Παράδειγμα συνόρθωσης οριζόντιου δικτύου

Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 218-219 Παράδειγμα συνόρθωσης οριζόντιου δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ

Οριζόντιο Δίκτυο 3 5 y 4 2 1 x Γνωστός σταθμός αναφοράς Νέο σημείο

Παρατηρήσεις Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) δ 1.5. 3. δ 4.2. 2.4 δ 1.2 55.318 3. δ 4.1 68.1594 2.4 δ 1.3 364.672 3. δ 4.5 319.9293 2.4 δ 1.4 375.5954 3. δ 5.2. 2.3 δ 2.1 245.4697 3.2 δ 5.1 48.936 2.3 δ 2.3 313.213 3.2 δ 5.3 128.326 2.3 δ 2.4 297.8753 3.2 δ 5.4 75.461 2.3 δ 2.5 342.3444 3.2 S 4.1 2943.743.67 δ 3.2. 2.6 S 4.2 386.74.71 δ 3.1 41.898 2.6 S 4.5 2641.95.66 δ 3.5 357.4528 2.6 S 4.3 2193.513.64

Προσεγγιστικές συντεταγμένες i x o (m) y o (m) 1 2668.425-1445.71 2 29745.486-12847.711 3 252.537-9671.343 4 2617.822-11539.51 5 27798.925-9458.462 (*) Τα σημεία 1, 2, 3 είναι γνωστοί σταθμοί αναφοράς και οι προσεγγιστικές τιμές των συντεταγμένων τους ταυτίζονται με τις επίσημες συντεταγμένες τους στο σύστημα αναφοράς στο οποίο θέλουμε να γίνει η συνόρθωση του δικτύου.

Προκαταρκτικά βήματα 1. Υπολογισμός προσεγγιστικών τιμών των παρατηρήσεων. - απλούστατος για τις οριζόντιες αποστάσεις.. - για τις οριζόντιες διευθύνσεις χρειάζεται πρώτα να υπολογιστούν οι προσεγγιστικές τιμές των σταθερών προσανατολισμού καθώς και τα προσεγγιστικά αζιμούθια όλων των σκοπευόμενων πλευρών του δικτύου.. 2. Υπολογισμός των ανηγμένων παρατηρήσεων. 3. Υπολογισμός του συνολικού πίνακα σχεδιασμού. 4. Υπολογισμός του πίνακα βάρους των παρατηρήσεων. Τα παραπάνω εκτελέστηκαν σε προηγούμενο παράδειγμα

Επόμενα βήματα 1. Δημιουργία των κανονικών εξισώσεων. Περιέχουν δύο ομάδες αγνώστων: (α) τις διορθώσεις δx στις προσεγγιστικές συντεταγμένες όλων των σημείων (β) τις διορθώσεις δθ στις προσεγγιστικές τιμές των σταθερών προσ/μού 2. Απαλοιφή των αγνώστων δθ από το αρχικό σύστημα κανονικών εξισώσεων και δημιουργία των ανηγμένων κανονικών εξισώσεων. 3. Επιλογή δεσμεύσεων για τον ορισμό του ΣΑ του δικτύου. 4. Εφαρμογή κατάλληλου αλγορίθμου λύσης και υπολογισμός όλων των απαραίτητων ποσοτήτων.

Δημιουργία κανονικών εξισώσεων Σύστημα εξισώσεων παρατηρήσεων δx b A A v δθ 2 o 1 v ~ (, P ) Σύστημα κανονικών εξισώσεων T T T A PA A PA δxˆ A Pb T T ˆ T A PA A PA δθ A Pb

Αρχικός πίνακας κανονικών εξισώσεων (διαστάσεις 1515) 2.325 -.3883 2.8147 -.1411.2762 2.6476 Συμμετρ..2762 -.548 -.21 1.8444 -.3728 -.1239 -.956 -.1422 1.151 Συμμετρ. -.1239 -.412 -.1422 -.2115 -.958 3.7712-1.3514.1317-1.839.3955 -.6714 1.91 6.396.1317-2.279.3955 -.935 1.91-1.77-1.5252 7.149 -.4371.142 -.5719 -.3285 -.13.134-2.1779 -.921 3.1972.142 -.249 -.3285 -.1887.134-1.7485 -.921-2.2236.1824 4.1856.5963 -.138 -.913.1788 -.1333 -.443 -.2376 -.357 -.1341.32.4444.83 -.1572.1747.484 -.69 -.96 -.561 -.1534 -.1379 -.792..396 Συμμετρ..1775.59.923.1373 -.2439 -.5332.. -.258.337...4438.3713.558.998.2726.. -.1416 -.5863 -.3295.2578....528.2281 -.544.267.1533.33 -.436.3587 -.287 -.8869.6124.....7561

Αρχικός πίνακας κανονικών εξισώσεων (διαστάσεις 1515) 2.325 -.3883 2.8147 -.1411.2762 2.6476 δx δθ.2762 -.548 -.21 1.8444 δx N -.3728 -.1239 -.956 -.1422 1.151 xx -.1239 -.412 -.1422 -.2115 -.958 3.7712 N xθ -1.3514.1317-1.839.3955 -.6714 1.91 6.396.1317-2.279.3955 -.935 1.91-1.77-1.5252 7.149 -.4371.142 -.5719 -.3285 -.13.134-2.1779 -.921 3.1972.142 -.249 -.3285 -.1887.134-1.7485 -.921-2.2236.1824 4.1856.5963 -.138 -.913.1788 -.1333 -.443 -.2376 -.357 -.1341.32.4444.83 -.1572.1747.484 -.69 -.96 -.561 -.1534 -.1379 -.792..396 δθ N θx N T xθ.1775.59.923.1373 -.2439 -.5332.. -.258.337...4438.3713.558.998.2726.. -.1416 -.5863 -.3295.2578....528 N θθ.2281 -.544.267.1533.33 -.436.3587 -.287 -.8869.6124.....7561

Αρχικός πίνακας κανονικών εξισώσεων (διαστάσεις 1515) 2.325 -.3883 2.8147 x 4 y 4 -.1411.2762 2.6476.2762 -.548 -.21 1.8444 -.3728 -.1239 -.956 -.1422 1.151 -.1239 -.412 -.1422 -.2115 -.958 3.7712-1.3514.1317-1.839.3955 -.6714 1.91 6.396.1317-2.279.3955 -.935 1.91-1.77-1.5252 7.149 Το σημείο 4 δεν εμπλέκεται στη σειρά μετρήσεων οριζόντιων διευθύνσεων από το σημείο στάσης 3 (βλέπε πίνακα παρατηρήσεων) -.4371.142 -.5719 -.3285 -.13.134-2.1779 -.921 3.1972.142 -.249 -.3285 -.1887.134-1.7485 -.921-2.2236.1824 4.1856.5963 -.138 -.913.1788 -.1333 -.443 -.2376 -.357 -.1341.32.4444.83 -.1572.1747.484 -.69 -.96 -.561 -.1534 -.1379 -.792..396 θ 3.1775.59.923.1373 -.2439 -.5332.. -.258.337...4438.3713.558.998.2726.. -.1416 -.5863 -.3295.2578....528.2281 -.544.267.1533.33 -.436.3587 -.287 -.8869.6124.....7561

Αρχικός πίνακας κανονικών εξισώσεων (διαστάσεις 1515) 2.325 -.3883 2.8147 θ 2 -.1411.2762 2.6476.2762 -.548 -.21 1.8444 -.3728 -.1239 -.956 -.1422 1.151 Οι παράμετροι θ 2 και θ 3 δεν εμπλέκονται μαζί σε κάποια παρατήρηση του δικτύου -.1239 -.412 -.1422 -.2115 -.958 3.7712-1.3514.1317-1.839.3955 -.6714 1.91 6.396.1317-2.279.3955 -.935 1.91-1.77-1.5252 7.149 -.4371.142 -.5719 -.3285 -.13.134-2.1779 -.921 3.1972.142 -.249 -.3285 -.1887.134-1.7485 -.921-2.2236.1824 4.1856.5963 -.138 -.913.1788 -.1333 -.443 -.2376 -.357 -.1341.32.4444.83 -.1572.1747.484 -.69 -.96 -.561 -.1534 -.1379 -.792..396 θ 3.1775.59.923.1373 -.2439 -.5332.. -.258.337...4438.3713.558.998.2726.. -.1416 -.5863 -.3295.2578....528.2281 -.544.267.1533.33 -.436.3587 -.287 -.8869.6124.....7561

Αρχικός πίνακας κανονικών εξισώσεων (διαστάσεις 1515) 2.325 -.3883 2.8147 -.1411.2762 2.6476 x 3 y 3.2762 -.548 -.21 1.8444 -.3728 -.1239 -.956 -.1422 1.151 -.1239 -.412 -.1422 -.2115 -.958 3.7712-1.3514.1317-1.839.3955 -.6714 1.91 6.396.1317-2.279.3955 -.935 1.91-1.77-1.5252 7.149 Το σημείο 3 δεν εμπλέκεται στη σειρά μετρήσεων οριζόντιων διευθύνσεων από το σημείο στάσης 4 (βλέπε πίνακα παρατηρήσεων) -.4371.142 -.5719 -.3285 -.13.134-2.1779 -.921 3.1972.142 -.249 -.3285 -.1887.134-1.7485 -.921-2.2236.1824 4.1856.5963 -.138 -.913.1788 -.1333 -.443 -.2376 -.357 -.1341.32.4444.83 -.1572.1747.484 -.69 -.96 -.561 -.1534 -.1379 -.792..396.1775.59.923.1373 -.2439 -.5332.. -.258.337...4438 θ 4.3713.558.998.2726.. -.1416 -.5863 -.3295.2578....528.2281 -.544.267.1533.33 -.436.3587 -.287 -.8869.6124.....7561

Απαλοιφή πρόσθετων παραμέτρων Σύστημα κανονικών εξισώσεων (αρχικό) T T T AN ˆ xx PA AN xθ PA δx AuPb x T T δθˆ T ANPA θx ANPA θθ AuPb θ Σύστημα κανονικών εξισώσεων (ανηγμένο) 1 1 xx xθ θθ θx ˆ x xθ θθ θ N N N N δx u N N u Εκτίμηση πρόσθετων παραμέτρων 1 θθ θ θx δθˆ N ( u N δxˆ )

Ανηγμένος πίνακας κανονικών εξισώσεων (διαστάσεις 11) 1.813 -.2275 2.6952 1 xx xθ θθ θx N N N N N -.243.3159 2.418 Συμμετρ. -.358 -.3313 -.5141.9654 -.939 -.1528 -.566.551.9651.2973 -.58.1522.171-1.2598 2.8599-1.283.82-1.9622.5615 -.7671 1.2577 5.6958.7138-2.2375.6682 -.3367 1.677-1.969-1.5926 6.2777.2839 -.158 -.1561.2554 -.475 -.4475-1.9382 -.8572 1.8579 -.4257 -.757 -.6222 -.4675.2897-1.11 -.369-1.7345 1.65 3.2878

Αρχικό διάνυσμα κανονικών εξισώσεων (151) T x Au Pb T Au θpb 3.437-2.7377 3.6435-3.874.339.619-8.281 1.1635.866 4.8372.422-1.4667 -.3527.6815 1.419 Ανηγμένο διάνυσμα κανονικών εξισώσεων (11) 1 x xθ θθ θ u u N N u 2.3994-3.1277 3.8279-2.7755 -.19.6971-8.7532 1.9156 2.5449 3.296

Υπολογισμός και σύγκριση λύσεων συνόρθωσης με (α) ελάχιστες δεσμεύσεις και (β) απόλυτες πλεονάζουσες δεσμεύσεις

Λύση 1 Ελάχιστες δεσμεύσεις xˆ 1 yˆ 1 xˆ 2 1.5 σημείο σταθερό Λύση 2 Πλεονάζουσες απόλυτες δεσμεύσεις xˆ 1 yˆ 1 xˆ 2 yˆ 2 xˆ 3 yˆ 3 3 σημεία σταθερά

Λύση 1 Ελάχιστες δεσμεύσεις Η = 1 1 c = 1 Λύση 2 Πλεονάζουσες απόλυτες δεσμεύσεις 1 1 Η = 1 1 1 1 c =

Υπολογισμός λύσεων Αφού μελετήσετε τις σχετικές διαφάνειες προηγούμενων παρουσιάσεων, εντοπίστε και αναγνωρίστε τους αλγορίθμους με τους οποίους μπορούν να υπολογιστούν οι λύσεις 1 και 2.

Διορθώσεις προσεγγιστικών συντεταγμένων ΛΥΣΗ 1 δx 1. δy 1. δx 2. δy 2 -.1 δx 3 -.5 δy 3 2.5 δx 4-2. δy 4 1.2 δx 5-1.1 δy 5 2.6 (*) τιμές σε cm ΛΥΣΗ 2 δx 1. δy 1. δx 2. δy 2. δx 3. δy 3. δx 4-1.96 δy 4 -.5 δx 5-1.43 δy 5 1.23

Συνορθωμένες συντεταγμένες ΛΥΣΗ 1 ΛΥΣΗ 2 x 1 2668.425 y 1-1445.71 x 2 29745.486 y 2-12847.712 x 3 252.532 y 3-9671.318 x 4 2617.82 y 4-11539.39 x 5 27798.914 y 5-9458.436 x 1 2668.425 y 1-1445.71 x 2 29745.486 y 2-12847.711 x 3 252.537 y 3-9671.343 x 4 2617.82 y 4-11539.52 x 5 27798.911 y 5-9458.45 (*) τιμές σε m

Συνορθωμένες συντεταγμένες ΛΥΣΗ 1 ΛΥΣΗ 2 x 1 2668.425 y 1-1445.71 x 2 29745.486 y 2-12847.712 x 3 252.532 y 3-9671.318 x 4 2617.82 y 4-11539.39 x 5 27798.914 y 5-9458.436 x 1 2668.425 y 1-1445.71 x 2 29745.486 y 2-12847.711 x 3 252.537 y 3-9671.343 x 4 2617.82 y 4-11539.52 x 5 27798.911 y 5-9458.45 (*) τιμές σε m παραμόρφωση > 1 cm κατά y

Συνορθωμένα σφάλματα παρατηρήσεων v (cc, cm) v (cc, cm) Λύση 1 Λύση 2 Λύση 1 Λύση 2 δ 1.5 1.61 1.43 δ 4.2 -.73.4 δ 1.2 2.57 2.55 δ 4.1 2.47 1.71 δ 1.3 -.68 -.55 δ 4.5-1.75-2.11 δ 1.4-3.5-3.44 δ 5.2.71 1.1 δ 2.1-2.94-4.28 δ 5.1-1.37-2.63 δ 2.3 1.96 2.52 δ 5.3 -.64.85 δ 2.4 1.8 2.42 δ 5.4 1.3.68 δ 2.5 -.82 -.66 S 4.1 -.2 1.26 δ 3.2-2.21-1.85 S 4.2.1.55 δ 3.1.54 -.85 S 4.5.8.39 δ 3.5 1.67 2.71 S 4.3 -.8 1.22!

Συνορθωμένα σφάλματα παρατηρήσεων (λύση 1) v (cc, cm) Ακρίβεια (cc, cm) v (cc, cm) Ακρίβεια (cc, cm) δ 1.5 1.61 3. δ 4.2 -.73 2.4 δ 1.2 2.57 3. δ 4.1 2.47 2.4 δ 1.3 -.68 3. δ 4.5-1.75 2.4 δ 1.4-3.5 3. δ 5.2.71 2.3 δ 2.1-2.94 3.2 δ 5.1-1.37 2.3 δ 2.3 1.96 3.2 δ 5.3 -.64 2.3 δ 2.4 1.8 3.2 δ 5.4 1.3 2.3 δ 2.5 -.82 3.2 S 4.1 -.2.67 δ 3.2-2.21 2.6 S 4.2.1.71 δ 3.1.54 2.6 S 4.5.8.66 δ 3.5 1.67 2.6 S 4.3 -.8.64!

Συνορθωμένα σφάλματα παρατηρήσεων (λύση 1) v (cc, cm) Ακρίβεια (cc, cm) v (cc, cm) Ακρίβεια (cc, cm) δ 1.5 1.61 3. δ 4.2 -.73 2.4 δ 1.2 2.57 3. δ 4.1 2.47 2.4 δ 1.3 -.68 3. δ 4.5-1.75 2.4 δ 1.4-3.5 3. δ 5.2.71 2.3 2 o σˆ.78 δ 2.1-2.94 3.2 δ 5.1-1.37 2.3 δ 2.3 1.96 3.2 δ 5.3 -.64 2.3 δ 2.4 1.8 3.2 δ 5.4 1.3 2.3 δ 2.5 -.82 3.2 S 4.1 -.2.67 δ 3.2-2.21 2.6 S 4.2.1.71 δ 3.1.54 2.6 S 4.5.8.66 δ 3.5 1.67 2.6 S 4.3 -.8.64!

Συνορθωμένα σφάλματα παρατηρήσεων (λύση 2) v (cc, cm) Ακρίβεια (cc, cm) v (cc, cm) Ακρίβεια (cc, cm) δ 1.5 1.43 3. δ 4.2.4 2.4 δ 1.2 2.55 3. δ 4.1 1.71 2.4 δ 1.3 -.55 3. δ 4.5-2.11 2.4 δ 1.4-3.44 3. δ 5.2 1.1 2.3 δ 2.1-4.28 3.2 δ 5.1-2.63 2.3 δ 2.3 2.52 3.2 δ 5.3.85 2.3 δ 2.4 2.42 3.2 δ 5.4.68 2.3 δ 2.5 -.66 3.2 S 4.1 1.26.67 δ 3.2-1.85 2.6 S 4.2.55.71 δ 3.1 -.85 2.6 S 4.5.39.66 δ 3.5 2.71 2.6 S 4.3 1.22.64

Συνορθωμένα σφάλματα παρατηρήσεων (λύση 2) v (cc, cm) Ακρίβεια (cc, cm) v (cc, cm) Ακρίβεια (cc, cm) δ 1.5 1.43 3. δ 4.2.4 2.4 δ 1.2 2.55 3. δ 4.1 1.71 2.4 δ 1.3 -.55 3. δ 4.5-2.11 2.4 δ 1.4-3.44 3. δ 5.2 1.1 2.3 2 o σˆ 1.4 δ 2.1-4.28 3.2 δ 5.1-2.63 2.3 δ 2.3 2.52 3.2 δ 5.3.85 2.3 δ 2.4 2.42 3.2 δ 5.4.68 2.3 δ 2.5 -.66 3.2 S 4.1 1.26.67 δ 3.2-1.85 2.6 S 4.2.55.71 δ 3.1 -.85 2.6 S 4.5.39.66 δ 3.5 2.71 2.6 S 4.3 1.22.64

Σχόλια o o o Η λύση 2 παρουσιάζει λίγο μεγαλύτερα συνορθωμένα σφάλματα σε σχέση με την λύση 1 (ιδιαίτερα για τις παρατηρήσεις αποστάσεων). Το γεγονός αυτό αντανακλά τη (μικρή) γεωμετρική παραμόρφωση που υφίσταται το δίκτυο εξαιτίας της επίδρασης των απόλυτων πλεοναζουσών δεσμεύσεων. Η παραμόρφωση αυτή δεν είναι κατ ανάγκη κακή, προβληματική ή σημαντική αυτό εξαρτάται από την ποιότητα των παρατηρήσεων του δικτύου και των σταθερών συντεταγμένων των σταθμών αναφοράς. o μπορεί να είναι αμελητέα και μέσα στα όρια της στατιστικής αβεβαιότητας που έχουν οι μετρήσεις πεδίου. o μπορεί να αντιστοιχεί σε μια ουσιαστική βελτίωση της λύσης δικτύου.

Σχόλια (συνεχ.) o o Τα συνορθωμένα σφάλματα της λύσης 1 είναι γενικά μικρότερα από τις αρχικές τυπικές αποκλίσεις των μετρήσεων (ιδιαίτερα για τις παρατηρήσεις αποστάσεων). Το γεγονός αυτό υποδεικνύει πιθανή αστοχία στην επιλογή του στοχαστικού μοντέλου για το δίκτυο. (υποτιμημένες αρχικές ακρίβειες για τις αποστάσεις) 2 o ˆ.78 < 1 o Σε τέτοιες περιπτώσεις συνήθως διορθώνουμε το αρχικό στοχαστικό μοντέλο των μετρήσεων (πίνακα βάρους P) και μετά προχωρούμε στην τελική συνόρθωση του δικτύου.

Να θυμάστε ότι o o Τα συνορθωμένα σφάλματα μιας λύσης πλεοναζουσών απόλυτων δεσμεύσεων (ΠΑΔ) είναι συνήθως μεγαλύτερα από τα συνορθωμένα σφάλματα μιας λύσης ελαχίστων δεσμεύσεων (ΕΔ) για το ίδιο δίκτυο και με τις ίδιες παρατηρήσεις. Το γεγονός αυτό οφείλεται στους εξής παράγοντες: το διάνυσμα ˆv στη λύση ΕΔ αντανακλά μόνο τα σφάλματα των παρατηρήσεων πεδίου. το διάνυσμα ˆv στη λύση ΠΑΔ αντανακλά τα σφάλματα των παρατηρήσεων πεδίου και την επιπλέον παραμόρφωση που υφίσταται το συνορθωμένο δίκτυο προκειμένου να αναπαράξει τις πλεονάζουσες δεσμεύσεις.

Αποτελέσματα συνόρθωσης δικτύου Λύση 1 Λύση 2 Βαθμοί ελευθερίας 1 13 T vˆ P vˆ 7.7683 18.1856 A-posteriori εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς.78 1.4 Ελάχιστες δεσμεύσεις Πλεονάζουσες απόλυτες δεσμεύσεις

Υπολογισμός και σύγκριση λύσεων συνόρθωσης με (α) απόλυτες πλεονάζουσες δεσμεύσεις και (β) χαλαρές πλεονάζουσες δεσμεύσεις

Λύση 2 Πλεονάζουσες απόλυτες δεσμεύσεις xˆ 1 yˆ 1 xˆ 2 yˆ 2 xˆ 3 yˆ 3 3 σημεία σταθερά Λύση 3 Πλεονάζουσες δεσμεύσεις με βάρη x o x x v 1 1 1 x y o y y v 1 1 1 y 1 1 x o x x v 2 2 2 x y o y y v 2 2 2 y 2 2 x o x x v 3 3 3 x y o y y v 3 3 3 y 3 3 3 σημεία ως ψευδο-παρατηρήσεις

Λύσεις 2 & 3 Πλεονάζουσες δεσμεύσεις 1 1 Η = 1 1 1 1 c = Λύση 2 (απόλυτες δεσμεύσεις) Λύση 3 (χαλαρές δεσμεύσεις) W W 1 2 I 1 cm

Υπολογισμός λύσεων Αφού μελετήσετε τις σχετικές διαφάνειες προηγούμενων παρουσιάσεων, εντοπίστε και αναγνωρίστε τους αλγορίθμους με τους οποίους μπορούν να υπολογιστούν οι λύσεις 2 και 3.

Διορθώσεις προσεγγιστικών συντεταγμένων ΛΥΣΗ 2 δx 1. δy 1. δx 2. δy 2. δx 3. δy 3. δx 4-1.96 δy 4 -.5 δx 5-1.43 δy 5 1.23 (*) τιμές σε cm ΛΥΣΗ 3 δx 1.56 δy 1 -.88 δx 2.27 δy 2 -.45 δx 3 -.83 δy 3 1.33 δx 4-1.99 δy 4.26 δx 5-1.41 δy 5 1.91

Διορθώσεις προσεγγιστικών συντεταγμένων ΛΥΣΗ 3 δx 1.56 δy 1 -.88 δx 2.27 δy 2 -.45 δx 3 -.83 δy 3 1.33 δx 4-1.99 δy 4.26 δx 5-1.41 δy 5 1.91 περαιτέρω χαλάρωμα των δεσμεύσεων δx 1.56 δx 1.57 δx 1 1.26 δy 1 -.89 δy 1 -.89 δy 1-1.6 δx 2.28 δx 2.28 δx 2.45 δy 2 -.45 δy 2 -.44 δy 2.41 δx 3 -.84 δx 3 -.84 δx 3-1.71 δy 3 1.34 δy 3 1.33 δy 3.64 δx 4-1.98 δx 4-1.99 δx 4-2.24 δy 4.27 δy 4.26 δy 4 -.5 δx 5-1.41 δx 5-1.41 δx 5-2.35 δy 5 1.92 δy 5 1.92 δy 5 2.14 W 1 2 I 1 cm W 1 2 I 5 cm W 1 2 I 1 cm W 1 2 I 1 cm

Διορθώσεις προσεγγιστικών συντεταγμένων ΛΥΣΗ 2 δx 1. δy 1. δx 2. δy 2. δx 3. δy 3. δx 4-1.96 δy 4 -.5 δx 5-1.43 δy 5 1.23 αύξηση βάρους δεσμεύσεων δx 1.1 δx 1.38 δy 1 -.3 δy 1 -.71 δx 2.1 δx 2.17 δy 2 -.1 δy 2 -.27 δx 3 -.2 δx 3 -.56 δy 3.4 δy 3.98 δx 4-1.97 δx 4-2.3 δy 4 -.4 δy 4.14 δx 5-1.44 δx 5-1.49 δy 5 1.25 δy 5 1.72 ΛΥΣΗ 3 δx 1.56 δy 1 -.88 δx 2.27 δy 2 -.45 δx 3 -.83 δy 3 1.33 δx 4-1.99 δy 4.26 δx 5-1.41 δy 5 1.91 W W 1 2 I.1 cm W 1 2 I 1 cm W 1 2 I 1 cm

Συνορθωμένες συντεταγμένες ΛΥΣΗ 2 ΛΥΣΗ 3 x 1 2668.425 y 1-1445.71 x 2 29745.486 y 2-12847.711 x 3 252.537 y 3-9671.343 x 4 2617.82 y 4-11539.52 x 5 27798.911 y 5-9458.45 x 1 2668.431 y 1-1445.8 x 2 29745.489 y 2-12847.715 x 3 252.529 y 3-9671.33 x 4 2617.82 y 4-11539.48 x 5 27798.911 y 5-9458.443 (*) τιμές σε m

Συνορθωμένα σφάλματα παρατηρήσεων v (cc, cm) v (cc, cm) Λύση 2 Λύση 3 Λύση 2 Λύση 3 δ 1.5 1.43 1.61 δ 4.2.4 -.72 δ 1.2 2.55 2.57 δ 4.1 1.71 2.47 δ 1.3 -.55 -.68 δ 4.5-2.11-1.75 δ 1.4-3.44-3.5 δ 5.2 1.1.71 δ 2.1-4.28-2.94 δ 5.1-2.63-1.38 δ 2.3 2.52 1.96 δ 5.3.85 -.63 δ 2.4 2.42 1.8 δ 5.4.68 1.3 δ 2.5 -.66 -.82 S 4.1 1.26 -.1 δ 3.2-1.85-2.21 S 4.2.55.1 δ 3.1 -.85.54 S 4.5.39.8 δ 3.5 2.71 1.67 S 4.3 1.22 -.7!

Συνορθωμένα σφάλματα παρατηρήσεων v (cc, cm) v (cc, cm) Λύση 1 Λύση 3 Λύση 1 Λύση 3 δ 1.5 1.61 1.61 δ 4.2 -.73 -.72 δ 1.2 2.57 2.57 δ 4.1 2.47 2.47 δ 1.3 -.68 -.68 δ 4.5-1.75-1.75 δ 1.4-3.5-3.5 δ 5.2.71.71 δ 2.1-2.94-2.94 δ 5.1-1.37-1.38 δ 2.3 1.96 1.96 δ 5.3 -.64 -.63 δ 2.4 1.8 1.8 δ 5.4 1.3 1.3 δ 2.5 -.82 -.82 S 4.1 -.2 -.1 δ 3.2-2.21-2.21 S 4.2.1.1 δ 3.1.54.54 S 4.5.8.8 δ 3.5 1.67 1.67 S 4.3 -.8 -.7!

Συνορθωμένα σφάλματα παρατηρήσεων (λύση 3) v (cc, cm) Ακρίβεια (cc, cm) v (cc, cm) Ακρίβεια (cc, cm) δ 1.5 1.61 3. δ 4.2 -.72 2.4 δ 1.2 2.57 3. δ 4.1 2.47 2.4 δ 1.3 -.68 3. δ 4.5-1.75 2.4 δ 1.4-3.5 3. δ 5.2.71 2.3 2 o σˆ.6 δ 2.1-2.94 3.2 δ 5.1-1.38 2.3 δ 2.3 1.96 3.2 δ 5.3 -.63 2.3 δ 2.4 1.8 3.2 δ 5.4 1.3 2.3 δ 2.5 -.82 3.2 S 4.1 -.1.67 δ 3.2-2.21 2.6 S 4.2.1.71 δ 3.1.54 2.6 S 4.5.8.66 δ 3.5 1.67 2.6 S 4.3 -.7.64

Σχόλια o Η λύση 3 (πλεονάζουσες δεσμεύσεις με βάρη) δίνει σχεδόν παρόμοια συνορθωμένα σφάλματα με την λύση 1 (ελάχιστες δεσμεύσεις). o Το παραπάνω γεγονός δεν είναι απαραίτητο να συμβαίνει πάντα σε επιλύσεις δικτύων η λύση με πλεονάζουσες δεσμεύσεις εξαρτάται άμεσα από την επιλογή του πίνακα βάρους W. o Το πλεονέκτημα των πλεοναζουσών χαλαρών δεσμεύσεων είναι ότι μπορούν να λάβουν εξαρχής υπόψη την ακρίβεια των σταθμών αναφοράς και να μειώσουν τη γεωμετρική παραμόρφωση του δικτύου.

Αποτελέσματα συνόρθωσης δικτύου Λύση 1 Λύση 2 Λύση 3 Βαθμοί ελευθερίας 1 13 13 T vˆ P vˆ 7.7683 18.1856 7.7685 A-posteriori εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς.78 1.4.6 Ελάχιστες δεσμεύσεις Πλεονάζουσες απόλυτες δεσμεύσεις Πλεονάζουσες χαλαρές δεσμεύσεις

ΛΥΣΗ 1 ΛΥΣΗ 2 ΛΥΣΗ 3 X 1 2668.425 Y 1-1445.71 X 2 29745.486 Y 2-12847.712 X 3 252.532 Y 3-9671.318 X 4 2617.82 Y 4-11539.39 X 5 27798.914 Y 5-9458.436 2668.425-1445.71 29745.486-12847.711 252.537-9671.343 2617.82-11539.52 27798.911-9458.45 2668.431-1445.8 29745.489-12847.715 252.529-9671.33 2617.82-11539.48 27798.911-9458.443

ΛΥΣΗ 1 ΛΥΣΗ 2 ΛΥΣΗ 3 X 1 2668.425 2668.425 2668.431 Y 1-1445.71 X 2 29745.486 Y 2-12847.712 X 3 252.532 Y 3-9671.318 Y 4-11539.39-1445.71-12847.711-12847.715 συστήματος αναφοράς στο συγκεκριμένο 252.537 δίκτυο! 252.529 X 4 2617.82 αναφέρονται οι 2617.82 γνωστές συντεταγμένες 2617.82-11539.52-1445.8 Και οι τρεις 29745.486 λύσεις αποτελούν εναλλακτικές υλοποιήσεις του ίδιου 29745.489 Το κοινό σύστημα -9671.343 αναφοράς των τριών λύσεων είναι αυτό ως προς το οποίο -9671.33 των 3 σταθμών αναφοράς του δικτύου. -11539.48 X 5 27798.914 Y 5-9458.436 27798.911-9458.45 27798.911-9458.443

Παράδειγμα συνόρθωσης οριζόντιου δικτύου (με εσωτερικές δεσμεύσεις)

Οριζόντιο Δίκτυο 3 5 y 4 2 1 x Γνωστός σταθμός αναφοράς Νέος σταθμός

Παρατηρήσεις Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) δ 1.5. 3. δ 4.2. 2.4 δ 1.2 55.318 3. δ 4.1 68.1594 2.4 δ 1.3 364.672 3. δ 4.5 319.9293 2.4 δ 1.4 375.5954 3. δ 5.2. 2.3 δ 2.1 245.4697 3.2 δ 5.1 48.936 2.3 δ 2.3 313.213 3.2 δ 5.3 128.326 2.3 δ 2.4 297.8753 3.2 δ 5.4 75.461 2.3 δ 2.5 342.3444 3.2 S 4.1 2943.743.67 δ 3.2. 2.6 S 4.2 386.74.71 δ 3.1 41.898 2.6 S 4.5 2641.95.66 δ 3.5 357.4528 2.6 S 4.3 2193.513.64

Προσεγγιστικές συντεταγμένες i x o (m) y o (m) 1 2668.425-1445.71 2 29745.486-12847.711 3 252.537-9671.343 4 2617.822-11539.51 5 27798.925-9458.462

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 x y x y x y x y x y δx Διαχωρισμένη μορφή του διανύσματος διορθώσεων των προσεγγιστικών συντ/νων 1 δx 2 δx Αναφέρεται στους σταθμούς αναφοράς του δικτύου Αναφέρεται στους νέους σταθμούς του δικτύου

Λύση 1 Ελάχιστες δεσμεύσεις ˆ x1 y1 ˆ x ˆ 2 1.5 σημείο σταθερό Λύση 2 Μερικές εσωτερικές δεσμεύσεις (χρήση μόνο των 3 σταθμών αναφοράς) E1δx ˆ 1 Λύση 3 Ολικές εσωτερικές δεσμεύσεις (χρήση όλων των σημείων του δικτύου) Eδxˆ

Γενικός αλγόριθμος για ελάχιστες δεσμεύσεις T 1 T ˆ ( ) ( ) δx N H H u H c ˆ o x x δx Θα ισχύει: ˆ ˆ Hδx c ˆ Nδx u Στη συνέχεια παραθέτουμε τη μορφή του πίνακα Η και του διανύσματος c για κάθε ένα από τα τρία επιλεγμένα σενάρια συνόρθωσης δικτύου.

Λύση 1 Ελάχιστες δεσμεύσεις (με 3 σταθερές συντ/νες) Η = 1 1 c = 1 Λύση 2 Μερικές εσωτερικές δεσμεύσεις Η = 1 1 1 1 1 1 c = y 1 -x 1 y 2 -x 2 y 3 -x 3 Λύση 3 Ολικές εσωτερικές δεσμεύσεις Η = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c = y 1 -x 1 y 2 -x 2 y 3 -x 3 y 4 -x 4 y 5 -x 5

Λύση 2 H E 1 Η = 1 1 1 1 1 1 y 1 -x 1 y 2 -x 2 y 3 -x 3 Πίνακας μερικών εσωτερικών δεσμεύσεων Λύση 3 H E E E 1 2 Η = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y 1 -x 1 y 2 -x 2 y 3 -x 3 y 4 -x 4 y 5 -x 5 Πίνακας ολικών εσωτερικών δεσμεύσεων

Διορθώσεις προσεγγιστικών συντεταγμένων (τιμές σε cm) ΛΥΣΗ 1 δx 1. δy 1. δx 2. δy 2 -.1 δx 3 -.5 δy 3 2.5 δx 4-2. δy 4 1.2 δx 5-1.1 δy 5 2.6 ΛΥΣΗ 2 δx 1.6 δy 1 -.9 δx 2.3 δy 2 -.5 δx 3 -.8 δy 3 1.3 δx 4-2. δy 4.3 δx 5-1.4 δy 5 1.9 ΛΥΣΗ 3 δx 1.8 δy 1-1.3 δx 2.8 δy 2-1.3 δx 3.1 δy 3 1.2 δx 4-1.3 δy 4 -. δx 5 -.4 δy 5 1.4 T ˆ ˆ 2.1 δx δx T ˆ ˆ 13.51 δx δx T ˆ ˆ 9.68 δx δx

Διορθώσεις προσεγγιστικών συντεταγμένων (τιμές σε cm) ΛΥΣΗ 1 δx 1. δy 1. δx 2. δy 2 -.1 δx 3 -.5 δy 3 2.5 δx 4-2. δy 4 1.2 δx 5-1.1 δy 5 2.6 ΛΥΣΗ 2 δx 1.6 Οι ολικές εσωτερικές δy 1 -.9 δεσμεύσεις (λύση 3) δίνουν δx 2 την.3 καλύτερη προσαρμογή στις δy 2 προσεγγιστικές -.5 συντεταγμένες δxόλων 3 -.8 των σημείων του δy δικτύου. 3 1.3 δx 4-2. δy 4.3 δx 5-1.4 δy 5 1.9 ΛΥΣΗ 3 δx 1.8 δy 1-1.3 δx 2.8 δy 2-1.3 δx 3.1 δy 3 1.2 δx 4-1.3 δy 4 -. δx 5 -.4 δy 5 1.4 T ˆ ˆ 2.1 δx δx T ˆ ˆ 13.51 δx δx T ˆ ˆ 9.68 δx δx

Διορθώσεις προσεγγιστικών συντεταγμένων (τιμές σε cm) ΛΥΣΗ 1 δx 1. δy 1. δx 2. δy 2 -.1 δx 3 -.5 δy 3 2.5 ΛΥΣΗ 2 δx 1.6 δy 1 -.9 δx 2.3 δy 2 -.5 δx 3 -.8 δy 3 1.3 ΛΥΣΗ 3 δx 1.8 δy 1-1.3 δx 2.8 δy 2-1.3 δx 3.1 δy 3 1.2 T 1 1 δxˆ δxˆ 6.51 T 1 1 δxˆ δxˆ 3.84 T 1 1 δxˆ δxˆ 6.11 Οι μερικές εσωτερικές δεσμεύσεις (λύση 2) δίνουν την καλύτερη προσαρμογή στις προσεγγιστικές συντεταγμένες των τριών γνωστών σταθμών αναφοράς του δικτύου.

Σχόλια o Και οι τρεις λύσεις είναι λύσεις ελαχίστων δεσμεύσεων και συνεπώς δεν παραμορφώνουν το δίκτυο (οδηγούν στην ίδια συνορθωμένη γεωμετρική μορφή του). o Το πλεονέκτημα των μερικών εσωτερικών δεσμεύσεων είναι ότι τοποθετούν το δίκτυο σε μια τέτοια θέση και προσανατολισμό ώστε να προσαρμόζεται βέλτιστα στις γνωστές συντ/νες ΟΛΩΝ των σταθμών αναφοράς. o Το παραπάνω γεγονός εξασφαλίζει την πιο αξιόπιστη ένταξη του δικτύου στο ΣΑ στο οποίο αναφέρονται οι γνωστές συντεταγμένες των 3 σταθμών αναφοράς.