1 1. Εστω Y, W, Z ανεξάρτητες παρατηρήσεις από κατανοµές Poisson P(θ), P(3θ), P(4θ), αντίστοιχα, (α) (10 µονάδες) Να δειχθεί ότι η οικογένεια κατανοµών του (Y,W,Z) είναι µία ΜΕΟΚ και να (ϐ) (10 µονάδες) Να δειχθεί ότι ο ΑΟΕ εκτιµητής του g(θ) = e 3θ είναι ο δ = (11/8) Y +W+Z. 2. Εστω Y 1,...,Y n, n 2, τυχαίο δείγµα από κανονική κατανοµή N(µ,σ 2 ), θ = (µ,σ 2 ) Θ = (α) (15 µονάδες) Να ϐρεθεί ο ΕΜΠ του µ 2 /σ 2. (ϐ) (10 µονάδες) Να κατασκευασθεί ένα 100(1 α)% διάστηµα εµπιστοσύνης για το 1/σ. (γ) (10 µονάδες) Να εκτιµηθεί το σ µε ένα 99% διάστηµα εµπιστοσύνης αν σε δείγµα µεγέθους δέκα παρατηρήσαµε y i = 30, yi 2 = 120. 3. Εστω W 1,...,W n τυχαίο δείγµα από κατανοµή Bernoulli B(1,θ), θ Θ = (0,1). (ϐ) (10 µονάδες) Να ϐρεθεί η ασυµπτωτική κατανοµή του log θ.
2 1. Εστω U, V, W ανεξάρτητες παρατηρήσεις από κατανοµές Poisson P(θ), P(2θ), P(6θ), αντίστοιχα, (α) (10 µονάδες) Να δειχθεί ότι η οικογένεια κατανοµών του (U,V,W) είναι µία ΜΕΟΚ και να (ϐ) (10 µονάδες) Να δειχθεί ότι ο ΑΟΕ εκτιµητής του g(θ) = e 2θ είναι ο δ = (11/9) U+V +W. 2. Εστω V 1,...,V n, n 2, τυχαίο δείγµα από κανονική κατανοµή N(µ,σ 2 ), θ = (µ,σ 2 ) Θ = (α) (15 µονάδες) Να ϐρεθεί ο ΕΜΠ του µ/σ. (ϐ) (10 µονάδες) Να κατασκευασθεί ένα 100(1 α)% διάστηµα εµπιστοσύνης για το 1/σ 3. (γ) (10 µονάδες) Να εκτιµηθεί το σ 3 µε ένα 95% διάστηµα εµπιστοσύνης αν σε δείγµα µεγέθους οκτώ παρατηρήσαµε v i = 32, vi 2 = 180. 3. Εστω U 1,...,U n τυχαίο δείγµα από κατανοµή Bernoulli B(1,θ), θ Θ = (0,1). (ϐ) (10 µονάδες) Να ϐρεθεί η ασυµπτωτική κατανοµή του θ 2.
3 1. Εστω X, U, Z ανεξάρτητες παρατηρήσεις από κατανοµές Poisson P(2θ), P(3θ), P(5θ), αντίστοιχα, (α) (10 µονάδες) Να δειχθεί ότι η οικογένεια κατανοµών του (X,U,Z) είναι µία ΜΕΟΚ και να (ϐ) (10 µονάδες) Να δειχθεί ότι ο ΑΟΕ εκτιµητής του g(θ) = e 7θ είναι ο δ = (17/10) X+U+Z. 2. Εστω W 1,...,W n, n 2, τυχαίο δείγµα από κανονική κατανοµή N(µ,σ 2 ), θ = (µ,σ 2 ) Θ = (α) (15 µονάδες) Να ϐρεθεί ο ΕΜΠ του σ/µ. (ϐ) (10 µονάδες) Να κατασκευασθεί ένα 100(1 α)% διάστηµα εµπιστοσύνης για το σ. (γ) (10 µονάδες) Να εκτιµηθεί το 1/σ µε ένα 90% διάστηµα εµπιστοσύνης αν σε δείγµα µεγέθους δώδεκα παρατηρήσαµε w i = 36, wi 2 = 150. 3. Εστω Y 1,...,Y n τυχαίο δείγµα από κατανοµή Bernoulli B(1,θ), θ Θ = (0,1). (ϐ) (10 µονάδες) Να ϐρεθεί η ασυµπτωτική κατανοµή του 1/ θ.
4 1. Εστω X, Y, V ανεξάρτητες παρατηρήσεις από κατανοµές Poisson P(2θ), P(4θ), P(6θ), αντίστοιχα, (α) (10 µονάδες) Να δειχθεί ότι η οικογένεια κατανοµών του (X,Y,V ) είναι µία ΜΕΟΚ και να (ϐ) (10 µονάδες) Να δειχθεί ότι ο ΑΟΕ εκτιµητής του g(θ) = e 5θ είναι ο δ = (17/12) X+Y +V. 2. Εστω U 1,...,U n, n 2, τυχαίο δείγµα από κανονική κατανοµή N(µ,σ 2 ), θ = (µ,σ 2 ) Θ = (α) (15 µονάδες) Να ϐρεθεί ο ΕΜΠ του σ 3 /µ 3. (ϐ) (10 µονάδες) Να κατασκευασθεί ένα 100(1 α)% διάστηµα εµπιστοσύνης για το σ 3. (γ) (10 µονάδες) Να εκτιµηθεί το 1/σ 3 µε ένα 80% διάστηµα εµπιστοσύνης αν σε δείγµα µεγέθους έξι παρατηρήσαµε u i = 18, u 2 i = 80. 3. Εστω Z 1,...,Z n τυχαίο δείγµα από κατανοµή Bernoulli B(1,θ), θ Θ = (0,1). (ϐ) (10 µονάδες) Να ϐρεθεί η ασυµπτωτική κατανοµή του θ.
Χρήσιµες (και µη) κατανοµές ιωνυµική Αν X B(n,p), n {1,2,...}, 0 < p < 1, τότε ( ) n f(x) = p x (1 p) n x I x {0,1,...,n} (x) και E(X) = np, Var(X) = np(1 p). Poisson Αν X P(λ), λ > 0, τότε λ λx f(x) = e x! I {0,1,2,...}(x) και E(X) = Var(X) = λ. Εκθετική Αν X E(λ), λ > 0, τότε f(x) = 1 λ e x/λ I (0, ) (x) και E(X) = λ, Var(X) = λ 2. Οµοιόµορφη Αν X U(α,β), α < β, τότε f(x) = 1 β α I (α,β)(x). και E(X) = (α + β)/2, Var(X) = (β α) 2 /12. Γάµµα Αν X G(α,β), α,β > 0, τότε f(x) = xα 1 e x/β Γ(α)β α I (0, ) (x) και E(X) = αβ, Var(X) = αβ 2. Κανονική Αν X N(µ,σ 2 ), µ R, σ > 0, τότε f(x) = 1 σ 1 2π e 2σ 2 (x µ)2 I R (x) και E(X) = µ, Var(X) = σ 2. α = P(χ 2 m > χ 2 m,α) 0 χ 2 m,α α α m 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 1.000039.000157.000982.003932.015790 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 2.010025.020100.050636.102586.210721 4.605 5.991 7.378 9.210 10.597 3.0717.1148.2158.3518.5844 6.251 7.815 9.348 11.345 12.838 4.2070.2971.4844.7107 1.0636 7.779 9.488 11.143 13.277 14.860 5.4118.5543.8312 1.1455 1.6103 9.236 11.070 12.832 15.086 16.750 6.6757.8721 1.2373 1.6354 2.2041 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548 7.9893 1.2390 1.6899 2.1673 2.8331 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278 8 1.3444 1.6465 2.1797 2.7326 3.4895 13.362 15.507 17.535 20.090 21.955 9 1.7349 2.0879 2.7004 3.3251 4.1682 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589 10 2.1558 2.5582 3.2470 3.9403 4.8652 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188 11 2.6032 3.0535 3.8157 4.5748 5.5778 17.275 19.675 21.920 24.725 26.757 12 3.0738 3.5706 4.4038 5.2260 6.3038 18.549 21.026 23.337 26.217 28.300 Ποσοστιαία σηµεία της κατανοµής χ 2 m.