ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Τρίτη, 3/5/ 8:3 :3 ΜΕΡΟΣ Α d.. Να ρείτε το ολοκλήρωμα: 6 4 5 3 4 6 4 6 d c 5 3. ίνεται ο κύκλος: ψ 6 8ψ 9. a) Να ρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου και το μήκος της ακτίνας του κύκλου. b) Να γράψετε παραμετρικές εξισώσεις για τον πιο πάνω κύκλο. a) g 6 g 3 και f 8 f 4, άρα κέντρο του κύκλου Κ g, f Κ 3, 4 και ακτίνα R g f c R 3 4 9 R 4. b) Ο κύκλος είναι της μορφής εξισώσεις του κύκλου είναι: 3 4συνθ 34συνθ. ψ 4 4ημθ ψ 44ημθ 3 ψ 4 6, άρα παραμετρικές
3. ίνεται ο πίνακας: Α. 3 a) Να δείξετε ότι ο αντίστροφος πίνακας του Α είναι: b) Να ρείτε τον πίνακα: Β Α 3Α. 3 Α. α) Α 3 3 3 3 3 Α Α ) 3 Β Α 3Α 3 3 49 6 4 6 6 3 9 4. Να δώσετε τον ορισμό της οριζόντιας ασύμπτωτης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f, ορισμένης στο R. α 5 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με τύπο: f, α, R, έει οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία ψ και κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία, να υπολογίσετε τις τιμές των α και. Ορισμός: Αν για μια συνάρτηση ψ f(), lim f() α ή/και lim f() α τότε η ευθεία ψ α ονομάζεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. Αφού ψ οριζόντια ασύμπτωτη θα έουμε α 5 α lim lim, άρα α α x x Επειδή κατακόρυφη ασύμπτωτη θα έουμε 5 lim, άρα 4 4. 4
5. Αν Α και Β είναι ενδεόμενα του ιδίου δειγματικού ώρου Ω με: ΡΑ Ρ Α / Β Ρ Α 4 3, 4 και ΡΒ / Α, να υπολογίσετε τις πιθανότητες: Β, ΡΑ Β και ΡΑ Β είναι ασυμίαστα. ΡΑ 3 ΡΑ 4 4 / Ρ ΑΒ ΡΒ Α ΡΑ Ρ ΑΒ Ρ Α ΡΑΒ ΡΑΒ 4 8 ΡΑ / Β Ρ ΑΒ 4 ΡΒ 4 ΡΒ,, και να εξετάσετε αν τα ενδεόμενα Α και Β ΡΒ 4 ΡΑΒΡΒ 4 ΡΒ 8 5 4 8 8 ΡΑ Β ΡΑ ΡΒ ΡΑ Β ΡΑ Β Ρ Α Β ΡΑ Β 3 8 ΡΑΒ τα ενδεόμενα Α, Β δεν είναι ασυμίαστα. 6. ίνεται η λέξη ΦΑΕΙΝΗ. Να ρείτε: a) πόσοι είναι όλοι οι αναγραμματισμοί της πιο πάνω λέξης, και b) σε πόσους από αυτούς τους αναγραμματισμούς δεν περιέεται η λέξη ΝΕΑ. α) Φ Α Ε Ι Ν Η Μ 6! 7 6 ) ΝΕΑ Φ Ι Η Μ 4! 4 4 Μ6 Μ4 7 4 696 3
7. α) Να δώσετε τον ορισμό της έλλειψης. ψ ) ίνεται η έλλειψη με εξίσωση: και εστίες Ε και Ε. 9 4 Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της έλλειψης ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, να ρείτε την περίμετρο του τριγώνου Τ Ε, αν η Τ είναι εστιακή ορδή που περνά από την Ε. α) Ορισμός Έλλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος σημείου του επιπέδου, που κινείται έτσι ώστε οι αποστάσεις του από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε του επιπέδου να έουν άθροισμα σταθερό. ηλαδή αν Τ είναι τυαίο σημείο της έλλειψης και α (α>) το σταθερό άθροισμα τότε (ΤΕ)+(ΤΕ )=α. ) α 3 και α. Από τον ορισμό της έλλειψης θα έουμε: Π ΤΕΤ Ε TE TE E E Τ Ε α α 4α 43 f,. Έστω Α το ωρίο που περικλείεται από την γραφική παράσταση της f, τον άξονα των x και τις ευθείες με εξισώσεις 8. ίνεται η συνάρτηση: και e. Να ρείτε την ευθεία λ η οποία ωρίζει το ωρίο Α σε δύο ισεμαδικά ωρία. Ε f d d ln e e e λ lne ln 4τμ λ λ Ε Ε f d d λ ln lnλ ln ln λ λ e e 4
3 9. ίνεται συνάρτηση: f α γδ, R και α. Αν η συνάρτηση f έει τοπικά ακρότατα για και,, να δείξετε ότι η συνάρτηση f έει σημείο καμπής για. ος τρόπος: f() 3α γ και f() 6α. Η f παρουσιάζει ακρότατα για και,, από το θεώρημα του Fermat θα έουμε: f και f., είναι ρίζες της f. 3α f() 6α. 3α Η f αλλάζει πρόσημο δεξιά και αριστερά του, 3α επομένως η f παρουσιάζει σημείο καμπής για. 3α ος τρόπος: f() 3α γ και f() 6α. Η f παρουσιάζει ακρότατα για και,, από το θεώρημα του Fermat θα έουμε: f και f., είναι ρίζες της f. 3α Η f είναι πολυωνυμική συνάρτηση η f είναι συνεής στο, και παραγωγίσιμη στο,. Άρα σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρει τουλάιστον ένα f f, : f(). Επομένως f() f() 6α. 3α Η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του για κάθε α, 3α επομένως η f παρουσιάζει σημείο καμπής για. 3α 5
. ίνεται ο κύκλος: ψ 9 και σημείο του A,ψ. a) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο Α είναι: ψψ 9. b) Έστω ότι Β,ψ είναι ένα άλλο σημείο του κύκλου. Αν οι εφαπτόμενες του κύκλου στα Α και Β τέμνονται στο σημείο M,ψ, να δείξετε ότι η εξίσωση της ορδής ΑΒ είναι: ψψ 9. c) Να ρείτε την καρτεσιανή εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του σημείου Μ αν η ορδή ΑΒ περνά από το σημείο,. α) ψ 9 ψψ ψ λ εφ ψ ψ ) ψψ λ ψψ εφ ψ ψψψ ψψ ψ ψψ 9 A,ψ ψψ 9 εφαπτομένη στο Α Β,ψ ψ ψ 9 εφαπτομένη στο Β Οι εφαπτόμενες τέμνονται στο σημείο M,ψ ψψ 9 τα σημεία Α και Β επαληθεύουν την εξίσωση ψψ 9 ψψ 9 Άρα η ευθεία ΑΒ έει εξίσωση ψψ 9. γ) Η ορδή ΑΒ περνά από το σημείο Μ,ψ ρίσκεται στην ευθεία ψ 9, ψ9 ψ 9 ηλαδή, η ψ 9 είναι η εξίσωση του γεωμετρικού τόπου. 6
Άσκηση ) ος τρόπος λύσης Εξίσωση εφαπτομένης στο (, ) είναι ψψ 9 Εξίσωση εφαπτομένης στο (, ) είναι ψψ 9 (, ) επαληθεύει τις εφαπτόμενες στα σημεία Α και Β ψψ 9 ψψ ψψ ψψ ψψ ψψ 9 ψ ψ ( ) ψ (ψ ψ ) ψ λ ΑΒ ψ ψ ψ ΟΜ ΑΒ λ Ή ΑΒ λομ ψ Εξίσωση της ΑΒ: ψψ ( ) ψψ ψψ ψ ψψ ψψ ψψ 9 7
ΜΕΡΟΣ Β 3t. ίνεται η καμπύλη (Κ) με παραμετρικές εξισώσεις: 3 t tr. και 3t, ψ t 3 a) Αν f t είναι η απόσταση τυαίου σημείου της καμπύλης (Κ) από την ευθεία t, να δείξετε ότι: f t, tr. t t ε : ψ b) ίνεται η συνάρτηση: ψ. Αφού ρείτε το πεδίο ορισμού της, τα σημεία τομής με τους άξονες, τα διαστήματα μονοτονίας, τα ακρότατα και τις ασύμπτωτές της, να κάνετε την γραφική της παράσταση. α) 3t 3t 3 3 3 ψ t t t 3t 3t f(t) 3 t t t t t t t t t επειδή t t,( ), θα έουμε f t t t t. ) Πεδίο ορισμού: Π.Ο. R διότι Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων: Για ψ, σημείο τομής με τον άξονα των ψ.,άρα το σημείο Για ψ, άρα το σημείο, σημείο τομής με τον άξονα των. 8
Μονοτονία-Ακρότατα: f 3 3 3 f ή Για f, Για f 4,, min., 4 max. ιαστήματα Μονοτονίας: η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, η f είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα, ] και [, ) Όρια στα άκρα-ασύμπτωτες: lim lim lim άρα ψ είναι οριζόντια ασύμπτωτη. Γραφική παράσταση: 9
. ίνεται η ισοσκελής υπερολή ψ. Να ρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε της υπερολής που άγεται από το σημείο Β4,. Η εφαπτομένη ε τέμνει το θετικό ημιάξονα των ψ στο σημείο Γ. Από τυαίο σημείο Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΒΓ φέρουμε τις κάθετες στους άξονες των συντεταγμένων και σηματίζουμε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΟΗΜ, όπου Ο η αρή των αξόνων και ΟΗ, Ο ρίσκονται πάνω στους άξονες. Να ρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ ώστε το εμαδόν του ορθογωνίου να είναι μέγιστο. ψ λ ψ λ λ Εφάπτονται 4λ 4λ Β4, ψ λ 4λ 4λ 6λ 4λ 4λ 4λ λ ήλ 4 λ ψ απορρίπτεται. λ ψ εξίσωση εφαπτομένης. 4 4 Αν Μ,ψ 4 4 Ε ψε Ε dε d dε d ψμ,
3. ίνεται συνάρτηση f:r, ισύουν: με συνεή δεύτερη παράγωγο, για την οποία 3 f, f και f d f d 3. a) Να δείξετε ότι: f 4. b) Χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση u f, όπου f η πιο πάνω συνάρτηση, ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: f d. f 5f 6 3 3 f ()dx f ()dx 3 d f() f ()dx 3 3 f f()dx f ()dx 3 α) 3 f ()dx f ()dx 3 f ()dx 3 f() 3 f() f() 3 f() 3 f() 4 u f du f ()d και η αλλαγή ορίων είναι: u f() και u f() 4 ) Έουμε Το ολοκλήρωμα γίνεται: Ι d f du f 5f 6 u 5u6 4 Ανάλυση σε απλά κλάσματα Α Β u 5u6 u3 u u3 u Α u Β u3 Α και Β. Ι 4 4 4 4 4 8 du du ln u 3 ln u ln ln ln. u3 u 7 7
4. Ένα δοείο περιέει 5 μαύρες και 3 λευκές μπάλες. Παίρνω τυαία μια μπάλα από το δοείο. Αν η μπάλα είναι μαύρη, την επανατοποθετώ στο δοείο και επίσης τοποθετώ ακόμη λευκές μπάλες στο δοείο. Αν η μπάλα είναι λευκή, την επανατοποθετώ στο δοείο και επίσης τοποθετώ ακόμη μια μαύρη και μια λευκή μπάλα στο δοείο. Στη συνέεια παίρνω τυαία μια δεύτερη μπάλα από το δοείο. a) Να ρείτε την πιθανότητα η δεύτερη μπάλα που πήρα να είναι λευκή. b) Αν η δεύτερη μπάλα που πήρα είναι λευκή, ποια η πιθανότητα η πρώτη μπάλα που πήρα να είναι μαύρη; c) Αν τη δεύτερη φορά, αντί να πάρω μια μπάλα παίρνω τυαία δύο μπάλες ταυτόρονα, ποια η πιθανότητα οι μπάλες να έουν το ίδιο ρώμα; 5 5 3 4 37 8 8 8 α) 5 5 ( ) 8 5 ( / ) ( ) 37 37 8 ) 5564 5 3 5 3 63 γ) ( ) 8 8 8 45 8 45 36
5. ίνεται η συνάρτηση: f ln,,. a) Να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα, και να ρείτε το όριο lim f. b) Να αποδείξετε ότι ισύει η σέση: c) Να αποδείξετε ότι: α) Έουμε f() ln ln για κάθε. e α με α α e d e e,. Άρα f ln. ηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ) η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (,] Η f παρουσιάζει ολικό ελάιστο στο το f() Βρίσκουμε πρώτα το όριο lim ln ln lim ln lim lim lim DLH Επομένως θα έουμε:., άρα, min. lim f lim ln lim ln lim lim ) Επειδή, ολικό ελάιστο: f() f() για κάθε. Άρα x ln ln ln e για κάθε. γ) Θεωρούμε την συνάρτηση g() e,. Η g είναι είναι συνεής ως διαφορά συνεών συναρτήσεων και g() από το (). α e. α e α α α α e Άρα: e dx dx e dx e e e Τελικά: α. α e d e e 3