Προβλήματα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήματα Μεταφορών (Transportation) Παραδείγματα Διατύπωση Γραμμικού Προγραμματισμού Δικτυακή Διατύπωση Λύση Γενική Μέθοδος Simplex Μέθοδος Simplex για Προβλήματα Μεταφοράς Παράδειγμα: P&T Co ΗεταιρείαP&T Co. παράγει Υπολογιστές σε εργοστάσια. Στη συνέχεια οι υπολογιστές αποστέλλονται σε αποθήκες απ όπου διοχετεύονται για κατανάλωση. Τα έξοδα μεταφοράς φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα. Ζητείτε: Πρόγραμμα μεταφοράς έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το ολικό κόστος μεταφοράς. Εργοστάσιο Κόστος Μεταφοράς ($) για κάθε φορτίο Αποθήκη Παραγωγή 6 5 995 5 6 68 65 69 88 867 79 685 75 5 Κατανομή 8 65 7 85

Διατύπωση Γραμμικού Προγραμματισμού x ij ο αριθμός φορτίων από το εργοστάσιο i στην αποθήκη j c ij το κόστος μεταφοράς ενός φορτίου από το εργοστάσιο i στην αποθήκη j (δίνεται από τον πίνακα) αντικειμενική συνάρτηση: περιορισμοί: P&T Co: Δικτυακή Παρουσίαση C 867 6 5 5 6 W W C C 79 69 995 68 88 65 W 685 W Κόμβοι παραγωγής Κόμβοι ζήτησης

P & T Co - Μεταβλητές. [75] C 867 6 5 5 6 W W [-8] [-65] [5] [] C C 79 69 995 68 88 65 W [-7] 685 W [-85] min Z = 6x + 5x + 65x + 867x + 5x + 6x + 69x + 79x + 995x + 68x + 88x + 685x [75] C 867 6 5 5 6 W W [-8] [-65] [5] [] C C 79 69 995 68 88 685 65 W W [-7] [-85]

Διατύπωση Προβλήματος Μεταφοράς [75] C 867 6 5 5 6 W W [-8] [-65] [5] [] C C 79 69 995 68 88 685 65 W W [-7] [-85] Διατύπωση Προβλήματος Μεταφοράς [75] C 867 6 5 5 6 W W [-8] [-65] x ij [5] [] C C 79 69 995 68 88, i =,,, j =,..., 685 65 W W [-7] [-85]

Διατύπωση Προβλήματος Μεταφοράς (Πίνακας Παραμέτρων) Εργοστάσιο Κόστος Μεταφοράς ($) ανά φορτίο 6 5 995 5 6 68 Αποθήκη 65 69 88 867 79 685 Παραγωγή 75 5 Κατανομή 8 65 7 85 P&T Co. Ο πίνακας παραμέτρων είναι αρκετός για να ορίσει το πρόβλημα ελαχιστοποίησης του κόστους μεταφοράς Γενική Διατύπωση Προβλήματος Μεταφοράς Δικτυακή Διατύπωση m Πηγές (Sources) S D n Προορισμοί (Destinations) [s i ] S i D j [-d j ] n j= x ij S m = s, i =,..., m i x ij, i =,..., m; j =,..., n D n m i= xij = d j, j =,..., n 5

Διατύπωση με Πίνακα Παραμέτρων (Parameter Table) (Source) m c c c m Μεταφορικό Κόστος (Destination) c c c m n c n c n c mn Παραγωγή (Supply) s s s m Demand Ζήτηση d d d n Διατύπωση Γραμμικού Προγραμματισμού Linear Programming (LP) Formulation inimize Z = m n i= j= c ij x ij Subject to: n j= x ij = s, i i =,..., m Περιορισμοί παραγωγής m i= xij = d j, j =,..., n x ij, i =,..., m; j =,..., n Περιορισμοί ζήτησης Μη αρνητικοί περιορισμοί 6

Προβλήματα Μεταφοράς: Υποθέσεις (assumptions) & Ιδιότητες Υπόθεση Απαιτήσεων (Requirements Assumption) Κάθε πηγή (source) μπορεί να παράξει ένα προκαθορισμένο αριθμό προϊόντων s i, i=,,m. Ολόκληρη η παραγωγή πρέπει να διατεθεί στα κέντρα κατανάλωσης (προορισμούς). Κάθε προορισμός (destination) έχει μια προκαθορισμένη ζήτηση για d j, j=,,n μονέδες. Ολόκληρη η ζήτηση πρέπει να ικανοποιηθεί από τις πηγές. Προβλήματα Μεταφοράς: Υποθέσεις (assumptions) & Ιδιότητες Ιδιότητα Εφικτής Λύσης (Feasible Solution Property) Ένα πρόβλημα μεταφοράς έχει εφικτή λύση εάν και μόνο αν ισχύει: Υπόθεση Αναλογικού Κόστους (Cost assumption): Το κόστος μεταφοράς προϊόντων από οποιαδήποτε πηγή σε οποιοδήποτε προορισμό είναι ανάλογο προς τον αριθμό των μονάδων που θα διατεθούν. Το συνολικό κόστος μεταφοράς x μονάδωναπότηνπηγήi στον προορισμό j είναι ίσο με c ij x όπου c ij είναι το κόστος μεταφοράς μίας μονάδας από την πηγή i στον προορισμό j. 7

Προβλήματα Μεταφοράς: Υποθέσεις (assumptions) & Ιδιότητες Μοντέλο Μεταφορών: Κάθε πρόβλημα (μεταφοράς ή μη) εμπίπτει στο πρότυπο προβλημάτων μεταφοράς εάν μπορεί να περιγραφεί πλήρως είτε με τον πίνακα παραμέτρων ή με δικτυακή διατύπωση και ικανοποιεί τις υποθέσεις απαιτήσεων και αναλογικού κόστους. Οστόχοςείναιηελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους μεταφοράς. Ιδιότητα Ακέραιας Λύσης: Για προβλήματα μεταφοράς όπου κάθε s i και d j έχουν ακέραια τιμή, όλες οι βασικές μεταβλητές σε κάθε βασική εφικτή λύση παίρνουν ακέραιες τιμές. Μέθοδος Simplex για προβλήματα μεταφοράς. Υπολογιστικά αποδοτικός αλγόριθμος για τη λύση προβλημάτων μεταφοράς. Northern Airplane (NA) Co. ΗΝΑCo. θέλει να βρει το πρόγραμμα παραγωγής και εγκατάστασης μηχανών έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος παραγωγής. Το μηνιαίο κόστος παραγωγής καθώς και η μέγιστη ζήτηση και παραγωγική δυνατότητα δίνονται στον πιο κάτω πίνακα. Μήνας Μηνιαία ζήτηση Μέγιστη παραγωγική δυνατότητα Μοναδιαίο κόστος παραγωγής x$,, Μοναδιαίο κόστος αποθήκευσης x$,, 5 5 5 5.8....5.5.5 Μεταβλητές: x i : Αριθμός μηχανών που θα παραχθούν κατά τον μήνα i 8

Northern Airplane Co. Διατύπωση Προβλήματος Μεταφοράς Μήνας Μηνιαία ζήτηση Μέγιστη παραγωγική δυνατότητα Μοναδιαίο κόστος παραγωγής x$,, Μοναδιαίο κόστος αποθήκευσης x$,, 5 5 5 5.8....5.5.5 Μεταβλητές: x ij : Αριθμός παραχθέντων μηχανών κατά τον μήνα i για εγκατάσταση κατά τον μήνα j. Northern Airplane Co. Δικτυακή Διατύπωση Προβλήματος Μεταφοράς 9

Μήνας Northern Airplane Co. Πίνακας Παραμέτρων Ζήτηση 5 5 Μέγ. Παραγ. 5 5 Κόστος Παραγ..8... Northern Airplane Co: Κόστος Αποθ..5.5.5 Παραγωγή () Μήνας Μήνας Μήνας Μήνας.8 Ζήτηση ().95...5..5..5. Dummy Ολική Παραγωγή 5 5 Ζήτηση 5 5 Παράδειγμα: Κατανομή Νερού Η υδατοπρομήθεια μιας περιφέρεια παίρνει νερό από ποταμούς και το διοχετεύει σε πόλεις. Η μέγιστη παροχή από τον κάθε ποταμό, οι ανάγκες κάθε πόλης καθώς και το κόστος μεταφοράς του νερού από τον κάθε ποταμό στη κάθε πόλη φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα. Ζητείτε: Πρόγραμμα παροχής νερού έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το ολικό κόστος μεταφοράς. Ποταμός Ελάχιστη Παροχή Ζήτηση 6 9 5 Κόστος Μεταφοράς ($) 7 7 Πόλη 9 7 5 - Μέγιστη Παροχή 5 6 5

Κατανομή Νερού Δικτυωτό Μοντέλο (Ποταμός) (Πόλη) Κατανομή Νερού Ποταμός Ελάχιστη Παροχή Ζήτηση Μέγιστη Ζήτηση Πόλης = Μέγιστη Συνολική Ζήτηση= Εικονική : 5 Κόστος Μεταφοράς ($) 7 7 Πόλη Συνολική Παροχή 6 Ελάχιστη παροχή Πόλης = ΗΠόλη δεν έχει ελάχιστη ζήτηση, έτσι η ζήτηση της μπορεί να ικανοποιηθεί από οποιαδήποτε πηγή (εικονική ή μη).

Κατανομή Νερού Ποταμός Ελάχιστη Παροχή Ζήτηση 5 Κόστος Μεταφοράς ($) 7 7 Πόλη Συνολική Παροχή 6 Κατανομή Νερού Δικτυωτό Μοντέλο

Κατανομή Νερού Πίνακας Παραμέτρων Κόστος ανά μονάδα νερού Ποταμός (Πόλη) a b Μέγιστη Παροχή (Ε) 6 9 Μ 6 9 Μ 9 7 5 Μ 5 6 5 5 Ζήτηση 7 6 Τρόποι επίλυσης προβλήματος? SIPLEX Αρχές της μεθόδου Simplex Η μέθοδος επικεντρώνεται μόνο σε Γωνιακές Επιτρεπτές Λύσεις (ΓΕΛ). Για κάθε πρόβλημα με τουλάχιστον μία άριστη λύση, ανεύρεση μιας τέτοιας λύσης ισοδυναμεί με την ανεύρεση της καλύτερης ΓΕΛ. Η μέθοδος ξεκινά από το σημείο (,...,) (origin) Βολική λύση διότι ικανοποιεί τους μη αρνητικούς περιορισμούς (non-negativity constraints) και δεν χρειάζεται καμία διαδικασία για την ανεύρεση της.

Ιδιότητες της μεθόδου Simplex ΗμέθοδοςπάειαπόμίαΓΕΛσεμίαγειτονική (adjacent) που βελτιώνει την αντικειμενική συνάρτηση. Σε κάθε βήμα ελέγχει μόνο γειτονικές ΓΕΛ. Η πορεία της μεθόδου είναι κατά μήκος των συνόρων της επιτρεπτής περιοχής (along the edges of the feasible region). Γιαόλεςτιςακμές(edges) που περνούν από την τρέχων ΓΕΛ, ελέγχει το ρυθμό καλυτέρευσης της αντικειμενικής συνάρτησης (Ζ). Κινείται κατά μήκος της ακμής με το μεγαλύτερο ρυθμό καλυτέρευση. Εάν δεν υπάρχει ακμή με θετικό ρυθμό καλυτέρευσης, τότε ο αλγόριθμος σταματά. Αρχική Μορφή της Μεθόδου Simplex aximize subject to and Z = x x x x x + x, x + 5x 8 aximize Z = x + 5x subject to x x x + x + x + x + x and, j =,...,5 x j 5 = = = 8

Βασικές Λύσεις (Basic Solutions) Βασική Λύση: Λύση με όλες τις επιπρόσθετες μετ. Βασική Επιτρεπτή Λύση (ΒΕΛ): Γωνιακή επιτρεπτή λύση Ιδιότητες Βασικής Λύσης Κάθε μεταβλητή μπορεί να είναι είτε βασική είτε μη βασική Ο αριθμός των βασικών μεταβλητών ισούται με τον αριθμό των περιορισμών Μη βασικές μεταβλητές παίρνουν την τιμή Οι τιμές των βασικών μεταβλητών είναι η λύση του συστήματος εξισώσεων με όλους τους περιορισμούς (functional constraints) Εάν οι βασικές μεταβλητές ικανοποιούν τους μη αρνητικούς περιορισμούς τότε η βασική λύση είναι επιτρεπτή βασική λύση. Βολική Διατύπωση και Αρχική Μορφή της μεθόδου Simplex aximize subject to Z Μη βασικές μεταβλητές Τιμή αντικειμ. Objective Αρνητικός ρυθμός αύξησης του Z Z x x 5x x + x = = = x + x + x5 = 8 and x i, i =,...,5 + x Αρχικά οι μεταβλητές x και x είναι μη βασικές, δηλαδή: x =, x = x =, x =, x =8 5

Ο Αλγόριθμος της μεθόδου Simplex Ναι Τέλος Αρχική Μορφή Βέλτιστη Λύση? Όχι Βρείτε εισερχόμενη μη-βασική μετ. Βρείτε εξερχόμενη βασική μεταβ. Βρείτε νέα λύση [,...,] Υπάρχουν αρνητικοί συντελεστές στην αντικειμενική? Μη βασική μεταβλητή με τον πιο αρνητικό Βασική μεταβλητή με τη μικρότερη αναλογία Μέθοδος Gauss elimination Λύση Προβλήματος Κατανομής Νερού με τη Μέθοδο Simplex Βασική μεταβ. Z Εξ. () () Ζ -... x ij c ij Συντελεστές z i z m+j Δεξιά μεριά z i (i) s i z m+j (m+j) d j (m+n) 6

Λύση Προβλήματος Κατανομής Νερού με τη Μέθοδο Simplex Βασ. μετ. Z Εξ. () Ζ -... x ij Συντελεστές z i - z m+j - Δεξιά μεριά - s i - d j Ζήτηση Πίνακας Simplex για Προβλήματα Μεταφοράς-Γενική Μορφή c c m c m... n Παραγ d c c c m d c n c n c mn d n s s s m 7

Πίνακας Simplex για το Πρόβλημα της Κατανομής Νερού a b 6 6 7 5 9 5 6 9 9 5 (Ε) 5 Ζήτ. 7 6 Βήμα Τρόποι ανεύρεσης αρχικής εφικτής λύσης: Northwest corner rule Vogel s approximation method Russell s approximation method Αριθμός Βασικών Μεταβλητών Για όλες τις βασικές μεταβλητές ισχύει: 8

Γράφημα Βασικής Λύσης a b 6 6 7 5 9 5 6 9 9 5 (Ε) 5 Ζήτ. 7 6 Γράφημα G=(V,E), όπου V το σύνολο κορυφών (vertices) και E το σύνολο ακμών (edges) Παράδειγμα Γραφήματος a b 6 6 7 5 9 5 6 9 9 5 (Ε) 5 Ζήτ. 7 6 9

Κυκλικό Γραφήματος a b 6 6 7 5 9 5 6 9 9 5 (Ε) 5 Ζήτ. 7 6 Γραφήματα και Βασικές Λύσης Ένα γράφημα G αποτελεί βασική λύση εάν Περιέχει m+n- μεταβλητές (κορυφές) Περιέχει τουλάχιστον μία κορυφή σε κάθε σειρά και κάθε στήλη του πίνακα μεταφοράς Το γράφημα είναι συνεκτικό και δεν περιέχει κύκλους (είναι δηλαδή ένα δέντρο γεφύρωσης ή ζευγνύον δέντρο spanning tree) Λύση με λιγότερες από m+n- μεταβλητές αποτελεί εκφυλισμένη λύση (degenerate solution) καιτογράφηματηςείναιμη συνεκτικό

Γράφημα Βασικής Λύσης a b 6 6 7 5 9 5 6 9 9 5 (Ε) 5 Ζήτ. 7 6 Πίνακας Simplex για το Πρόβλημα της Κατανομής Νερού a b 6 6 7 5 9 5 6 9 9 5 (Ε) 5 Ζήτ. 7 6 Ζ=,7 + Μ

Κριτήριο για Εύρεση Βέλτιστης Λύσης Μία βασική εφικτή λύση είναι βέλτιστη εάν και μόνο αν c ij για όλες τις μεταβλητές x ij οι οποίες είναι μη βασικές Πίνακας Simplex για το Πρόβλημα της Κατανομής Νερού a b 6 6 7 5 9 5 6 9 9 5 (Ε) 5 Ζήτ. 7 6 Ζ=,7 + Μ Για όλες τις μη-βασικές μεταβλητές υπολογίζουμε: c ij

ΕισερχόμενηΒασικήΜεταβλητή Η ποσότητα c ij υποδεικνύει το ρυθμό αύξησης της αντικειμενικής συνάρτησης όταν αυξάνεται η σχετική μη βασική μεταβλητή Επομένως, εφόσον θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την αντικειμενική συνάρτηση, εισερχόμενη είναι αυτή της οποίας c ij έχει την πιο αρνητική τιμή Εξερχόμενη Βασική Μεταβλητή (Ε) Ζήτ. 9-9 - 5 a b 6 6-7 -Μ+ 9 5 -Μ+ Μ- Μ- Μ- Μ- 7 6 5 6 5 Ζ=,7 + Μ Εξερχόμενη μεταβλητή είναι αυτή που θα μειωθεί πρώτη στο μηδέν εξαιτίας της αύξησης εισερχόμενης μη βασικής μεταβλητής -5-7 -

Εξερχόμενη Βασική Μεταβλητή (Ε) Ζήτ. 9-9 - 5 a b 6 6-7 -Μ+ 9 5 -Μ+ Μ- Μ- Μ- Μ- 7 6 5 6 5 Ζ=,7 + Μ Εξερχόμενη μεταβλητή είναι αυτή που θα μειωθεί πρώτη στο μηδέν εξαιτίας της αύξησης εισερχόμενης μη βασικής μεταβλητής -5-7 - Νέα Βασική Λύση a b 6 6 7 9 5 5 6 9 9 5 (Ε) 5 5 - Ζήτ. 7 6-5 -7

Βέλτιστη Βασική Λύση; a b 6 6 7 5-5 9 5 6 (Ε) 9 9 5 5 Ζήτ. 7 6 Ζ=,69 Για όλες τις βασικές μεταβλητές: c ij = Βέλτιστη Βασική Λύση; (Ε) Ζήτ. a b 6 6-7 9 5 5 5 6 9-9 - 5 5 5-7 6 Ζ=,69-5 -7 Ο αλγόριθμος επαναλαμβάνεται ξανά! 5

Vogel s Approximation ethod Για κάθε σειρά και στήλη του πίνακα που παραμένει ανικανοποίητη προσφορά ή ζήτηση, βρίσκουμε τους δύο μικρότερους συντελεστές κόστους και παίρνουμε την διαφορά του. Διαλέγουμε τη σειρά ή στήλη με τη μεγαλύτερη διαφορά και διαλέγουμε την μεταβλητή με τον μικρότερο συντελεστή κόστους. Vogel s Approximation ethod a b 6 6 7 5 Δ 9 5 6 9 9 5 (Ε) 5 Ζήτ. Δ 7 6 6

Vogel s Approximation ethod a b 6 6 7 5 Δ 9 5 6 9 9 5 (Ε) 5 Ζήτ. Δ 7 6 Vogel s Approximation ethod a b 6 6 7 5 Δ 9 5 6 9 9 5 (Ε) 5 Ζήτ. Δ 7 6 7

Vogel s Approximation ethod a b 6 6 7 5 Δ 9 5 6 9 9 5 (Ε) 5 Ζήτ. Δ 7 6 Γράφημα Αρχικής Λύσης με τη Μέθοδο Προσέγγισης Vogel a b 6 6 7 5 9 5 6 9 9 5 (Ε) 5 Ζήτ. 7 6 Μη συνεκτικό Εκφυλισμένη λύση 8

Russell s Approximation ethod Για κάθε σειρά i θέτουμε ίσο με τον μεγαλύτερο συντελεστή c ij της σειράς i Για κάθε στήλη j θέτουμε ίσο με τον μεγαλύτερο συντελεστή c ij της στήλης j Για κάθε μεταβλητή x ij που δεν υπολογίστηκε προηγουμένως υπολογίζουμε Δ ij =c ij - - Διαλέγουμε τη μεταβλητή με το μικρότερο Δ ij (το πιο αρνητικό Δ ij ). Russell s Approximation ethod a b 6 6 7 5 9 5 6 9 9 5 (Ε) 5 Ζήτ. 7 6 9

Russell s Approximation ethod a b 6 6 7 5 9 5 6 9 9 5 (Ε) 5 Ζήτ. 7 6 Russell s Approximation ethod a b 6 6 7 5 9 5 6 9 9 9 5 (Ε) 5 Ζήτ. 7 6 9 9

Russell s Approximation ethod a b 6 6 7 5 (Ε) - - -6 9-9 - 9 - - - 5 6 5 5 9 Ζήτ. 7 6 9 9 Russell s Approximation ethod a b 6 6 7 5 9 5 6 9 9 9 5 (Ε) 5 Ζήτ. 7 6 9 9

Γράφημα Αρχικής Λύσης με τη Μέθοδο Προσέγγισης Russell s a b 6 6 7 5 9 5 6 9 9 5 (Ε) 5 Ζήτ. 7 6 Βασική εφικτή λύση Σύγκριση των Μεθόδων Η μέθοδος Northwest corner είναι η πιο απλή, αλλά δεν βρίσκει καλή αρχική λύση, με αποτέλεσμα να χρειάζονται περισσότερες επαναλήψεις για να φτάσουμε στη βέλτιστη λύση Η μέθοδοι Vogel s approximation και Russell s approximation χρησιμοποιούν τους συντελεστές κόστους με αποτέλεσμα να βρίσκουν αρχικές λύσεις σημαντικά πιο κοντά στη βέλτιστη λύση απ ότι η μέθοδος Northwest corner Η μέθοδος Russell s approximation συχνά βρίσκει τις καλύτερες λύσεις.

Εναλλακτικές Βέλτιστες Λύσεις (Ε) a b 6 6 7 9 5 9 9 Μ- Μ Μ+ Μ+ Μ- Ζήτ. 7 6 9 9 8 5 6 5 5-5 -5 -