ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α ίνονται τα διανύσµατα α και β, τα οποία δεν είναι παράλληλα προς τον άξονα y y και έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι: β λ λ = α Β Έστω δύο σηµεία Ε και Ε ενός επιπέδου Τι ονοµάζεται υπερβολή µε εστίες τα σηµεία Ε και Ε στο συγκεκριµένο επίπεδο; Μονάδες 5 Γ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Αν Α 0 ή Β 0, η εξίσωση Αx+Βy+Γ=0 παριστάνει ευθεία p β Στην παραβολή y =px, η εξίσωση της διευθετούσας είναι x = γ ίνονται οι ακέραιοι αριθµοί α, β, γ, k, λ µε α 0 Αν α β και α γ, τότε α (kβ+λγ) δ Αν Α, Β, Γ είναι κορυφές του τριγώνου ΑΒΓ, τότε το εµβαδόν του είναι: ( ΑΒΓ) = det( ΑΒ, ΑΓ) ε Η εκκεντρότητα ε της έλλειψης είναι µεγαλύτερη της µονάδας ΘΕΜΑ ο ίνονται τα διανύσµατα α = (, ) και β = (, ) Α Να βρείτε το µέτρο του διανύσµατος γ = 5α - β Β Να βρείτε τη γωνία που σχηµατίζει το γ µε τον άξονα x x Γ Να βρείτε τον αριθµό k R, ώστε το διάνυσµα υ = (k k, k) στο α να είναι κάθετο Μονάδες 9
ΘΕΜΑ ο ίνεται ο ακέραιος αριθµός α=k-5, όπου k Z Α Να αποδείξετε ότι ο α είναι περιττός αριθµός Β Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του α διά του Μονάδες 7 Γ Να αποδείξετε ότι ο αριθµός Α = (α +5)(α -) είναι πολλαπλάσιο του 6 ΘΕΜΑ ο ίνονται οι παράλληλες ευθείες ε :x+y+6=0 και ε :x+y+6=0 Α Να βρείτε την απόσταση των παράλληλων ευθειών ε και ε Μονάδες 7 Β Να βρείτε την εξίσωση της µεσοπαράλληλης ευθείας των ε και ε Γ Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σηµείο τοµής της ευθείας ε µε τον άξονα x x και αποκόπτει από την ευθεία ε χορδή µήκους d =
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Έστω τα διανύσµατα a ( ) και ( ) x,ψ µε τον άξονα y y, οπότε x x 0 Έχουµε: β x,ψ α β αβ = 0 xx + ψψ = 0 ψψ = xx ψ ψ = λ λ = x x, τα οποία δεν είναι παράλληλα Β Ονοµάζεται υπερβολή µε εστίες τα σηµεία E και E ο γεωµετρικός τόπος C των σηµείων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιµή της διαφοράς των αποστάσεων από τα σηµεία Ε και Ε είναι σταθερή και µικρότερη του (Ε Ε) Γ α β γ δ ε Σ Λ Σ Σ Λ ΘΕΜΑ ο Α Είναι: 5 α = 5(, ) = (5, 0), β = (, ) = (6, 9) Άρα γ = 5α - β = (5,0) - (6, 9) = (-, ) Οπότε γ = (-) + = Β Αν φ είναι η γωνία που σχηµατίζει το γ µε τον x x, τότε εφφ = = και π 7π επειδή φ [0,π), είναι φ = ή Επειδή όµως το γ π βρίσκεται στο ο τεταρτηµόριο, προκύπτει φ =
Γ Επειδή α υ προκύπτει α υ = 0 Εποµένως (κ -κ) +κ =0 κ +κ-κ=0 κ +κ=0 κ=0 ή κ=- ΘΕΜΑ ο Α Έχουµε α=κ 5 = κ 6 + = (6κ-) + = ρ + (µε ρ = 6κ - Z, αφού κ Ζ ) Άρα ο α είναι περιττός αριθµός Β α = κ 5 = κ + 8 8 5 = κ 8 + = (κ ) + = λ + (µε λ = κ - Z, αφού λ Ζ ) Αφού 0 < < το υπόλοιπο της διαίρεσης του α διά του είναι υ= Γ A = ( a + 5) ( a ) Αφού α περιττός, είναι a = 8λ +, µε λ Ζ (από εφαρµογή ii σελίδα σχολ βιβλίου) Άρα ( + ) a + 5 = 8λ + 6 = 8 λ και a = 8λ Εποµένως = ( a + 5) ( a ) = 8( λ + ) 8λ = 6 λ( λ + ) = πολ6 ΘΕΜΑ ο A Α Για y=0 στην ε βρίσκουµε x=- Άρα το σηµείο Κ(-,0) είναι σηµείο της ε Η απόσταση τώρα των ευθειών ε,ε είναι ίση µε την απόσταση του σηµείου Κ από την ε ηλαδή: ( ) + 0 + 6 0 d ( ε, ε ) = d( K, ε ) = = = + 5 Β Για x=0 στην ε βρίσκουµε y = - Άρα το σηµείο Λ(0, -) είναι σηµείο της ε Βρίσκουµε τώρα τις συντεταγµένες του µέσου Μ του ευθ τµήµατος ΚΛ: xk + xλ + 0 x = = = Μ(, ) y + 0 + ( ) K yλ y = = = Η µεσοπαράλληλη (ε) των ε, ε ως παράλληλή τους, έχει τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης µ αυτές Έτσι λ ε = και επειδή διέρχεται από το Μ θα έχει εξίσωση: y y = ( x x ) y + = ( x + ) y + 8 = x x + y + = 0 Γ Έστω ΑΒ η χορδή που αποκόπτει ο ζητούµενος κύκλος από την ε και Γ το µέσον της Τότε το τµήµα ΚΓ είναι το απόστηµα της χορδής και το µήκος του ΚΓ ισούται µε την απόσταση των ε και ε Επίσης είναι ΑΚ=ΒΚ=R, όπου R η ακτίνα του ζητούµενου κύκλου
ΑΒ Επειδή ΑΓ = =, από το ορθ τρίγωνο ΑΚΓ µε εφαρµογή του πυθαγορείου θεωρήµατος είναι ηλαδή: R = d ( Κ,ε ) + ( ) R = + R = 6 R = ΚΑ = ΚΓ + ΑΓ Εποµένως η εξίσωση του ζητούµενου κύκλου είναι ( ) x + + y = 5