Κεφάλαιο 5 Πολλαπλά Ολοκληρώματα

Κεφάλαιο 5 Πολλαπλά Ολοκληρώματα 5. Διπλά Ολοκληρώματα σε ορθογώνιο χωρίο. 5.. Εισαγωγή Έστω ότι η f (, ) είναι ορισμένη σε ένα ορθογώνιο χωρίο : a b, c d d (, ) A c a b Το οποίο διαμερίζουμε σε ορθογώνια υποχωρία (, ). Σχηματίζουμε το άθροισμα: A με κέντρο το n S f (, ) A n Καθώς πυκνώνουμε το πλέγμα ώστε τα, να τείνουν στο, το παραπάνω άθροισμα τείνει σε όριο το οποίο καλούμε διπλό ολοκλήρωμα της f στο και το συμβολίζουμε Οπότε f (, ) da ή και (, ) f dd f (, ) da lim f (, ) A n A 5.. Ιδιότητες Διπλών Ολοκληρωμάτων. Ισχύουν: όπου f (, ) da f (, ) da ( f (, ) g(, )) da f (, ) da g(, ) da f (, ) da αν f (, ) στο

f (, ) da g(, ) da αν f (, ) g(, ) στο f (, ) da f (, ) da f (, ) da 5..3 Διπλά Ολοκληρώματα για τον υπολογισμό του όγκου. z f (, ) (, ) n Ό lim S lim f (, ) A f (, ) da n A 5..4 Θεώρημα Fubini. Έστω ότι η f (, ) είναι συνεχής παντού σε ένα ορθογώνιο χωρίο Τότε Παράδειγμα: : a b, c d d b b d f (, ) da f (, ) dd f (, ) dd c a a c Υπολογισμός του όγκου της συνάρτησης :,. 3 f (, ) 6 V f (, ) da 6 dd d 6 d 8 8 ( 8) 4 κυβικές μονάδες στο χωρίο

d d V f (, ) da 6 dd 3 d ( 3 ) ( 3 ) 4 κυβικές μονάδες 5. Διπλά Ολοκληρώματα σε ένα φραγμένο μη ορθογώνιο χωρίο. 5.. Εισαγωγή Έστω ότι η f (, ) είναι ορισμένη σε ένα φραγμένο μη ορθογώνιο χωρίο. Το οποίο διαμερίζουμε σε κυψελίδες το άθροισμα: με κέντρο το (, ). Σχηματίζουμε A S f (, ) A n d (, ) A c a b Καθώς πυκνώνουμε τον αριθμό των κυψελίδων μικραίνοντάς τις, το παραπάνω άθροισμα τείνει σε όριο το οποίο καλούμε διπλό ολοκλήρωμα της f στο και το συμβολίζουμε Οπότε f (, ) da ή και (, ) f dd f (, ) da lim f (, ) A n A 3

f (, ) da f (, ) da f (, ) da 5.. Θεώρημα Fubini. (ισχυρό) Έστω ότι η f (, ) είναι συνεχής παντού σε ένα χωρίο Αν το ορίζεται από τις σχέσεις a b, g ( ) g( ) και οι g ( ), g ( ) είναι συνεχείς στο abτότε, g ( ) f (, ) da f (, ) dd a g ( ) b Αν το ορίζεται από τις σχέσεις c d, h ( ) h( ) και οι h( ), ( ) h είναι συνεχείς στο, cd τότε d h ( ) f (, ) da f (, ) dd c h ( ) 5..3 Ο όγκος σε μη ορθογώνιο χωρίο. Το εμβαδό της διατομής g ( ) A ( ) f (, ) d g ( ) z g ( ) A ( ) f (, ) d g ( ) z f (, ) a g ( ) b g ( ) Οπότε ο όγκος είναι 4

b a V f (, ) da A ( ) d Το εμβαδό της διατομής h ( ) A( ) f (, ) d h ( ) z h ( ) A( ) f (, ) d h ( ) z f (, ) c d h( ) h ( ) Οπότε ο όγκος είναι d c V f (, ) da A ( ) d 5..4 Διαδικασία εύρεσης ορίων ολοκλήρωσης. Έστω, για παράδειγμα, ότι θέλουμε να ολοκληρώσουμε στο χωρίο που ορίζεται από τον κύκλο με ακτίνα και κέντρο την αρχή των αξόνων και την ευθεία +=. Α. Για τον υπολογισμό του f (, ) da σε χωρίο, με ολοκλήρωση πρώτα ως προς και κατόπιν ως προς. Βήμα : Σχεδιάζουμε το χωρίο και ονομάζουμε τις καμπύλες. 5

Βήμα : Για να βρούμε τα όρια ολοκλήρωσης στον άξονα θεωρούμε κατακόρυφη ευθεία που τέμνει το χωρίο στην κατεύθυνσης αύξησης του. Σημειώνουμε τις τιμές του που αντιστοιχούν στα τυπικά σημεία εισόδου και εξόδου της ευθείας από το χωρία. Οι τιμές αυτές είναι τα όρια ολοκλήρωσης ως προς και είναι συνήθως συναρτήσεις του. Έξοδος Είσοδος Βήμα 3: Επιλέγουμε τα όρια ολοκλήρωσης ως προς που περιέχουν όλες τις κατακόρυφες ευθείες που διέρχονται από το. Έξοδος Είσοδος Ελάχιστο Μέγιστο f (, ) da f (, ) dd Β. Για τον υπολογισμό του f (, ) da σε χωρίο, με ολοκλήρωση πρώτα ως προς και κατόπιν ως προς. Η αντίστοιχη διαδικασία με παραπάνω όπου αντί για κατακόρυφες ευθείες χρησιμοποιούμε οριζόντιες. 6

Μέγιστο Έξοδος Είσοδος Ελάχιστο f (, ) da f (, ) dd Παράδειγμα: Υπολογισμός του όγκου πρίσματος του οποίου η βάση είναι το τριγωνικό χωρίο στο επίπεδο που φράσσεται από τον άξονα και από τις ευθείες και και του οποίου η πάνω πλευρά ανήκει στο επίπεδο z f (, ) 3. Ολοκλήρωση πρώτα ως προς και κατόπιν ως προς. Έξοδος Είσοδος Ελάχιστο Μέγιστο 3 V 3 dd 3 d 3 d 3 3 κυβική μονάδα 7

Ολοκλήρωση πρώτα ως προς και κατόπιν ως προς. Μέγιστο Έξοδος Ελάχιστο Είσοδος V 3 3 3 3 dd d d 3 5 3 5 4 d κυβική μονάδα Παράδειγμα: Υπολογισμός του da και από τις ευθείες και. sin σε χωρίο που φράσσεται από τον άξονα sin sin dd d sin d cos.46 Όμως sin dd? Όπου το sin d δεν υπολογίζεται με απλές παράγουσες συναρτήσεις. 5.3 Εμβαδά φραγμένων χωρίων στο επίπεδο. Το εμβαδόν κλειστού και φραγμένου χωρίου στο επίπεδο είναι A Παράδειγμα: Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που φράσσεται από τις καμπύλες στο πρώτο τεταρτημόριο. da και 3 ( ) τετραγωνικές μονάδες 3 6 A da dd d d 8

Έξοδος (,) Ελάχιστο Είσοδος Μέγιστο Παράδειγμα: Βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που φράσσεται από τις καμπύλες και. Ολοκλήρωση πρώτα ως προς και κατόπιν ως προς. (, 4) (,) 3 8 ( ) 4 ( ) 3 3 3 A da dd d 9 8 3 τετραγωνικές μονάδες Ολοκλήρωση πρώτα ως προς και κατόπιν ως προς. 9

(, 4) (,) 4 d d... 4 A da da da da dd dd 5.4 Παραδείγματα υπολογισμών όγκων με διπλά Ολοκληρώματα. Όπως έχουμε πει όγκοι μπορούν να υπολογισθούν με τη χρήση διπλών ολοκληρωμάτων. Παράδειγμα: Θέλουμε να δημιουργήσουμε μία μικρή πίστα για sateboard από τσιμέντο. Το σχήμα αυτής της κατασκευής μπορεί να περιγραφεί ως το χωρίο που κείται (βρίσκεται) μεταξύ του κυλίνδρου z και του επιπέδου, και φράσσεται από τα επίπεδα =,=,=-,=. Υπολογίστε το όγκο του τσιμέντου που θα χρειαστεί. Το σχήμα της πίστας είναι το ακόλουθο: z z Το σχήμα του χωρίου ολοκλήρωσης στο επίπεδο, είναι το ακόλουθο:

Οπότε το ολοκλήρωμα που υπολογίζει τον όγκο είναι το 3 f (, ) da dd d d d 3 3 3 3 3 μονάδες όγκου. Παράδειγμα: Θέλουμε να δημιουργήσουμε μία κατασκευή από τσιμέντο. Το σχήμα αυτής της κατασκευής μπορεί να περιγραφεί ως το χωρίο του πρώτου οκτημόριου που φράσσεται από τα επίπεδα που ανα δύο ορίζουν οι άξονες συντεταγμένων, από το επίπεδο +z=, και από τον κύλινδρο =4-. Υπολογίστε τον όγκο του τσιμέντου που θα χρειαστεί. z z 4 4 Το σχήμα του χωρίου ολοκλήρωσης στο επίπεδο, είναι το ακόλουθο:

4 4 4 Οπότε το ολοκλήρωμα που υπολογίζει τον όγκο είναι το 4 4 4 4 4 4 f (, ) da dd d 4 d 3 4 4 3 4 4 4 μονάδες όγκου 3 4 3 3 Εναλλακτικά, ολοκληρώνοντας πρώτα ως προς : 4 4 4 (, ) f da dd dd d 3 3 4 8 4 8 4 d d d 3 4 6 8 4 6 8 4 μονάδες όγκου 3 4 3 3 5.5 Μέση τιμή συνάρτησης δύο μεταβλητών. Αν f (, ) είναι ορισμένη σε ένα κλειστό και φραγμένο χωρίο τότε η μέση τιμή της συνάρτησης στο χωρίο ισούται M όπου Α το εμβαδόν του χωρίου. f (, ) da f (, ) da A da Αν η f είναι η επιφανειακή πυκνότητα ενός λεπτού στρώματος που καλύπτει το χωρίο τότε το M είναι η μέση πυκνότητα του σώματος σε μονάδες μάζας ανά μονάδα εμβαδού. Αν f (, ) είναι η απόσταση ενός σημείου (, ) από σταθερό σημείο P τότε η μέση τιμή της συνάρτησης είναι η μέση απόσταση των σημείων του από το P.

Παράδειγμα: Βρείτε τη μέση τιμή της συνάρτησης f (, ) cos :, A da dd d cos da cos dd sin d sin d cos στο ορθογώνιο χωρίο Εδώ επιλέξαμε να ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς και μετά ως προς το εσωτερικό ολοκλήρωμα είναι της μορφής cos a a d το οποίο υπολογίζεται με σαφώς απλούστερους υπολογισμούς και ισούται με a cos a d sin( a) c. Τελικά η μέση τιμή της συνάρτησης ισούται με f (, ) da f (, ) da M A da Εάν επιλέγαμε να ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς και μετά ως προς το εσωτερικό ολοκλήρωμα είναι της μορφής cosa d το οποίο υπολογίζεται με παραγοντική ολοκλήρωση και τελικά ισούται με sin a cosa cosa d c. Εάν τώρα αντικαταστήσουμε στο διπλό a a ολοκλήρωμα έχουμε cos sin cos da cos dd d sin cos sin cos d d sin Όπου τα ολοκληρώματα d απλές παράγουσες συναρτήσεις. και cos d δεν υπολογίζονται με 5.6 Ροπές και κέντρα μάζας. Τρεις μάζες προσδένονται σε άκαμπτο άξονα που στηρίζεται σε υπομόχλιο τοποθετημένο στην αρχή των αξόνων 3 m m m3 3

Κάθε μάζα m ασκεί μία δύναμη mgπρος τα κάτω και η δύναμη αυτή έχει την τάση να στρέψει τον άξονα ως προς την αρχή. Αυτή η επίδραση ονομάζεται ροπή βαρύτητας και υπολογίζεται από το mg όπου η προσημασμένη απόσταση από την αρχή των αξόνων. Η ροπή βαρύτητας του συστήματος είναι ίση με gm Η ποσότητα M m ονομάζεται πρώτη ροπή του συστήματος ως προς την αρχή. Όταν το σύστημα ισορροπεί τότε η ροπή βαρύτητας του συστήματος ισούται με. Εάν η θέση ισορροπίας αυτή απέχει από την αρχή των αξόνων τότε από η σχέση 3 m m m3 Εάν η θέση αυτή απέχει από την αρχή των αξόνων τότε από η σχέση m M mg( ) m M όπου M m η μάζα του συστήματος. Εάν θεωρήσουμε πεπερασμένο αριθμό μαζών στο επίπεδο. Τώρα θεωρούμε τις πρώτες ροπές μάζας ως προς τον κάθε άξονα. m, M m άξονα M m άξονα ονομάζεται πρώτη ροπή του συστήματος ως προς τον ονομάζεται πρώτη ροπή του συστήματος ως προς τον Οι συντεταγμένες ( του, ) κέντρου μάζας του συστήματος είναι m m M M, m m M M 4

Έχουμε ως ισορροπία ως προς την δοκό ισορροπίας και τη δοκό ισορροπίας. Και το σώμα συμπεριφέρεται σαν όλη η μάζα του να είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο μάζας του. Έστω ότι έχουμε να βρούμε το κέντρο μάζας ενός λεπτού επίπεδου στρώματος (π.χ. δίσκος από αλουμίνιο ή ατσάλινο πλακίδιο) με πυκνότητα (, ) (μάζα ανά μονάδα επιφανείας, επιφανειακή πυκνότητα). Κόβουμε το στρώμα σε λωρίδες παράλληλες με τον άξονα. Παίρνοντας όλο και στενότερες λωρίδες των οποίων το πλάτος τείνει στο μηδέν και τότε αντί για άθροισμα παίρνουμε διπλά ολοκληρώματα. Λωρίδα μάζας m Κέντρο μάζας λωρίδας m Οπότε: Η μάζα του στρώματος είναι M (, ) da Η πρώτη ροπή ως προς τον άξονα είναι M (, ) da Η πρώτη ροπή ως προς τον άξονα είναι M (, ) da Οι συντεταγμένες (, ) του κέντρου μάζας του συστήματος είναι M M, M M 5

Παράδειγμα: Έστω λεπτό στρώμα καλύπτει την τριγωνική περιοχή που φράσσεται από τον άξονα και τις ευθείες και στο πρώτο τεταρτημόριο. Η πυκνότητα του στρώματος στο σημείο ( είναι, ) (, ) 6 6 6. Βρείτε τη μάζα του στρώματος, τις πρώτες ροπές του ως προς τους άξονες συντεταγμένων και το κέντρο μάζας του. Το χωρίο ολοκλήρωσης είναι το Έξοδος Ελάχιστο Η μάζα M (, ) da (6 6 6) dd 6 3 6 d 3 (4 ) d 8 6 4 Είσοδος Μέγιστο Η πρώτη ροπή ως προς τον άξονα είναι 3 4 3 3 M (, ) da (6 6 6 ) dd 3 3 d (8 ) d 7 4 Η πρώτη ροπή ως προς τον άξονα είναι M (, ) da (6 6 6 ) dd 6 3 6 d 3 3 4 3 ( ) d 6 4 Οι συντεταγμένες ( του, ) κέντρου μάζας του συστήματος είναι M. M 4 M 5, M 7 6

5.7 Διπλά Ολοκληρώματα σε πολική μορφή. 5.7. Εισαγωγή r a ( r, ) r r r A r g r g Πολική ημιευθεία: ημιευθεία με αρχή την αρχή των αξόνων. Έστω ότι μία συνάρτηση f( r, ) είναι ορισμένη σε ένα χωρίο που φράσσεται από τις πολικές ημιευθείες θ=α και θ=β και από τις συνεχείς καμπύλες r =g (θ) και r =g (θ). Έστω ότι g g a για κάθε θ μεταξύ των α και β. Δημιουργούμε ένα πλέγμα κυκλικών τόξων και πολικών ημιευθειών όπως στο σχήμα. Έτσι δημιουργούνται στοιχειώδη χωρία (πολικά ορθογώνια) με κέντρα (r κ,θ κ ) και εμβαδά ΔΑ κ. Σχηματίζουμε το άθροισμα S f ( r, ) A n Α η f είναι συνεχής παντού στο, το άθροισμα αυτό θα τείνει σε κάποιο όριο καθώς πυκνώνουμε το πλέγμα ώστε τα Δr και Δθ να τείνουν στο. Το όριο αυτό το καλούμε διπλό ολοκλήρωμα της f στο και το συμβολίζουμε lim S f ( r, ) da n n Μια εκδοχή του θεωρήματος Fubini μας λέει ότι: r =g ( ) f ( r, ) da f ( r, ) drd r =g ( ) Ολοκλήρωση σε πολικές συντεταγμένες πρώτα ως προς r και κατόπιν ως προς θ. Έστω, για παράδειγμα, ότι θέλουμε να ολοκληρώσουμε στο χωρίο που ορίζεται από τον κύκλο με ακτίνα και κέντρο την αρχή των αξόνων και την ευθεία στο ο τεταρτημόριο. 7

Βήμα : Σχεδιάζουμε το χωρίο και ονομάζουμε τις συνοριακές του καμπύλες. 4, Βήμα : Για να βρούμε τα όρια ολοκλήρωσης στον άξονα r θεωρούμε πολική ημιευθεία L που τέμνει το χωρίο στην κατεύθυνσης αύξησης του r. Σημειώνουμε τις τιμές του r που αντιστοιχούν στα τυπικά σημεία εισόδου και εξόδου της ευθείας από το χωρία. Οι τιμές αυτές είναι τα όρια ολοκλήρωσης ως προς r και είναι συνήθως συναρτήσεις του θ. L r sin( ) 4 Έξοδος r Είσοδος r / sin( ) Βήμα 3: Επιλέγουμε τα όρια ολοκλήρωσης ως προς θ βρίσκοντας την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή που παίρνει το θ εντός του. 8

Μέγιστο θ / L 4 Ελάχιστο θ / 4 / r= f ( r, ) da f ( r, ) drd / 4 r= /sin( ) 5.7. Μετατροπή καρτεσιανών ολοκληρωμάτων σε πολικά. Αν G είναι το χωρίο ολοκλήρωσης σε πολικές συντεταγμένες και σε καρτεσιανές τότε: G f (, ) dd f ( r cos, r sin ) r drd Υπενθυμίζουμε τη σχέση μεταξύ Καρτεσιανών και Πολικών Συντεταγμένων Παράδειγμα: rcos( ) rsin( ) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα e φράσσεται από τον άξονα και από την καμπύλη r arctan dd όπου το ημικυκλικό χωρίο που. r r, 9

Δηλαδή το χωρίο που περιγράφεται είναι το {(, ) : & } Το αντίστοιχο χωρίο σε πολικές συντεταγμένες είναι το G {( r, ) : r & } Οπότε το ολοκλήρωμα μετά την μετατροπή γίνεται: r cos ( ) r sin ( ) e dd e d d e rdr d r r e rdr d e d ( e ) d ( e ) Σε καρτεσιανές συντεταγμένες δεν θα ήταν δυνατό να υπολογισθεί άμεσα το ολοκλήρωμα ενώ σε πολικές είναι άμεσο με στοιχειώδεις υπολογισμούς. Παράδειγμα Υπολογίστε το ολοκλήρωμα dd όπου το χωρίο {(, ) : 9 & & } Δηλαδή το χωρίο ολοκλήρωσης είναι το τμήμα του δακτυλίου με κέντρο το (,) και εσωτερική ακτίνα και εξωτερική ακτίνα 3 στο πρώτο τεταρτημόριο (δηλαδή είναι το χωρίο μεταξύ δύο κυκλικών τομέων). 3 3 Το αντίστοιχο χωρίο σε πολικές συντεταγμένες είναι το G {( r, ) : r 3 & } Οπότε το ολοκλήρωμα μετά την μετατροπή γίνεται: / r=3 / 3 r dd rdrd dr d r= r r cos ( ) r sin ( ) / 3 / 3 / / / dr d r d (3) d d

5.7.3 Εμβαδά φραγμένων χωρίων στο πολικό επίπεδο. Το εμβαδόν κλειστού και φραγμένου χωρίου στο πολικό επίπεδο είναι Παράδειγμα: A rdr d Βρείτε το εμβαδόν που περικλείεται από τον λημνίσκο r 4cos Μέγιστο θ / 4.6.4. - - -. -.4 -.6 Είσοδος r Το ζητούμενο εμβαδόν είναι 4 φορές το εμβαδόν που περικλείεται στο πρώτο τεταρτημόριο. r 4cos /4 4cos /4 r /4 /4 A 4 rdr d 4 d 4 cos d 4sin 4 r Έξοδος r 4 cos 5.8 Τριπλά Ολοκληρώματα. Τα τριπλά ολοκληρώματα μας χρησιμεύουν στον υπολογισμό όγκων τρισδιάστατων σχημάτων, μαζών και ροπών στερεών σωμάτων και μέσων τιμών συναρτήσεων τριών μεταβλητών. Οι ιδιότητές τους είναι ανάλογες με αυτές των διπλών ολοκληρωμάτων και η επιλογή των ορίων ολοκλήρωσης είναι μια διαδικασία ανάλογη η οποία όμως προϋποθέτει καλή γνώση και χειρισμό των επιφανειών στον χώρο. Έστω ότι η F(,, z) είναι ορισμένη σε ένα φραγμένο κλειστό χωρίο D του χώρου. Τότε ο όγκος του χωρίου είναι V και η μέση τιμή της συνάρτησης σε αυτό M D D dv F(,, z) dv F(,, z) dv V Παράδειγμα: Βρείτε τη μέση τιμή της F(,, z) z στο κυβικό χωρίο που ανήκει στο πρώτο οκτημόριο και φράσσεται από τα επίπεδα που ορίζουν ανά δύο οι άξονες συντεταγμένων και από τα επίπεδα =, = και z=. D D dv

z V dv dddz ddz ddz dz 4 dz 8 D F(,, z) dv D M zdddz zddz zddz V 8 8 4 z 4 zdz zdz Αντίστοιχα, ορίζονται και τα ολοκληρώματα σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες όπου για την μετατροπή των ολοκληρωμάτων χρησιμοποιούμε τις γνωστές σχέσεις: z z z cos r sin r cos sin cos z cos r sin sin sin z r z Και για την μετατροπή των διαφορικών χρησιμοποιούμε τις σχέσεις: dv dddz dz r drd sin d d d 5.9 Αντικαταστάσεις σε πολλαπλά Ολοκληρώματα. Έστω ότι ένα χωρίο G του επιπέδου uv μετασχηματίζεται ένα προς ένα σε χωρίο του επιπέδου μέσω εξισώσεων της μορφής: =g(u,v), =h(u,v)

Καλούμε το είδωλο του G. Κάθε συνάρτηση f(,) ορισμένη στο μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση f(g(u,v),h(u,v)) ορισμένη στο G. Av οι g,h και f έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους και η ποσότητα J(u,v) μηδενίζεται μόνο σε μεμονωμένα σημεία ή πουθενά τότε f (, ) dd f ( g( u, v), h( u, v)) J ( u, v) dudv όπου J(u,v) ονομάζεται Ιακωβιανή (ορίζουσα) και ισούται με G u v J ( u, v) u v v u u v Παράδειγμα: Αν θεωρήσουμε τον μετασχηματισμό των πολικών συντεταγμένων στις καρτεσιανές r cos, r sin, τότε r r cos r sin J ( u, v) r(cos sin ) r sin r cos και εφόσον r είναι θετικό, έχουμε τον τύπο που είδαμε παραπάνω f (, ) dd f ( r cos, r sin ) r drd f ( r cos, r sin ) rdrd G G Παράδειγμα: Υπολογίστε το dd u, v και ολοκληρώνοντας στο κατάλληλο χωρίο του επιπέδου uv. 4 / εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό / Θα βρούμε τις σχέσεις των, με τα u,v. Φανερά,, v u v. Οπότε αφού το 4τότε v. Επίσης u Εναλλακτικά από τα σύνορα των, του θα βρω τα σύνορα του G. 4 v v v ( u v) u v ( u v) u 3

4 4 v v u u ( u v) ( u v) u v u v J ( u, v) ( v) ( v) u v u v Οπότε το ολοκλήρωμα ισούται ( u v) v dd J ( u, v) dudv u dudv u dv dv 4 / / Παράδειγμα: Υπολογίστε το dd Από την μορφή του ολοκληρώματος οδηγούμαστε στο να εφαρμόσουμε το μετασχηματισμό u, v Θα βρούμε τις σχέσεις των, με τα u,v. u v u u Οπότε, v u και τελικά 3 3 Από τα σύνορα των, του θα βρω τα σύνορα του G. u v Από v u 3 3 u v Από v u 3 3 u v u v Από u 3 3 3 3 u v 3 3 4

v v u u u vu u v u v ( ) ( ) 3 3 3 3 u v u v 3 3 3 J ( u, v) u v u v 9 3 ( ) ( ) u v 3 3 3 3 3 3 u v u dd u v J ( u, v) dvdu u 3 u 7 9 u v 3 3 ( 8 ) u v dvdu u du u u u du u du u u 3 3 3 3 9 9 5. Λυμένες Ασκήσεις:. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα Λύση Παρατηρώ ότι το ολοκλήρωμα u 3 3 e dd. 3 e d δεν υπολογίζεται με τις γνωστές τεχνικές. Για αυτό θα αλλάξουμε τη σειρά ολοκλήρωσης. Όταν ολοκληρώνω πρώτα ως προς το χωρίο ολοκλήρωσης είναι (, ) 3, 3 3 Μέγιστο 3 Έξοδος 3 Ελάχιστο 3 Είσοδος 5

Όταν ολοκληρώνω πρώτα ως προς το χωρίο ολοκλήρωσης είναι D (, ) 3, 3 Έξοδος Είσοδος Ελάχιστο Οπότε 3 3 3 3 I e dd e dd e d e d 3 3 3 9 ' e e d e d e 3 Μέγιστο 3. Θέλουμε να δημιουργήσουμε μία κατασκευή από τσιμέντο. Το σχήμα αυτής της κατασκευής μπορεί να περιγραφεί ως το χωρίο του πρώτου οκτημόριου που φράσσεται από τα επίπεδα που ανα δύο ορίζουν οι άξονες συντεταγμένων, από το επίπεδο =-, και από την επιφάνεια z=cos(π/),. Υπολογίστε το όγκο του τσιμέντου που θα χρειαστεί. Λύση z z cos 6

Το σχήμα του χωρίου ολοκλήρωσης στο επίπεδο, είναι το ακόλουθο: Οπότε το ολοκλήρωμα που υπολογίζει τον όγκο είναι το f (, ) da cos dd cos dd ( )cos d ' cos d cos d = sin sin d = ' = (- ) sin d = sin d= ' = sin sin d = d sin = cos d= 4 4 4 = cos = cos cos() = μονάδες όγκου ' ' 3. Θέλουμε να δημιουργήσουμε μία κατασκευή από τσιμέντο. Το σχήμα αυτής της κατασκευής μπορεί να περιγραφεί ως το χωρίο σφηνοειδούς σχήματος που αποκόπτουν από τον κύλινδρο τα επίπεδα z= και z=-. Λύση 7

z z Το σχήμα του χωρίου ολοκλήρωσης στο επίπεδο, είναι το ακόλουθο: Οπότε το ολοκλήρωμα που υπολογίζει τον όγκο είναι το f (, ) da dd d d 3 = = = μονάδες όγκου 3 3 3 3-4. Υπολογίστε το όγκο αμμόλοφου του οποίου η βάση καλύπτει περιοχή του επιπέδου, και φράσσεται από την παραβολή + =6 και την ευθεία =. Το ύψος του αμμόλοφου πάνω από το σημείο (,) είναι. Λύση Το σχήμα του χωρίου ολοκλήρωσης στο επίπεδο, είναι το ακόλουθο: 8

6 3 6 6 Οι τετμημένες των σημείων τομής της ευθείας και της παραβολής βρίσκονται εύκολα λύνοντας την εξίσωση =- +6 και είναι -3 και. Οπότε το ολοκλήρωμα που υπολογίζει τον όγκο είναι το 6 6 f (, ) da dd dd 6 d 3 3 3 5 4 3 5 = μονάδες όγκου 5 4 4-3 5. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα da όπου είναι το τριγωνικό χωρίο στο επίπεδο που φράσσεται από τον άξονα και από τις ευθείες και. Λύση To χωρίο ολοκλήρωσης είναι ένα τρίγωνο με κορυφές (,), (,) και (,) που είναι η τομή των δύο ευθειών. (,) Εάν ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς και μετά ως προς το ολοκλήρωμα ισούται με 9

(,) f (, ) da ( ) dd ( ) dd d ( ) 4 4 4 3 ( ) d d 3 4 4 d d 3 4 3 3 Εάν ολοκληρώσουμε πρώτα ως προς και μετά ως προς το ολοκλήρωμα πρέπει να σπάσει σε δύο ολοκληρώματα και ισούται με (,) f (, ) da ( ) dd ( ) dd d d ( ) d ( ) d 3 4 4 4 d d 3 4 d d 3 3 4 4 3 8 4 4 6 3 6 3 6 6 3 3

6. Η επιφανειακή πυκνότητα ηλεκτρικού φορτίου (φορτίο ανά μονάδα επιφάνειας) σε ένα ηλεκτρικά φορτισμένο κυκλικό δίσκο D ακτίνας ισούται με (, ) ( ) όπου το σ σταθερό και ( οι, ) συντεταγμένες του σημείου ως προς το κέντρο του δίσκου. Να βρεθεί το συνολικό φορτίο του δίσκου όταν από την Φυσική γνωρίζουμε ότι ισούται με Λύση Το χωρίο ολοκλήρωσης είναι ο κυκλικός δίσκος D {(, ) : } Το αντίστοιχο χωρίο σε πολικές συντεταγμένες είναι το {( r, ) : r & } Οπότε ισχύει: D Q d. r cos ( ) r sin ( ) (, ) ( ) ( r cos( ), r sin( )) ( ) r ( r, ) ( ) Οπότε το ολοκλήρωμα μετά την μετατροπή γίνεται: 3 r r r r Q d rdrd ( ) rdrd ( r ) drd d D 3 3 ( ) d ( ) 3 3 6 3 7. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα ln( ) dd όπου το χωρίο Λύση {(, ) : + 4 & }. Δηλαδή το χωρίο ολοκλήρωσης είναι το τμήμα του δακτυλίου που φαίνεται στο σχήμα: 3

Το αντίστοιχο χωρίο σε πολικές συντεταγμένες είναι το G {( r, ) : r & } 4 Οπότε το ολοκλήρωμα μετά την μετατροπή γίνεται: /4 r= /4 ln( ) dd ln( r cos ( ) r sin ( )) rdrd ln( r ) rdr d r= Για να υπολογιστεί το εσωτερικό ολοκλήρωμα κάνουμε τον μετασχηματισμό dt t r dt rdr rdr, r t 4 Οπότε το ολοκλήρωμα γίνεται /4 4 /4 4 dt ln( ) dd ln( ) ln( ) t d t dtd Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε το αόριστο ολοκλήρωμα ln( t) dt t ' ln( t) dt t ln( t) t dt t ln( t) t c t Οπότε έχουμε /4 /4 4 ln( ) dd ln( ) (4ln 4 4 ( )) t t t d d 4ln 4 3 8ln 3 4 8 8. Σας ζητείται να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( )( ) dd στο χωρίο στο επίπεδο, που περικλείεται από τις ευθείες,,. Για να το κάνετε αυτό θα πρέπει να θεωρήσετε το μετασχηματισμό u, v. Ακολουθήστε τα ακόλουθα: Α) Σχεδιάστε το στο επίπεδο, Β) Λύστε ένα σύστημα για να βρείτε τις σχέσεις που δίνουν την εξάρτηση των προς, uv., Γ) Για κάθε ένα από τα σύνορα του στο επίπεδο, βρείτε το σύνορο της περιοχής G επίπεδο των uv,, που προκύπτει με την εφαρμογή του μετασχηματισμού. Δηλαδή, βρείτε την εικόνα του στο επίπεδο των uv, με την εφαρμογή του μετασχηματισμού. Δ) Σχεδιάστε την περιοχή G επίπεδο των uv., Ε) Βρείτε την Ιακωβιανή του μετασχηματισμού. ΣΤ) Τελικά με τη χρήση του μετασχηματισμού και των παραπάνω υπολογίστε το ολοκλήρωμα Λύση Θα βρούμε τις σχέσεις των, με τα u,v. 3

v (,) (,3) u v Προσθέτω τις σχέσεις και έχω u v 3. Οπότε 3 u v u v u u. 3 3 Η ιακωβιανή u v u v ( ) ( ) 3 3 3 3 u v u v 3 3 J ( u, v) u v u v 9 9 3 ( ) ( ) u v 3 3 3 3 3 3 u v Από τα σύνορα των, του θα βρω τα σύνορα της εικόνας G που προκύπτει με το μετασχηματισμό. u v Από u v 3 3 3 u v u v Από u 3 3 3 3 Από u v u v ( ) v 3 3 3 3 Οπότε η περιοχή είναι η uv3 (3,) u Το ολοκλήρωμα 3 3v 3 3v ( )( ) dd uv J ( u, v) dudv uvdudv 3 3 3v 3 3 3 4 3 u 3 v v v ((3 ) ) 3 6 9 6 3v dv 6 v v dv v v v dv 6 6 3 4 8 8 7 7 54 7 7 9 ( 54 ) ( 8 ). 6 4 4 4 8 3 9. Σας δίνεται ο ακόλουθος μετασχηματισμός u, v. 5 5 Λύνοντας το σύστημα βρείτε τις σχέσεις που δίνουν την εξάρτηση των, προς uv., Βρείτε την ιακωβιανή του μετασχηματισμού. Βρείτε και σχεδιάστε την εικόνα στο επίπεδο των uvτης, τριγωνικής περιοχής που περικλείεται από τις ευθείες 3, και /3. Δηλαδή, από τα σύνορα της βρείτε τα σύνορα της εικόνας G που προκύπτει με το μετασχηματισμό. Με τη χρήση του μετασχηματισμού και των παραπάνω υπολογίστε το ολοκλήρωμα 33

3 ( )( ) dd 5 5. Λύση Θα βρούμε τις σχέσεις των, με τα u,v. 5 u, 3 v. Οπότε 5u και 3( 5 u) v 5 5u v 3u v και τελικά 3u v 5u u 4v. Η ιακωβιανή (3u v) (3u v) u v u v 3 J ( u, v) ( u 4 v) ( u 4 v) 4 u v u v Από τα σύνορα των, του θα βρω τα σύνορα της εικόνας G που προκύπτει με το μετασχηματισμό. Από / 3 3 3u v 3u v v Από u 4v 6u 4v u Από 3 9u 6v u 4v u v Οπότε η περιοχή είναι η v Το ολοκλήρωμα v u u 3 u u ( )( ) dd uv J ( u, v ) dvdu uvdvdu 5 5 u 3 4 v 3 u u u u 5 ( ) 5 5 du u u du u u u du 3 4 5 5 3 4. Σας δίνεται ο ακόλουθος μετασχηματισμός u 3, v 4. Λύνοντας το σύστημα βρείτε τις σχέσεις που δίνουν την εξάρτηση των, προς uv., Βρείτε την ιακωβιανή του μετασχηματισμού. Σας δίνεται η περιοχή επίπεδο, που περικλείεται από τις ευθείες 3/, 3/ 3, / 4 και / 4. Βρείτε την εικόνα της στο επίπεδο των uv., Δηλαδή, για κάθε ένα από τα σύνορα των του στο επίπεδο, βρείτε το σύνορο της περιοχής G επίπεδο των uv,, που προκύπτει με το 34

7 v μετασχηματισμό. Σχεδιάστε την περιοχή G επίπεδο των uv., Με τη χρήση του μετασχηματισμού και των παραπάνω υπολογίστε το ολοκλήρωμα (3 )( 4 ) dd. Λύση Θα βρούμε τις σχέσεις των, με τα u,v. u 3v 4 v 3 3v. Οπότεu 3v 3 3 και u 3v u v v 4. 5 5 Η ιακωβιανή u v u v ( ) ( ) 5 5 5 5 u v u v 5 5 6 J ( u, v) u 3v u 3v 3 5 5 ( ) ( ) u v u v Από τα σύνορα των, του θα βρω τα σύνορα της εικόνας G που προκύπτει με το μετασχηματισμό. Από Από Από Από 3 3 u v ( u 3 v) u 5 5 3 3 u v 3 ( u 3 v) 3 u 6 5 5 u v v ( u 3 v) u 3v u 4 4 5 5 v 4 3v u v u 7 u v v ( u 3 v) u 3v u 4 4 5 5 v 4 3v u v u 7 7 Οπότε η περιοχή είναι η 6 u 35

Το ολοκλήρωμα (3 )( 4 ) dd uv J( u, v) dvdu uvdvdu 4 4 6 u 6 u 7 7 7 7 4 4 u 7 u 7 4 6 u 7 7 6 v 4 4 u du u u u du 7 7 7 4 u 7 6 4 4 4 4 u u u u u du 7 7 7 7 7 7 6 6 u u u du u u du 4 4 8 7 7 7 7 7 7 7 8 3 u u 7 4 664 96 664 7 47 6 8(6 8) (36 4) 7 7. Σας δίνεται ο ακόλουθος μετασχηματισμός u, v. Λύνοντας το σύστημα βρείτε τις σχέσεις που δίνουν την εξάρτηση των προς, uv., Βρείτε την ιακωβιανή του μετασχηματισμού. Σας δίνεται η περιοχή επίπεδο, που περικλείεται από τις ευθείες 4, 7,,. Βρείτε την εικόνα της στο επίπεδο των uv., Δηλαδή, για κάθε ένα από τα σύνορα των του στο επίπεδο, βρείτε το σύνορο της περιοχής G επίπεδο των uv,, που προκύπτει με το μετασχηματισμό. Σχεδιάστε την περιοχή G επίπεδο των uv., Με τη χρήση του μετασχηματισμού και των παραπάνω υπολογίστε το ολοκλήρωμα ( )( ) dd. Λύση Θα βρούμε τις σχέσεις των, με τα u,v. u v Προσθέτω τις σχέσεις και έχω u v 3. Οπότε 3 u v u v u u. 3 3 Η ιακωβιανή u v u v ( ) ( ) 3 3 3 3 u v u v 3 3 J ( u, v) u v u v 9 9 3 ( ) ( ) u v 3 3 3 3 3 3 u v Από τα σύνορα των, του θα βρω τα σύνορα της εικόνας G που προκύπτει με το μετασχηματισμό. Από u v u v 4 4 v 4 3 3 3 3 36

Από Από Από u v u v 7 7 v 7 3 3 3 3 u v u v u 3 3 3 3 u v u v u 3 3 3 3 Οπότε η περιοχή είναι η v 7 4 u Το ολοκλήρωμα 7 7 ( )( ) dd uv J ( u, v) dudv uvdudv 4 3 4 7 7 7 u 3 u 33 v dv vdv 3 6 4. 4 4 4. Να υπολογισθεί με τη χρήση τριπλής ολοκλήρωσης, ο όγκος του τμήματος κυλίνδρου που βρίσκεται στο πρώτο οκτημόριο και έχει ακτίνα βάσης και ύψος 3. Λύση D (,, z) : 4, z 3,, και Το χωρίο περιγράφεται ως έχει σχήμα το ακόλουθο. Γνωρίζουμε ότι ό όγκος του κυλίνδρου είναι V r h. Για την περίπτωσή μας V r h 3 θέλουμε να υπολογίζουμε το 3. Θα υπολογίσουμε την ίδια 4 4 4 ποσότητα με τη χρήση του τύπου V dv και θα χρησιμοποιήσουμε κυλινδρικές συντεταγμένες όπου η περιοχή περιγράφεται ως D Οπότε έχουμε D ( r,, z) : r, 3, z 3 37

/ 3 / 3 / / 3 3 V d d dz r dz dr d r dz dr d r z dr d rdr d D / / r / 3 d 6 d 6 3. 3. Να υπολογισθεί με τη χρήση τριπλής ολοκλήρωσης, ο όγκος του τμήματος κυκλικού παραβολοειδούς z 4 που φράσσεται από το επίπεδο z. Λύση Το σχήμα είναι το ακόλουθο: και περιγράφεται ως D (,, z) : z 4, z 4. Σε κυλινδρικές συντεταγμένες περιγράφεται ως D ( r,, z) : r,, z 4 r αφού z 4 4 r cos ( ) r sin ( ) 4 r (cos ( ) sin ( )) 4 r οπότε 4r 4 4 3 r r V d d dz r dz dr d r z dr d 4r r dr d r d 4 D 8 4d 4 d 8 3. Να υπολογισθεί με τη χρήση τριπλής ολοκλήρωσης, ο όγκος του τμήματος κώνου z Λύση που φράσσεται από το επίπεδο V rh z. Γνωρίζουμε ότι ό όγκος του κώνου είναι. Για την περίπτωσή μας 3 rh θέλουμε να υπολογίζουμε το V. Θα υπολογίσουμε την ίδια 3 3 3 ποσότητα με τη χρήση του τύπου V dv και θα χρησιμοποιήσουμε κυλινδρικές συντεταγμένες όπου η περιοχή περιγράφεται ως D 38

ως D (,, z) : z, z. Σε κυλινδρικές συντεταγμένες περιγράφεται ως D ( r,, z) : r,, z r αφού z r cos ( ) r sin ( ) r (cos ( ) sin ( )) r οπότε r 3 r r r V d d dz r dz dr d r z dr d r r dr d d 3 D d d. 3 6 6 3 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παρόν υλικό δεν αποτελεί αυτόνομο διδακτικό υλικό, βασίζεται στο σύγγραμμα που διανέμεται και στην προτεινόμενη βιβλιογραφία του μαθήματος. Το περιεχόμενο του αρχείου απλά αποτελεί περίγραμμα των παραδόσεων του μαθήματος. Αποτελούν τις διαφάνειες της διδασκαλίας μαθήματος από το διδάσκοντα για δική του χρήση και παρακαλώ να μη χρησιμοποιηθεί και να μην αναπαραχθεί και διανεμηθεί για άλλο σκοπό. Ιδιαίτερα παραδείγματα και σχήματα έχουν αντληθεί από τα συγγράμματα :. Thomas Calculus th edition, Wier, Hass, Jiordano, Pearson AW. Thomas Απειροστικός Λογισμός, Finne, Hass, Jiordano, Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης 3. Ανώτερα Μαθηματικά ΙΙ για Μηχανικούς Α. Αθανασιάδη Εκδόσεις Τζιόλα. Και υπόκεινται στο Copright των εκδόσεων αυτών. 39