ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΙΓΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 / 05/ 0 ΘΕΜΑ Α : Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 53 Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 Α3 Σχολικό βιβλίο σελίδα 50 Α4 Α)Σ β)σ γ)λ δ)λ ε)λ ΘΕΜΑ Β : Β z z 4 z z z z zz zz z Β α τρόπος z z z z z z z z z z () και 4 zz z z zz z z 4 Άρα κύκλος με κέντρο Κ(0,0) και ακτίνα ρ= z z z z z z z z z z z z z z 0 Άρα από () z +z = β τρόπος Έστω και οι εικόνες των z και z αντίστοιχα Ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα : Τότε Άρα Το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο άρα η διάμεσος ΟΜ ισούται με το μισό της υποτείνουσας: Ισχύει z z Άρα z z z z Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα
Β3 Έστω w yi, y με αντικατάσταση στη δοσμένη σχέση ισχύει : w 5w yi 5 yi 4 6yi 6 36y 6 36y 44 y 9 4 Η ελάχιστη απόσταση είναι στον μικρό άξονα το ΟΒ, ενώ αντίστοιχα η μέγιστη στον μεγάλο άξονα Είναι a 9 a 3 και 4 Άρα w και w a 3 min ma Β4 α τρόπος : Ισχύει : z w ( ) ( ) min z w ( ) ( ) 3 4 m άρα z w 4 β τρόπος : z w z w z w w z w w w z w w min ma z w 3 z w 4 z w 4 ΘΕΜΑ 3 : Γ Υπολογίζουμε την παράγωγο της f ( ) και είναι : Για είναι ln 0 και γνησίως αύξουσα στο [, ) Για είναι ln 0 και γνησίως φθίνουσα στο 0, f '( ) ln 0 επομένως και f '( ) 0 για κάθε, άρα f ( ) 0 επομένως και f '( ) 0 για κάθε 0, άρα f ( ) Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα
Είναι lim ( ) ln και lim ( ) ln 0 Επειδή η f ( ) είναι συνεχής έχουμε : 0,, Άρα f ( ), f f f, f, Γ Είναι 03 Για 0 έχουμε : ln 03 ln 03 ln ln 0 f ( ) 0 Παρατηρούμε ότι το 0 f άρα υπάρχει μοναδικό με 0, Έχουμε 0 f άρα υπάρχει μοναδικό με, Επομένως υπάρχουν δύο ακριβώς θετικές ρίζες f 0 ln 03 f 0 Γ3 Θα δείξω ότι f ' f 0 ή 0 ή f ' f 0 0 f 0 ' 0 f ' f 0 ή 0 0 0 Θεωρώ συνάρτηση 0 Είναι συνεχής η h f με 0 h διότι f συνεχής (πράξεις συνεχών), 0, Είναι παραγωγίσιμη με h' f ' f 0 συνεχής Έχουμε : h f 0 0 0 0 h f 0 0 0 0 Από Θ Roll υπάρχει, 0 ώστε 0 h' 0 f ' f 0 0 f f 0 ' 0 Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 3
Γ4 g f ( ) ln Ρίζες - πρόσημο : 0 + - + + ln - + + g + + + Βλέπουμε ότι :, η g( ) 0 Άρα : g ( ) d ln d 4 ' ln d 3 τμ 4 ln d ΘΕΜΑ 4 : Δ Θεωρώ h( ) ( ) f t dt ισχύει ( ) 0 h για κάθε 0 Είναι 0 h() δηλαδή ισχύει h( ) h() για κάθε 0 Επομένως στο 0 η h έχει ελάχιστο Επίσης f συνεχής άρα f ( t ) dt παραγωγίσιμη, παραγωγίσιμη (σύνθεση) παραγωγίσιμη άρα dt παραγωγίσιμη (πολυώνυμο) Άρα η h παραγωγίσιμη (πράξεις) με h'( ) f ( ) Από θεώρημα Frmat, '() 0 h f 0 f Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 4
Επειδή η f συνεχής και f 0, η f διατηρεί σταθερό πρόσημο και καθώς f είναι f 0 ln t t Είναι ln dt f ( ) Θεωρώ g( ) ln είναι Είναι g(), 0 επομένως το ln ln t t dt 0 g '( ) άρα για 0, lim g( ) άρα ( ) 0 < 0 Ισχύει: <0 g '( ) 0 και g γνησίως φθίνουσα g και για, ln ln t t dt είναι lim g( ) f ( ) άρα g( ) 0 ln Άρα: t t dt 0 Άρα Άρα f ( ) ln ln t t dt Η ln είναι παραγωγίσιμη, παραγωγίσιμη, ln t t παραγωγίσιμη Επομένως f παραγωγίσιμη (πράξεις) Από τη σχέση συνεχής άρα και lnt t dt lnt t ln dt f ( ) προκύπτει ότι : ln lnt t dt f ( ) παραγωγίζοντας τα δύο μέλη έχουμε : Γνωρίζουμε ότι : ln c f ( ) ' ln ln f ( ) f ( ) Για είναι : Άρα ln f ( ) c c f ( ) ln Δ Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 5
Είναι lim f ( ) Θέτουμε u 0 f ( ) άρα f ( ) u Καθώς 0 τότε lim 0 και άρα u 0 0 f ( ) u u u lim u lim lim 0 0 u0 u u u0 u DLH u0 u 0 0 Δ3 Είναι F( ) dt a παραγωγίσιμη επειδή f συνεχής, με ln F '( ) f ( ) που είναι παραγωγίσιμη με ln F ''( ) f '( ) Λόγω της δοσμένης ανισότητας είναι : ln 0 και επειδή 0 θα είναι ln 0 Και καθώς 0 προκύπτει ότι F ''( ) 0 άρα F κυρτή Επειδή F κυρτή προκύπτει ότι f ' γνησίως αύξουσα Με χρήση θεωρήματος Μέσης Τιμής στα διαστήματα τέτοιο ώστε F ', τέτοιο ώστε F ' Με Δ4,3 F ' F ' F ' F( ) F( ) F(3 ) F( ) Έστω η συνάρτηση t()=f(β)+f(3β)-f() για (β, β) t() συνεχής και t(β)= F(β)+F(3β)-F(β) = F(3β)-F(β) >0,,,3 υπάρχει F ( ) F ( ) F (3 ) F ( ) F( ) F(3 ) F( ) γιατί: F ()=f()<0 άρα F γνησίως φθίνουσα, και β<3β F(β)>F(3β) ενώ t(3β)= F(β)+F(3β)-F(3β) = F(β) -F(3β)<0 Άρα ισχύει το θεώρημα Bolzano, υπάρχει ξ(β, β) τέτοιο ώστε: t(ξ)=0 F(β)+F(3β)-F(ξ) =0 F(β)+F(3β)=F(ξ) Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 6
Το ξ είναι μοναδικό γιατί η t() είναι γνησίως μονότονη (γν φθίνουσα) αφού t ()=F ()=f()<0 (από το Δ) ΤΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΗΘΗΚΑΝ ΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ: ΚΑΜΑΡΗ ΜΑΓΔΑ ΝΤΑΝΤΙΝΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 7