ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468
Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης Με τις μεθόδους που είδαμε στα προηγούμενα για κάποια σημειακή εκτίμηση μπορεί να γνωρίζουμε εάν ο εκτιμητής έχει τις επιθυμητές ιδιότητες Παρ όλα αυτά, αυτή η γνώση δεν είναι επαρκής για να αντικαταστήσουμε την παράμετρο θ με την εκτίμηση εκτίμηση. Ο εκτιμητής, εφόσον υπάρχει πάντα ένα σφάλμα στην είναι μια τυχαία μεταβλητή, και κάθε δείγμα οδηγεί σε διαφορετική εκτίμηση Είναι επιθυμητό λοιπόν να έχουμε κάποια μέτρηση «ακριβείας», το μέγεθος του δειγματικού λάθους, για τον εκτιμητή
Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης Όπως φαίνεται στο σχήμα, τα βασικά χαρακτηριστικά της κατανομής της τ.μ. μέση τιμή της και η διακύμανσή της είναι η Όταν ο εκτιμητής είναι αμερόληπτος και έχει μικρή διακύμανση ένα μεγάλο ποσοστό των εκτιμήσεων που θα κάνουμε βρίσκεται σε μικρή απόσταση από την πραγματική τιμή θ. Στο σχήμα (α) η πιθανότητα το δειγματικό λάθος να είναι μικρότερο από ε είναι μεγαλύτερη από ότι στο (β) Αυτό οφείλεται στο ότι στο (β) η διακύμανση του εκτιμητή είναι σχετικά μεγαλύτερη συγκριτικά με το (α)
Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης Επομένως, η ακρίβεια της εκτίμησης ενός αμερόληπτου εκτιμητή εξαρτάται από την διακύμανσή του Αν είναι γνωστή η συνάρτηση κατανομής του εκτιμητή, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα για κάποιο δειγματικό σφάλμα Pr( ) Σε πολλούς εκτιμητές η διακύμανση εξαρτάται από το μέγεθος του δείγματος και επομένως είναι σημαντικό σε πολλές περιπτώσεις να προσδιορίσουμε το έτσι ώστε να έχουμε όσο μικρή πιθανότητα θέλουμε να κάνουμε ένα μεγάλο δειγματικό λάθος
Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης Μπορούμε να προσεγγίσουμε το ζήτημα της εκτίμησης και της ακρίβειας με την κατασκευή των διαστημάτων εμπιστοσύνης (δ.ε.) Η πιθανότητα να βρίσκεται η παράμετρος θ μέσα στο διάστημα εμπιστοσύνης, ονομάζεται βαθμός εμπιστοσύνης και συμβολίζεται με -α ή διαφορετικά 00%(-α) Για τη διαδικασία κατασκευής του δ.ε. θεωρούμε ότι ο εκτιμητής είναι αμερόληπτος, η σ.π.π. του ( ) είναι συμμετρική και η διακύμανσή του είναι γνωστή Pr( ) f
Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης Για να κατασκευάσουμε ένα δ.ε. ζητάμε να προσδιορίσουμε την ποσότητα ε την οποία θα προσθέσουμε και θα αφαιρέσουμε τον εκτιμητή διάστημα που προκύπτει, ( ) έτσι ώστε το να περιέχει την παράμετρο θ με μια αρκετά μεγάλη πιθανότητα (πχ 99%, 95%, 90%)
Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης Για να προσδιορίσουμε το ε έτσι ώστε το διάστημα που θα εκτιμήσουμε να είναι εμπιστοσύνης -α ακολουθούμε την εξής διαδικασία: o Με βάση την τ.μ. Z φτιάχνουμε μια τ.μ. Ζ από την τυπική κανονική κατανομή E( ).. E( ) o Ζ~Ν(0,) και η σ.π.π της. είναι συμμετρική
Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης και επομένως ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( Z
Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης και άρα από την Pr( ) ή ποσότητα ε που αφαιρούμε και προσθέτουμε στον εκτιμητή είναι
Διαστήματα Εμπιστοσύνης Οι περιπτώσεις που ακολουθούν αναφέρονται στην κανονική κατανομή αλλά μπορούν να εφαρμοστούν κατά προσέγγιση και σε μη-κανονικούς πληθυσμούς Υποθέτουμε ότι μ είναι η μέση τιμή του πληθυσμού έστω είναι η μέση τιμή του δείγματος και αντίστοιχα σ είναι η διασπορά του πληθυσμού και S διασπορά του δείγματος η οποία υπολογίζεται ως: X μ άγνωστο S X i X i μ γνωστό S X i i
Διαστήματα Εμπιστοσύνης για την μέση τιμή μ του πληθυσμού Η σημειακή εκτίμηση της μέσης τιμής μ μιας τ.μ. X είναι η δειγματική μέση τιμή X που είναι κι αμερόληπτη εκτιμήτρια της μ, δηλαδή Παρ όλο που η εκτιμήτρια είναι διαφορετική από δείγμα σε δείγμα, επειδή είναι συνεπής εκτιμήτρια όταν αυξάνεται το μέγεθος του δείγματος πλησιάζει τη μέση τιμή μ. Η διασπορά της λοιπόν θα πρέπει να εξαρτάται από το. Πράγματι έχουμε δείξει ότι X E( X ) X δηλαδή η διασπορά της εκτιμήτριας είναι ανάλογη της διασποράς σ της X κι αντιστρόφως ανάλογη του αριθμού των παρατηρήσεων. Την τυπική απόκλιση της θα την ονομάζουμε σταθερό X σφάλμα (stadard error), γιατί ορίζει το τυπικό σφάλμα εκτίμησης της μ με X X
Διαστήματα Εμπιστοσύνης για την μέση τιμή μ του πληθυσμού Έστω {x,x,,x } ένα τ.δ. από έναν πληθυσμό. Το μέγεθος του δείγματος είναι ίσο με. Η μέση τιμή του δείγματος είναι επίσης ότι γνωρίζουμε το -α X και η διασπορά του S. Έστω Τότε διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: (Α) Γνωστή διασπορά του πληθυσμού σ x x ~ N(, ) ~ N(0,) Για την τυπική κανονική κατανομή μπορούμε να ορίσουμε ένα διάστημα [ α/, α/ ], στο οποίο θα ανήκει η με κάποια δοθείσα πιθανότητα α
Διαστήματα Εμπιστοσύνης για την μέση τιμή μ του πληθυσμού Τα άκρα του διαστήματος, α/ και α/, λέγονται κρίσιμες τιμές. Οι δείκτες α/ και α/ δηλώνουν τις τιμές της αθροιστικής συνάρτησης για α/ και -α/ αντίστοιχα, δηλαδή ισχύει Φ( α/ ) = P( < α/ ) = α/ Φ( α/ ) = P( < α/ ) = α/ Αρα η πιθανότητα να είναι < α/ και > α/ είναι α. Οι δύο σκιασμένες περιοχές στο σχήμα κατέχουν μαζί ποσοστό α% του συνολικού εμβαδού του ολοκληρώματος της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας
Διαστήματα Εμπιστοσύνης για την μέση τιμή μ του πληθυσμού Αντίστοιχα η πιθανότητα να συμβαίνει [ α/, α/ ] είναι α. Γενικά λοιπόν ισχύει Pr( α/ < α/ ) = Φ( α/ ) Φ( α/ ) = α Επειδή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυπικής κανονικής κατανομής είναι συμμετρική ως προς το 0 ισχύει α/ = α/ Άρα στην ουσία για να ορίσουμε το διάστημα [ α/, α/ ] χρειαζόμαστε μία μόνο κρίσιμη τιμή Θέλουμε να μετασχηματίσουμε το διάστημα [ α/, α/ ] για πιθανότητα α στο αντίστοιχο διάστημα που περιέχει την παράμετρο μ
Διαστήματα Εμπιστοσύνης για την μέση τιμή μ του πληθυσμού Γι αυτό λύνουμε τις σχέσεις ως προς μ και βρίσκουμε τα άκρα του διαστήματος για τη μέση τιμή μ ΠΡΟΣΟΧΗ!!!!!!!! «με πιθανότητα (εμπιστοσύνη) α η μέση τιμή μ βρίσκεται μέσα σ αυτό το διάστημα» «αν χρησιμοποιούσαμε πολλά τέτοια διαστήματα από διαφορετικά δείγματα, ποσοστό ( α)% από αυτά θα περιείχαν τη μ» / x / x / a a /,, / / / x x x a a a x x a a / / «είμαστε ( α)% σίγουροι ότι»
Διαστήματα Εμπιστοσύνης για την μέση τιμή μ του πληθυσμού
Διαστήματα Εμπιστοσύνης για την μέση τιμή μ του πληθυσμού (Β) Άνωστή διασπορά του πληθυσμού σ και 30
Διαστήματα Εμπιστοσύνης για την μέση τιμή μ του πληθυσμού (Γ) Άνωστή διασπορά του πληθυσμού σ και < 30 Αν το δείγμα είναι μικρό, τότε η προσέγγιση δεν είναι καλή και το διάστημα εμπιστοσύνης μπορεί να είναι αρκετά ανακριβές ακόμα και αν γνωρίζουμε ότι η τ.μ. Χ ακολουθεί κανονική κατανομή. t a a,, t Για μικρό και υποθέτοντας ότι η τ.μ. Χ ακολουθεί κανονική κατανομή, η τ.μ. t που ορίζεται ως t x s ~ t η οποία μοιάζει με την τυπική κανονική κατανομή και την προσεγγίζει καθώς αυξάνει ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας.
Διαστήματα Εμπιστοσύνης για την μέση τιμή μ του πληθυσμού (Γ) Άνωστή διασπορά του πληθυσμού σ και < 30
Διαστήματα Εμπιστοσύνης για την μέση τιμή μ του πληθυσμού
Μονόπλευρο Διάστημα Εμπιστοσύνης για την μέση τιμή μ του πληθυσμού Υπάρχουν συχνά περιπτώσεις στις οποίες μας ενδιαφέρει μόνο το κατώτατο ή το ανώτατο όριο του δ.ε.. Δηλαδή θέλουμε να ξέρουμε μόνο αν η μέση τιμή του πληθυσμού μ, δεν υπερβαίνει ένα ανώτατο όριο ή μόνο αν ξεπερνά ένα κατώτατο όριο. Υποθέτουμε ότι η τ.μ. Χ ακολυθεί την κανονική κατανομή και ότι είναι γνωστή η διακύμανση του πληθυσμού σ Χ. Αν ενδιαφερόμαστε για μονόπλευρο όριο εμπιστοσύνης α, έχουμε X Pr( Z a ) Pr( a ) Pr( X a X ) X Επομένως το κατώτατο όριο εμπιστοσύνης (-α) για τη μέση τιμή του πληθυσμού μ: X a Ομοίως, το ανώτατο όριο εμπιστοσύνης (-α) για τη μέση τιμή του πληθυσμού μ: X X a X
Εύρος Διαστήματος Εμπιστοσύνης Πολλές φορές πριν να κάνουμε το πείραμα και συλλέξουμε τις μετρήσεις προκαθορίζουμε ένα συγκεκριμένο εύρος για το δ.ε. ή ζητάμε το εύρος του δ.ε. να μην ξεπερνάει κάποιο ανώτατο όριο για να έχουν νόημα τα αποτελέσματα Για να το πετύχουμε αυτό χωρίς να αλλάξουμε τη σημαντικότητα των στατιστικών αποτελεσμάτων, βρίσκουμε το μέγεθος του δείγματος που μας δίνει αυτό το εύρος του δ.ε. Αυτό υπολογίζεται θέτοντας το εύρος του δ.ε. ίσο με την τιμή που ζητάμε και λύνοντας την εξίσωση ως προς το
Εύρος Διαστήματος Εμπιστοσύνης Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε πως το δείγμα είναι μικρό και η τ.μ. X ακολουθεί κανονική κατανομή με άγνωστη διασπορά, (περίπτωση (Γ)) Το εύρος του δ.ε. είναι w t, a / s και λύνοντας ως προς βρίσκουμε ότι για να είναι το εύρος του δ.ε. ίσο με w πρέπει το δείγμα να έχει μέγεθος s t, a / w Και αν το είναι μεγάλο s w a /
Διαστήματα Εμπιστοσύνης για την διασπορά σ του πληθυσμού Θυμηθείτε ότι:
Διαστήματα Εμπιστοσύνης για την διαφορά δύο μέσων μ μ (Α) Γνωστές διασπορές Έχουμε αποδείξει ότι
Διαστήματα Εμπιστοσύνης για την διαφορά δύο μέσων μ μ (Β) Άγνωστές διασπορές και μεγάλο
Διαστήματα Εμπιστοσύνης για την διαφορά δύο μέσων μ μ (Γ) Άγνωστές διασπορές και ίσες και μικρό
Διαστήματα Εμπιστοσύνης για την διαφορά δύο μέσων μ μ (Δ) Άγνωστές διασπορές και άνισες και μικρό, s s t x x v S S S S v
Διαστήματα Εμπιστοσύνης για την διαφορά δύο μέσων μ μ Δύο πληθυσμοί-διαφορά μέσων τιμών μ μ διασπορά πληθυσμός δείγμα 00(-α)% διάστημα εμπιστοσύνης γνωστές κανονικοί μικρά/μεγάλα x x γνωστές μη κανονικοί μεγάλα x x άγνωστες & ίσες/άνισες κανονικοί μεγάλα s s x x άγνωστες & ίσες κανονικοί μικρά, S t x x p άγνωστες & άνισες κανονικοί μικρά, s s t x x v S S S p S S S S v
Διάστημα εμπιστοσύνης της αναλογίας p Σε αρκετά προβλήματα τα δεδομένα δεν είναι αριθμητικές τιμές μιας τ.μ. του πληθυσμού αλλά δυαδικές τιμές, δηλαδή κάποιο στοιχείο του πληθυσμού έχει μια ιδιότητα (επιτυχία ή ) ή δεν την έχει (αποτυχία ή 0). Ο λόγος των στοιχείων του πληθυσμού που πληρούν την ιδιότητα προς το σύνολο όλων των στοιχείων του πληθυσμού λέγεται αναλογία p. (είναι η πιθανότητα επιτυχίας σε μια δοκιμή όταν αναφερόμαστε σε ακολουθίες Beroulli.) Σε πολλές περιπτώσεις θέλουμε να εκτιμήσουμε την αναλογία p από ένα δείγμα μεγέθους. Η σημειακή εκτίμηση της p είναι απλά p ο λόγος των επιτυχίων m στο δείγμα προς το πλήθος των στοιχείων του δείγματος Γνωρίζουμε ότι για μεγάλο η κατανομή της εκτιμήτριας p είναι κανονική με μέση τιμή p και διασπορά p( p) p m ~ N( p, p( p) )
Διάστημα εμπιστοσύνης της αναλογίας p Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία όπως για τη μέση τιμή με γνωστή διασπορά, με τη βοήθεια του μετασχηματισμού ~ p p( p) καταλήγουμε στο διάστημα εμπιστοσύνης για την αναλογία p p p p( p) Αντικαθιστώντας στο τυπικό σφάλμα την αναλογία p με την δειγματική αναλογία έχουμε το διάστημα εμπιστοσύνης για την p από το δείγμα p p p( p)
Εκτίμηση δ.ε. για τη μέση διαφορά με δείγματα κατά ζεύγη Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται να κάνουμε μια στατιστική μελέτη για σύγκριση των μέσω δύο «θεραπειών», δηλαδή ουσιών ή διεργασιών ή διαφορετικών επιπέδων ενός παράγοντα ο οποίος επηρεάζει τα αποτελέσματα, αντιμετωπίζουμε συχνά το πρόβλημα της ανομοιογένειας του πειραματικού υλικού (πχ αντικειμένων, πειραματόζωων, υλικών κλπ) Λόγω αυτής της ανομοιογένειας προκύπτουν μετρήσεις με μεγάλη μεταβλητότητα, με αποτέλεσμα να βρίσκονται δ.ε. για τη διαφορά των μέσω επιδράσεων των «θεραπειών» με μικρή ακρίβεια (μεγάλο πλάτος) που δεν μπορούν να φανερώσουν μια ουσιαστική διαφορά στις μέσες επιδράσεις Ένας τρόπος για την εξουδετέρωση αυτής της μεταβλητότητας είναι να πάρουμε δείγματα κατά ζεύγη, δηλαδή να πάρουμε ζευγάρια μετρήσεων με τις δύο «θεραπείες», όπου τα στοιχεία κάθε ζεύγους αντιστοιχούν στις ίδιες τιμές κάποιου εξωγενή παράγοντα
Εκτίμηση δ.ε. για τη μέση διαφορά με δείγματα κατά ζεύγη Για παράδειγμα, αν θέλουμε να συγκρίνουμε τις μέσες πυκνότητες ρευστότητας δυο διαλυμάτων, μπορούμε να πάρουμε ζευγάρια μετρήσεων της ρευστότητας των δύο διαλυμάτων για διαφορετικές τιμές της θερμοκρασίας, όπου οι μετρήσεις σε κάθε ζευγάρι αντιστοιχούν στη ίδια τιμή της θερμοκρασίας. Αν η θερμοκρασία επηρεάζει σημαντικά τη ρευστότητα, θα υπάρχει μεγάλη μεταβλητότητα στις μετρήσεις καθενός διαλύματος από ζεύγος σε ζεύγος Η εξουδετέρωση της μεταβλητότητας μεταξύ των μετρήσεων διαφορετικών ζευγών γίνεται βασίζοντας τη στατιστική συμπερασματολογία στις διαφορές: D X των παρατηρήσεων κάθε ζεύγους. i i Y, ( i,,..., ) i Οι διαφορές αυτές αναμένεται να έχουν μικρότερη μεταβλητότητα από την μεταβλητότητα των Χ, Χ,, Χ και τη μεταβλητότητα των Y, Y,, Y
Εκτίμηση δ.ε. για τη μέση διαφορά με δείγματα κατά ζεύγη Υποθέσεις για τα ζεύγη (Χ i, Y i ). Για κάθε i =,,, το ζεύγος (Χ i, Y i ) έχει διδιάστατη κανονική κατανομή. Τα τυχαία ζεύγη (Χ, Y ), (Χ, Y ),, (Χ, Y ) είναι ανεξάρτητα Υποθέσεις για τις διαφορές D i. Οι διαφορές D, D,, D αποτελούν τυχαίο δείγμα από κανονικό πληθυσμό με μέση τιμή μ D Κάτω από αυτές τις προϋποθέσεις μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης της διαφορά μ D των μέσων τιμών των παρατηρήσεων Χ i καιy i κάθε ζεύγους. Οι παρατηρούμενες διαφορές d, d,, d είναι τιμές ενός τυχαίου δείγματος από κανονικό πληθυσμό με άγνωστη διασπορά: d t a, όπου είναι η δειγματική μέση τιμή και s D η δειγματική τυπική απόκλιση των d i d s D
Εκτίμηση δ.ε.για τη διαφορά δειγματικών αναλογιών με ανεξάρτητα δείγματα Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται να εκτιμήσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά δυο αναλογιών p -p όπως για παράδειγμα όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τα ποσοστά των ελαττωματικών προϊόντων που παράγονται από δύο διαφορετικές μηχανές ή δύο διαφορετικές διεργασίες παραγωγής, τα ποσοστά προτίμησης ενός υποψηφίου μεταξύ ανδρών και γυναικών μιας εκλογικής περιφέρειας κλπ Κάτω από τις κατάλληλες προϋποθέσεις και αν δυο δείγματα μεγέθους και είναι ανεξάρτητα, τυχαία και μεγάλα τότε το προσεγγιστικό 00(-α)% δ.ε. για τη διαφορά p -p των αναλογιών σε δύο πληθυσμούς είναι: p p a p ( p ) p ( p )
Εκτίμηση δ.ε. για το λόγο των διασπορών δύο πληθυσμών με ανεξάρτητα δείγματα Σε αρκετές περιπτώσεις χρειάζεται να εκτιμήσουμε δ.ε. για το λόγο σ /σ των διασπορών δύο κανονικών πληθυσμών (όπως πχ όταν μας ενδιαφέρει αν οι διασπορές είναι ίσες) Το 00(-α)% δ.ε. για το λόγο σ /σ των διασπορών είναι: s s F a s,,, F a,, s με F a,, F a,, Ανάλογα μπορούμε να βρούμε και το δ.ε. για το λόγο σ /σ των διασπορών δύο κανονικών πληθυσμών