Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018-2019 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1
Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για ένα πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού δεν ισχύει για κάποιες μεταβλητές απόφασης η υπόθεση της διαιρετότητας και οι μεταβλητές αυτές πρέπει υποχρεωτικά να λαμβάνουν ακέραιες τιμές τότε το πρόβλημα λέγεται ότι είναι πρόβλημα Ακέραιου Γραμμικού Προγραμματισμού (ILP=Integer Linear Programming) Όταν όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες τότε το πρόβλημα λέγεται αμιγώς ακέραιο (Pure Integer Program), ενώ αν μόνο κάποιες από τις μεταβλητές είναι ακέραιες τότε το πρόβλημα λέγεται μικτό ακέραιο πρόγραμμα (Mixed Integer Program) 2
Εφαρμογές Ακέραιου Γραμμικού Προγραμματισμού Οι εφαρμογές του Ακέραιου Γραμμικού Προγραμματισμού εμπίπτουν σε δύο κατηγορίες: Άμεσες: Η φύση του προβλήματος καθιστά αδύνατη την εκχώρηση κλασματικών τιμών στις μεταβλητές του μοντέλου (π.χ. εύρεση του βέλτιστου πλήθους των μηχανών που απαιτούνται για την πραγματοποίηση μιας εργασίας) Μετασχηματισμένες: Προκύπτει η ανάγκη χρήσης βοηθητικών ακέραιων μεταβλητών για τη μοντελοποίηση του προβλήματος (π.χ. κατά την αλληλουχία εκτέλεσης δύο εργασιών Α και Β σε μια απλή μηχανή η εργασία Α πρέπει να προηγείται της εργασίας Β) 3
Παράδειγμα Ακέραιου Προγραμματισμού (1/2) Πέντε έργα αποτιμώνται για ένα χρονικό ορίζοντα προγραμματισμού διάρκειας τριών ετών. Στον ακόλουθο πίνακα δίνονται οι αναμενόμενες αποδόσεις για κάθε έργο και οι σχετιζόμενες με αυτό ετήσιες δαπάνες. Ποιο από τα έργα θα πρέπει να επιλεγεί για το χρονικό ορίζοντα των 3 ετών; 5 δυαδικές μεταβλητές απόφασης: κάθε δυαδική μεταβλητή x i λαμβάνει την τιμή 1 εάν επιλεγεί το έργο i αλλιώς λαμβάνει την τιμή 0 Δαπάνες: εκατομμύρια /έτος Έργο 1 2 3 Αποδόσεις εκατομμύρια 1 5 1 8 20 2 4 7 10 40 3 3 9 2 20 4 7 4 1 15 5 8 6 10 30 Διαθέσιμα κεφάλαια Εκατομ. 25 25 25 Στο παράδειγμα μπορούν να ενσωματωθούν οι ακόλουθες απαιτήσεις: 1) Η εταιρεία θα πρέπει να αναλάβει το πολύ 3 έργα: x1+x2+x3+x4+x5<=3 2) Το έργο 1 να επιλέγεται αν επιλεγεί είτε το έργο 5 είτε το έργο 3 x1>=x5, x1>=x3 3) Τα έργα 2 και 3 να είναι αμοιβαία αποκλειόμενα x2+x3<=1 4
Παράδειγμα Ακέραιου Προγραμματισμού(2/2) x1, x2, x3, x4,, x5 {0,1} Η βέλτιστη ακέραια λύση είναι η: x1 = x2 = x3 = x4 = 1, x5 = 0, z = 95 Η βέλτιστη λύση του γραμμικού προγραμματισμού είναι: x1 = 0.5789, x2 = x3 = x4 = 1, x5 = 0.7368, z = 108.68 Η λύση αυτή δεν είναι έγκυρη λόγω του ότι οι δυαδικές μεταβλητές x1, x5 λαμβάνουν κλασματικές τιμές Η στρογγυλοποίηση των μεταβλητών στον πλησιέστερο ακέραιο θα δώσει: x1 = 1, x5 = 1 αλλά τότε η λύση που προκύπτει παραβιάζει τους περιορισμούς 5
Χαρακτηριστικά προβλήματα ακέραιου προγραμματισμού Πρόβλημα κάλυψης συνόλου (set covering): αφορά καταστάσεις στις οποίες ένα σύνολο εγκαταστάσεων προσφέρει υπηρεσίες σε ένα σύνολο συστημάτων και ο στόχος είναι να εντοπιστεί το υποσύνολο των εγκαταστάσεων που καλύπτει τις ανάγκες εξυπηρέτησης όλων των συστημάτων Πρόβλημα σταθερού φορτίου (fixed charge): αφορά καταστάσεις στις οποίες η οικονομική δραστηριότητα επιφέρει δύο τύπους κόστους α) σταθερό κόστος για την αρχικοποίηση της δραστηριότητας και β) μεταβλητό κόστος ανάλογο του επιπέδου της δραστηριότητας Προβλήματα με μη ταυτόχρονους περιορισμούς (either-or): αφορά καταστάσεις στις οποίες κάποιοι περιορισμοί δεν πρέπει να ικανοποιούνται ταυτόχρονα 6
Παράδειγμα κάλυψης συνόλου (set covering) (1/2) Μια πόλη εξετάζει τις θέσεις στις οποίες θα τοποθετήσει πυροσβεστικούς σταθμούς. Η πόλη αποτελείται από τις περιοχές που φαίνονται στο διπλανό σχήμα. Τοποθετώντας ένα πυροσβεστικό σταθμό σε μια περιοχή της πόλης ο σταθμός μπορεί να αντιμετωπίζει πυρκαγιές στην ίδια την περιοχή καθώς και στις γειτονικές της. Να διατυπωθεί το μαθηματικό μοντέλο που επιλύει το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης του αριθμού των πυροσβεστικών σταθμών που θα χρειαστεί να εγκατασταθούν έτσι ώστε να καλύπτεται όλη η πόλη. http://mat.gsia.cmu.edu/classes/mstc/integer/node7.html 7
Παράδειγμα κάλυψης συνόλου (2/2) 11 δυαδικές μεταβλητές απόφασης: κάθε δυαδική μεταβλητή x i λαμβάνει την τιμή 1 αν τοποθετηθεί πυροσβεστικός σταθμός στην περιοχή i αλλιώς λαμβάνει την τιμή 0 Τα προβλήματα κάλυψης συνόλου έχουν ως χαρακτηριστικό την ύπαρξη δυαδικών μεταβλητών καθώς και περιορισμών που στο δεξί μέλος έχουν την τιμή 1 και στο αριστερό ένα απλό άθροισμα μεταβλητών 8
Παράδειγμα σταθερού φορτίου (1/3) Έστω ότι ένας συνδρομητής τηλεφωνίας πραγματοποιεί κατά μέσο όρο 200 λεπτά υπεραστικών κλήσεων το μήνα και μπορεί να έχει ταυτόχρονα συνδρομές σε περισσότερες από μια εταιρείες Οι διαθέσιμες εταιρείες έχουν τα εξής προγράμματα: A: πάγιο 16 και 0.25 ανά λεπτό B: πάγιο 25 και 0.21 ανά λεπτό C: πάγιο 18 και 0.22 ανά λεπτό Με ποιο τρόπο μπορεί να καταμερίσει τις κλήσεις του στις 3 εταιρείες έτσι ώστε να έχει τη μικρότερη δυνατή χρέωση; 9
Παράδειγμα σταθερού φορτίου (1/3) Μεταβλητές απόφασης: x1: λεπτά υπεραστικών κλήσεων ανά μήνα στην Α x2: λεπτά υπεραστικών κλήσεων ανά μήνα στην Β x3: λεπτά υπεραστικών κλήσεων ανά μήνα στην C Αντικειμενική Συνάρτηση: z = f 1 x1 + f 2 x2 +f 3 x3 0.25x1 16, x1 0 0.21x2 25, x2 0 f1 x1 f2 x2 0, ώ 0, ώ 0.22x3 18, x3 0 f3 x3 0, ώ 10
Παράδειγμα σταθερού φορτίου (2/3) Εισάγουμε δυαδικές μεταβλητές y1: 1 αν x1 > 0 ή 0 αλλιώς y2: 1 αν x2 > 0 ή 0 αλλιώς y3: 1 αν x3 > 0 ή 0 αλλιώς Επιπλέον Περιορισμοί Μπορούμε να διασφαλίσουμε ότι το y j θα είναι 1 μόνο όταν το x j θα είναι θετικό με τους περιορισμούς: x j My j, j = 1,2,3 11
Παράδειγμα σταθερού φορτίου (3/3) Ως τιμή του M πρέπει να επιλεγεί μια μεγάλη τιμή (π.χ. M = 200) ώστε να μην περιορίζονται τεχνητά οι τιμές των xj 12
Παράδειγμα μη ταυτόχρονων περιορισμών (1/4) H αυτοκινητοβιομηχανία Fort Motor Company έχει στα σκαριά την παραγωγή τριών νέων μοντέλων αυτοκινήτων για τις εξής κατηγορίες: compact, μεσαία και οικογενειακά. Στο διπλανό Πίνακα φαίνονται οι απαραίτητοι πόροι που χρειάζονται, οι ώρες εργασίας αλλά και τα έσοδα από κάθε κατηγορία. Χάλυβας (σε τόνους) Compact) Μεσαία Οικογενειακά 1,5 3 5 Ώρες εργασίας 30 25 40 Κέρδος (σε χιλ. ) 2 3 4 Διαθέσιμοι υπάρχουν 6.000 τόνοι χάλυβα και 60.000 ώρες εργασίας, ενώ θα πρέπει να λάβουμε υπόψη μας ότι θα πρέπει να κατασκευάζονται τουλάχιστον 1.000 αυτοκίνητα από κάθε κατηγορία, αν αποφασιστεί η παραγωγή αυτού του είδους. Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε το κέρδος της Fort. 13
Παράδειγμα μη ταυτόχρονων περιορισμών (2/4) Μεταβλητές απόφασης x j =αριθμός παραγόμενων αυτοκινήτων κατηγορίας j Αντικειμενική Συνάρτηση max z = 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 Τεχνολογικοί Περιορισμοί 1.5x 1 + 3x 2 + 4x 3 6000 30x 1 + 25x 2 + 40x 3 60000 Περιορισμοί για κάθε είδος x 1 0 ή x 1 1000 x 2 0 ή x 2 1000 x 3 0 ή x 3 1000 Επιπλέον τα x j πρέπει να είναι θετικοί ακέραιοι 14
Παράδειγμα μη ταυτόχρονων περιορισμών (3/4) Εισάγουμε δυαδικές μεταβλητές y 1 : 1 αν x 1 0 ή 0 αν x 1 1000 y 2 : 1 αν x 2 0 ή αν x 2 1000 y 3 : 1 αν x 3 0 ή αν x 3 1000 Μετασχηματισμός των μη ταυτόχρονων περιορισμών Οι περιορισμοί «είτε» μετατρέπονται σε περιορισμούς «και» ως εξής x 1 My 1 και x 1 1000 M(1 y 1 ) y 1 = 0 ή 1 Αν y 1 = 0 τότε ο 1 ος περιορισμός είναι ενεργός και ο 2 ος είναι πλεονάζων καθώς το αριστερό μέλος του περιορισμού είναι, λόγω του Μ, πολύ μεγάλο Αν y 1 = 1 τότε ο 2 ος περιορισμός είναι ενεργός και ο 1 ος είναι πλεονάζων 15
Παράδειγμα μη ταυτόχρονων περιορισμών (4/4) max z=2x1 3x2 4x3 s.t. 1.5x 1 +3x 2 +5x3 6000 30x 1+25x 2+40x3 60000 x1 -My1 0 x1 -My1 1000-M x2 -My2 0 x2 -My2 1000-M x3 -My3 0 x3 -My3 1000-M x1, x2, x3 0 x1, x2, x3 ακέραιοι y,y,y 0,1 1 2 3 16
Μη ταυτόχρονοι περιορισμοί- Περιπτώσεις 1) f(x 1,x 2,, x n ) b 1 ή g(x 1,x 2,, x n ) b 2 Τότε μετασχηματίζονται σε f(x 1,x 2,, x n ) b 1 +M y και g(x 1,x 2,, x n ) b 2 +M (1-y) ------------------------------------------------------------------------------------ 2) f(x 1,x 2,, x n ) b 1 ή g(x 1,x 2,, x n ) b 2 Τότε μετασχηματίζονται σε f(x 1,x 2,, x n ) b 1 -M y και g(x 1,x 2,, x n ) b 2 -M (1-y) -------------------------------------------------------------------------------------- 3) f(x 1,x 2,, x n ) b 1 ή g(x 1,x 2,, x n ) b 2 Τότε μετασχηματίζονται σε f(x 1,x 2,, x n ) b 1 +M y και g(x 1,x 2,, x n ) b 2 -M (1-y) 17
Μη ταυτόχρονοι περιορισμοί- Γενίκευση Υποθέτουμε ότι k από τους m (k < m) επόμενους περιορισμούς πρέπει να ισχύουν Τότε για πολύ μεγάλο Μ, έχουμε 18
Αλγόριθμοι ακέραιου προγραμματισμού Βήματα αλγορίθμων ακέραιου προγραμματισμού Βήμα 1: Απαλοιφή των περιορισμών ακεραιότητας για όλες τις ακέραιες μεταβλητές, οπότε προκύπτει ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού Βήμα 2: Επίλυση του γραμμικού μοντέλου και εντοπισμός της συνεχούς βέλτιστης λύσης Βήμα 3: Με εκκίνηση το συνεχές βέλτιστο σημείο, προστίθενται ειδικοί περιορισμοί που τροποποιούν επαναληπτικά το χώρο των λύσεων του γραμμικού προβλήματος έτσι ώστε η διαδικασία να οδηγήσει σε ένα βέλτιστο ακρότατο σημείο που να ικανοποιεί τις ακέραιες απαιτήσεις Δύο γενικές μέθοδοι που έχουν αναπτυχθεί για την επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού είναι: Η μέθοδος διακλάδωσης και φραγής (branch and bound) Η μέθοδος των τεμνόντων επιπέδων (cutting planes) 19
Αλγόριθμος διακλάδωσης και φραγής: παράδειγμα (1/3) LP1 Στο σχήμα οι κουκίδες ορίζουν το χώρο των ακέραιων λύσεων Αφαιρώντας τον περιορισμό ακεραιότητας για τις x1 και x2 ορίζεται το πρόβλημα ΓΠ LP1 που έχει βέλτιστη λύση x1 = 3.75, x2 = 1.25 και z = 23.75 Επιλέγεται μια μεταβλητή που στη βέλτιστη λύση του LP1 δεν έχει ακέραια λύση (έστω η x1) και δημιουργούνται 2 νέα προβλήματα ΓΠ: LP2 = LP1 + x1<=3 LP3 = LP1 + x1>=4 Διακλάδωση (branch) 20
Αλγόριθμος διακλάδωσης και φραγής: παράδειγμα (2/3) Η x1 επιλέχθηκε ως μεταβλητή διακλάδωσης LP2 Λύση LP2: x1 = 3, x2 = 2, z = 23 «καταμετρημένο» πρόβλημα LP3 Το πρόβλημα LP3 δεν εξετάζεται διότι: 1. το άνω φράγμα είναι 23.75 2. το κάτω φράγμα είναι 23 3. οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης είναι ακέραιοι Αν υπήρχε καλύτερη ακέραια λύση θα έπρεπε να ήταν z>=24 αλλά αυτό δεν γίνεται διότι υπάρχει άνω φράγμα με τιμή 23.75 21
Αλγόριθμος διακλάδωσης και φραγής: παράδειγμα (3/3) LP2 (x1=3, x2=2, z=23) LP1 (x1=3.75, x2=1.25, z=23.75) 1 2 3 LP3 (x1=4, x2=0.83, z=23.33 Οι υπολογισμοί θα διέφεραν αν: είχε επιλεγεί η x2 ως μεταβλητή διακλάδωσης έναντι της x1 είχε εξεταστεί πρώτα το πρόβλημα LP3 και μετά το LP2 Υπάρχουν ευρετικές τεχνικές για την επιλογή της μεταβλητής διακλάδωσης και του επόμενου υποπροβλήματος το οποίο πρόκειται κάθε φορά να επιλυθεί αλλά πολλές φορές τα αποτελέσματα δεν είναι ικανοποιητικά 22
Αλγόριθμος διακλάδωσης και φραγής Έστω πρόβλημα μεγιστοποίησης. Θέτουμε αρχικό κάτω φράγμα z = για τη βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης και i = 0 Βήμα 1: Επιλέγουμε το LPi προς διερεύνηση και το πρόβλημα θεωρείται καταμετρημένο ή φραγμένο αν: I. η βέλτιστη τιμή της z για το LPi δεν δίνει καλύτερη αντικειμενική συνάρτηση από το τρέχον κάτω φράγμα II. III. η βέλτιστη τιμή της z για το LPi είναι ακέραια και καλύτερη από το τρέχον κάτω φράγμα ενημέρωση του z και καταγραφή της λύσης ως τρέχουσας βέλτιστης ακέραιας λύσης το LPi δεν έχει εφικτή λύση Αν το πρόβλημα LPi δεν έχει καταμετρηθεί τότε γίνεται διακλάδωση όπως περιγράφεται στο βήμα 2 Βήμα 2: Επιλέγουμε μια από τις μεταβλητές x j η βέλτιστη τιμή της οποίας x j στη λύση του LPi δεν είναι ακέραια. Δημιουργούμε δύο υποπροβλήματα σε καθένα από τα οποία προστίθεται ένας από τους ακόλουθους επιπλέον περιορισμούς Θέτουμε i = i + 1 και επιστρέφουμε στο βήμα 1 x j x j και x j x j + 1 23
Αλγόριθμος τεμνόντων επιπέδων Όπως και στον αλγόριθμο διακλάδωσης και φραγής ο αλγόριθμος τεμνόντων επιπέδων ξεκινά από τη συνεχή βέλτιστη λύση του ΓΠ Στο χώρο των λύσεων προστίθενται ειδικοί περιορισμοί (τομές=cuts) με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε η διαδικασία να οδηγηθεί σε ένα ακέραιο βέλτιστο ακρότατο σημείο Οι τομές που προστίθενται δεν εξαλείφουν κανένα από τα αρχικά εφικτά ακέραια σημεία, αλλά πρέπει να διέλθουν από ένα εφικτό ή μη εφικτό ακέραιο σημείο Το πλήθος των τομών που θα χρειαστούν προκειμένου να εντοπιστεί η βέλτιστη λύση είναι πεπερασμένο αλλά δεν μπορεί να προσδιοριστεί εκ των προτέρων http://www.gurobi.com/resources/getting-started/mip-basics 24