ΑΡΙΣΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Κοινό κριτήριο επιλογής µεταξύ εναλλακτικών τρόπων παραγωγής είναι η µεγιστοποίηση (κέρδος ήηελαχιστοποίηση (κόστος κάποιου µεγέθους. Αυτά τα προβλήµατα µεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης στα οικονοµικά µαθηµατικά είναι γνωστά σαν προβλήµατα αριστοποίησης. Οι έννοιες ελάχιστο και µέγιστο δεν φέρουν καµία έννοια αριστοποίησης. Από µαθηµατική µατιά, ο ρεαλιστικότερος προσδιορισµός είναι ακρότατο που σηµαίνει ακραία τιµή. Αντικειµενική συνάρτηση και µεταβλητές επιλογής.
ΣΧΕΤΙΚΟ (ή τοπικό & ΑΠΟΛΥΤΟ (ήολικό ΑΚΡΟΤΑΤΟ Α Β C D E (α (β F (γ
ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΡΩΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΓΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟ Εάν η πρώτη παράγωγος µίας συνάρτησης ( στο είναι (, τότε η τιµή της συνάρτησης στο, (, θα είναι:. Ένα σχετικό µέγιστο εάν η παράγωγος `( αλλάζει το πρόσηµότηςαπόθετικόσεαρνητικόαπότηςαµέσως αριστερή πλευρά του σηµείου στην αµέσως δεξιά πλευρά του.. Ένα σχετικό ελάχιστο, εάν η `( µεταβάλλει το πρόσηµό της απόαρνητικόσεθετικόαπότηναµέσως αριστερή πλευρά του στην αµέσως δεξιά πλευρά του.. Ούτε ένα σχετικό µέγιστο ούτε ένα σχετικό ελάχιστο, εάν η `( έχει το ίδιο πρόσηµο καιστηναµέσως αριστερή και στη δεξιά πλευρά του σηµείου
J ( K ( J /`( K /`(
ΕΥΤΕΡΗ ΚΑΙ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ (, ή (, ( 4 5 n ή (,... ( 4, 4 n,... n Ερµηνεία της ης παραγώγου Η δεύτερη παράγωγος είναι το µέτρο του ρυθµούτηςπρώτηςπαραγώγου. ηλαδή, η δεύτερη παράγωγος µετράει τον ρυθµό µεταβολής του ρυθµού µεταβολής της αρχικής συνάρτησης (> (< (> (< Ητιµή της συνάρτησης έχει την τάση να Ηκλίσητηςκαµπύλης έχει την τάση να αυξάνεται µειώνεται αυξάνεται µειώνεται
A B C ( ( D E F 4 5 6 Εάν στο τα πρόσηµα των παραγώγων είναι φαίνεται από το ( > ( < σηµείο Α ( ( < σηµείο Β ( < ( < σηµείο C 4 ( 4 < ( 4 > σηµείο D 5 ( 5 ( 5 > σηµείο E 6 ( 6 > ( 6 > σηµείο F
ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΕΥΤΕΡΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΓΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟ Εάν η πρώτη παράγωγος µιας συνάρτησης στο είναι `(, τότε η τιµή της συνάρτησης στο,(, θα είναι: Ένα σχετικό µέγιστο αν η τιµή της δεύτερης παραγώγου στο είναι µικρότερη του µηδενός ( < Ένα σχετικό ελάχιστο αν η τιµή της δεύτερης παραγώγου στο είναι µεγαλύτερη του µηδενός ` ( > Μειονέκτηµα: εάν ` ( τότε δεν µπορούµεναβγάλουµεσυµπέρασµα. Σε αυτή την περίπτωση το στάσιµοσηµείο µπορεί να είναι τοπικό µέγιστο, ελάχιστο ή σηµείο καµπής. Ησυνθήκηπρώτηςτάξηςείναιαναγκαία αλλά όχι ικανή για τον χαρακτηρισµό κάποιου ακρότατου. Η συνθήκη δεύτερης τάξης είναι ικανή δεν είναι όµως αναγκαία. Όταν η συνθήκη δεύτερης τάξης ικανοποιείται, τότε η συνθήκη πρώτης τάξης είναι αναγκαία και ικανή
( Όταν ( µπορεί να έχουµε µέγιστο, ελάχιστο ή σηµείο καµπής. Για να δώσουµε απάντηση στην περίπτωση αυτή είτε µελετάµε το πρόσηµο της πρώτης παραγώγου δεξιά και αριστερά από το, είτε καταφεύγουµε στονέλεγχοτης νιοστής παραγώγου σύµφωνα µε το οποίο αν ( και η πρώτη µη-µηδενική παράγωγος την οποία συναντούµε είναι η νιοστή (n, τότε: α Στο σηµείοαυτόυπάρχειµέγιστο όταν n είναι άρτιος και n ( < β Στο σηµείο αυτό υπάρχει ελάχιστο όταν n είναι άρτιος και n ( > γ Το σηµείοαυτόείναισηµείο καµπής όταν n είναι περιττός αριθµός.
Συνθήκες Μεγιστοποίησης κέρδους R,C RR(Q H J CC(Q Συνθήκη ης Τάξης π π ( Q R ( Q C ( Q Q MR MC MR MC Συνθήκη ης Τάξης π Q Q M Q Q Q K Q Q 4 Q 5 Q 4 Q π(qr(q-c(q Q π π ( Q Q R ( Q < C ( Q R ( Q C ( Q < MR, MC N L MC C'(Q MR R'(Q Q Q Q
Συντελεστές µιας κυβικής συνάρτησης συνολικού κόστους Μία κυβική συνάρτηση µπορεί πιθανότητα να παράγει ένα τµήµα καθοδικής κλίσης στο γράφηµα της, ενώ η συνολική συνάρτηση κόστους, για να έχει οικονοµική σηµασία, θα πρέπει να έχει ανοδική κλίση παντού (ένα µεγαλύτερο επίπεδο παραγωγής πάντα συµπίπτει µε ένα υψηλότερο συνολικό κόστος C C( Q aq bq cq ΗσυνάρτησηMC θα πρέπει να είναι παντού θετική, και αυτό µπορεί να γίνει εάν το απόλυτο ελάχιστο της συνάρτησης MC είναι θετικό. MC C ( Q aq bq c Q Γιαναέχεισχήµα U θα πρέπει α> * b b MC 6aQ b Q σε αυτό το σηµείο η MC 6a a MC 6a > ελαχιστοποιείται αφού Q Εφόσον αρνητικά επίπεδα προϊόντος αποκλείονται τότε b< b b ac b MC min a( b c Για να εξασφαλίσουµε ότιτοmc είναι θετικό a a a πρέπει να θέσουµε τον περιορισµό b < ac c >
ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΠΡΩΤΗΣ ΚΑΙ ΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΜΟΡΦΗ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ( (. Όταν, αν και µόνο αν ( Συνεπώς, ησυνθήκη" για αυθαίρετες µη-µηδενικές µεταβολές της ανεξάρτητης µεταβλητής" είναι ισοδύναµη µε την συνθήκη πρώτης τάξης Το διαφορικό δεύτερης τάξης είναι όπου [ ( ] [ ( ] ( ( (.
ΑΚΡΟΤΑΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΗΣΗΣ ΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ z z T A T T B T
z(, ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Συνθήκη πρώτης τάξης z όπου z είναι το ολικό διαφορικό της συνάρτησης z ή Προσοχή: Αναγκαία αλλά όχι ικανή συνθήκη z z Ένα σηµείο µε διπλή προσωπικότητα ονοµάζεται σαγµατικό σηµείο (sale point Γιανααναπτύξουµε µια ικανή συνθήκη, πρέπει να κοιτάξουµε τοδιαφορικό δεύτερης τάξης, το οποίο σχετίζεται µε τις παραγώγους δεύτερης τάξης. ( z z ή ( z z ( και z ( z z ή ( z ( Σταυροειδής ή µικτές µερικές παράγωγοι ΘεώρηµατουYon
ΣΥΝΘΗΚΗ ΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ Για µέγιστο του z: z Για ελάχιστο του z: z Για τυχούσες τιµές των, όχι και οι δύο µηδενικές Το ίδιο µπορεί να εκφραστεί µεπαραγώγουςδεύτερηςτάξης z < εάν και µόνον εάν <, < και > > εάν και µόνον εάν >, > και >
ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ Μορφή ορίζεται κάθε πολυωνυµική έκφραση στην οποία κάθε όρος της έχει τον ίδιο βαθµό. 4-9z είναι γραµµική µορφή τριών µεταβλητών 4 -w7w είναι τετραγωνική µορφή τριών µεταβλητών? z q a hv bv Ποιοι περιορισµοί πρέπει να τεθούν στα α,b και h για να εξασφαλιστεί ένα οριστικό πρόσηµο γιατοq h q a hv v a h h a( v v a a h ab h a( v a a h bv v a h ( b v a ( v q θετικά ορισµένη αρνητικά ορισµένη α> α< και αb-h >
ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΝΤΑΣ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ q a hv bv a hv hv bv q a h h b v [ v] ιακρίνουσα D Πρώτη κύρια ελάσσων της D q z θετικά ορισµένη εάν και µόνον εάν αρνητικά ορισµένη θετικά ορισµένο εάν και µόνον εάν αρνητικά ορισµένο α > α < > < και Εσσιανή ορίζουσα (Hessian eterminant a h h b > και >
ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ( ( ( ( ( ( ( ( (,, ( i j j i ij q [ ] D q,, (,, D D D
Εάν εφαρµόσουµε την ειδική διαδικασία του τέλειου τετραγώνου η τετραγωνική µορφή µετιςτρειςµεταβλητές µπορεί να µετασχηµατιστεί σε q ( ( ( D D ( ( D D D ( Οι συντελεστές της τετραγωνικής µορφής τριών µεταβλητών µπορεί να εκφραστεί µε την βοήθεια των κύριων ελασσόνων ως εξής: D, D / D και D / D Για θετική οριστικότητα ικανή και αναγκαία συνθήκη είναι τριπλή: D >, D > (δεδοµένου του D > και D >(δεδοµένου του D > Για αρνητική οριστικότητα ικανή και αναγκαία συνθήκη είναι τριπλή: D <, D > (δεδοµένου του D < και D <(δεδοµένου του D >
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗ ΡΙΖΑ ΓΙΑ ΟΡΙΣΜΟ ΠΡΟΣΗΜΟΥ Εναλλακτικός τρόπος προσδιορισµού του πρόσηµου µιας τετραγωνικής µορφής είναι µέσω των χαρακτηριστικών ριζών του πίνακα D. Οι χαρακτηριστικές ρίζες είναιοιλύσειςτηςχαρακτηριστικής εξίσωσης D D r ( D ri r... n r... n ri.... r n n nn Ο πίνακας D (και η αντίστοιχη τετραγωνική µορφή είναι αρνητικά (θετικά ορισµένος όταν και µόνο όταν όλες οι χαρακτηριστικές ρίζες είναι αυστηρά αρνητικές (θετικές. Ησυν-ύπαρξη µηδενικών χαρακτηριστικών ριζών µε αρνητικές(θετικές σηµαίνει ότι οη(και η αντίστοιχη τετραγωνική µορφή είναι αρνητικά (θετικά ηµι-ορισµένος. Συν-ύπαρξη αρνητικών και θετικών χαρακτηριστικών ριζών σηµαίνει ότι η τετραγωνική µορφή (και ο Η δεν είναι ορισµένη
ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΑΠΟ ΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ z(,, z Συνθήκη πρώτης τάξης: z δηλαδή Συνθήκη δεύτερης τάξης: z> ή z< ( z z ( z ( ( z ( z ( ( Για να προσδιοριστεί η θετική ή αρνητική οριστικότητα του z θα πρέπει πάλι να θεωρήσουµετα i σαν µεταβλητές ενώ τις παραγώγους ij σαν συντελεστές στους οποίους θα θέσουµεκάποιουςπεριορισµούς.
Οι συντελεστές ij µας δίνουν την συµµετρική Εσσιανή ορίζουσα H H H H z είναι µέγιστο ελάχιστο Εάν και µόνο εάν Η <, Η > Η < (το z είναι αρνητικά ορισµένο Η >, Η > Η > (το z είναι θετικά ορισµένο z(,,. n H ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ n ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Μέγιστο. n Η <, Η > Η <.(- n Η n > Ελάχιστο. n Η >, Η >. Η n >
ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΩΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Ακρότατο µε περιορισµό z Ελεύθερο ακρότατο o Περιορισµός
ΟΡΙΖΟΝΤΑΣ ΣΤΑΣΙΜΕΣ ΤΙΜΕΣ Η µέθοδος του πολλαπλασιαστή Larane Αντικειµενική συνάρτηση Περιορισµός Συνάρτηση Lanrane z(, (,c (,λ[c-(,] Αναγκαία συνθήκη για εύρεση στάσιµων σηµείων Ζ λ c-(, -λ -λ ΧΡΗΣΗ ΟΛΙΚΩΝ ΙΑΦΟΡΙΚΩΝ z Όπου µαζί µε τον περιορισµό (, θα µας δώσει τις τιµές των και.? Η προσέγγιση µε ολικά διαφορικά δίνει την ίδια συνθήκη πρώτης τάξης όπως η µέθοδος του πολλαπλασιαστή Larane
ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ n ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΩΝ n Μεταβλητών Αντικειµενική συνάρτηση z(, n Περιορισµός (,. n c Συνάρτηση Lanrane (,,. n λ[c-(,, n ] Αναγκαία συνθήκη για εύρεση στάσιµων σηµείων Ζ λ c-(,, n -λ -λ.. n n -λ n ύο και περισσοτέρων Περιορισµών Αντικειµενική συνάρτηση z(, n Περιορισµός (,. n c και h(,... n Συνάρτηση Lanrane (,,. n λ[c-(,, n ]µ [-h(,, n ] Αναγκαία συνθήκη για εύρεση στάσιµων σηµείων Ζ λ c-(,, n Ζ λ -h(,, n -λ -λ.. n n -λ n
Ολικό διαφορικό ης τάξης περιορισµ ό ς... (, c c Το και δεν είναι πλέον και τα δύο τυχαία. Εάν τυχαίο τότε το -( / [ ( z ( z z ( z ( ] [ ( ( ( ] ( ( Εφόσον ο ος και 6ος όρος µπορούν να αναχθούν στις σχέσεις: ( ( [ ] ( z
Το ολικό διαφορικό δεύτερης τάξης δεν είναι πλέον τετραγωνική µορφή. Μπορεί όµως να µετασχηµατιστεί µε την βοήθεια του περιορισµού. Επιλύνοντας ως προς και αντικαθιστώντας το αποτέλεσµα στο ολικό διαφορικό δεύτερης τάξης z ( Ζ z ( λ ( ( λ ( λ (
ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ c q a hv bv µε περιορισµό c v v c c q a h b ( a hc bc Το q είναι θετικά (αρνητικά ορισµένο εάν και µόνον εάν η παράσταση στην παρένθεση είναι θετική (αρνητική. c c a h hc a bc a hc bc h b ( q θετικά ορισµένη αρνητικά ορισµένη υποκείµενο στον περιορισµό εάν και µόνον εάν c c a h h b < >
Όταν εφαρµοστούν στην τετραγωνική µορφή z z θετικά ορισµένη αρνητικά ορισµένη υποκείµενο στον περιορισµό εάν και µόνον εάν < > Περίπτωση n-µεταβλητών H n n n n n nn Oι διαδοχικές κύριες ελάσσονες µπορούν να οριστούν H H κ.λ.π z θετικά ορισµένη αρνητικά ορισµένη υποκείµενο στον περιορισµό εάν και µόνον εάν H, H, H,... H < 4 n H >, H <, H >..( H > 4 n n