Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή (αν υπάρχουν) τον ανάγουν, και είναι κάθετοι μεταξύ τους. Απόδειξη. (α) Eπειδή ο A είναι φυσιολογικός, ο A λi είναι φυσιολογικός για κάθε λ C. Έχουμε λοιπόν (A λi)x = (A λi) x = (A λi)x για κάθε λ C. Άρα Ax = λx αν και μόνον αν A x = λx. (β) Aν Ax = λx και Ay = µy, τότε A y = µy από το (α), άρα λ x, y = λx, y = Ax, y = x, A y = x, µy = µ x, y. Συνεπώς, αν λ µ, τότε x y για κάθε x M λ και y M µ. (γ) Έχουμε ήδη παρατηρήσει ότι κάθε ιδιόχωρος M λ είναι αναλλοίωτος από τον A και από κάθε τελεστή που μετατίθεται με τον A, όπως ο A στην προκειμένη περίπτωση. Επομένως A (M λ ) M λ, ισοδύναμα (άσκηση) A(M λ ) M λ. Άλλωστε, το συμπέρασμα είναι άμεσο από τις σχέσεις Ax = λx και A x = λx, που ισχύουν για x M λ. Ορισμός 1.1 Το φάσμα ενός φραγμένου τελεστή A σ έναν χώρο Baach είναι το σύνολο σ(a) = {λ C : ο A λi δεν έχει (φραγμ.) αντίστροφο }. Παρατήρηση. Αποδεικνύεται ότι το φάσμα σ(a) είναι συμπαγές και μη κενό υποσύνολο του C. Εδώ, θα το δείξουμε για αυτοσυζυγείς τελεστές (Πρόταση 1.4). Δεν είναι όμως αλήθεια το σημειακό φάσμα σ p (A) (δηλ. το σύνολο των ιδιοτιμών) είναι πάντα μη κενό. Δεν ισχύει δηλαδή ότι κάθε τελεστής, έστω και αυτοσυζυγής, έχει ιδιοτιμές. Παράδειγμα ο A B(L ([0, 1], λ)) (λ το μέτρο Lebesgue) με (Af)(s) = sf(s) για f L ([0, 1], λ). Επίσης δεν είναι αλήθεια ότι κάθε συμπαγής τελεστής έχει ιδιοτιμές. Παράδειγμα ο T B(l ) με T e = 1 e +1 για κάθε N. Θα δείξουμε όμως ότι κάθε συμπαγής και αυτοσυζυγής τελεστής έχει ιδιοτιμές (Πρόταση 1.5). Πρόταση 1. Έστω A φραγμένος τελεστής σ έναν χώρο Baach E. To σ(a) φράσσεται από A : Αν λ > A, o λi A είναι αντιστρέψιμος και ο αντίστροφός του είναι το -όριο της σειράς (λi A) 1 = 1 ( ) A. λ λ =0 Απόδειξη. Aν θέσουμε T = A λ και S m = m T τότε παρατηρούμε ότι =0 (I T )S m = S m (I T ) = I T m+1 επομένως, επειδή T m+1 T m+1 0 (αφού T < 1), lim m (I T )S m I = lim m S m (I T ) I = lim m T m+1 = 0. ( )

Από την άλλη μεριά, αν m > S m S = m k=+1 T k m k=+1 T k T +1 1 T. Eπειδή T < 1, έπεται ότι η ακολουθία {S m } είναι βασική στην τοπολογία της νόρμας του B(E), επομένως (πληρότητα!) συγκλίνει σε έναν S B(E). Από την ( ) έχουμε ότι (I T )S = S(I T ) = I, άρα S = (I T ) 1. Τελικά έχουμε (λi A) 1 = 1 λ (I T ) 1 = 1 λ S = 1 λ =0 ( ) A. λ Υπενθυμίζουμε ότι ένα λ C είναι ιδιοτιμή ενός τελεστή A (συμβ. λ σ p (A)) αν και μόνον αν υπάρχει x 0 ώστε (A λi)x = 0. Ορισμός 1. Το λ είναι προσεγγιστική ιδιοτιμή του A (συμβ. λ σ a (A)) αν και μόνον αν υπάρχει ακολουθία (x ) στον E με x = 1 ώστε (A λi)x 0. Ισοδύναμα, λ σ a (A) αν υπάρχει δ > 0 ώστε (A λi)x δ x για κάθε x E. Προφανώς σ p (A) σ a (A) σ(a). Πρόταση 1.3 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Τότε σ(a) = σ a (A). Δηλαδή, αν το λ δεν είναι προσεγγιστική ιδιοτιμή, τότε ο A λi έχει (φραγμ.) αντίστροφο. Απόδειξη. Έστω λ / σ a (A). Θα δείξω ότι ο τελεστής T := A λi έχει φραγμένο αντίστροφο. Ο T είναι 1-1, άρα ορίζεται η αντίστροφη απεικόνιση: S : T (H) H που είναι γραμμική. Είναι όμως και φραγμένη. Πράγματι: Αφού λ / σ a (A), ο T = A λi είναι κάτω φραγμένος, δηλ. υπάρχει δ > 0 ώστε T x δ x για κάθε x H. Επομένως, για κάθε y = T x T (H) έχουμε Sy = S(T x) = x 1 δ T x = 1 δ y δηλαδή S 1 δ. Επομένως ο S επεκτείνεται σε φραγμένο τελεστή S : T (H) H που ικανοποιεί ST x = ST x = x για κάθε x H και T Sy = y για κάθε y T (H) άρα (λόγω συνέχειας) και για κάθε y T (H). Όμως, T (H) = H. Πράγματι, αν x T (H), τότε για κάθε z H έχουμε T x, z = x, T z = 0, άρα T x = 0. Επειδή ο T είναι φυσιολογικός, έχουμε T x = T x δ x, και συνεπώς x = 0. Τελικά λοιπόν ορίζεται φραγμένος τελεστής S : H H που ικανοποιεί ST x = ST x = x και T Sy = y για κάθε x, y H, δηλαδή S = T 1. Πρόταση 1.4 Έστω A = A B(H). Τότε (α) σ(a) R. (β) A = sup{ Ax, x : x = 1}. (γ) A = sup{ λ : λ σ(a)} = max{ λ : λ σ a (A)}. Ειδικότερα, το φάσμα ενός αυτοσυζυγούς τελεστή δεν είναι κενό. Απόδειξη. (α) Αν λ C\R, τότε, για κάθε x H\{0}, 0 < λ λ. x = (A λi)x, x (A λi)x, x = (A λi)x, x x, (A λi)x (A λi)x x

οπότε λ λ (A λi)x x. Επομένως λ / σ a (A). Αλλά σ a (A) = σ(a) διότι ο A είναι φυσιολογικός, άρα λ / σ(a). (β) Αν ϕ(x, y) = Ax, y και ˆϕ(x) = Ax, x, γράφοντας ˆϕ = sup{ ˆϕ(x) : x = 1}, αρκεί να δείξουμε ότι ϕ(x, y) ˆϕ για κάθε x, y H με x 1 και y 1. Παρατηρούμε ότι από την υπόθεση έπεται ότι ˆϕ(x) R για κάθε x H. Eπομένως, επειδή 4ϕ(x, y) = ˆϕ(x + y) ˆϕ(x y) + i( ˆϕ(x + iy) i ˆϕ(x iy)), έχουμε 4 Re ϕ(x, y) = ˆϕ(x + y) ˆϕ(x y) άρα 1 4 Re ϕ(x, y) ˆϕ.( x + y + x y ) = ˆϕ.( x + y ) (*) από τον κανόνα του παραλληλογράμμου. Αν τώρα γράψουμε ϕ(x, y) = λ ϕ(x, y) όπου λ C (οπότε λ = 1), έχουμε ϕ(x, y) = λϕ(x, y) = ϕ(x, λy) άρα ϕ(x, λy) R, οπότε από την (*) έχουμε αφού x 1 και λy 1. ϕ(x, y) = ϕ(x, λy) ˆϕ x + λy ˆϕ, (γ) Από το (β), υπάρχει μια ακολουθία (x ) με x = 1 για κάθε N ώστε Ax, x A. H ακολουθία πραγματικών (γιατί A = A ) αριθμών ( Ax, x ) είναι φραγμένη, επομένως έχει μια υπακολουθία ( Ay, y ) που συγκλίνει, έστω στο λ R, και προφανώς λ = A. Θα δείξουμε ότι το λ είναι προσεγγιστική ιδιοτιμή του A. Έχουμε 0 Ay λy = Ay, Ay Ay, λy λy, Ay + λy, λy = Ay λ Ay, y + λ y (γιατί A = A και λ = λ) A λ Ay, y + λ = λ(λ Ay, y ) 0 επομένως lim (A λi)y = 0. Παρατήρηση Μια διαφορετική απόδειξη του (γ), που αποφεύγει το (β), μπορεί κανείς να βρει στην Εισαγωγή στη Θεωρία Τελεστών, Πρόταση 6.1.17. Πρόταση 1.5 Aν A K(H) είναι φυσιολογικός, τότε κάθε λ σ(a) \ {0} είναι ιδιοτιμή. (Ισχύει για κάθε συμπαγή: δες αργότερα.) Απόδειξη. To λ είναι προσεγγιστική ιδιοτιμή του A. Συνεπώς υπάρχει ακολουθία (y ) στην μοναδιαία σφαίρα του H ώστε Ay λy 0. Αλλά ο A είναι συμπαγής, επομένως η (y ) έχει μια υπακολουθία (z ) ώστε η (Az ) να συγκλίνει, έστω στο w. Θα δείξουμε ότι Aw = λw. Πράγματι, επειδή lim (Az λz ) = 0 και lim (Az w) = 0, έχουμε lim λz = w, άρα, αφού ο A είναι συνεχής, lim A(λz ) = Aw. Αλλά lim A(λz ) = λ lim Az = λw, επομένως Aw = λw. Τέλος, επειδή w = lim λz όπου λ 0 και z = 1 για κάθε, έπεται ότι w 0, άρα το w είναι ιδιοδιάνυσμα του A. 1 χρησιμοποιώντας ότι ˆϕ( x x ) ˆϕ για κάθε x 0 και άρα ˆϕ(x) ˆϕ x 3

Πόρισμα 1.6 Αν A K(H) και A = A, τότε υπάρχει λ σ p (A) με λ = A. Απόδειξη. Αφού ο A είναι αυτοσυζυγής, έχει μια προσεγγιστική ιδιοτιμή λ με λ = A. Αφού είναι συμπαγής, το λ είναι ιδιοτιμή. Παράδειγμα 1.7 Αν A K(H), το 0 δεν είναι πάντα ιδιοτιμή: παράδειγμα ο D a : e 1 e στον l. Παρατήρηση. Αν A K(H) και ο χώρος H είναι απειροδιάστατος, τότε 0 σ(a). Γιατί αλλιώς, ο A θα είχε φραγμένο αντίστροφο A 1, οπότε ο I = AA 1 θα ήταν συμπαγής, πράγμα που δεν συμβαίνει σε απειροδιάστατους χώρους. Πρόταση 1.8 Έστω A K(H). (i) Kάθε ιδιόχωρος του A που αντιστοιχεί σε μη μηδενική ιδιοτιμή έχει πεπερασμένη διάσταση. (ii) Aν (x ) είναι άπειρη ορθοκανονική ακολουθία και υπάρχουν λ C ώστε Ax = λ x για κάθε N, τότε η (λ ) είναι μηδενική ακολουθία. (iii) Aν ο A είναι φυσιολογικός, το σύνολο σ p (A) των ιδιοτιμών του ή είναι πεπερασμένο, ή αποτελεί μηδενική ακολουθία. Απόδειξη. (i) Aν λ σ p (A), τότε A(M λ ) M λ και A Mλ = λi Mλ. Eπομένως, αν λ 0, ο ταυτοτικός τελεστής στον χώρο Hilbert M λ είναι συμπαγής, άρα ο M λ έχει πεπερασμένη διάσταση. (ii) Eπειδή ο A είναι συμπαγής, έχουμε λ = Ax, x 0. (iii) Aν υποθέσουμε ότι το σ p (A) είναι άπειρο και δεν αποτελεί μηδενική ακολουθία, θα υπάρχει ένας θετικός αριθμός δ ώστε το σύνολο {λ σ p (A) : λ δ} να είναι άπειρο. Θα υπάρχει λοιπόν μια άπειρη ακολουθία (λ ) διακεκριμένων ιδιοτιμών ώστε λ δ για κάθε. Aν x είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα ώστε Ax = λ x, η ακολουθία (x ) είναι ορθοκανονική, γιατί οι ιδιόχωροι του A είναι ανά δυο κάθετοι αφού ο A είναι φυσιολογικός (Λήμμα 1.1). Τότε όμως Ax, x δ για κάθε, πράγμα που αντιφάσκει με την συμπάγεια του A. Παρατήρηση Ο μηδενοχώρος ker A (δηλαδή ο ιδιόχωρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 0) μπορεί να έχει οποιαδήποτε διάσταση: Aς θεωρήσουμε, για παράδειγμα, τον τελεστή D a στον l με D a e = a()e όπου η a = (a()) είναι μηδενική ακολουθία. Ο D a είναι συμπαγής φυσιολογικός και σ p (D a ) = {a() : N}. (Άσκηση) Aν λοιπόν a() 0 για κάθε N, τότε ker D a = {0}. Aν a() = 0 για πεπερασμένο πλήθος δεικτών, τότε ο ker D a έχει πεπερασμένη διάσταση, και αν a() = 0 για άπειρο πλήθος δεικτών, τότε ο ker D a είναι απειροδιάστατος. 4

Το φασματικό Θεώρημα Θεώρημα.1 Αν H είναι χώρος Hilbert, κάθε συμπαγής φυσιολογικός τελεστής A B(H) διαγωνοποιείται στον υπόχωρο (ker A). Υπάρχουν δηλαδή a() C και ορθοκανονική βάση {x : N} του (ker A) ώστε Ax = a()x για κάθε N. Ισοδύναμα, αν U : (ker A) l είναι ο uitary τελεστής που ικανοποιεί U(x ) = e για κάθε N, τότε UAU 1 = D a ((όπου D a = diag(a() ο διαγώνιος τελεστής). Το Θεώρημα έπεται άμεσα από το ακόλουθο: Θεώρημα. Αν A είναι συμπαγής τελεστής σ έναν χώρο Hilbert H, τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (i) Οι ιδιόχωροι {M λ : λ σ p (A)} είναι κάθετοι ανά δύο, έχουν αριθμήσιμο πλήθος και παράγουν τον H. (ii) Οι αντίστοιχες προβολές P λ είναι κάθετες ανά δύο, έχουν αριθμήσιμο πλήθος και για κάθε αρίθμηση {λ : N} του σ p (A), αν P = P λ ισχύει P x = x για κάθε x H και A = =1 όπου η δεύτερη σειρά συγκλίνει ως προς την νόρμα του B(H). (iii) Ο A είναι φυσιολογικός. λ P Υπενθύμιση: Έστω {M : N} κάθετοι ανά δύο υπόχωροι ενός χώρου Hilbert H και M := M το ευθύ τους άθροισμα, δηλ. ο μικρότερος κλειστός υπόχωρος που περιέχει κάθε M. Αν P = P (M ) και P = P (M), τότε για κάθε x H η σειρά P x συγκλίνει στο P x και =1 P x = P x. Επομένως αν κάθε M έχει μια ορθοκανονική βάση {e i, : i I }, η ένωση {e i, : i I } είναι ορθοκανονική βάση του M. Απόδειξη του Θεωρήματος (i) (ii) Από την υπενθύμιση είναι φανερό ότι οι ιδιόχωροι είναι κάθετοι ανά δύο και παράγουν τον H (δηλ. το ευθύ τους άθροισμα είναι ο H) αν και μόνον αν οι προβολές είναι κάθετες ανά δύο και το άθροισμά τους συγκλίνει κατά σημείο στον ταυτοτικό τελεστή. Μένει να δείξουμε ότι, αν P x = x για κάθε x H, η σειρά λ P συγκλίνει στον A ως προς την νόρμα του B(H). =1 Έστω x H. Από τη σχέση x = lim Ax = Ax = lim N =1 N =1 =1 N P x συμπεραίνουμε (αφού ο A είναι γραμμικός και συνεχής) ότι N AP x. Όμως το P x ανήκει στον ιδιόχωρο M λ και άρα AP x = λ P x, οπότε έχουμε λ P x (σύγκλιση κατά σημείο). Όμως, επειδή ο A είναι συμπαγής, η σειρά λ P συγκλίνει =1 ως προς τη νόρμα τελεστή: Πράγματι, έστω ϵ > 0. Αφού η ακολουθία (λ ) είναι μηδενική (Πρόταση 1.8) υπάρχει 0 ώστε λ < ϵ =1 5

για κάθε 0. Συνεπώς, αν 0, έχουμε Ax λ k P k x = = k=+1 k=+1 ϵ k=+1 ϵ x λ k P k x λ k P k x Επομένως δείξαμε ότι A λ k P k ϵ αν 0. (ii) (iii) Η σχέση A = A P = P A = λ P και συνεπώς ( ) A A = A λ P = =1 άρα AA = A A. γιατί τα P k x είναι κάθετα ανά δύο P k x γιατί λ k < ϵ όταν k 0 αφού P k x x. λ k P k δίνει AP = P A = λ P (αφού P P k = 0 όταν k ) άρα λ A P = =1 ( ) λ λ P και AA = λ P A = =1 (iii) (i) (Αυτό είναι το ουσιαστικό περιεχόμενο του Θεωρήματος.) Απόδειξη. (α) Υποθέτουμε πρώτα ότι ο A είναι αυτοσυζυγής. =1 λ λ P Aπό την Πρόταση 1.4, το σύνολο {M λ : λ σ p (A)} είναι μη κενό. Από το Λήμμα 1.1, οι ιδιόχωροι του A είναι ανά δύο κάθετοι και αναλλοίωτοι από τον A. Πρέπει να δείξουμε ότι παράγουν τον H. Ονομάζουμε M τον μικρότερο κλειστό υπόχωρο που περιέχει όλους τους M λ (δηλαδή M = λ M λ ). Tο μόνο που έχουμε να δείξουμε είναι ότι M = H, δηλαδή ότι M = {0}. Έστω ότι M {0}. Eπειδή κάθε M λ είναι αναλλοίωτος από τον A, το ίδιο ισχύει και για τον M. Αλλά ο A είναι αυτοσυζυγής, άρα αφήνει αναλλοίωτο και τον M. Eπομένως ο περιορισμός B := A M ορίζει έναν τελεστή B : M M. Παρατηρούμε ότι ο B B(M ) είναι συμπαγής και αυτοσυζυγής (γιατί;). Επομένως, σύμφωνα με την Πρόταση 1.4, ο B θα έπρεπε να έχει ιδιοτιμές. Όμως, αν Bx = λx όπου x M \ {0} και λ C, τότε Ax = Bx = λx, άρα το x είναι ιδιοδιάνυσμα του A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ (του A), επομένως x M λ M. Δηλαδή x M M, άρα x = 0, άτοπο. (β) Γενική περίπτωση. Έστω A K(H) φυσιολογικός. Θεωρούμε τον αυτοσυζυγή συμπαγή τελεστή T := A A. Από την περίπτωση (α) οι ιδιόχωροι {M µ (T ), µ σ p (T )} του T είναι ανά δύο κάθετοι και παράγουν τον H. Παρατηρούμε ότι κάθε ιδιόχωρος M µ (T ) είναι αναλλοίωτος από τον A και από τον A. Πράγματι, επειδή A A = AA, έχουμε AT = A(A A) = (AA )A = (A A)A = T A και A T = A (A A) = A (AA ) = (A A)A = T A. Δηλαδή οι A και A μετατίθενται με τον T = A A, άρα αφήνουν τον M µ (T ) = ker(t µi) αναλλοίωτο. Επομένως για κάθε µ σ p (T )} ο τελεστής C µ := A Mµ (T ) απεικονίζει τον M µ (T ) στον εαυτό του, δηλαδή Πράγματι, κάθε x M γράφεται x = λ P λx άρα Ax = λ AP λx (συνέχεια του A). Όμως, κάθε AP λ x ανήκει στον M λ, άρα στον M, οπότε Ax M. 6

C µ B(M µ (T )). Ισχύει όμως ότι C µ = A Mµ (T ) (δες το Λήμμα.3 αμέσως μετά). Έπεται ότι C µc µ = C µ C µ, γιατί A A = AA, άρα o C µ είναι φυσιολογικός τελεστής στον M µ (T ). Αν µ = 0, ο ιδιόχωρος M 0 (T ) = ker T είναι ο πυρήνας ker A = M 0 (A) του A (αποδ.: αν x ker T τότε Ax = Ax, Ax = A Ax, x = 0 άρα x ker A και το αντίστροφο είναι προφανές). Αν µ 0, ο αντίστοιχος ιδιόχωρος M µ (T ) έχει πεπερασμένη διάσταση (Πρόταση 1.8). Ο C µ είναι λοιπόν φυσιολογικός τελεστής σε έναν χώρο πεπερασμένης διάστασης. Επομένως υπάρχει μια ορθοκανονική βάση του M µ (T ) από ιδιοδιανύσματα του C µ, άρα του A (από το Φασματικό Θεώρημα σε χώρους πεπερασμένης διάστασης). Δηλαδή για κάθε µ σ p (T ) \ {0}, ο περιορισμός του A στον M µ (T ) διαγωνοποιείται ως προς κάποια ορθοκανονική βάση B µ = {e µ, = 1,..., µ }. Άρα, η (αριθμήσιμη ) ένωση των B µ, µ σ p (T ) \ {0} είναι ορθοκανονική βάση του A-αναλλοίωτου υποχώρου N := spa{m µ (T ) : µ σ p (T ) \ {0}} η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσματα του A. Οι αντίστοιχοι ιδιόχωροι του A παράγουν τον χώρο N, άρα, μαζί με τον ker A = M 0 (A), παράγουν τον χώρο H. (γ) Δεύτερη απόδειξη του (β). Έστω A K(H) φυσιολογικός. Ορίζουμε B = 1 (A + A ) και D = 1 i (A A ). Οι B και D είναι αυτοσυζυγείς και A = B + id. Επιπλέον, επειδή ο A είναι φυσιολογικός, οι B και D μετατίθενται: αφού AA = A A, έχουμε (A + A )(A A ) = (A A )(A + A ). Επίσης, οι B και D μηδενίζονται στον ker A: αν Ax = 0 τότε A x = 0 αφού ο A είναι φυσιολογικός, και συνεπώς Bx = 0 και Dx = 0. Ο χώρος N = (ker A) είναι διαχωρίσιμος αφού ο A είναι συμπαγής και οι τελεστές B N := B N και D N := D N αφήνουν τον N αναλλοίωτο και είναι αυτοσυζυγείς και συμπαγείς τελεστές που μετατίθενται. Αυτό σημαίνει ότι κάθε ιδιόχωρος M µ (B N ) του B N είναι και D N -αναλλοίωτος. Από την περίπτωση (α) οι ιδιόχωροι {M µ (B N ), µ σ p (B N )} του B N είναι ανά δύο κάθετοι και παράγουν τον N. Τώρα όμως, για κάθε µ σ p (B N ), o M µ (B N ) είναι D N -αναλλοίωτος και ο περιορισμός D µ του D N στο M µ (B N ) είναι συμπαγής και αυτοσυζυγής τελεστής (όπως φαίνεται αμέσως από τους ορισμούς). Κατά συνέπεια, πάλι από την περίπτωση (α), υπάρχει κάποια ορθοκανονική βάση E µ = {e µ, = 1,..., } του (διαχωρίσιμου) χώρου M µ (B N ) η οποία διαγωνοποιεί τον D µ, και ταυτοχρόνως τον B N (αφού B N x = µx όταν x M µ (B N )). Άρα, η (αριθμήσιμη ) ένωση των E µ, µ σ p ( N ) είναι ορθοκανονική βάση του A-αναλλοίωτου υποχώρου N = ker A που διαγωνοποιεί ταυτοχρόνως τους B N και D N, άρα και τον A N = B N +id N. Κατά συνέπεια, οι ιδιόχωροι του A N παράγουν τον χώρο N. Αυτό σημαίνει ότι οι ιδιόχωροι του A που αντιστοιχούν σε μη μηδενικές ιδιοτιμές του A, δηλαδή οι ιδιόχωροι του A N, (είναι ανά δύο κάθετοι και) παράγουν τον N. Άρα, μαζί με τον ker A = M 0 (A), παράγουν τον χώρο H. Λήμμα.3 Έστω A B(H) και M H κλειστός A-αναλλοίωτος υπόχωρος. Έστω B B(M) ο περιορισμός B := A M. Τότε, B = A M αν και μόνον αν ο M είναι και A -αναλλοίωτος. Απόδειξη. Εφόσον εξ ορισμού ο B απεικονίζει τον M στον M, αν B = A M τότε βέβαια ο A απεικονίζει τον M στον M. Aντίστροφα, έστω A (M) M. Έστω x M. Θα δείξω ότι A x = B x. Για κάθε y M έχουμε By = Ay, άρα B x, y = x, By (ορισμός του B ) = x, Ay = A x, y. Επομένως B x A x, y = 0 για κάθε y M, οπότε το διάνυσμα B x A x είναι κάθετο στον M. Όμως A x A (M) M από την υπόθεση, άρα B x A x M. Επομένως B x A x = 0. 7

Παράδειγμα.4 Αν U : l (Z) l (Z) είναι ο τελεστής της αμφίπλευρης μετατόπισης (Ue = e +1 για κάθε Z), ο υπόχωρος M = spa{e : 0} είναι U-αναλλοίωτος, αλλά ο περιορισμός S := U M δεν ικανοποιεί S = U M, καθώς Se 0 = 0 ενώ U e 0 = e 1. Θεώρημα.5 (Φασματικό θεώρημα: Tρίτη μορφή) Ένας τελεστής A σ έναν χώρο Hilbert H είναι φυσιολογικός και συμπαγής αν και μόνον αν υπάρχει μια (πεπερασμένη ή άπειρη) ορθοκανονική ακολουθία (x ) ιδιοδιανυσμάτων του A, με αντίστοιχες ιδιοτιμές (a()) ώστε N lim N A a()p [x ] = 0 ( ) =1 (όπου P [x ] η προβολή στον (μονοδιάστατο) υπόχωρο που παράγει το x ). Τότε η ακολουθία (a()), αν είναι άπειρη, είναι μηδενική. Απόδειξη. Αν ο A ικανοποιεί την ( ) τότε είναι -όριο τελεστών πεπερασμένης τάξης, άρα συμπαγής. Επίσης, οι τελεστές αυτοί είναι φυσιολογικοί, άρα και ο A είναι φυσιολογικός. Αντίστροφα, έστω A συμπαγής και φυσιολογικός. Έχουμε δείξει ότι υπάρχει αριθμήσιμη ορθοκανονική βάση, έστω {x : N}, του χώρου (ker A) από ιδιοδιανύσματα του A που αντιστοιχούν σε μη μηδενικές ιδιοτιμές του. Δηλαδή υπάρχουν a() C ώστε Ax = a()x. Από την Πρόταση 1.8 η ακολουθία (a()) είναι μηδενική, αν είναι άπειρη. Επειδή επιπλέον οι προβολές P [x ] είναι κάθετες ανά δύο, έπεται (όπως στην απόδειξη του Θεωρήματος.) ότι η σειρά a()p [x ] =1 συγκλίνει στην τοπολογία της νόρμας του B(H). Έστω B B(H) το όριό της. Οι (φραγμένοι) τελεστές A και B μηδενίζονται στον ker A και συμπίπτουν σε κάθε x (διότι Ax = a()x = Bx ) άρα συμπίπτουν και στην κλειστή γραμμική θήκη του {x : N}, δηλαδή στον (ker A). 3 Πρώτες συνέπειες Πόρισμα 3.1 Έστω A συμπαγής φυσιολογικός τελεστής σ έναν χώρο Hilbert H. Τότε (i) A = max{ λ : λ σ p (A)} (ii) A = max{ Ax, x : x H, x = 1} Απόδειξη. Έστω {λ : N} μια αρίθμηση του σ p (A). Με τους συμβολισμούς του Θεωρήματος., γράφουμε A = Ax = =1 λ P x sup λ =1 =1 λ P, οπότε για κάθε x H έχουμε P x sup λ x άρα A sup λ = sup{ λ : λ σ p (A)}. Όμως το σύνολο { λ : λ σ p (A)} είναι φραγμένο (από το A ) και έχει μόνο σημείο συσσώρευσης το 0. Άρα έχει μέγιστο λ o (λ o σ p (A)). Αν x o M λ0 (A) είναι ένα αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα με x o = 1, έχουμε A sup{ λ : λ σ p (A)} = λ o = λ o x o = Ax o A, άρα ισχύει ισότητα. Επίσης Ax o, x o = λ o x o, x o = λ o = A πράγμα που αποδεικνύει και το (ii), αφού η ανισότητα είναι άμεση. sup{ Ax, x : x H, x = 1} A 8

Παρατήρηση 3. Αν δοθούν ορθοκανονικές ακολουθίες (x ) στον K και (y ) στον H (όπου H, K χώροι Hilbert) και φραγμένη ακολουθία θετικών αριθμών (λ()), ορίζεται φραγμένος τελεστής A : H K με A(x) = λ(i)(x i yi )(x) για κάθε x H. Απόδειξη. Για κάθε N N, θεωρούμε τον φραγμένο τελεστή πεπερασμένης τάξης A N := N λ(i)(x i yi ). Παρατηρούμε ότι, αν σταθεροποιήσουμε ένα τυχόν x H, η ακολουθία (A x) είναι βασική στον K. Πράγματι, αν N > M, A N x A M x K = N k=m+1 λ k x, y k x k (p) = N k=m+1 λ k x, y k sup λ k N x, y k k k=m+1 όπου η ισότητα (p) έπεται από το Πυθαγόρειο Θεώρημα, αφού η (x ) είναι ορθοκανονική. Όμως και η (y ) είναι ορθοκανονική, συνεπώς από την ανισότητα Bessel έχουμε x, y k x H. Επομένως αν δοθεί ϵ > 0 υπάρχει N 0 N ώστε αν N > M N 0 να έχουμε N k=m+1 ανισότητα δίνει A N x A M x K < (λ k ) ϵ. Επομένως υπάρχει το x, y k < ϵ οπότε η προηγούμενη Ορίζεται δηλαδή η απεικόνιση lim N A N (x) = λ(i)(x i yi )(x) K για κάθε x H. A : H K : x A(x) := lim N A N (x) η οποία είναι γραμμική, ως κατά σημείο όριο γραμμικών απεικονίσεων. Είναι όμως και φραγμένη από τον αριθμό (λ k ) := sup k λ k, γιατί για κάθε x H και N N έχουμε A N x K = N N λ k x, y k sup λ k x, y k (λ k ) x k k=m+1 άρα και Ax K (λ k) x. Παρατήρηση 3.3 Η νόρμα του τελεστή A ισούται με sup k λ k. Επίσης, η σειρά τελεστών λ(i)(x i yi ) (δηλαδή η ακολουθία (A N)) συγκλίνει στη νόρμα του χώρου B(H, K) (δηλαδή στη νόρμα τελεστή) αν και μόνον αν η (λ()) είναι μηδενική ακολουθία. Οι ισχυρισμοί αυτοί αφήνονται ως άσκηση. Θεώρημα 3.4 (Γενική μορφή συμπαγούς τελεστή σε χώρο Hilbert) Aν A : H K είναι συμπαγής τελεστής μεταξύ χώρων Hilbert H και K, υπάρχουν ορθοκανονικές ακολουθίες (x ) στον K και (y ) στον H και (πεπερασμένη ή μηδενική) ακολουθία θετικών αριθμών (a()) ώστε A = a(i)x i yi όπου η σειρά συγκλίνει ως προς τη νόρμα του B(H, K). 9

Υπενθύμιση: Αν x K, y H ο τελεστής xy : H K ορίζεται από τη σχέση (xy )(z) = z, y x, z H. Ειδικότερα αν y = 1 ο τελεστής yy είναι η προβολή P [y] στον υπόχωρο [y] = spa{y} του H. Απόδειξη. Ονομάζουμε T τον θετικό συμπαγή τελεστή T = A A. Χρησιμοποιώντας το Φασματικό Θεώρημα γράφουμε T = µ()p [y ] = µ()y y =1 όπου η (y ) είναι ορθοκανονική βάση του υπόχωρου (ker T ) = (ker A) από ιδιοδιανύσματα του T με (μη μηδενικές) ιδιοτιμές (µ()) (άρα µ() > 0, αφού ο T είναι θετικός). Ορίζουμε x = Ay ( N), a() όπου a() = µ(). Η ακολουθία (x ) είναι ορθοκανονική: Πράγματι x, x m = =1 1 a()a(m) Ay, Ay m = = 1 a a m µ y, y m = 1 a()a(m) A Ay, y m µ() a()a(m) y, y m = δ m, αφού η (y ) είναι ορθοκανονική και µ() = a(). Eπειδή οι (x ), (y ) είναι ορθοκανονικές ακολουθίες και η (a()) είναι μηδενική (διότι η (µ()) είναι μηδενική), η σειρά a(i)x i yi συγκλίνει ως προς τη νόρμα του B(H, K) (απόδειξη: Άσκηση) και ορίζει φραγμένο (μάλιστα συμπαγή) τελεστή, έστω B. Παρατηρούμε ότι ο B μηδενίζεται στον υπόχωρο [y : N] = ker A A = ker A, ενώ για κάθε N έχουμε By = a()x = Ay, άρα οι (φραγμένοι) τελεστές A και B συμπίπτουν και στον (ker A), επομένως είναι ίσοι. 10