1 Τριγωνοµετρική (ή πολική µορφή µιγαδικού αριθµού Έστω z = x+ yi ένας µη µηδενικός µιγαδικός αριθµός και OM η αντίστοιχη διανυσµατική ακτίνα του Ονοµάζοµε όρισµα του µιγαδικού αριθµού z κάθε µια από τις γωνίες που έχουν αρχική πλευρά την ηµιευθεία Ox και τελική πλευρά την ηµιευθεία OM Το µέτρο του µιγαδικού αριθµού z είναι r = z = x + y Από τον ορισµό των τριγωνοµετρικών αριθµών, σε ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων, ισχύει ότι: x cosθ = x = r cosθ r y sinθ = y = r sinθ r Άρα ο z x yi = + γράφεται και ως: z r cosθ r sinθ i r ( cosθ i sn i θ = + = + Αυτός ο τρόπος γραφής του µιγαδικού αριθµού λέγεται τριγωνοµετρική (ή πολική µορφή του z Αντιστρόφως, έστω z = λ( cosϕ + i sinϕ Τότε αν λ > το δεύτερο µέλος της ανωτέρω σχέσεως είναι η τριγωνοµετρική µορφή του µιγαδικού αριθµού z, δηλαδή λ είναι το µέτρο και φ είναι το όρισµα του z Πράγµατι z λ ( cos ϕ sin ϕ = + και επειδή λ > είναι z = λ Επίσης αν θ είναι ένα όρισµα του z θα ισχύει ότι z = λ ( cosθ + i sinθ cosθ = cosϕ Άρα, πρέπει υπάρχειk Z : ϕ = θ+kπ sinθ = sinϕ Συνεπώς ο θ είναι ένα όρισµα του z Παρατηρήσεις Αν λ < ο µιγαδικός z = λ( cosθ + i sinθ ( ( ( και ένα όρισµα του είναι ο ( π + θ z = λ cosθ i sinθ = λ cos π + θ + i sin π + θ Άρα ο z έχει µέτρο λ Πχ z = 5( cos3 + i sin3 = 5( cos3 i sin3 = 5( cos1 + i sin1 Ένας µιγαδικός z έχει µέτρο 1 αν και µόνο αν υπάρχει θ R τέτοιος ώστε z = cosθ + i sinθ Πχ ( 1= 1 cos + i sin = cos + i sin = 1+ ( 1= 1 cosπ + i sinπ = cosπ + i sinπ = 1+ i i Στέφανος Ι Καρναβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd, Επίκουρος Καθηγητής
i 1 cos π i sin π = + = cos π + i sin π = + 1i 3 3 3 3 i 1 cos π i sin π cos π i sin π cos π = + = + = + i sin π = 1i Αν λ > ο µιγαδικός z = λ( cosθ + i sinθ ( i sin( z = λ cos π θ + π θ ηλαδή ο z έχει µέτρο το λ και ένα όρισµα του είναι ο ( π θ Πχ z = 5( cos3 + i sin3 = 5( cos15 + i sin15 Αν λ < ο µιγαδικός z= λ( cosθ + i sinθ ( ( z = λ( cosθ + i sinθ = λ( cosθ i sinθ = λ cos θ + i sin θ ηλαδή ο z έχει µέτρο το λ και ένα όρισµα του είναι ο θ Πχ z = 5( cos3 + i sin3 = 5( cos3 i sin3 = 5 cos( 3 + i sin( 3 Αν λ > ο µιγαδικός z = λ( cosθ i sinθ ( ( z = λ( cosθ i sinθ = λ cos θ + i sin θ ηλαδή ο z έχει µέτρο το λ και ένα όρισµα του είναι ο θ Πχ z = 5( cos3 i sin3 = 5 cos( 3 + i sin( 3 Αν λ <, ο µιγαδικός z = λ( cosθ i sinθ ( ( και ένα όρισµα του είναι ο ( π θ z = λ( cosθ + i sinθ = λ cos π θ + i sin π θ ηλαδή ο z έχει µέτρο το λ Πχ z = 5( cos3 i sin3 = 5( cos3 + i sin3 5( cos15 + i sin15 = Αν λ > ο µιγαδικός z = λ( sinθ + i cosθ : z = λ( sinθ + i cosθ = λ cos θ + i sin θ π ηλαδή ο z έχει µέτρο το λ και ένα όρισµα του είναι ο θ Πχ z = 5( sin3 + i cos3 = 5( cos6 + i sin6 Στέφανος Ι Καρναβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd, Επίκουρος Καθηγητής
3 Αν λ <, ο µιγαδικός z = λ( sinθ + i cosθ εξής: ( ( z = λ( sinθ i cosθ = λ sin π + θ + i cos π + θ = π π λ cos θ + i sin θ π ηλαδή ο z έχει µέτρο το λ και ένα όρισµα του είναι ο θ Πχ z = 5( sin3 + i cos3 = 5( cos6 + i sin6 = 5( cos6 i sin6 = 5( cos4 + i sin4 Αν λ >, ο µιγαδικός z = λ( sinθ + i cosθ : z = λ( sinθ + i cosθ = λ cos θ + i sin θ = λ cos + θ + i sin + θ π ηλαδή ο z έχει µέτρο το λ και ένα όρισµα του είναι ο + θ Πχ z = 5( sin3 + i cos3 = 5( cos6 + i sin6 = 5( cos1 + i sin1 Παραδείγµατα 3 cosθ = Αν z = 3 + i τότε z = 3+ 1 =, ɵ π θ = 1 6 sin θ = Άρα η z = συν + i ηµ 6 6 Αν z = 5 τότε Argz = και z = 5 + = 5 Συνεπώς z = 5( cos+ i sin Αν z = 5 τότε Argz π = και ( z = 5 + = 5 Συνεπώς z 5( cosπ i sinπ = + Αν z = 5i τότε π Argz = και z = + 5 = 5 Συνεπώς z = 5 cos + i sin Αν z = 5i είναι Argz π π π z = + 5 = 5, z = 5 cos + i sin =, ( Στέφανος Ι Καρναβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd, Επίκουρος Καθηγητής
4 Αν 4+ 1i z = τότε 1 i ( z = 4 + 4 = 4 ( i( 1+ i ( i( i 4+ 1 + i z = = = 4+ 4i, άρα 1 1+ 1+ 4 4 1 cosφ = = = 4 Αν φ = Argz ισχύει ότι ɵ 3π φ = 135 = 4 1 4 sinφ = = = 4 Συνεπώς 3π 3π z = 4 cos + i sin 4 4 Αν z = i τότε 5π 5π z = i ( cos5 + i sin5 cos + i sin = = 4 4 Αν z = 1+ i 3 τότε 1 3 π π z = + i ( cos1 + i sin1 cos + i sin = = 3 3 Αν z = cos i sin 4 4 τότε π π z = cos + i sin 4 4 Αν z = 4 cos + i sin τότε 5 5 π π 6π 6π z = 4 cos π + + i sin π + 4 cos + i sin 5 5 = 5 5 Αν π π z = cos i sin τότε 6 6 π π z = 1 cos + i sin 6 6 Αν z = 1 i τότε 1 1 π π z = i = cos + i sin 4 4 Άσκηση Ποιές οι τριγωνοµετρικές µορφές των µιγαδικών που οι γεωµετρικές παραστάσεις τους φαίνονται στα παρακάτω σχήµατα; Στέφανος Ι Καρναβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd, Επίκουρος Καθηγητής
5 (α (β (γ (δ (ε Στέφανος Ι Καρναβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd, Επίκουρος Καθηγητής