Εκθετικές & Λογάριθμοι Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / / 0 9 Άλγεβρα Κεφάλαιο 4 ασκήσεις και τεχνικές σε 4 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο
Τα πάντα για τις εκθετικές και τους λογαρίθμους Εκθετικές 06. Να λύσεις εξισώσεις και ανισώσεις : 8 Εκθετική συνάρτηση 07. 7 0 Εκθετική με α> Για α> Πεδίο ορισμού : 08. 09. 8 6, a:, b: 9 7 9 7 Σύνολο τιμών : Μονοτονία : γνησίως αύξουσα Διέρχεται από Α(0,) Ασύμπτωτη : Οχ 0.. 0, 0 4 7 7 0 Εκθετική με α< Για α< Πεδίο ορισμού :.. 4. 9 8 8 4 4 6 4 Σύνολο τιμών : Μονοτονία :γνησίως φθίνουσα Διέρχεται από Α(0,) Ασύμπτωτη : Οχ. 4 9 0
6. 7. 8. 6 7 9 4 444 4 6 9 0 0 9. Εκθετική συνάρτηση Συστήματα Αν οι εξισώσεις έχουν τις ίδιες εκθετικές τότε θέτω και έχω ένα απλό σύστημα Αν οι εξισώσεις δεν έχουν τις ίδιες εκθετικές τότε δουλεύω κάθε εξίσωση μόνη της και κουράγιο 4 0.,4... 4.. 6. 7. 9, 0 4 e 9 4 4 4 7 9 6 6, 6 4,, 0 Εκθετική συνάρτηση Εξισώσεις Με μία εκθετική : σπάω και θέτω Με δύο εκθετικές : σπάω, χωρίζω και ενώνω Με τρεις εκθετικές : βοήθειά σου Ανισώσεις Εφαρμόζεις τις τεχνικές των εξισώσεων αλλά κάθε φορά στο τέλος θα πρέπει να ελέγχεις αν η βάση είναι μεγαλύτερη του (γν. αυξ) οπότε δεν αλλάζεις φορά ανίσωσης ή αν είναι μικρότερη του (γν. φθιν) οπότε αλλάζεις φορά ανίσωσης 8. 4 6 4 6,
9. 9 4 6,0 4 8 0 9 0. e,0,,.,, Να λύσεις τα συστήματα :.. 4.. 6. 7. 8. 9. y y 8 4 4 y 000 000 y,, y y y,,0 y y 4 y,, y 08 y 7 y,, y y 7 y 8 y y 8 4 y 4 y 9 6 4 y 8 y
Να λύσεις τις εξισώσεις : 40. 4. 4. 4. 44. 4. 0 0 0 4 6 4 4 0,4 4 79 0 6 9 4 4 46. 0 e 0 e 47. 9, 4 9 7 0 6 48., 9 49., 0.. 9 7 k, k, k 6 6 9 6 0 4
,0.. 4.. 6. 7. 9 0 9 0, 7 9 0 9 4 6 8 0 9 7 0 k, k 8. 0,, 9. 0, Να λύσεις τις ανισώσεις : 60. 6. 6. 9,, 0 4 0,0, 9 7 0 6. 9
,0, 64., 6. 4 0 0, 66. 8 9 7 0 0,, 4 0 7 67.,, 68. 69. 70. 4 0 4 4,, 8 9 0,,, 6 0 Να λύσεις : 7. 6 4 6 9 7. 7. 0 0 6 9 6, e a : 0, b :, e 6
74. 7. 7 7 0 4 0 76. 4 0 4 77. 78. 79. 80. 0 0 0 9 4 88 7, 4, 8. 8. 8. 0,04 6 0 84. 4 6 9 0 8. 6 6 8 0 7
86. 94 6 87. 4 88. 89. 90. 6 8, 4 7 4 9. 8 4, 0, 00 9 a :, b : 9. 9. 4 9,, 6 4, 4 94. 9. 76, 7, 8 7, 8
96. 97. 98. 99. 400. 40.,,, 0, 7 4, 4 9 4 9 40. 40. 7,, 404. 9 9 40. 4 y 4 y, y y 8 406. y 9 9 6, y 407. 4 y 9 6 6 y, y 408. y 8 7 7 y 9
, y 0 y 409. 6 y 40. 9 y y 4 9 4. Πότε ορίζεται η, 0, f( ) m 4. Ποια η μονοτονία της, m f( ) m 4. 0 44. 4 7 e e e 0 4. e, e 46. 47. 48. 49. e e e 4 9 0 k 4 k, k, k 4 40. 4 0 0
4. 4. 4. 44. 6 6 0 0 0 0 4 4 4 4. e e e 46. k, k 6 6 47. 4 48. 49. 40. y y 8, y 4. Να συγκρίνεις :, 6 0 0 4 4 4. Να συγκρίνεις :, 4. 9 9 4 0 44. e 4 0 4 4.
46. Να βρεις πεδίο ορισμού : f( ) 4 6 47. Να βρεις πεδίο ορισμού : ( ) 9 f 8 Λογαριθμική με α> 48. Να βρεις πεδίο ορισμού : f( ) Λογάριθμοι Να υπολογίσεις : 49. log0,ln e,log,,0 Λογαριθμική με α< 440. ln,log0000,ln e 0,4, log ln e,0, e 44.,, 00 log ln log,log 7,log 7 44. 4 7 44.,, log 6,log, 444. log 44. log 9 log Να υπολογίσεις την τιμή του : 446. log 4 Να υπολογίσεις την αριθμητική τιμή : 447. log0 log0 448. ln e 4 e ln e Λογαριθμική συνάρτηση Για α> Πεδίο ορισμού : Σύνολο τιμών : Μονοτονία : γνησίως αύξουσα Διέρχεται από Α(,0) Ασύμπτωτη : Οψ Για α< Πεδίο ορισμού : Σύνολο τιμών : Μονοτονία :γνησίως φθίνουσα Διέρχεται από Α(,0)
449. 40. 4. 4. log log6 ln log9 ln log 4 log 4 log 4log log 4 log8 log 7 log 4. ln9 ln8 ln e 9 44. 4. log 0 log 8 log log 4 ln log ln 46. log log 47. log40 4log 48. log log8 49. ln ln 7 4 460. log 40 log log Λογάριθμος Ιδιότητες
46. 46. 46. log log log log log0 log 40 log 0 log 0 log 0,,9 00 log6log 464. log 000, log9 0, e ln 46. e ln6 ln e,, e e ln 4 466. log6 log6log 6 0,000, 467. 0 0 log4, e ln 4ln lnln7 log 468. e,6,4 Να λυθούν οι εξισώσεις : 469. log 470. ln 4 4 0, 47. ln ln 9, 47. log 8 log 8 log 4 4
47. 474. log log log log 0,000 4 log 4 47. log 0, 476. Ν.δ.ο. 0 0 0 log log, 0 και να λύσεις την εξίσωση : log log 4 477. 478. 479. 480. 48. Να λύσεις τα συστήματα : log 00y log log y y, 0,0, 4, log y log log log 6 log y log y,, 4 log log 0 log log y y,,00 0 log y 00 log y log 4 y,,00 0 log y log y 0 log log y
48. 48. y ln yln ln 7 y,,4 ln ln y ln ln y 4 9, y e, e a f ( ) a, g( ) a, h( ) a 484. Δίνονται οι συναρτήσεις : Να βρεις πεδίο ορισμού Να βρεις διαστήματα μονοτονίας 48. Δίνονται οι συναρτήσεις : f ( ) ln e e, g( ) ln, h( ) log log Να βρεις πεδίο ορισμού Να βρεις τα σημεία τομής με άξονες 486. Αν log a,log b, υπολόγισε log,log6,log8,log0,log 4 487. log a log a... log a v ; 488. 489. log( ) log log( ) 490. log log( ) log log 49. log( 4) log(9 ) log 49. log log 49. log( 6) log( 7) log 494. log( 9) log 49. Να βρεις το πρόσημο των : log,log,log,log 4 496. Να συγκρίνεις : log700,log 706 497. Να συγκρίνεις : log,log 6 7 7 4 6
498. Να βρεις το α ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες άνισες : 4 4 log a 499. Να βρεις το :log,log 4,log( ), να είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. 00. ( log ) log (log ) log log 6 0. log 4 6 log 4 0. 0. log 4 04. log 9 log 4 0. 06. Να βρεις το m ώστε η εξίσωση να έχει μιγαδικές ρίζες : m m ( log ) log 0 07. Να υπολογίσεις : 08. Ν.δ.ο. 09. 0. log 4 log 0 4, log log log 7 log ln log46 9 e log log y 4 log log y y, 00,0 log. log y 7 y 7.. 6 log log( ) log( ) log 0 Λογαριθμική συνάρτηση Εξισώσεις Ο στόχος είναι να εφαρμόσεις ιδιότητες λογαρίθμων ώστε να μείνει ένας λογάριθμος σε κάθε μέλος και λόγω του - να διώξεις τα log Ανισώσεις Εφαρμόζεις την τεχνική των εξισώσεων αλλά κάθε φορά στο τέλος θα πρέπει να ελέγχεις αν η βάση είναι μεγαλύτερη του (γν. αυξ) οπότε δεν αλλάζεις φορά ανίσωσης ή αν είναι μικρότερη του (γν. φθιν) οπότε αλλάζεις φορά ανίσωσης 7
4. log log log 0. log log 7 6. log 4 4 log 7. log 9 7 log 8. log log 8 9. log log 0. log log log6 log. log y y log y. log y y. log log y log y,,,, log log 4., a 0,. a log 8 0 log a Λογαριθμική συνάρτηση Συστήματα Αν οι εξισώσεις έχουν τους ίδιους λογάριθμους τότε θέτω και έχω ένα απλό σύστημα Αν οι εξισώσεις δεν έχουν τους ίδιους λογάριθμους τότε δουλεύω κάθε εξίσωση μόνη της και κουράγιο 6. ( log ) log 4 7. 6 log log 0 8
8. 8 log log log 9. 0. log log log 00, 00. log log 0 0 log.. 4 log log log log 00 9 0 log log 4.. 6. log log log( 4),4 7. 8. log y 00 0 y 0 y, 00,0, 0,00 log log( y) log y log 9. y y log 4 40. 4. log log log log 9 0 9
4. Να βρεις πεδίο ορισμού : 4. Ομοίως f ( ) log( ) f ( ) log 4 9, g( ) log 44. 4. 46. 47. log log, 00, 0 log log 4 log log 0,0 48. log( ) log(7 ) log ( ) log 6 0