε στη διαφορική εξίσωση που έχει την µορφή z 2 y z) + zy z) + z 2 ν 2 )yz) = 0, z, ν C η οποία ϕέρει και το όνοµά του δ.ε.bessel) και εξέτασε λεπτοµερώς τις ιδιότητες των λύσεων αυτής της διαφορικής εξίσωσης, που ονοµάζονται συναρτήσεις Bessel. Οι συναρτήσεις Bessel J ν z) πρώτου είδους και τάξης ν, ορίζονται υπό µορφήν συγκλίνουσας δυναµοσειράς, για z C και ν R ως : J ν z) = m=0 1) m z ) 2m+ν Γν + m + 1)m! 2 Ενα από τα πιο σηµαντικά Ϲητήµατα στη ϑεωρία των συναρτήσεων Bessel είναι το πρόβληµα των ϱιζών αυτών. Η µελέτη της συµπεριφοράς των ϱι- Ϲών των συναρτήσεων αυτών χρονολογείται από το 1738, όταν ο D. Bernoulli εξετάζοντας την ταλάντωση µιας ϐαριάς αλυσίδας από τη ϑέση ισορροπίας της, η οποία είναι σταθερή στο άνω άκρο και ελεύθερη στο κάτω, ϐρήκε την λύση υπό µορφή σειράς η οποία περιγράφεται από την συνάρτηση Bessel µηδενικής τάξης J 0 z) και µάλιστα απέδειξε ότι η J 0 z) έχει άπειρο αριθµό ϱιζών. Το 1822, ο J. Fourier µελετώντας την µεταφορά ϑερµότητας µέσω ενός συµπαγούς κυκλικού κυλίνδρου, κατέληξε στο ίδιο αποτέλεσµα µ αυτό του D. Bernoulli. Το 1874 ταυτόχρονα µε τον Rayleigh ο οποίος υπολόγισε την µικρότερη ϑετική ϱίζα της συνάρτησης J ν z), διάφορα ερευνητικά αποτελέσµατα του Cayley είχαν σαν αποτέλεσµα την εύρεση των τύπων Rayleigh- Cayley µε τη ϐοήθεια των οποίων έγινε η πινακοποίηση ϱιζών των συναρτήσεων Bessel J ν z) για διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού ν. Το 1922 ο G.N.Watson δηµοσίευεσε µια ολοκληρωµένη έρευνα για τις συναρτήσεις Bessel στο [28], το οποίο ϑεωρείται ένα από τα πιο κλασικά συγγράµµατα, τόσο για τις συναρτήσεις Bessel όσο και για τις ϱίζες αυτών. Οι ϱίζες των συναρτήσεων Bessel J ν z) καθώς και της πρώτης παραγώγου αυτών J νz) είναι ένα δηµοφιλές αντικείµενο µελέτης, όχι µόνο επειδή συνδέονται µε προβλήµατα που προκύπτουν κατά την επίλυση της κυµατικής εξίσωσης και της εξίσωσης ϑερµότητας µε κατάλληλες συνοριακές συνθήκες, αλλά και λόγω του ότι σχετίζονται µε τις ϱίζες διάφορων µικτών συναρτήσεων Bessel. Επίσης, οι ϱίζες των συναρτήσεων αυτών έχουν ερευνηθεί σε ϐάθος και ερευνώνται µέχρι και σήµερα λόγω της µεγάλης σχέσης τους µε διάφορα 8

ϕυσικά ϕαινόµενα. Για παράδειγµα, οι εγκάρσιες ταλαντώσεις µιας µεµ- ϐράνης, η οποία έχει τη µορφή κυκλικού τοµέα και έχει συσφιχθεί κατά µήκος των άκρων της, καθορίζονται από τις πραγµατικές ϱίζες των συναρτήσεων J ν z). Ακόµη, στην κβαντοµηχανική στην προσπάθεια ερµηνείας της αρχής των στρόβιλων γραµµών που προξενούνται σε υπέρευστο ήλιο όταν ϐρίσκεται σε περιστρεφόµενο δοχείο και ικανοποιούνται συνοριακές συν- ϑήκες τύπου Dirichlet ή Neumann, προκύπτουν αποτελέσµατα στα οποία οι πραγµατικές ϱίζες των συναρτήσεων J ν z) και J νz) παίζουν πολύ σηµαντικό ϱόλο. Οσον αφορά στις ϱίζες της δεύτερης παραγώγου των συναρτήσεων Bessel J ν z), έχουν µελετηθεί εκτεταµένα στην περίπτωση όπου το ν είναι πραγµατικός αριθµός και ν < 1. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι στην περίπτωση αυτή, η συνάρτηση J νz) έχει διπλές ϱίζες, που παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον στις σύµµορφες απεικονίσεις. Στην περίπτωση όπου ν > 1 οι ϱίζες της J ν z) δεν έχουν µελετηθεί σε τόσο µεγάλο ϐαθµό όσο αυτές των συναρτήσεων J ν z) και J νz). Οι πραγµατικές ϱίζες των συναρτήσεων J ν z) παρουσιάζουν µερικά ειδικά χαρακτηριστικά που αφορούν στην σχετική τους ϑέση ως προς τις ϑετικές πραγµατικές ϱίζες j ν,κ, κ 1 των συναρτήσεων J ν z) και η τοποθέτηση των πραγµατικών ϱιζών των συναρτήσεων αυτών στο διάστηµα 0, j ν,1 ), όπου µε j ν,1 έχουµε συµβολίσει την πρώτη ϑετική ϱίζα της συνάρτησης J ν z), οδηγεί σε άνω και κάτω ϕράγµατα τα οποία είναι πολύ καλύτερα σε σχέση µ αυτά που υπάρχουν ήδη στη ϐιβλιογραφία [28]. Άλλος ένας λόγος που µελετάµε τις πραγµατικές ϱίζες των συναρτήσεων J ν z) είναι ότι συνδέονται µε τις πραγµατικές ϱίζες µικτών συναρτήσεων Bessel. Για πα- ϱάδειγµα, οι πραγµατικές ϱίζες της συνάρτησης J 0 z) είναι ίδιες µ εκείνες της συνάρτησης zj 0 z) + J 0z), η οποία εµφανίζεται σε διάφορα προβλήµατα της Μαθηµατικής Φυσικής. Σχετικά µε τις ϱίζες της τρίτης παραγώγου των συναρτήσεων Bessel J ν z), τα αποτελέσµατα που υπάρχουν στη ϐιβλιογραφία [2,18,23] είναι ελάχιστα. Κι εδώ, ένας λόγος που µελετάµε τις πραγµατικές ϱίζες των συναρτήσεων αυτών, είναι ότι συνδέονται µε πραγµατικές ϱίζες µικτών συναρτήσεων Bessel. Πιο συγκεκριµένα, οι ϑετικές πραγµατικές ϱίζες της συνάρτησης J ν z) ε- ίναι ίδιες µ εκείνες της συνάρτησης z 2 3ν 2 )J ν z) zz 2 ν 2 2)J νz) και τέτοιες συναρτήσεις, εµφανίζονται σε διάφορα προβλήµατα συνοριακών τιµών των Μερικών ιαφορικών Εξισώσεων. Ακόµη, από την τοποθέτηση των πραγµατικών ϱιζών της J ν z) στο διάστηµα 0, j ν,1 ), µπορούµε να λάβου- µε διάφορα άνω ϕράγµατα για την πρώτη ϑετική ϱίζα j ν,1 της συνάρτησης J ν z), έχοντας υπόψη τα άνω ϕράγµατα που υπάρχουν στη ϐιβλιογραφία [7,11,12,15,28] για τις πραγµατικές ϱίζες j ν,1 και j ν,1 των συναρτήσεων J νz) και J νz), αντίστοιχα. Στη ϐιβλιογραφία τα αποτελέσµατα που υπάρχουν σχετικά µε τις πραγµα- 9

τικές ϱίζες της n - οστής παραγώγου των συναρτήσεων Bessel J ν n) z) όταν το n είναι ακέραιος αριθµός µεγαλύτερος του τρία, είναι ακόµη λιγότερα. Ωστόσο, κάποια ενδιαφέροντα αποτελέσµατα σχετικά µε τις πραγµατικές ϱίζες των συναρτήσεων αυτών, όταν ν n 3, n 2) µπορούµε να τα αντλήσουµε από την εργασία [22], ενώ για οποιοδήποτε πραγµατικό αριθµό ν > n 1 από την [2]. Με την ϐοήθεια αυτών των αποτελεσµάτων, µπορούµε να προσδιορίσου- µε σε κλειστή µορφή αθροίσµατα Rayleigh τα οποία σχετίζονται µε την κ - οστή ϑετική πραγµατική ϱίζα j ν,κ n) των συναρτήσεων J ν n) z) για n 0. Από τα αθροίσµατα αυτά, προκύπτουν ενδιαφέροντα κάτω ϕράγµατα για την πρώτη ϑετική πραγµατική ϱίζα j n) n) ν,1 των συναρτήσεων Bessel J ν z) για n 0. Ακόµη, όσον αφορά στις µιγαδικές και καθαρά ϕανταστικές ϱίζες z = ϱ 1 ν) ± iϱ 2 ν) ή z = ±iϱ 2 ν) των συναρτήσεων J ν n) z) για n = 0, 1, 2 και 3, η µελέτη τους για διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού ν οδηγεί σε κάτω και άνω ϕράγµατα για την ϑετική συνάρτηση ϱ 2 ν), τα οποία είναι καλύτερα σε σχέση µε κάποια που υπάρχουν ήδη στη ϐιβλιογραφία [26,28]. Τέλος, στο παράρτηµα δίνονται γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων Bessel J ν z) και J νz), για διάφορες τιµές του ν R, οι οποίες επαληθεύουν γραφικά την ισχύ διάφορων προτάσεων που αναφέρονται στην παρούσα εργασία και υπάρχουν επίσης στη ϐιβλιογραφία [28,29,30]. 10

Κεφάλαιο 1 Μελέτη των πραγµατικών ϱιζών της n-οστής παραγώγου των συναρτήσεων Bessel J n) ν z), για n 0 Στο παρόν κεφάλαιο, ϑα διατυπώσουµε αρχικά κάποιες προτάσεις σχετικά µε τις πραγµατικές ϱίζες τόσο των συναρτήσεων Bessel J ν z) όσο και της πρώτης παραγώγου αυτών J νz), όπου z εν γένει µιγαδικός αριθµός και ν R, οι οποίες υπάρχουν και στη ϐιβλιογραφία [3,27,28,29,30]. Επειτα, ϑα αποδείξουµε κάποιες προτάσεις σχετικά τις πραγµατικές ϱίζες της n-οστής παραγώγου των συναρτήσεων Bessel J ν n) z) για n 2 [2], διότι τα αντίστοιχα αποτελέσµατα για n = 0,1 ϑα έχουν ήδη αναφερθεί. 1.1 Προτάσεις σχετικά µε τις πραγµατικές ϱίζες των συναρτήσεων Bessel J ν z) και J νz) Οι αποδείξεις των προτάσεων της παραγράφου αυτής ϐρίσκονται στο σύγγραµµα [28]. Πρόταση 1.1.1. Για ν > 1 η συνάρτηση J ν z) έχει άπειρες ϱίζες οι οποίες είναι όλες πραγ- µατικές και απλές εκτός από την µηδενική ϱίζα. 11

Σηµείωση Η συνάρτηση J ν z) έχει µόνο πραγµατικές ϱίζες και για ν = 1, αφού Παρατήρηση J 1 z) = J 1 z) Οι πραγµατικές ϱίζες της συνάρτησης J ν z) είναι συµµετρικές ως προς το µηδέν, αφού ισχύει ότι J ν z) = 1) ν J ν z) Πρόταση 1.1.2. Για ν > 1 οι ϑετικές ϱίζες της J ν z) εναλλάσσονται µε τις ϑετικές ϱίζες της J ν+1 z) και συγκεκριµένα µεταξύ δύο διαδοχικών ϱιζών της J ν z) υπάρχει µοναδική ϱίζα της J ν+1 z) και αντίστροφα. ηλαδή ισχύει ότι : 0 < j ν,1 < j ν+1,1 < j ν,2 < j ν+1,2 < j ν,3 <... όπου j ν,1 : η πρώτη ϑετική ϱίζα της J ν z), j ν+1,1 : η πρώτη ϑετική ϱίζα της J ν+1 z) κ.ο.κ. Πόρισµα Οι συναρτήσεις J ν z) και J ν+1 z) δεν έχουν κοινές ϱίζες για ν > 1. Πρόταση 1.1.3. Bourget s hypothesis) Για ν ϑετικό ακέραιο αριθµό συµπεριλαµβανοµένου του µηδενός) οι συναρτήσεις J ν z) και J ν+µ z) δεν έχουν κοινές ϱίζες, εκτός από την µηδενική, για όλες τις ϑετικές ακέραιες τιµές του µ µ=1,2,3,...) Σηµείωση Στην εργασία [24], δίνονται αποτελέσµατα που αφορούν στην ύπαρξη κοινών ϱιζών των συναρτήσεων Bessel J vm z), m = 1, 2,... για v m εν γένει µιγαδικό αριθµό καθώς επίσης και συνθήκες για τις οποίες οι συναρτήσεις J ν z) και J µ z), ν > µ > 1 δεν µπορεί να έχουν κοινές ϱίζες. 12

Πρόταση 1.1.4. Για ν > 0 η συνάρτηση J νz) έχει άπειρες ϱίζες οι οποίες είναι όλες πραγµατικές και απλές εκτός από την µηδενική ϱίζα z = 0) ή την ϱίζα z = ±ν. Σηµείωση Η συνάρτηση J νz) έχει µόνο πραγµατικές ϱίζες και για ν = 0. Παρατήρηση Οι πραγµατικές ϱίζες της συνάρτησης J νz) είναι συµµετρικές ως προς το µηδέν, αφού ισχύει ότι Πρόταση 1.1.5. J ν z) = 1) ν+1 J νz) Για ν 0 οι ϑετικές ϱίζες της συνάρτησης J ν z) εναλλάσσονται µε τις ϱίζες της J νz) και συγκεκριµένα µεταξύ δύο διαδοχικών ϱιζών της J ν z) υπάρχει µοναδική ϱίζα της J νz). ηλαδή ισχύει ότι Πόρισµα 0 < j ν,1 < j ν,1 < j ν,2 < j ν,2 < j ν,3 < j ν,3 <... Για ν 0 οι συναρτήσεις J ν z) και J νz) δεν µπορεί να έχουν κοινή ϱίζα. 1.2 Προτάσεις σχετικά µε τις πραγµατικές ϱίζες της J n) ν z) για n 2 Πρόταση 1.2.1. Για ν > n 1 η συνάρτηση J ν n) z) έχει άπειρες ϱίζες οι οποίες είναι όλες πραγµατικές και απλές εκτός από την µηδενική ϱίζα. 13

Απόδειξη Για να αποδείξουµε την ύπαρξη άπειρων ϱιζών της συνάρτησης J ν n) z), ϑα χρησιµοποιήσουµε το παρακάτω ϑεώρηµα : Θεώρηµα [4]: Η ακέραια συνάρτηση fz) = α n z n είναι πεπερασµένης τάξης αν και µόνο αν µ = lim n sup n=0 n log n ) log 1 α n 1.2.1) είναι πεπερασµένο και η τάξη ανάπτυξης της fz) ισούται µε το µ. Αν το µ είναι πεπερασµένος αριθµός αλλά όχι ϑετικός ακέραιος τότε η ακέραια συνάρτηση fz) έχει άπειρες ϱίζες ή είναι πολυώνυµο. Θα δείξουµε ότι η συνάρτηση J n) ν z), υπό µορφή σειράς, γράφεται : J n) ν z) = m=0 1) m Γ2m + ν + 1)z 2m+ν n Γν + m + 1)Γ2m + ν n + 1)m!2 2m+ν 1.2.2) χρησιµοποιώντας την µέθοδο της επαγωγής ως προς n. Πράγµατι : Για n = 0 η 1.2.2) ισχύει, αφού η συνάρτηση J ν z) γραµµένη υπό µορφή σειράς είναι 1) m z ) 2m+ν J ν z) = 1.2.3) Γν + m + 1)m! 2 m=0 Παραγωγίζοντας την 1.2.3) ως προς z έχουµε ότι J νz) = m=0 1) m 2m + ν) z 2m+ν 1 = Γν + m + 1)m! 2 2m+ν m=0 1) m Γ2m + ν + 1)z 2m+ν 1 Γν + m + 1)Γ2m + ν)m!2 2m+ν αφού Γ2m + ν + 1) = 2m + ν)γ2m + ν), που είναι η 1.2.2) για n = 1. Εστω ότι η 1.2.2) ισχύει για n και ϑα δείξουµε ότι ισχύει και για n+1 δηλαδή ϑα δείξουµε ότι : J n+1) ν z) = m=0 1) m Γ2m + ν + 1)z 2m+ν n 1 Γν + m + 1)Γ2m + ν n)m!2 2m+ν 14

Παραγωγίζοντας την 1.2.2) ως προς z έχουµε : d J n) ν z) ) = dz m=0 1) m Γ2m + ν + 1)2m + ν n)z 2m+ν n 1 Γν + m + 1)Γ2m + ν n + 1)m!2 2m+ν J n+1) ν z) = m=0 J n+1) ν z) = 1) m Γ2m + ν + 1)2m + ν n)z 2m+ν n 1 Γν + m + 1)2m + ν n)γ2m + ν n)m!22m+ν m=0 1) m Γ2m + ν + 1)z 2m+ν n 1 Γν + m + 1)Γ2m + ν n)m!2 2m+ν που είναι πράγµατι αυτό που ϑέλαµε να δείξουµε. Θεωρούµε την συνάρτηση J ν,n z) = 2 ν Γν + 1 n)z n ν J n) ν z) 1.2.4) η οποία έχει τις ίδιες ϱίζες µε την συνάρτηση J ν n) z) και ϑα δείξουµε επίσης, πως έχει την µορφή της fz) που αναφέρει το παραπάνω ϑεώρηµα. Η J ν,n z) λόγω της 1.2.2) παίρνει την µορφή J ν,n z) = 2 ν Γν + 1 n)z n ν = m=0 δηλαδή έχουµε : = J ν,n z) = m=0 1) m Γ2m + ν + 1)z 2m+ν n Γν + m + 1)Γ2m + ν n + 1)m!2 2m+ν = 1) m Γ2m + ν + 1)Γν + 1 n)z 2m+ν n+n ν Γν + m + 1)Γ2m + ν n + 1)m!2 2m+ν ν = m=0 m=0 1) m Γ2m + ν + 1)Γν + 1 n)z 2m Γν + m + 1)Γ2m + ν n + 1)m!2 2m 1) m Γ2m + ν + 1)Γν + 1 n)z 2m Γν + m + 1)Γ2m + ν n + 1)m!2 2m 1.2.5) όπου α m = 1)m Γ2m + ν + 1)Γν + 1 n) Γν + m + 1)Γ2m + ν n + 1)m!2 2m Η τάξη ανάπτυξης της συνάρτησης 1.2.5) λόγω της 1.2.1) είναι 15

µ = lim m m log m sup ) = lim log 1 α m m m log m log α m = = lim m ή ισοδύναµα = lim m m log m ) = 1 log m Γ2m+ν+1)Γν+1 n) Γν+m+1)Γ2m+ν n+1)γm+1)2 2m m log m m log 1 log Γν+2m+1) log Γν+1 n)+log Γm+1)+log2 2m )+log Γν+2m n+1)+log Γν+m+1) µ = lim m log 2 2m Γν+1 n) ) m log m +log Γm+1)+log Γν+m+1)+log Γν+2m n+1) log Γν+2m+1) 1.2.6) Γνωρίζουµε ότι µια µορφή της σειράς Stirling για την συνάρτηση Γz) είναι η log Γz) = z log z z + 1 ) 2π 2 log 1 + z 12z + 1) + 1 12z + 1)z + 2) +... Ετσι, log Γz + 1) = logzγz)) = log z + log Γz) = log z + z log z z+ log Γz + 1) = + 1 2 log2π) 1 2 log z + Oz 1 ) z + 1 ) log z z + 1 2 2 log2π) + Oz 1 ), z Παραγωγίζοντας την παραπάνω ισότητα ως προς z παίρνουµε : Επίσης, παρατηρούµε ότι : ψz + 1) = log z + 1 2z + Oz 2 ) 1.2.7) lim z log Γaz + b) z log z = a lim z Γ az+b) Γaz+b) log z + 1 = a lim z ψaz + b) log z + 1 το οποίο λόγω της 1.2.7) γίνεται logaz + b) 1 a lim + 2az+b) Oz 2 ) z log z + 1 = a lim z a az+b 1 z = a lim z az az + b = 16

ή ισοδύναµα lim m = a lim z log Γam + b) m log m a a = a = a, a > 0, b > 0 1.2.8) Συνεπώς η 1.2.6) γίνεται : µ = lim m log 2 2m Γν+1 n) m log m )+log = Γm+1)+log Γν+m+1)+log Γν+2m n+1) log Γν+2m+1) = lim m 1 2m log 2 log Γν+1 n) log Γm+1) + + log Γν+m+1) log Γν+2m n+1) log Γν+2m+1) + m log m m log m m log m m log m m log m m log m και το παραπάνω όριο λόγω της 1.2.8) γίνεται lim m 1 0 0 + 1 + 1 + 2 2 = 1 2 ηλαδή έχουµε ότι : µ = lim m log 2 2m Γν+1 n) ) m log m = 1 +log Γm+1)+log Γν+m+1)+log Γν+2m n+1) log Γν+2m+1) 2 1.2.9) Συνεπώς δείξαµε ότι, η J ν,n z) που δίνεται από την 1.2.5) έχει, λόγω της 1.2.9), τάξη ανάπτυξης 1 πεπερασµένος αριθµός αλλά όχι ϑετικός ακέραιος), 2 οπότε σύµφωνα µε το παραπάνω ϑεώρηµα ϑα έχει άπειρες ϱίζες. Τότε λόγω της 1.2.4) και η J ν n) z), ϑα έχει επίσης άπειρες ϱίζες για ν > n 1. Για να αποδείξουµε την ύπαρξη πραγµατικών ϱιζών της συνάρτησης J ν n) z), ϑα χρησιµοποιήσουµε την αναπαράσταση κατά Weierstrass για την J ν n) z) [25]: ) J n) ν z) = z ν n 2 ν Γν+1 n) m=1 1 z2 j n) ν,m) 2 1.2.10) Στην 1.2.10) µε j ν,m n) έχουµε συµβολίσει την m - οστή ϑετική ϱίζα της J ν n) z). Σηµείωση: Παρόλο που στην εργασία [25] δεν είναι σαφές για ποιά ν ισχύει η 1.2.10) από την απόδειξη κάποιου ϑεωρήµατος στην [25] ϕαίνεται ότι ο 17

τύπος αυτός χρησιµοποιείται για ν n. Ωστόσο, από το ϑεώρηµα παραγοντοποίησης του Hadamard το οποίο αναφέρεται στο σύγγραµµα [21], έπεται ότι η 1.2.10) ισχύει και για ν > n 1, όπου n είναι ϕυσικός αριθµός ή µηδέν. Επίσης, ϑα χρησιµοποιήσουµε τον κανόνα παραγώγισης απειρογινοµένου ) d d f dz i z) = dz f iz) ) f j z) = i=1 i=1 j i ) ) 1.2.11) f = f i z) iz) f i z) i=1 i=1 και την µέθοδο της επαγωγής ως προς n. Γνωρίζουµε ήδη ότι για n = 0,1 και ν > n 1 οι ϱίζες της J ν n) z) είναι όλες πραγµατικές. Υποθέτουµε ότι υπάρχουν πραγµατικές ϱίζες και για n = 2,3,4,... και ν > n 1 και ϑα δείξουµε την ύπαρξη τέτοιων ϱιζών και για n + 1 δηλαδή ότι, για ν > n όλες οι ϱίζες της J ν n+1) z) είναι πραγµατικές. Παραγωγίζοντας την 1.2.10) ως προς z παίρνουµε : d J n) ν z) ) ) ν n)zν n 1 = 1 z2 + dz 2 ν Γν + 1 n) m=1 j ν,m) n) 2 z ν n )) d + 1 z2 2 ν Γν + 1 n) dz j ν,m) n) 2 η οποία λόγω της 1.2.11) γίνεται J ν n+1) z) = z ν n + 2 ν Γν + 1 n) m=1 ν n)zν n 1 2 ν Γν + 1 n) 1 z2 m=1 ) 1 z2 j ν,m) n) 2 m=1 J ν n+1) z) = z ν n 2 ν Γν + 1 n) m=1 ν n)zν n 1 2 ν Γν + 1 n) m=1 ) 1 z2 j ν,m) n) 2 m=1 18 m=1 j ν,m) n) 2 2z j n) ν,m) 2 ) j n) ν,m) 2 z 2 j n) ν,m) 2 1 z2 j n) 2z + ν,m) 2 j n) ν,m) 2 z 2 ) )

= z ν n 2 ν Γν + 1 n) m=1 ή ισοδύναµα λόγω της 1.2.10) J n+1) ν z) = J ν n) z) J ν n+1) z) = 1 z2 j n) ν,m) 2 ν n z ) ν n z m=1 m=1 m=1 2z j n) ν,m) 2 z 2 2z j n) ν,m) 2 z 2 ιαιρώντας και τα δύο µέλη της παραπάνω ισότητας µε J ν n) z) 0 έχουµε ) J ν n+1) z) = ν n 2z J ν n) z) z j ν,m) n) 1.2.12) 2 z 2 )) )) Εστω z = iy, y R {0}, καθαρά ϕανταστική ϱίζα της J ν n+1) z) για ν > n δηλαδή J ν n+1) iy) = 0. Θέτοντας z = iy στην 1.2.12), παίρνουµε : ) 0 = ν n 2iy iy m=1 j ν,m) n) 2 + y 2 ) iν n) 2y 0 = i y m=1 j ν,m) n) 2 + y 2 ) 2y 2 0 = iν n) i m=1 j ν,m) n) 2 + y 2 )) 2y 2 0 = i ν n) + m=1 j ν,m) n) 2 + y 2 ) 2y 2 = n ν < 0, ν > n m=1 j ν,m) n) 2 + y 2 ) 2y 2 το οποίο είναι άτοπο, αφού > 0 j ν,m) n) 2 + y 2 m=1 Για ν > n ϑεωρούµε z = x + iy, x, y R, x 0, y 0 µια µιγαδική ϱίζα της J ν n+1) z). Θέτοντας z = x + iy στην 1.2.12), παίρνουµε : ) J ν n+1) x + iy) 2x + iy) 2 x + iy) = ν n J ν n) x + iy) j ν,m) n) 2 x + iy) 2 19 m=1

0 = ν n 2 m=1 x 2 + 2xyi y 2 j n) ν,m) 2 x 2 + y 2 2xyi Θέτοντας ω = j ν,m) n) 2 x 2 + y 2, η ανωτέρω σχέση γίνεται : ) x 2 + 2xyi y 2 )ω + 2xyi) 0 = ν n 2 ω 2xyi)ω + 2xyi) m=1 ) x 2 ω + 2x 3 iy + 2xyωi 4x 2 y 2 y 2 ω 2xy 3 i 0 = ν n 2 ω 2 + 4x 2 y 2 m=1 ) x 2 y 2 )ω 4x 2 y 2 ) ω + x 2 y 2 0 + 0i = ν n 2 4xyi ω 2 + 4x 2 y 2 ω 2 + 4x 2 y 2 m=1 m=1 Εξισώνοντας τα ϕανταστικά µέλη στην παραπάνω ισότητα παίρνουµε : 4xy ) ω + x 2 y 2 = 0 ω 2 + 4x 2 y 2 m=1 ω + x 2 y 2 = 0 j n) ν,m) 2 = 0 j n) ν,m = 0 το οποίο είναι άτοπο, γιατί j n) ν,m > 0 0) αφού είναι η m - οστή ϑετική ϱίζα της J ν n) z)) Συνεπώς δείξαµε ότι για ν > n όλες οι ϱίζες της J ν n+1) z) είναι πραγµατικές. Άρα και για ν > n 1 όλες οι ϱίζες της J ν n) z) είναι πραγµατικές, που είναι το Ϲητούµενο. Για να αποδείξουµε την ύπαρξη των απλών ϱιζών, υποθέτουµε ότι υπάρχει διπλή ϱίζα z = ρ 0 της συνάρτησης J ν n) z) και µ αυτή την υπόθεση ϑα καταλήξουµε σε άτοπο. Η ύπαρξη διπλής ϱίζας σηµαίνει ότι ) J n) J n+1) ν ρ) = 0 ν ρ) = 0 Στην 1.2.12) αν ϑέσουµε όπου n το n 1 έχουµε : ) J ν n) z) J ν n 1) z) = ν n + 1 2z z j ν,m n 1) ) 2 z 2 m=1 1.2.13) Παραγωγίζοντας την παραπάνω σχέση ως προς z παίρνουµε : J n+1) ν = ν n + 1 ν z)) 2 z 2 z)j ν n 1) z) J ν n) z)) 2 J n 1) 20 m=1 2j n 1) ν,m ) 2 2z 2 + 4z 2 j n 1) ν,m ) 2 z 2 ) 2 )

J ν n+1) z)j ν n 1) z) J ν n) z)) 2 = ν n + 1 2 J ν n 1) z)) 2 z 2 m=1 Για z = ρ 0 και λόγω των 1.2.13) η παραπάνω γίνεται 0 = ν n + 1 2 ρ 2 το οποίο είναι άτοπο, αφού ν n+1 ρ 2 m=1 2 m=1 j n 1) ν,m ) 2 + ρ 2 j n 1) ν,m ) 2 ρ 2 ) 2 ) j n 1) ν,m ) 2 + ρ 2 j n 1) ν,m ) 2 ρ 2 ) 2 ν > n 1. Συνεπώς δείξαµε ότι για ν > n 1 όλες οι ϱίζες της J ν n) Σηµείωση j n 1) ν,m ) 2 + z 2 j n 1) ν,m ) 2 z 2 ) 2 ) < 0 0) για z) είναι απλές. Η πρόταση 1.2.1. ισχύει και για n = 0, 1, προτάσεις 1.1.1. και 1.1.4. α- ντίστοιχα) Πρόταση 1.2.2. Για ν n οι ϑετικές ϱίζες της συνάρτησης J n) ν ϱίζες της J n+1) ν z) εναλλάσσονται µε τις z) και συγκεκριµένα µεταξύ δύο διαδοχικών ϱιζών της J ν n) z) υπάρχει µοναδική ϱίζα της J n+1) ν z). ηλαδή ισχύει ότι : Απόδειξη 0 < j n+1) ν,1 < j n) ν,1 < j n+1) ν,2 < j n) ν,2 < j n+1) ν,3 < j n) ν,3 <... z), δηλαδή J ν n) j ν,m 1) n) = 0 ν,m 1) 0 και J ν n+1) j ν,m) n) 0, αφού οι ϱίζες της J ν n) z) είναι απλές. Επειδή η J ν n) z) είναι συνεχής συνάρτηση οι J ν n+1) j ν,m 1) n) και J ν n+1) j ν,m) n) έχουν διαφορετικό πρόσηµο. ηλαδή Εστω j n) ν,m 1 και jn) ν,m δύο διαδοχικές ϱίζες της J ν n) και J ν n) j ν,m) n) = 0. Επίσης, J ν n+1) j n) έχουµε ότι η J n+1) ν J ν n+1) j n) ν,m 1)J ν n+1) j n) ν,m) < 0. Οπότε λόγω του ϑεωρήµατος Bolzano υπάρχει τουλάχιστον µια ϱίζα της J n+1) ν z) είναι συνεχής συνάρτηση στο j n) ν,m 1, jn) ν,m) και ότι υπάρχει τουλάχιστον µια ϱίζα της J n+1) ν z) στο διάστηµα j n) ν,m 1, jn) ν,m) δηλαδή z) µεταξύ δύο διαδοχικών ϱιζών της J ν n) z). Μένει να δείξουµε ότι η ϱίζα αυτή είναι µοναδική. Για να το δείξουµε αυτό, ) 21

παραγωγίζοντας την 1.2.12) ως προς z παίρνουµε : ) d J ν n+1) z) = ν n 2 dz J ν n) z) z 2 ή ισοδύναµα d dz J n+1) ν m=1 J ν n) z) j n) ν,m) 2 + z 2 j n) ν,m) 2 z 2 ) 2 < 0, ν > n ) z) < 0 Καταλήγουµε λοιπόν στο συµπέρασµα ότι η συνάρτηση J ν n+1) z) είναι γνησίως ϕθίνουσα στο διάστηµα j n) ν,m 1, jn) ν,m). Επίσης, και lim z j n) ν,m J ν n+1) z) J ν n) z) η συνάρτηση J ν n+1) z) J ν n) z) lim z j n) ν,m 1 J ν n) z) J n+1) ν z) J ν n) z) = + =. ηλαδή, γραφικά στο διάστηµα j n) ν,m 1, jn) ν,m) z) J ν n) z) τέµνει µια και µόνο µια ϕορά τον άξονα z z και αυτό το σηµείο τοµής αποτελεί την µοναδική ϱίζα της συνάρτησης J ν n+1) διάστηµα j n) ν,m 1, jn) ν,m) ή ισοδύναµα την µοναδική ϱίζα j ν,m n+1) µεταξύ δύο διαδοχικών ϱιζών της J ν n) z). Σηµείωση Η πρόταση 1.2.2. ισχύει και για n = 0, πρόταση 1.1.5.) Πρόταση 1.2.3. της J n+1) ν στο z) Για την l-οστή ϑετική ϱίζα j n) ν,l αθροίσµατα Rayleigh της συνάρτησης J ν n) z) ισχύουν τα παρακάτω 1ο άθροισµα Rayleigh l=1 1 j = ν + 2 n) ν,l )2 2 2 ν n + 2)ν n + 1) 1.2.14) 2ο άθροισµα Rayleigh 1 l=1 j = ν + 2)2 ν n + 3)ν n + 4) ν + 3)ν + 4)ν n + 2)ν n + 1) n) ν,l )4 2 4 ν n + 2) 2 ν n + 1) 2 ν n + 3)ν n + 4) 1.2.15) 22

Απόδειξη Συνδυάζοντας τις 1.2.4) και 1.2.5) παίρνουµε 2 ν Γν + 1 n)z n ν J n) ν z) = Από την 1.2.10) παίρνουµε m=0 2 ν Γν + 1 n)z n ν J n) ν z) = 1) m Γ2m + ν + 1)Γν + 1 n)z 2m Γν + m + 1)Γ2m + ν n + 1)m!2 2m ) 1 z2 j ν,m) n) 2 m=1 1.2.16) 1.2.17) Από τις 1.2.16) και 1.2.17) έχουµε 1) m Γ2m + ν + 1)Γν + 1 n)z 2m ) Γν + m + 1)Γ2m + ν n + 1)m!2 = 1 z2 2m m=0 m=1 j ν,m) n) 2 1.2.18) και αναπτύσσοντας κάποιους όρους του αθροίσµατος και του γινοµένου της 1.2.18) παίρνουµε 1 ν + 2 2 2 ν n + 2)ν n + 1) z2 + ν + 3)ν + 4) + 2 5 ν n + 4)ν n + 3)ν n + 2)ν n + 1) z4... = ) ) ) = 1 z2 j n) ν,1 ) 2 1 1 z2 1 z2 j n) ν,2 ) 2 j n) ν,3 ) 2 ν + 2 2 2 ν n + 2)ν n + 1) z2 +... ν + 3)ν + 4) + 2 5 ν n + 4)ν n + 3)ν n + 2)ν n + 1) z4... = ) = 1 z 2 1 j n) ν,1 ) + 1 2 j n) ν,2 ) + 1 2 j n) ν,3 ) +... + 2 ) +z 4 1 j n) ν,1 ) 2 j n) ν,2 ) + 1 2 j n) ν,2 ) 2 j n) ν,3 ) + 1 2 j n) ν,1 ) 2 j n) ν,3 ) +... 2 ) z 6 1 +... j n) ν,1 ) 2 j n) ν,2 ) 2 j n) ν,3 ) 2 23

ν + 2 1 2 2 ν n + 2)ν n + 1) z2 + ν + 3)ν + 4) + 2 5 ν n + 4)ν n + 3)ν n + 2)ν n + 1) z4... = ) = 1 z 2 1 1 1 + l=1 j n) z4 ν,l )2 l=1 j n) ν,l )2 κ=1κ l j ν,κ) n) 2 ) z 6 1 +... j n) ν,1 ) 2 j n) ν,2 ) 2 j n) ν,3 ) 2 Στην ανωτέρω εξισώνοντας τους συντελεστές των δυνάµεων z 2 και z 4 παίρνου- µε αντίστοιχα l=1 1 = ν + 2 ν,l )2 2 2 ν n + 2)ν n + 1) j n) η οποία είναι η 1.2.14) και l=1 1 j n) ν,l )2 κ=1,κ l 1 j ν,κ) = ν + 3)ν + 4) n) 2 2 5 ν n + 4)ν n + 3)ν n + 2)ν n + 1) 1.2.19) Επειδή όµως οι ϱίζες της συνάρτησης J ν n) z) είναι συµµετρικές ως προς το µηδέν και χρησιµοποιώντας την 1.2.14), η 1.2.19) γίνεται )) 1 1 1 2 j ν,κ) 1 = n) 2 j n) l=1 j n) ν,l )2 κ=1 ν,l )2 ν + 3)ν + 4) = 2 5 ν n + 4)ν n + 3)ν n + 2)ν n + 1) ) 1 1 ν + 2 2 l=1 j n) ν,l )2 2 2 ν n + 2)ν n + 1) 1 j n) ν,l )2 = ν + 3)ν + 4) 2 5 ν n + 4)ν n + 3)ν n + 2)ν n + 1) ν + 2 8ν n + 2)ν n + 1) 24 l=1 1 j n) ν,l )2

1 1 2 j = ν + 3)ν + 4) n) ν,l )4 2 5 ν n + 4)ν n + 3)ν n + 2)ν n + 1) l=1 και λόγω της 1.2.14) η παραπάνω γίνεται ν + 2 ν + 2 8ν n + 2)ν n + 1) 4ν n + 2)ν n + 1) ν + 3)ν + 4) 2 5 ν n + 4)ν n + 3)ν n + 2)ν n + 1) = 1 2 ή ισοδύναµα µετά από µερικές πράξεις l=1 1 j n) ν,l )4 1 j = n) ν,l )4 l=1 = ν + 2)2 ν n + 3)ν n + 4) ν + 3)ν + 4)ν n + 2)ν n + 1) 2 4 ν n + 2) 2 ν n + 1) 2 ν n + 3)ν n + 4) η οποία είναι η 1.2.15). Σηµείωση Εξισώνοντας µεγαλύτερες δυνάµεις του z και δουλεύοντας µε ίδιο τρόπο όπως παραπάνω, µπορούµε να ϐρούµε µεγαλύτερα αθροίσµατα Rayleigh όπως 1 j, κ 3 n) ν,l )2κ l=1 Παρατήρηση Συνδυάζοντας την 1.2.14) µε το γεγονός ότι έχουµε l=1 1 j n) j n) ν,1 ) 2 ν,l )2 > 1 ν + 2 2 2 ν n + 2)ν n + 1) > 1 j n) jn) ν,1 ) 2 > 22 ν n + 2)ν n + 1) ν,1 ) 2 ν + 2 25

ή ισοδύναµα προκύπτει το ακόλουθο κάτω ϕράγµα για την πρώτη ϑετική ϱίζα n) της συνάρτησης J ν z) j n) ν,1 j n) ν n+2)ν n+1) ν,1 > 2, ν > n 1 1.2.20) ν+2 Επίσης, συνδυάζοντας την 1.2.15) µε το γεγονός ότι 1 j > 1 n) ν,l )4 j n) ν,1 ) 4 έχουµε l=1 ν + 2) 2 ν n + 3)ν n + 4) ν + 3)ν + 4)ν n + 2)ν n + 1) 2 4 ν n + 2) 2 ν n + 1) 2 ν n + 3)ν n + 4) > 1 j n) ν,1 ) 4 j n) ν,1 ) 4 > 2 4 ν n + 2) 2 ν n + 1) 2 ν n + 3)ν n + 4) ν + 2) 2 ν n + 3)ν n + 4) ν + 3)ν + 4)ν n + 2)ν n + 1) ή ισοδύναµα προκύπτει το ακόλουθο κάτω ϕράγµα για την πρώτη ϑετική ϱίζα n) της συνάρτησης J ν z) j n) ν,1 j n) ν,1 > 2 4 ν n+2) 2 ν n+1) 2 ν n+3)ν n+4) ν+2) 2 ν n+3)ν n+4) ν+3)ν+4)ν n+2)ν n+1) ) 1 4, ν > n 1 1.2.21) Σηµείωση Χρησιµοποιώντας τα αθροίσµατα Rayleigh που προκύπτουν εξισώνοντας µεγαλύτερες δυνάµεις του z όπως 1 j, κ 3 n) ν,l )2κ l=1 και ακολουθώντας όµοια διαδικασία όπως στην ανωτέρω παρατήρηση µπο- ϱούµε να ϐρούµε κι άλλα κάτω ϕράγµατα για την πρώτη ϑετική ϱίζα j n) ν,1 της συνάρτησης J ν n) z). 26

Κεφάλαιο 2 Φράγµατα για τις ϑετικές πραγµατικές ϱίζες των συναρτήσεων Bessel J ν z) και J νz) Στο κεφάλαιο αυτό, ϑα δώσουµε κάτω και άνω ϕράγµατα τόσο για την πρώτη ϑετική πραγµατική ϱίζα των συναρτήσεων Bessel J ν z) και J νz), όσο και για την κ -οστή ϑετική πραγµατική ϱίζα των συναρτήσεων J ν z), ϐασιζόµενοι στη ϐιβλιογραφία και στις υπάρχουσες δηµοσιευµένες επιστηµονικες εργασίες, [7,11,12,15,28]. 2.1 Κάτω ϕράγµατα για την πρώτη ϑετική πραγ- µατική ϱίζα j ν,1 της J ν z) 1) Στο σύγγραµµα [28] αναφέρονται τα παρακάτω κάτω ϕράγµατα για την j ν,1 : j ν,1 > ν, ν > 1 2.1.1) j ν,1 > νν + 2), ν > 0 2.1.2) 2) Για n = 0 στις ανισότητες 1.2.20) και 1.2.21), προκύπτουν τα γνωστά ϕράγµατα για την πρώτη ϑετική ϱίζα j ν,1 της συνάρτησης J ν z) 27

και αντίστοιχα. j ν,1 > 2 ν + 1, ν > 1 2.1.3) j ν,1 > 2ν + 2) 1 4 ν + 1, ν > 1 2.1.4) 3) Στην εργασία [15] έχει αποδειχθεί ότι η συνάρτηση jν,κ)2 +2 είναι γνησίως ϕθίνουσα για κάθε ν > 1. ν+2) 2 ηλαδή, ισχύει η ακόλουθη ανισότητα για τις ϱίζες j ν,κ της συνάρτησης J ν z): j µ,κ) 2 +2 µ+2) 2 > jν,κ)2 +2 ν+2) 2, ν > µ > 1 2.1.5) Από την 2.1.5) : Για κ = 1, ν = 1 2 και λαµβάνοντας υπόψη ότι j 1 2,1 = π, παίρνουµε το 2 κάτω ϕράγµα : j µ,1 ) 2 > µ + 2) 2 1.9855116) 2, 1 < µ < 1 2.1.6) 2 Για κ = 1, ν = 0 και λαµβάνοντας υπόψη ότι j 0,1 2.40482, παίρνουµε το κάτω ϕράγµα : j µ,1 ) 2 > µ + 2) 2 1.9457898) 2, 1 < µ < 0 2.1.7) Για κ = 1 και ν = 1 µε όµοιο τρόπο όπως προηγούµενα, λαµβάνοντας 4 υπόψη ότι j 1,1 2.78089, παίρνουµε το κάτω ϕράγµα : 4 j µ,1 ) 2 > 1.917µ + 2) 2 ) 2, 1 < µ < 1 4 2.1.8) Για κ = 1, ν = 1 2 και λαµβάνοντας υπόψη ότι j 1,1 = π, παίρνουµε το κάτω 2 ϕράγµα : j µ,1 ) 2 > 1.899µ + 2) 2 ) 2, 1 < µ < 1 2.1.9) 2 Σηµείωση Τα κάτω ϕράγµατα 2.1.8) και 2.1.9) είναι πιο ακριβή στο διάστηµα 1 10, 1 2 ) σε σχέση µε το κάτω ϕράγµα j µ,1 ) 2 > j 0,1 + 2µπ j 0,1 )) 2, 0 < µ < 0.5 2.1.10) το οποίο έχει αποδειχθεί στην εργασία [8]. 28

2.2 Κάτω ϕράγµατα για την κ -οστή ϑετική πραγ- µατική ϱίζα j ν,κ της J ν z), κ 1 Στην εργασία [12] έχει αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις : ) 1 + j ν,κ ) 2 ln 1 + 1 + j ν,κ ) 2 ν, ν > 1 και 7 + j ν,κ ) 2 ν, ν > 1 για j ν,κ ) 2 > 5.25, είναι γνησίως αύξουσες για κάθε ν > 1. Ετσι έχουµε τις ακόλουθες ανισότητες για τις ϱίζες j ν,κ της συνάρτησης J ν z): 1 + jν,κ ) 2 ln 1 + ) 1 + j ν,κ ) 2 ν > 1 + jµ,κ ) 2 ln 1 + ) 2.2.1) 1 + j µ,κ ) 2 µ, ν > µ > 1 και 7 + jν,κ) 2 ν > 7 + j µ,κ) 2 µ, ν > µ > 1 2.2.2) για j ν,κ ) 2 > 5.25 1) Η 2.2.1) για µ = 0, δίνει το κάτω ϕράγµα : j ν,κ ) 2 > ν + )) 2 1 + j 0,κ ) 2 1+ 1+j ν,κ) + ln 2 1, ν > 0 2.2.3) 1+ 1+j 0,κ ) 2 2) Η 2.2.2) για µ = 0, δίνει το κάτω ϕράγµα : για j ν,κ ) 2 > 5.25 Σηµείωση j ν,κ ) 2 > j 0,κ ) 2 + ν 2 + 2ν 7 + j 0,κ ) 2, ν > 0 2.2.4) Τα κάτω ϕράγµατα 2.2.3) και 2.2.4) αποτελούν ϐελτιώσεις του κάτω ϕράγ- µατος j ν,κ ) 2 > j 0,κ ) 2 + ν 2 + 2νj 0,κ, ν > 0 2.2.5) το οποίο έχει δειχθεί στην εργασία [11]. 29

3) Συνδυάζοντας τα κάτω ϕράγµατα 2.2.3) και 2.2.4) παίρνουµε το κάτω ϕράγµα j ν,κ ) 2 > για j ν,κ ) 2 > 5.25 ν + )) 2 1 + j 0,κ ) 2 1+ 1+j 0,κ ) + ln 2 +ν 2 +2ν 7+j 0,κ ) 2 1, ν > 0 1+ 1+j 0,κ ) 2 2.2.6) Παρατήρηση Θέτοντας κ = 1 στο κάτω ϕράγµα 2.2.6), λαµβάνοντας υπόψη ότι j 0,1 2.40482, προκύπτει το παρακάτω κάτω ϕράγµα για την πρώτη ϑετική ϱίζα j ν,1 της συνάρτησης J ν z) j ν,1 ) 2 > ν + 1.3222807 + ln1 + ν 2 + 7.1507088ν + 6.7831592)) 2 1, ν > 0 2.2.7) για j ν,1 ) 2 > 5.25 Σηµείωση Τα αριθµητικά στοιχεία δηλώνουν ότι το ϕράγµα 2.2.7) είναι καλύτερο για ν 0.99 σε σχέση µε το κάτω ϕράγµα j ν,1 > j 0,1 + 1.542889743ν 0.175493592ν 2, ν > 0 2.2.8) το οποίο αναφέρεται στην εργασία [6]. 2.3 Ανω ϕράγµατα για την πρώτη ϑετική πραγ- µατική ϱίζα j ν,1 της J ν z) 1) Στο σύγγραµµα [28] αναφέρονται τα παρακάτω άνω ϕράγµατα για την j ν,1 : j ν,1 < j ν+1,1 < j ν+2,1, ν > 1 2.3.1) j ν,1 < 4 3 ν + 1)ν + 5), ν > 1 2.3.2) 30

j ν,1 < 2ν + 1)ν + 3), ν > 1 2.3.3) 2) Στην εργασία [5] αναφέρεται το άνω ϕράγµα j ν,1 < ν + 1 ν + 2 + 1), ν > 1 2.3.4) 3) Η 2.1.5): για κ = 1 και µ = 1, λαµβάνοντας υπόψη ότι j 1,1 το άνω ϕράγµα : 3.83171, δίνει j ν,1 ) 2 < 16.682ν + 2) 2 ) 2, ν > 1 2.3.5) για κ = 1, µ = 1 2 και λαµβάνοντας υπόψη ότι j 1,1 = π, δίνει το άνω 2 ϕράγµα : j ν,1 ) 2 < ν + 2) 2 1.899166) 2, ν > 1 2.3.6) 2 Σηµείωση Το άνω ϕράγµα 2.3.6) είναι καλύτερο απ το άνω ϕράγµα j ν,1 ) 2 < j 0,1 + 1.5428897ν) 2, ν > 0 2.3.7) το οποίο έχει δειχθεί στην εργασία [6]. 2.4 Ανω ϕράγµατα για την κ -οστή ϑετική πραγ- µατική ϱίζα j ν,κ της J ν z), κ 1 1) Η 2.2.1) για ν = 0 δίνει το άνω ϕράγµα : j µ,κ ) 2 < µ + )) 2 1 + j 0,κ ) 2 1+ 1+j µ,κ) + ln 2 1, 1 < µ < 0 1+ 1+j 0,κ ) 2 2.4.1) 31

2) Η 2.2.2) για ν = 0 δίνει το άνω ϕράγµα : για j 0,κ ) 2 > 5.25 j µ,κ ) 2 < j 0,κ ) 2 + µ 2 + 2µ 7 + j 0,κ ) 2, 1 < µ < 0 2.4.2) 3) Συνδυάζοντας τα άνω ϕράγµατα 2.4.1) και 2.4.2) παίρνουµε το άνω ϕράγ- µα : j µ,κ ) 2 < µ + )) 2 1 + j 0,κ ) 2 1+ 1+j 0,κ ) + ln 2 +µ 2 +2µ 7+j 0,κ ) 2 1, 1+ 1+j 0,κ ) 2 για j 0,κ ) 2 > 5.25 1 < µ < 0 2.4.3) Παρατήρηση Θέτοντας κ = 1 στο άνω ϕράγµα 2.4.3), λαµβάνοντας υπόψη ότι j 0,1 2.40482, προκύπτει το παρακάτω άνω ϕράγµα για την πρώτη ϑετική ϱίζα j ν,1 της συνάρτησης J ν z) j µ,1 ) 2 < µ + 1.3222807 + ln1 + µ 2 + 7.1507088µ + 6.7831592)) 2 1, 1 < µ < 0 2.4.4) 4) Στην εργασία [11] έχει αποδειχθεί ότι η συνάρτηση j ν,κ ν είναι γνησίως αύξουσα για κάθε ν > 1. ηλαδή, ισχύει η ακόλουθη ανισότητα για τις ϱίζες j ν,κ της συνάρτησης J ν z): j ν,κ ν > j µ,κ µ, ν > µ > 1 2.4.5) Στην 2.4.5) για ν = 0 έχουµε : j 0,κ > j µ,κ µ, 1 < µ < 0 ή ισοδύναµα j µ,κ < j 0,κ + µ, 1 < µ < 0 2.4.6) Σηµείωση Τα άνω ϕράγµατα 2.4.1),2.4.2) και 2.4.3) είναι πιο «αυστηρά» απ ότι το άνω ϕράγµα 2.4.6) για 1 < µ < 0. 32

2.5 Κάτω ϕράγµατα για την πρώτη ϑετική πραγ- µατική ϱίζα j ν,1 της J νz) 1) Στο σύγγραµµα [28] αναφέρονται τα παρακάτω κάτω ϕράγµατα για την j ν,1 : j ν,1 > ν, ν > 0 2.5.1) j ν,1 > νν + 2), ν > 0 2.5.2) j ν,1 > νν + 3), ν > 4 2.5.3) 2) Από την 1.2.21) για n = 1 προκύπτει το παρακάτω κάτω ϕράγµα για την j ν,1 j ν,1 > 2ν+2) 1 4 νν+1) ν 2 +8ν+8) 1 4, ν > 0 2.5.4) 3) Στην εργασία [7] έχουν αποδειχθεί τα παρακάτω κάτω ϕράγµατα για την j ν,1 : j ν,1 νν+1)ν+4) >, ν > 0 2.5.5) ν+2 j ν,1 > 4νν+1) ν+2, ν > 0 2.5.6) j ν,1 > νν + 1), ν > 0 2.5.7) j ν,1 > j ν,1 j 2 ν,1 2νν+1) +2νν+1), ν > 0 2.5.8) 33

Σηµείωση Το ϕράγµα 2.5.5) είναι καλύτερο σε σχέση µε το 2.5.2) καθώς και µε το κάτω ϕράγµα j ν,1 > ν + 0.84118, ν > 1 2.5.9) το οποίο έχει δειχθεί στην εργασία [1]. Σηµείωση Το ϕράγµα 2.5.6) προκύπτει επίσης από την 1.2.20) για n = 1. 2.6 Ανω ϕράγµατα για την πρώτη ϑετική πραγ- µατική ϱίζα j ν,1 της J νz) 1) Στο σύγγραµµα [28] αναφέρεται τα παρακάτω άνω ϕράγµατα για την j ν,1 : j ν,1 < j ν,1, ν > 0 2.6.1) το οποίο ισχύει και λόγω της πρότασης 1.1.5 του κεφαλαίου 1. 2) Στην εργασία [7] έχουν αποδειχθεί τα παρακάτω άνω ϕράγµατα για την j ν,1 : j ν,1 < 2νν + 1), ν > 0 2.6.2) Σηµείωση j ν,1 < 4νν+1)ν+2) 3ν+4, ν > 0 2.6.3) Το ϕράγµα 2.6.3) είναι καλύτερο σε σχέση µε το 2.6.2) καθώς και µε το άνω ϕράγµα j ν,1 < 2ν + 1)3ν 2 + 8ν + 4) 1 2 ν + 2)), ν > 0 2.6.4) το οποίο έχει αποδειχθεί στην εργασία [14]. 34

Κεφάλαιο 3 Μελέτη των πραγµατικών ϱιζών της δεύτερης παραγώγου των συναρτήσεων Bessel J ν z) Σ αυτό το κεφάλαιο, αρχικά ϑα αποδείξουµε προτάσεις σχετικά µε τις πραγ- µατικές ϱίζες της δεύτερης παραγώγου των συναρτήσων Bessel J ν z) και ϑα µελετήσουµε την ύπαρξη πραγµατικών ϱιζών της J ν z) στο διάστηµα 0, j ν,1 ), όπου µε j ν,1 έχουµε συµβολίσει την πρώτη ϑετική ϱίζα της J ν z) και σε υ- ποδιαστήµατα αυτού. Τέλος, ϑα δώσουµε κάτω και άνω ϕράγµατα για την πρώτη ϑετική πραγµατική ϱίζα j ν,1 των συναρτήσεων J ν z), ϐασιζόµενοι στη ϐιβλιογραφία και στις ήδη υπάρχουσες δηµοσιευµένες επιστηµονικές εργασίες, [2,9,28]. 3.1 Προτάσεις σχετικά µε τις πραγµατικές ϱίζες της συνάρτησης J ν z) Πρόταση 3.1.1. Για ν > 1 η συνάρτηση J ν z) έχει άπειρες ϱίζες οι οποίες είναι όλες πραγµατικές και απλές εκτός από την µηδενική ϱίζα. Απόδειξη Η απόδειξη προκύπτει ως εφαρµογή της πρότασης 1.2.1. του κεφαλαίου 1 για n = 2. 35

Παρατήρηση Οι πραγµατικές ϱίζες της συνάρτησης J ν z) είναι συµµετρικές ως προς το µηδέν, αφού ισχύει ότι J ν z) = 1) ν J ν z) Πρόταση 3.1.2. Για ν 1 οι ϑετικές ϱίζες της συνάρτησης J νz) εναλλάσσονται µε τις ϱίζες της J ν z) και συγκεκριµένα µεταξύ δύο διαδοχικών ϱιζών της J νz) υπάρχει µοναδική ϱίζα της J ν z). ηλαδή ισχύει ότι Απόδειξη 0 < j ν,1 < j ν,1 < j ν,2 < j ν,2 < j ν,3 < j ν,3 <... Η απόδειξη προκύπτει ως εφαρµογή της πρότασης 1.2.2. του κεφαλαίου 1 για n = 1. Πόρισµα Για ν 1, οι συναρτήσεις J νz) και J ν z) δεν µπορεί να έχουν κοινή ϱίζα. Πρόταση 3.1.3. Οι συναρτήσεις J ν z) και J ν z) δεν µπορεί να έχουν κοινή ϱίζα, εκτός από την µηδενική, για ν 0. Απόδειξη Εστω ρ 0 κοινή ϱίζα των συναρτήσεων J ν z) και J ν z). Αυτό σηµαίνει ότι J ν ρ) = 0 J ν ρ) = 0 3.1.1) Στην διαφορική εξίσωση Bessel αντικαθιστώντας όπου z την ρ 0 έχουµε ρ 2 J ν ρ) + ρj νρ) + ρ 2 ν 2 )J ν ρ) = 0 η οποία λόγω της 3.1.1) γίνεται ρj νρ) = 0 J νρ) = 0 36

δηλαδή ότι η ρ 0 είναι ϱίζα και της J νz) το οποίο είναι άτοπο αφού οι συναρτήσεις J ν z) και J νz) δεν έχουν κοινές ϱίζες για ν 0. Πρόταση 3.1.4. Η ρ 0 είναι ϱίζα της συνάρτησης J ν z) αν και µόνο αν είναι ϱίζα των συναρτήσεων G ν z) = ν + ν 2 z 2 + z J ν+1z) J νz) 3.1.2) και F ν z) = ν + ν 2 z 2 + n=1 2z 2 j 2 ν,n z 2, z ±j ν,n, n = 1, 2,.. 3.1.3) Απόδειξη Εστω ρ 0 ϱίζα της συνάρτησης J ν z). Τότε J ν ρ) = 0. διαφορική εξίσωση Bessel γράφεται Για z = ρ η και εξ αυτού γίνεται ρ 2 J ν ρ) + ρj νρ) + ρ 2 ν 2 )J ν ρ) = 0 ρj νρ) + ρ 2 ν 2 )J ν ρ) = 0 3.1.4) Χρησιµοποιώντας την γνωστή αναδροµική σχέση zj νz) + zj ν+1 z) = νj ν z) για z = ρ 0 έχουµε ρj νρ) + ρj ν+1 ρ) = νj ν ρ) ρj νρ) = νj ν ρ) ρj ν+1 ρ) Οπότε η 3.1.4) γίνεται ρ 2 ν 2 )J ν ρ)+νj ν ρ) ρj ν+1 ρ) = 0 ν ν 2 +ρ 2 )J ν ρ) = ρj ν+1 ρ) ν ν 2 + ρ 2 = ρ J ν+1ρ) J ν ρ) 37

δηλαδή ότι η ρ 0 είναι ϱίζα της συνάρτησης 3.1.2). Από την ισότητα Mittag- Leffler για τις συναρτήσεις Bessel, η οποία υπάρχει στο σύγγραµµα [28] J ν+1 z) J νz) = 2z n=1 1 j 2 ν,n z 2, z ±j ν,n, n = 1, 2,.. 3.1.5) έπεται και η 3.1.3). 3.2 Προτάσεις σχετικά µε την ύπαρξη πραγµατικών ϱιζών της J ν z) στο διάστηµα 0, j ν,1 ) Πρόταση 3.2.1. Για 1 < ν 1 3 η συνάρτηση J ν z) δεν έχει ϱίζες στο διάστηµα 0, j ν,1 ). Απόδειξη Εστω ρ 0 ϱίζα της J ν z) στο διάστηµα 0, j ν,1 ), δηλαδή J ν ρ) = 0. Λόγω της πρότασης 3.1.4. η 3.1.2) για z = ρ 0 δίνει ν 2 ν ρ 2 + ρ J ν+1ρ) J ν ρ) = 0 ή ισοδύναµα διαιρώντας και τα δύο µέλη της ανωτέρω µε ρ 2 0 παίρνουµε J ν+1 ρ) ρj νρ) = 1 ν2 ν ρ 2 3.2.1) Λόγω της ανισότητας J ν+1 z) J νz) > z 2ν+1), 0 < z < j ν,1, ν > 1 3.2.2) η οποία έχει αποδειχθεί στην εργασία [16] για z = ρ 0 παίρνουµε J ν+1 ρ) ρj ν ρ) > 1 2ν + 1), 0 < ρ < j ν,1, ν > 1 και συνδυάζοντας την ανωτέρω µαζί µε την 3.2.1) έχουµε ότι 1 ν2 ν ρ 2 > 1 2ν + 1) ν ν2 ρ 2 38 > 1 + 2ν 2ν + 1)

ή ισοδύναµα ν 2 ν < 1+2ν, ν > 1 ρ 2 2ν+1) 3.2.3) Αν ν 2 ν > 0 ενώ 1 + 2ν 0 η 3.2.3) δεν µπορεί να ισχύει. ηλαδή όταν ν > 1 και ν > 1 ή ν < 0 ενώ ν 1 ή ισοδύναµα όταν 1 < ν < 0 ενώ 2 ν 1 2 δηλαδή όταν 1 < ν 1 η 3.2.3) δεν ισχύει και έτσι η συνάρτηση 2 J ν z) δεν έχει ϱίζες στο διάστηµα 0, j ν,1 ). Αν ν 2 ν > 0 ενώ 1 + 2ν > 0 ή ισοδύναµα όταν 1 < ν < 0 ενώ ν > 1 2 δηλαδή όταν 1 < ν < 0 η 3.2.3) παίρνει την µορφή 2 2ν 2 ν)ν + 1) < 2ν + 1)ρ 2 Αν υπάρχει ρ = j ν,1 < j ν,1, τότε η ανωτέρω γράφεται ως 2ν 2 ν)ν + 1) < 2ν + 1)j 2 ν,1 3.2.4) Οµως χρησιµοποιώντας το άνω ϕράγµα 2.3.4) και πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη του ϕράγµατος αυτού µε 2ν + 1 > 0 µε την προυπόθεση ότι ν > 1 2 ) παίρνουµε 2ν + 1)j 2 ν,1 < 2ν + 1)ν + 1) ν + 2 + 1) 2 3.2.5) Συνδυάζοντας τις 3.2.4) και 3.2.5) έχουµε ότι 2ν 2 ν)ν + 1) < 2ν + 1)ν + 1) ν + 2 + 1) 2 2ν 2 ν)ν + 1) 2ν + 1)ν + 1) ν + 2 + 1) 2 < 0 το οποίο αληθεύει για ν > 1 3. Ετσι, για 1 2 < ν < 0 και ν 1 3 δηλαδή για 1 2 < ν 1 3 η συνάρτηση J ν z) δεν έχει ϱίζες στο διάστηµα 0, j ν,1 ). Τελικά, για 1 < ν 1 η συνάρτηση J 3 ν z) δεν έχει ϱίζες στο διάστηµα 0, j ν,1 ) και έτσι η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Σηµείωση Η πρόταση 3.2.1. ισχύει και για µικρότερο διάστηµα του ν, σύµφωνα µε το ϑεώρηµα 3.4. της εργασίας [9]. 39

Πόρισµα Η πρώτη ϑετική ϱίζα j ν,1 της συνάρτησης J ν z) ικανοποιεί την ανισότητα j ν,1 > j ν,1, 1 < ν 1 3 και η απόδειξη αυτού έπεται άµεσα από την πρόταση 3.2.1. Πρόταση 3.2.2. Για 0 < ν 1 η συνάρτηση J ν z) έχει µια µοναδική ϑετική ϱίζα j ν,1 στο διάστηµα 0, j ν,1 ) η οποία ικανοποιεί την σχέση 0 < j ν,1 < z 0 j ν,1 < j ν,1 3.2.6) όπου z 0 είναι η µοναδική ϱίζα της συνάρτησης g ν z) = 2 n=1 1 j 2 ν,n z 2 1 3.2.7) στο 0, j ν,1 ), j ν,1 : πρώτη ϑετική ϱίζα της J ν z) και j ν,1 : πρώτη ϑετική ϱίζα της J νz). Η ισότητα στην 3.2.6) ισχύει µόνο για ν = 1. Απόδειξη Εδώ, πρέπει να δείξουµε την ισχύ της 3.2.6) ή ισοδύναµα ότι : z 0 j ν,1 < j ν,1 j ν,1 < z 0 Για την απόδειξη της ανισότητας z 0 j ν,1 < j ν,1, αρχικά γράφουµε την 3.1.3) στην µορφή F ν z) = ν + ν 2 + z 2 g ν z) 3.2.8) όπου η g ν z) όπως στην 3.2.7). Παραγωγίζοντας την 3.2.7) ως προς z παίρνουµε : d dz g νz) = 4z n=1 40 1 j 2 ν,n z 2 ) 2 > 0

το οποίο δηλώνει ότι η συνάρτηση g ν z) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα 0, j ν,1 ). Στην 3.2.7) για z = 0 και χρησιµοποιώντας την 1.2.14) για n = 0 παίρνουµε g ν 0) = 2 1 j 2 n=1 ν,n αφού 0 < ν 1. Επίσης, από την 3.2.7) έχουµε ότι 1 1 = 2 4ν + 1) 1 = 1 2ν + 1) 1 < 0 lim g ν z) = + z j ν,1 Γραφικά, τα παραπάνω δηλώνουν ότι όταν 0 < z < j ν,1 η συνάρτηση g ν z) ϑα τέµνει µια και µόνο µια ϕορά τον άξονα z z δηλάδη ϑα υπάρχει µοναδική ϱίζα αυτής, z 0 στο διάστηµα 0, j ν,1 ). Για ν ν 2 = 0 ν = 1 λόγω της 3.2.8), η z 0 ϑα είναι η µοναδική ϱίζα της συνάρτησης F ν z) στο διάστηµα 0, j ν,1 ) ή ισοδύναµα λόγω της πρότασης 3.1.4, η z 0 = j ν,1 µα 0, j ν,1 ). Ετσι για ν = 1 έχουµε ότι ϑα είναι η µοναδική ϱίζα της συνάρτησης J ν z) στο διάστη- 0 < z 0 = j ν,1 < j ν,1 3.2.9) Για ν ν 2 > 0 0 < ν < 1 έχουµε ότι : Η g ν z) 0 όταν 0 < z z 0 ή ισοδύναµα λόγω της 3.2.8), η F ν z) παίρνει αρνητικές τιµές όταν 0 < z z 0. Η g ν z) είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα z 0, j ν,1 ) 0, j ν,1 ) και lim z j ν,1 g ν z) = +. Τότε λόγω της 3.2.8) η F ν z) ϑα είναι επίσης γνησίως αύξουσα στο διάστηµα z 0, j ν,1 ) και lim z j ν,1 F ν z) = +. Γραφικά, τα παραπάνω δηλώνουν ότι όταν z 0 < z < j ν,1 η συνάρτηση F ν z) ϑα τέµνει µια και µόνο µια ϕορά τον άξονα z z δηλάδη ϑα υπάρχει µοναδική ϱίζα της F ν z) στο διάστηµα z 0, j ν,1 ) ή ισοδύναµα λόγω της πρότασης 3.1.4., ϑα υπάρχει µοναδική ϱίζα j ν,1 Ετσι για 0 < ν < 1 έχουµε ότι της συνάρτησης J ν z) στο διάστηµα z 0, j ν,1 ). 0 < z 0 < j ν,1 < j ν,1 3.2.10) Συνεπώς, για 0 < ν 1 συνδυάζοντας τις 3.2.9) και 3.2.10) παίρνουµε ότι 0 < z 0 j ν,1 < j ν,1 41

Για την απόδειξη της ανισότητας j ν,1 < z 0, εφαρµόζοντας την 3.2.7) για z = j ν,1 παίρνουµε : g ν j ν,1) = 2 1 jν,n 2 j ν,1 2 1 n=1 ή ισοδύναµα j ν,12 g ν j ν,1) = 2j ν,1 2 n=1 1 j 2 ν,n j ν,1 2 j 2 ν,1 3.2.11) Εφαρµόζοντας την 3.1.5) για z = j ν,1 παίρνουµε : J ν+1 j ν,1) J ν j ν,1) J j ν,1 ν+1 j ν,1) J ν j ν,1) = 2j ν,1 2j ν,1 2 1 jν,n 2 j ν,1 2 n=1 = 2j ν,1 2 n=1 1 jν,n 2 j ν,1 2 n=1 1 jν,n 2 j ν,1 2 = ν όπως προκύπτει από την αναδροµική σχέση zj νz) + zj ν+1 z) = νj ν z) µε την προυπόθεση ότι η z = j ν,1 είναι ϱίζα της J νz). Ετσι η 3.2.11) γίνεται j ν,12 g ν j ν,1) = ν j ν,12 < 0 λόγω του κάτω ϕράγµατος 2.5.2) για 0 < ν 1. Συνεπώς έχουµε ότι ή ισοδύναµα j ν,12 g ν j ν,1) < 0 g ν j ν,1) < 0 2 2 n=1 Εφαρµόζοντας την 3.2.7) για z = z 0 παίρνουµε : g ν z 0 ) = 2 n=1 1 jν,n 2 j ν,1 2 1 < 0 n=1 1 jν,n 2 j ν,1 2 < 1 3.2.12) 1 jν,n 2 z 1 1 = 2 1 2 0 jν,n 2 z 2 0 42 n=1

αφού g ν z 0 ) = 0 και έτσι η 3.2.12) γίνεται 1 2 j 2 n=1 ν,n j ν,1 2 < 2 1 j 2 n=1 ν,n z 2 0 ) 1 jν,n 2 j ν,1 2 1 < 0 jν,n 2 z 2 0 n=1 1 jν,n 2 j ν,1 2 < 1 jν,n 2 z 2 j2 ν,n j 2 ν,1 > jν,n 2 z 2 0 0 αφού j ν,1 > 0 και z 0 > 0). Πρόταση 3.2.3. j ν,12 < z 0 2 j ν,1 < z 0 Για ν > 1 η συνάρτηση J ν z) έχει τουλάχιστον δύο ϱίζες στο διάστηµα 0, j ν,1 ). Εχει µοναδική ϱίζα στο διάστηµα 0, ν) και τουλάχιστον µια ϱίζα στο διάστη- µα j ν,1, j ν,1 ). Απόδειξη Για την απόδειξη της ύπαρξης µοναδικής ϱίζας στο 0, ν), ϑεωρούµε την συνάρτηση 3.1.2), όπου για ν > 1 και z = 0 έχουµε ότι G ν 0) = ν 2 ν > 0 Επίσης, από την αναδροµική σχέση zj νz) + zj ν+1 z) = νj ν z) zj ν+1 z) νj ν z) = zj νz) ν + z J ν+1z) J ν z) = z J νz) J ν z) οι ϱίζες της συνάρτησης ν + z J ν+1z) J νz) είναι ϱίζες και της J νz). Με ϐάση το παραπάνω η συνάρτηση ν + z J ν+1z) J νz) µηδενίζεται στο z = j ν,1, ενώ στο z = 0 παίρνει αρνητική τιµή και αφού είναι αύξουσα συνάρτηση καθώς το z αυξάνει, έπεται ότι η τιµή της στο z = ν είναι αρνητική αφού 0 < ν < j ν,1, δηλαδή ν + ν J ν+1ν) J νν) < 0. 43

Ετσι από την 3.1.2) για z = ν έχουµε ότι G ν ν) = ν + ν 2 ν 2 + ν J ν+1ν) J ν ν) = ν + ν J ν+1ν) J ν ν) < 0 ηλαδή η G ν z) είναι συνεχής συνάρτηση στο 0, ν) και G ν 0)G ν ν) < 0, οπότε από το ϑεώρηµα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον µια ϱίζα της G ν z) ή ισοδύναµα τουλάχιστον µια ϱίζα της J ν z) λόγω της πρότασης 3.1.4.) στο διάστηµα 0, ν). Θα δείξουµε ότι η ϱίζα αυτή είναι µοναδική. Παραγωγίζοντας την 3.1.2) ως προς z παίρνουµε : G νz) = 2z + J ν+1z) J ν z) G νz) = 2z + J ν+1z) J ν z) G νz) = 2z + J ν+1z) J ν z) Λαµβάνοντας υπ όψιν τις σχέσεις + z Jν+1 z) J ν z) ) + z J νz)j ν+1z) J ν+1 z)j νz) J ν z)) 2 + z J ν+1z) J νz) J ν+1z) J νz) J ν z) zj νz) + zj ν+1 z) = νj ν z) 3.2.13) προκύπτει ότι : z 2 J ν z) + zj νz) + z 2 ν 2 )J ν z) = 0 3.2.14) G νz) = 2z + J ν+1z) J ν z) + z J ν+1z) + J ν+1 z) ν J z νz) ) J ν+1z) J νz) J ν z) = ή ισοδύναµα = 2z + J ν+1z) J ν z) G νz) = z + z J ν+1z) J ν z) + z J ν+1z)) 2 ν J ν+1z) J ν z)) 2 J ν z) ) 2 Jν+1 z) J νz) + 1 ν) J ν+1 z) J νz) + z J ν+1 z) J νz) 2z 3.2.15) Παραγωγίζοντας την 3.2.13) ως προς z παίρνουµε : J νz) + zj ν z) + J ν+1 z) + zj ν+1z) = νj νz) 44