Παραδείγματα ανάλυσης αξιοπιστίας δικτύου

Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 018-019 Παραδείγματα ανάλυσης αξιοπιστίας δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ

Οριζόντιο Δίκτυο 3 5 y 4 1 x Γνωστός σταθμός αναφοράς Νέος σταθμός

Παρατηρήσεις Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) δ 1,5 0.0000 3.0 δ 4, 0.0000.4 δ 1, 55.0318 3.0 δ 4,1 68.1594.4 δ 1,3 364.670 3.0 δ 4,5 319.993.4 δ 1,4 375.5954 3.0 δ 5, 0.0000.3 δ,1 45.4697 3. δ 5,1 48.0936.3 δ,3 313.130 3. δ 5,3 18.306.3 δ,4 97.8753 3. δ 5,4 75.4601.3 δ,5 34.3444 3. S 4,1 943.743 0.67 δ 3, 0.0000.6 S 4, 3806.704 0.71 δ 3,1 41.8980.6 S 4,5 641.905 0.66 δ 3,5 357.458.6 S 4,3 193.513 0.64

Προσεγγιστικές συντεταγμένες x (m) y (m) 1 6608.45-14450.071 9745.486-1847.711 3 500.537-9671.343 4 6170.8-11539.051 5 7798.95-9458.46 (*) Τα σημεία 1, και 3 είναι γνωστοί σταθμοί αναφοράς (τριγωνομετρικά σημεία)

Μελέτη αξιοπιστίας δικτύου Αρχικά μπορούν να υπολογιστούν οι παρακάτω ποιοτικοί δείκτες (για κάθε παρατήρηση) μέσω των οποίων μπορεί να αξιολογηθεί η εσωτερική αξιοπιστία στο συγκεκριμένο δίκτυο: - αριθμοί πλεονασμού - ελάχιστα εντοπίσιμα χονδροειδή σφάλματα (ΜDBs) (*) ο υπολογισμός των παραπάνω δεικτών δεν απαιτεί τις τιμές των παρατηρήσεων και μπορεί να γίνεται πριν από την εκτέλεση των μετρήσεων πεδίου (σχεδιασμός δικτύου)!

Πίνακας 1 Ακρίβεια παρατήρησης (cc, cm) Αριθμός πλεονασμού ΜDB - 95% δ 1,5 3.0 0.65 11.1 cc = 3.7 σ δ 1, 3.0 0.53 1.3 cc = 4.1 σ δ 1,3 3.0 0.44 13.6 cc = 4.5 σ δ 1,4 3.0 0.61 11.6 cc = 3.9 σ δ,1 3. 0.61 1.3 cc = 3.8 σ δ,3 3. 0.58 1.6 cc = 3.9 σ δ,4 3. 0.69 11.5 cc = 3.6 σ δ,5 3. 0.65 11.9 cc = 3.7 σ δ 3,.6 0.57 10.4 cc = 4.0 σ δ 3,1.6 0.51 10.9 cc = 4. σ δ 3,5.6 0.48 11.3 cc = 4.3 σ

Πίνακας Ακρίβεια παρατήρησης (cc, cm) Αριθμός πλεονασμού ΜDB - 95% δ 4,.4 0.37 11.8 cc = 4.9 σ δ 4,1.4 0.31 13.0 cc = 5.4 σ δ 4,5.4 0.31 13.0 cc = 5.4 σ δ 5,.3 0.46 10.1 cc = 4.4 σ δ 5,1.3 0.58 9.1 cc = 4.0 σ δ 5,3.3 0.34 11.8 cc = 5.1 σ δ 5,4.3 0.56 9. cc = 4.0 σ S 4,1 0.67 0.13 5.6 cm = 8.4 σ S 4, 0.71 0.19 4.9 cm = 6.9 σ S 4,5 0.66 0.3 4.1 cm = 6. σ S 4,3 0.64 0.19 4.4 cm = 6.9 σ

Έλεγχοι αξιοπιστίας αποτελεσμάτων Με βάση τα αριθμητικά αποτελέσματα που προκύπτουν από την αρχική συνόρθωση του δικτύου, θα πρέπει να εκτελεστούν απαραίτητα οι εξής στατιστικοί έλεγχοι: -ολικός έλεγχος αξιοπιστίας δικτύου (έλεγχος της μεταβλητότητας αναφοράς) - έλεγχος χονδροειδών σφαλμάτων Για την ορθή εκτέλεση των παραπάνω ελέγχων, η αρχική λύση συνόρθωσης θα πρέπει να έχει προκύψει μέσω της χρήσης ελαχίστων δεσμεύσεων στο δίκτυο. π.χ. x1 0 y1 0 x 0

Αποτελέσματα συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις (συνορθωμένα σφάλματα παρατηρήσεων) ˆv Ακρίβεια παρατήρησης (cc ή cm) Ακρίβεια παρατήρησης (cc ή cm) δ 1,5 1.61 3.0 δ 4, -0.73.4 δ 1,.57 3.0 δ 4,1.47.4 δ 1,3-0.68 3.0 δ 4,5-1.75.4 δ 1,4-3.50 3.0 δ 5, 0.71.3 δ,1 -.94 3. δ 5,1-1.37.3 δ,3 1.96 3. δ 5,3-0.64.3 δ,4 1.80 3. δ 5,4 1.30.3 δ,5-0.8 3. S 4,1-0.0 0.67 δ 3, -.1.6 S 4, 0.01 0.71 δ 3,1 0.54.6 S 4,5 0.08 0.66 δ 3,5 1.67.6 S 4,3-0.08 0.64 ˆv

Αποτελέσματα συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις (στατιστικά στοιχεία) Βαθμοί ελευθερίας (f) 10 T vˆ P vˆ 7.7518 A-psterr εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς ( ˆ ) 0.775 Για την εφαρμογή του ολικού ελέγχου απαιτείται ο υπολογισμός της στατιστικής ποσότητας F ˆ Η a-prr μεταβλητότητα αναφοράς αντιστοιχεί στην τιμή που εμφανίζεται στο στοχαστικό μοντέλο των μετρήσεων 1 του δικτύου v ~ ( 0, P ), συνήθως θεωρείται ίση με 1.

Τυπολόγιο ολικού ελέγχου αξιοπιστίας (για επίπεδο σημαντικότητας α) Δίπλευρος έλεγχος F ˆ 1 a/ a/ f, f, F Μονόπλευροι έλεγχοι (πιο αυστηροί!) ˆ a F f, Συνιστάται όταν ˆ με πιθανότερη αιτία την ύπαρξη μη-τυχαίων σφαλμάτων στις μετρήσεις 1a F f, ˆ Συνιστάται όταν ˆ με πιθανότερη αιτία την λανθασμένη επιλογή στοχαστικού μοντέλου για τις μετρήσεις

Εφαρμογή ολικού ελέγχου αξιοπιστίας (για επίπεδο σημαντικότητας α) α = 0.05, f = 10 Δίπλευρος έλεγχος ˆ 0.35 = 0.775.05 Μονόπλευροι έλεγχοι ˆ = 0.775 1.83 ˆ 0.394 = 0.775 Ο ολικός έλεγχος είναι επιτυχής!

Εφαρμογή ολικού ελέγχου αξιοπιστίας (για επίπεδο σημαντικότητας α) α = 0.05, f = 10 Δίπλευρος έλεγχος ˆ 0.35 = 0.775.05 Μονόπλευροι έλεγχοι α = 0.01, f = 10 Δίπλευρος έλεγχος ˆ 0.16 = 0.775.5 Μονόπλευροι έλεγχοι ˆ = 0.775 1.83 ˆ = 0.775.3 ˆ 0.394 = 0.775 ˆ 0.56 = 0.775

Έλεγχος χονδροειδών σφαλμάτων (για επίπεδο σημαντικότητας α) Για κάθε παρατήρηση του δικτύου υπολογίζεται το εξωτερικά ομαλοποιημένο σφάλμα t r vˆ ( vˆ ) t r f f 1 r και στη συνέχεια ελέγχεται η ανισότητα t a/ tf 1 (*) η συγκεκριμένη μορφή του ελέγχου ισχύει για την περίπτωση ασυσχέτιστων παρατηρήσεων

Έλεγχος χονδροειδών σφαλμάτων (για επίπεδο σημαντικότητας α) Για κάθε παρατήρηση του δικτύου υπολογίζεται το εξωτερικά ομαλοποιημένο σφάλμα t r vˆ ( vˆ ) t r f f 1 r και στη συνέχεια ελέγχεται η ανισότητα t a/ tf 1 α = 0.01, f = 10 α = 0.001, f = 10 0.005 t9 3.5 0.0005 t9 4.781 Συνιστάται για κλασικά τοπογραφικά δίκτυα

Έλεγχος χονδροειδών σφαλμάτων (για επίπεδο σημαντικότητας α) Για κάθε παρατήρηση του δικτύου υπολογίζεται το εξωτερικά ομαλοποιημένο σφάλμα t r vˆ ( vˆ ) t r f f 1 r και στη συνέχεια ελέγχεται η ανισότητα t a/ tf 1 α = 0.01, f = 10 α = 0.001, f = 10 0.005 t9 3.5 Συνιστάται για δίκτυα υψηλής ακρίβειας 0.0005 t9 4.781

Αποτελέσματα συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις (συνορθωμένα & εξωτερικά ομαλοποιημένα σφάλματα παρατηρήσεων) v ˆ (cc ή cm) t (cc ή cm) δ 1,5 1.61 0.74 δ 4, -0.73 0.54 δ 1,.57 1.40 δ 4,1.47.64 δ 1,3-0.68 0.38 δ 4,5-1.75 1.58 δ 1,4-3.50 1.9 δ 5, 0.71 0.48 δ,1 -.94 1.40 δ 5,1-1.37 0.87 δ,3 1.96 0.93 δ 5,3-0.64 0.53 δ,4 1.80 0.75 δ 5,4 1.30 0.87 δ,5-0.8 0.35 S 4,1-0.0 0.09 δ 3, -.1 1.3 S 4, 0.01 0.04 δ 3,1 0.54 0.34 S 4,5 0.08 0.3 δ 3,5 1.67 1.01 S 4,3-0.08 0.7 v ˆ t

Όλες Αποτελέσματα οι παρατηρήσεις συνόρθωσης περνούν με ελάχιστες δεσμεύσεις επιτυχώς τη σάρωση δεδομένων τόσο για α = 0.01 όσο και για α = 0.001 (συνορθωμένα & εξωτερικά ομαλοποιημένα σφάλματα παρατηρήσεων) v ˆ (cc ή cm) t (cc ή cm) δ 1,5 1.61 0.74 δ 4, -0.73 0.54 δ 1,.57 1.40 δ 4,1.47.64 δ 1,3-0.68 0.38 δ 4,5-1.75 1.58 δ 1,4-3.50 1.9 δ 5, 0.71 0.48 δ,1 -.94 1.40 δ 5,1-1.37 0.87 δ,3 1.96 0.93 δ 5,3-0.64 0.53 δ,4 1.80 0.75 δ 5,4 1.30 0.87 δ,5-0.8 0.35 S 4,1-0.0 0.09 δ 3, -.1 1.3 S 4, 0.01 0.04 δ 3,1 0.54 0.34 S 4,5 0.08 0.3 δ 3,5 1.67 1.01 S 4,3-0.08 0.7 v ˆ t

Συμπερασματικά, η λύση συνόρθωσης περνάει με επιτυχία τους βασικούς ελέγχους αξιοπιστίας που σχετίζονται με την ορθότητα του μαθηματικού και στοχαστικού μοντέλου & την ποιότητα των μετρήσεων. Μπορούμε στη συνέχεια να προχωρήσουμε χωρίς πρόβλημα στον υπολογισμό των υπολοίπων στοιχείων της λύσης του δικτύου και στην αξιολόγηση της ακρίβειας του.

Π.χ. τελική λύση συνορθωμένων συντ/νων x 1 6608.45 y 1-14450.071 x 9745.486 y -1847.71 ± 0.05 x 3 500.53 ± 0.030 y 3-9671.318 ± 0.014 x 4 6170.80 ± 0.014 y 4-11539.039 ± 0.007 x 5 7798.914 ± 0.07 y 5-9458.436 ± 0.01 x 1 6608.45 ± 0.050 y 1-14450.071 ± 0.050 x 9745.486 ± 0.050 y -1847.71 ± 0.149 x 3 500.53 ± 0.18 y 3-9671.318 ± 0.087 x 4 6170.80 ± 0.101 y 4-11539.039 ± 0.054 x 5 7798.914 ± 0.190 y 5-9458.436 ± 0.074 (*) τιμές σε m C (1) (1) () ˆx C xˆ C xˆ

Ορισμένες «διδακτικές» περιπτώσεις

Περίπτωση 1: μία μόνο παρατήρηση έχει επηρεαστεί από μη-τυχαίο σφάλμα Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) δ 1,5 0.0000 3.0 δ 4, 0.0000.4 δ 1, 55.0318 3.0 δ 4,1 68.1594.4 Τιμή παρατήρησης με πρόσθετο χονδροειδές σφάλμα ίσο με 9.3 cm (> MDB = 5.6 cm) δ 1,3 364.670 3.0 δ 4,5 319.993.4 δ 1,4 375.5954 3.0 δ 5, 0.0000.3 δ,1 45.4697 3. δ 5,1 48.0936.3 943.836 δ,3 313.130 3. δ 5,3 18.306.3 δ,4 97.8753 3. δ 5,4 75.4601.3 δ,5 34.3444 3. S 4,1 943.743 0.67 δ 3, 0.0000.6 S 4, 3806.704 0.71 δ 3,1 41.8980.6 S 4,5 641.905 0.66 δ 3,5 357.458.6 S 4,3 193.513 0.64

Αποτελέσματα συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις (συνορθωμένα σφάλματα παρατηρήσεων) Λύση με το χονδροειδές σφάλμα Λύση χωρίς το χονδροειδές σφάλμα Λύση με το χονδροειδές σφάλμα Λύση χωρίς το χονδροειδές σφάλμα δ 1,5 1.3 1.61 δ 4, -1.93-0.73 δ 1, 9.04.57 δ 4,1.77.47 δ 1,3 -.14-0.68 δ 4,5-0.84-1.75 δ 1,4-8.13-3.50 δ 5, -0.64 0.71 δ,1 4.69 -.94 δ 5,1 0.58-1.37 δ,3 1.84 1.96 δ 5,3 0.44-0.64 δ,4-3.18 1.80 δ 5,4-0.38 1.30 δ,5-3.35-0.8 S 4,1 1.19-0.0 δ 3, -.19 -.1 S 4, -1.3 0.01 δ 3,1 0.48 0.54 S 4,5 0.49 0.08 δ 3,5 1.71 1.67 S 4,3-0.7-0.08

Αποτελέσματα συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις (στατιστικά στοιχεία) Λύση με το χονδροειδές σφάλμα στην παρατήρηση S 4,1 Βαθμοί ελευθερίας (f) 10 ˆ T v P v A-psterr εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς ( ˆ ) ˆ 3.0461 3.05 Λύση χωρίς το χονδροειδές σφάλμα στην παρατήρηση S 4,1 Βαθμοί ελευθερίας (f) 10 ˆ T v P v A-psterr εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς ( ˆ ) ˆ 7.7518 0.775

Εφαρμογή ολικού ελέγχου (για επίπεδο σημαντικότητας α) α = 0.05, f = 10 α = 0.01, f = 10 Δίπλευρος έλεγχος ˆ 0.35 = 3.05.05 ˆ Μονόπλευρος έλεγχος = 3.05 1.83 Δίπλευρος έλεγχος ˆ 0.16 = 3.05.5 ˆ Μονόπλευρος έλεγχος = 3.05.3 Ο ολικός έλεγχος αποτυγχάνει!

Αποτελέσματα συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις (συνορθωμένα & εξωτερικά ομαλοποιημένα σφάλματα παρατηρήσεων) v ˆ (cc ή cm) t (cc ή cm) δ 1,5 1.3 0.7 δ 4, -1.93 0.7 δ 1, 9.04 3.1 δ 4,1.77 1.18 δ 1,3 -.14 0.58 δ 4,5-0.84 0.33 δ 1,4-8.13.34 δ 5, -0.64 0. δ,1 4.69 1.05 δ 5,1 0.58 0.18 δ,3 1.84 0.40 δ 5,3 0.44 0.17 δ,4-3.18 0.65 δ 5,4-0.38 0.1 δ,5-3.35 0.71 S 4,1 1.19 5.31 δ 3, -.19 0.61 S 4, -1.3 3.00 δ 3,1 0.48 0.14 S 4,5 0.49 0.85 δ 3,5 1.71 0.51 S 4,3-0.7 0.53 v ˆ t

Αποτελέσματα συνόρθωσης με a/ ελάχιστες δεσμεύσεις t 1 3.5 α = 0.01 tf (συνορθωμένα & εξωτερικά ομαλοποιημένα σφάλματα παρατηρήσεων) a/ 1 4.781 t v tf α = 0.001 ˆ vˆ t (cc ή cm) t Η παρατήρηση ανιχνεύεται (cc ή cm) ως ύποπτη μέσω της σάρωσης δεδομένων δ 1,5 1.3 0.7 δ 4, -1.93-0.7 δ 1, 9.04 3.1 δ 4,1.77 1.18 δ 1,3 -.14 0.58 δ 4,5-0.84 0.33 δ 1,4-8.13.34 δ 5, -0.64 0. δ,1 4.69 1.05 δ 5,1 0.58 0.18 δ,3 1.84 0.40 δ 5,3 0.44 0.17 δ,4-3.18 0.65 δ 5,4-0.38 0.1 δ,5-3.35 0.71 S 4,1 1.19 5.31 δ 3, -.19 0.61 S 4, -1.3 3.00 δ 3,1 0.48 0.14 S 4,5 0.49 0.85 δ 3,5 1.71 0.51 S 4,3-0.7 0.53

Περίπτωση : μία μόνο παρατήρηση έχει επηρεαστεί από μη-τυχαίο σφάλμα Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) δ 1,5 0.0000 3.0 δ 4, 0.0000.4 δ 1, 55.0318 3.0 δ 4,1 68.1594.4 Τιμή παρατήρησης με πρόσθετο χονδροειδές σφάλμα ίσο με 5 cm (< MDB = 5.6 cm) δ 1,3 364.670 3.0 δ 4,5 319.993.4 δ 1,4 375.5954 3.0 δ 5, 0.0000.3 δ,1 45.4697 3. δ 5,1 48.0936.3 943.793 δ,3 313.130 3. δ 5,3 18.306.3 δ,4 97.8753 3. δ 5,4 75.4601.3 δ,5 34.3444 3. S 4,1 943.743 0.67 δ 3, 0.0000.6 S 4, 3806.704 0.71 δ 3,1 41.8980.6 S 4,5 641.905 0.66 δ 3,5 357.458.6 S 4,3 193.513 0.64

Αποτελέσματα συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις (συνορθωμένα σφάλματα παρατηρήσεων) Λύση με το χονδροειδές σφάλμα Λύση χωρίς το χονδροειδές σφάλμα Λύση με το χονδροειδές σφάλμα Λύση χωρίς το χονδροειδές σφάλμα δ 1,5 1.41 1.61 δ 4, -1.37-0.73 δ 1, 6.05.57 δ 4,1.6.47 δ 1,3-1.47-0.68 δ 4,5-1.5-1.75 δ 1,4-5.99-3.50 δ 5, -0.03 0.71 δ,1 1.15 -.94 δ 5,1-0.3-1.37 δ,3 1.9 1.96 δ 5,3-0.07-0.64 δ,4-0.88 1.80 δ 5,4 0.41 1.30 δ,5 -.19-0.8 S 4,1 0.63-0.0 δ 3, -.19 -.1 S 4, -0.66 0.01 δ 3,1 0.53 0.54 S 4,5 0.9 0.08 δ 3,5 1.66 1.67 S 4,3-0.18-0.08

Αποτελέσματα συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις (στατιστικά στοιχεία) Λύση με το χονδροειδές σφάλμα στην παρατήρηση S 4,1 Βαθμοί ελευθερίας (f) 10 ˆ T v P v A-psterr εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς ( ˆ ) ˆ 14.5715 1.457 Λύση χωρίς το χονδροειδές σφάλμα στην παρατήρηση S 4,1 Βαθμοί ελευθερίας (f) 10 ˆ T v P v A-psterr εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς ( ˆ ) ˆ 7.7518 0.775

Εφαρμογή ολικού ελέγχου (για επίπεδο σημαντικότητας α) α = 0.05, f = 10 α = 0.01, f = 10 Δίπλευρος έλεγχος ˆ 0.35 = 1.457.05 ˆ Μονόπλευρος έλεγχος = 1.457 1.83 Δίπλευρος έλεγχος ˆ 0.16 = 1.457.5 ˆ Μονόπλευρος έλεγχος = 1.457.3 Ο ολικός έλεγχος είναι επιτυχής!

Αποτελέσματα συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις (συνορθωμένα & εξωτερικά ομαλοποιημένα σφάλματα παρατηρήσεων) v ˆ (cc ή cm) t (cc ή cm) δ 1,5 1.41 0.46 δ 4, -1.37 0.76 δ 1, 6.05 3.15 δ 4,1.6 1.80 δ 1,3-1.47 0.59 δ 4,5-1.5 0.76 δ 1,4-5.99.7 δ 5, -0.03 0.01 δ,1 1.15 0.36 δ 5,1-0.3 0.14 δ,3 1.9 0.63 δ 5,3-0.07 0.04 δ,4-0.88 0.6 δ 5,4 0.41 0.19 δ,5 -.19 0.68 S 4,1 0.63.8 δ 3, -.19 0.9 S 4, -0.66.03 δ 3,1 0.53 0. S 4,5 0.9 0.75 δ 3,5 1.66 0.75 S 4,3-0.18 0.51 v ˆ t

Αποτελέσματα συνόρθωσης με a/ ελάχιστες δεσμεύσεις t 1 3.5 α = 0.01 (συνορθωμένα & εξωτερικά ομαλοποιημένα σφάλματα παρατηρήσεων) t v tf α = 0.001 ˆ vˆ t (cc ή cm) t Η παρατήρηση δεν ανιχνεύεται (cc ή cm) ως ύποπτη μέσω της σάρωσης δεδομένων δ 1,5 1.41 0.46 δ 4, -1.37 0.76 δ 1, 6.05 3.15 δ 4,1.6 1.80 Όλες οι παρατηρήσεις περνούν επιτυχώς τη σάρωση δεδομένων τόσο για α = 0.01 όσο και για α = 0.001 tf a/ 1 4.781 δ 1,3-1.47 0.59 δ 4,5-1.5 0.76 δ 1,4-5.99.7 δ 5, -0.03 0.01 δ,1 1.15 0.36 δ 5,1-0.3 0.14 δ,3 1.9 0.63 δ 5,3-0.07 0.04 δ,4-0.88 0.6 δ 5,4 0.41 0.19 δ,5 -.19 0.68 S 4,1 0.63.8 δ 3, -.19 0.9 S 4, -0.66.03 δ 3,1 0.53 0. S 4,5 0.9 0.75 δ 3,5 1.66 0.75 S 4,3-0.18 0.51

Περίπτωση 3: δύο παρατηρήσεις έχουν επηρεαστεί από μη-τυχαία σφάλματα Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) δ 1,5 0.0000 3.0 δ 4, 0.0000.4 δ 1, 55.0318 3.0 δ 4,1 68.1594.4 δ 1,3 364.670 3.0 δ 4,5 319.993.4 55.0518 δ 1,4 375.5954 3.0 δ 5, 0.0000.3 δ,1 45.4697 3. δ 5,1 48.0936.3 3806.794 Τιμές παρατήρησεων με χονδροειδές σφάλμα δ,3 313.130 3. δ 5,3 18.306.3 δ,4 97.8753 3. δ 5,4 75.4601.3 δ,5 34.3444 3. S 4,1 943.743 0.67 δ 3, 0.0000.6 S 4, 3806.704 0.71 δ 3,1 41.8980.6 S 4,5 641.905 0.66 δ 3,5 357.458.6 S 4,3 193.513 0.64

Αποτελέσματα συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις (συνορθωμένα σφάλματα παρατηρήσεων) Λύση με τα χονδροειδή σφάλματα Λύση χωρίς τα χονδροειδή σφάλματα Λύση με τα χονδροειδή σφάλματα Λύση χωρίς τα χονδροειδή σφάλματα δ 1,5-40.6 1.61 δ 4, -9.7-0.73 δ 1, 10.74.57 δ 4,1 3.69.47 δ 1,3-5.47-0.68 δ 4,5 5.58-1.75 δ 1,4-37.01-3.50 δ 5, -8.85 0.71 δ,1-8.9 -.94 δ 5,1 3.30-1.37 δ,3 19.61 1.96 δ 5,3 5.11-0.64 δ,4-7.63 1.80 δ 5,4 0.44 1.30 δ,5 16.94-0.8 S 4,1 5.85-0.0 δ 3, -17.86 -.1 S 4, -5.85 0.01 δ 3,1 16.41 0.54 S 4,5 1.75 0.08 δ 3,5 1.44 1.67 S 4,3-0.89-0.08

Αποτελέσματα συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις (στατιστικά στοιχεία) Λύση με τα χονδροειδή σφάλματα στις δύο παρατηρήσεις Βαθμοί ελευθερίας (f) 10 ˆ T v P v A-psterr εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς ( ˆ ) ˆ 43.7460 4.375 Λύση χωρίς τα χονδροειδή σφάλματα στις δύο παρατηρήσεις Βαθμοί ελευθερίας (f) 10 ˆ T v P v A-psterr εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς ( ˆ ) ˆ 7.7518 0.775

Αποτελέσματα συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις (συνορθωμένα & εξωτερικά ομαλοποιημένα σφάλματα παρατηρήσεων) v ˆ (cc ή cm) t (cc ή cm) δ 1,5-40.6 1.1 δ 4, -9.7 1.40 δ 1, 10.74 3.56 δ 4,1 3.69 1. δ 1,3-5.47 0.84 δ 4,5 5.58 0.7 δ 1,4-37.01 1.06 δ 5, -8.85 0.36 δ,1-8.9 0.75 δ 5,1 3.30 0.1 δ,3 19.61 0.5 δ 5,3 5.11 0.4 δ,4-7.63 0.18 δ 5,4 0.44 0.0 δ,5 16.94 0.4 S 4,1 5.85 1.78 δ 3, -17.86 0.59 S 4, -5.85 1.31 δ 3,1 16.41 0.57 S 4,5 1.75 0.35 δ 3,5 1.44 0.05 S 4,3-0.89 0.0 v ˆ t

Αποτελέσματα συνόρθωσης με a/ t ελάχιστες δεσμεύσεις 1 3.5 α = 0.01 (συνορθωμένα & εξωτερικά ομαλοποιημένα σφάλματα παρατηρήσεων) v ˆ t tf a/ f 1 4.781 v t (cc ή cm) Η t παρατήρηση ανιχνεύεται t (cc ή cm) ως ύποπτη μέσω της σάρωσης δεδομένων δ 1,5-40.6-1.1 δ 4, -9.7-1.40 δ 1, 10.74 3.56 δ 4,1 3.69 1. δ 1,3-5.47 0.84 δ 4,5 5.58 0.7 δ 1,4-37.01 1.06 δ 5, -8.85 0.36 δ,1-8.9 0.75 δ 5,1 3.30 0.1 δ,3 19.61 0.5 δ 5,3 5.11 0.4 δ,4-7.63 0.18 δ 5,4 0.44 0.0 δ,5 16.94 0.4 S 4,1 5.85 1.78 δ 3, -17.86 0.59 S 4, -5.85 1.31 δ 3,1 16.41 0.57 S 4,5 1.75 0.35 δ 3,5 1.44 0.05 S 4,3-0.89 0.0 ˆ α = 0.01 α α = = 0.001

Επανάληψη της συνόρθωσης χωρίς τη συμμετοχή της πιο προβληματικής παρατήρησης Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) δ 1,5 0.0000 3.0 δ 4, 0.0000.4 δ 1, 55.0318 3.0 δ 4,1 68.1594.4 δ 1,3 364.670 3.0 δ 4,5 319.993.4 Τιμή παρατήρησης με χονδροειδές σφάλμα δ 1,4 375.5954 3.0 δ 5, 0.0000.3 δ,1 45.4697 3. δ 5,1 48.0936.3 3806.794 δ,3 313.130 3. δ 5,3 18.306.3 δ,4 97.8753 3. δ 5,4 75.4601.3 δ,5 34.3444 3. S 4,1 943.743 0.67 δ 3, 0.0000.6 S 4, 3806.704 0.71 δ 3,1 41.8980.6 S 4,5 641.905 0.66 δ 3,5 357.458.6 S 4,3 193.513 0.64

Αποτελέσματα συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις (συνορθωμένα σφάλματα παρατηρήσεων) Λύση με το χονδροειδές σφάλμα Λύση χωρίς το χονδροειδές σφάλμα Λύση με το χονδροειδές σφάλμα Λύση χωρίς το χονδροειδές σφάλμα δ 1,5.61 1.61 δ 4, -.30-0.73 δ 1, - - δ 4,1 3.73.47 δ 1,3-0.6-0.68 δ 4,5-1.43-1.75 δ 1,4-1.99-3.50 δ 5, 4.6 0.71 δ,1-11.07 -.94 δ 5,1 -.5-1.37 δ,3 3.68 1.96 δ 5,3-1.46-0.64 δ,4 1.49 1.80 δ 5,4-0.8 1.30 δ,5 5.90-0.8 S 4,1-0.86-0.0 δ 3, -.3 -.1 S 4, 1.46 0.01 δ 3,1-0.03 0.54 S 4,5-0.8 0.08 δ 3,5.6 1.67 S 4,3-0.06-0.08

Αποτελέσματα συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις (στατιστικά στοιχεία) Λύση με το χονδροειδές σφάλμα στην παρατήρηση S 4, Βαθμοί ελευθερίας (f) 9 ˆ T v P v A-psterr εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς ( ˆ ) ˆ 35.807 3.979

Αποτελέσματα συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις (συνορθωμένα & εξωτερικά ομαλοποιημένα σφάλματα παρατηρήσεων) v ˆ (cc ή cm) t (cc ή cm) δ 1,5.61 0.56 δ 4, -.30 0.85 δ 1, - - δ 4,1 3.73 1.61 δ 1,3-0.6 0.15 δ 4,5-1.43 0.5 δ 1,4-1.99 0.43 δ 5, 4.6 1.47 δ,1-11.07 3.18 δ 5,1 -.5 0.70 δ,3 3.68 0.74 δ 5,3-1.46 0.5 δ,4 1.49 0.7 δ 5,4-0.8 0.08 δ,5 5.90 1.18 S 4,1-0.86 3.10 δ 3, -.3 0.56 S 4, 1.46 6.41 δ 3,1-0.03 0.01 S 4,5-0.8 1.39 δ 3,5.6 0.61 S 4,3-0.06 0.11 v ˆ t

Αποτελέσματα συνόρθωσης με a/ ελάχιστες δεσμεύσεις t 1 3.355 α = 0.01 tf (συνορθωμένα & εξωτερικά ομαλοποιημένα σφάλματα παρατηρήσεων) a/ 1 5.041 t v tf α = 0.001 ˆ vˆ t (cc ή cm) t Η παρατήρηση ανιχνεύεται (cc ή cm) ως ύποπτη μέσω της σάρωσης δεδομένων δ 1,5.61 0.56 δ 4, -.30-0.85 δ 1, - - δ 4,1 3.73 1.61 δ 1,3-0.6 0.15 δ 4,5-1.43 0.5 δ 1,4-1.99 0.43 δ 5, 4.6 1.47 δ,1-11.07 3.18 δ 5,1 -.5 0.70 δ,3 3.68 0.74 δ 5,3-1.46 0.5 δ,4 1.49 0.7 δ 5,4-0.8 0.08 δ,5 5.90 1.18 S 4,1-0.86 3.10 δ 3, -.3 0.56 S 4, 1.46 6.41 δ 3,1-0.03 0.01 S 4,5-0.8 1.39 δ 3,5.6 0.61 S 4,3-0.06 0.11

Περίπτωση 4: λανθασμένη επιλογή στοχαστικού μοντέλου για ορισμένες παρατηρήσεις Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) δ 1,5 0.0000 13.0 δ 4, 0.0000 1.4 δ 1, 55.0318 13.0 δ 4,1 68.1594 1.4 δ 1,3 364.670 13.0 δ 4,5 319.993 1.4 δ 1,4 375.5954 13.0 δ 5, 0.0000 1.3 δ,1 45.4697 13. δ 5,1 48.0936 1.3 δ,3 313.130 13. δ 5,3 18.306 1.3 δ,4 97.8753 13. δ 5,4 75.4601 1.3 δ,5 34.3444 13. S 4,1 943.743 0.67 δ 3, 0.0000 1.6 S 4, 3806.704 0.71 δ 3,1 41.8980 1.6 S 4,5 641.905 0.66 δ 3,5 357.458 1.6 S 4,3 193.513 0.64

Αποτελέσματα συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις (συνορθωμένα σφάλματα παρατηρήσεων) Λύση με λανθασμένο στοχαστικό μοντέλο Λύση με ορθό στοχαστικό μοντέλο Λύση με λανθασμένο στοχαστικό μοντέλο Λύση με ορθό στοχαστικό μοντέλο δ 1,5 1.64 1.61 δ 4, -0.91-0.73 δ 1,.44.57 δ 4,1.86.47 δ 1,3-0.93-0.68 δ 4,5-1.95-1.75 δ 1,4-3.15-3.50 δ 5, 0.59 0.71 δ,1 -.79 -.94 δ 5,1-1.13-1.37 δ,3 1.83 1.96 δ 5,3-0.74-0.64 δ,4 1.85 1.80 δ 5,4 1.7 1.30 δ,5-0.88-0.8 S 4,1-0.00-0.0 δ 3, -.3 -.1 S 4, -0.00 0.01 δ 3,1 0.68 0.54 S 4,5 0.00 0.08 δ 3,5 1.64 1.67 S 4,3-0.00-0.08

Αποτελέσματα συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις (στατιστικά στοιχεία) Λύση με το λανθασμένο στοχαστικό μοντέλο Βαθμοί ελευθερίας (f) 10 ˆ T v P v A-psterr εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς ( ˆ ) ˆ Λύση με το ορθό στοχαστικό μοντέλο 0.3654 0.037 Βαθμοί ελευθερίας (f) 10 ˆ T v P v A-psterr εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς ( ˆ ) ˆ 7.7518 0.775

Εφαρμογή ολικού ελέγχου (για επίπεδο σημαντικότητας α) α = 0.05, f = 10 α = 0.01, f = 10 Δίπλευρος έλεγχος ˆ 0.35 = 0.037.05 Μονόπλευρος έλεγχος ˆ 0.394 = 0.037 Δίπλευρος έλεγχος ˆ 0.16 = 0.037.5 Μονόπλευρος έλεγχος ˆ 0.56 = 0.037 Ο ολικός έλεγχος αποτυγχάνει!

Αποτελέσματα συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις (συνορθωμένα & εξωτερικά ομαλοποιημένα σφάλματα παρατηρήσεων) v ˆ (cc ή cm) t (cc ή cm) δ 1,5 1.64 0.81 δ 4, -0.91 0.58 δ 1,.44 1.35 δ 4,1.86.57 δ 1,3-0.93 0.54 δ 4,5-1.95 1.48 δ 1,4-3.15 1.79 δ 5, 0.59 0.3 δ,1 -.79 1.39 δ 5,1-1.13 0.59 δ,3 1.83 0.97 δ 5,3-0.74 0.43 δ,4 1.85 0.86 δ 5,4 1.7 0.67 δ,5-0.88 0.40 S 4,1-0.00 0.05 δ 3, -.3 1.33 S 4, -0.00 0.01 δ 3,1 0.68 0.36 S 4,5 0.00 0.5 δ 3,5 1.64 0.9 S 4,3-0.00 0.9 v ˆ t

Όλες Αποτελέσματα οι παρατηρήσεις συνόρθωσης περνούν με ελάχιστες δεσμεύσεις επιτυχώς τη σάρωση δεδομένων τόσο για α = 0.01 όσο και για α = 0.001 (συνορθωμένα & εξωτερικά ομαλοποιημένα σφάλματα παρατηρήσεων) v ˆ (cc ή cm) t (cc ή cm) δ 1,5 1.64 0.81 δ 4, -0.91 0.58 δ 1,.44 1.35 δ 4,1.86.57 δ 1,3-0.93 0.54 δ 4,5-1.95 1.48 δ 1,4-3.15 1.79 δ 5, 0.59 0.3 δ,1 -.79 1.39 δ 5,1-1.13 0.59 δ,3 1.83 0.97 δ 5,3-0.74 0.43 δ,4 1.85 0.86 δ 5,4 1.7 0.67 δ,5-0.88 0.40 S 4,1-0.00 0.05 δ 3, -.3 1.33 S 4, -0.00 0.01 δ 3,1 0.68 0.36 S 4,5 0.00 0.5 δ 3,5 1.64 0.9 S 4,3-0.00 0.9 v ˆ t

Περίπτωση 5: λανθασμένη επιλογή στοχαστικού μοντέλου για ορισμένες παρατηρήσεις Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) δ 1,5 0.0000 0.13 δ 4, 0.0000 0.13 δ 1, 55.0318 0.13 δ 4,1 68.1594 0.13 δ 1,3 364.670 0.13 δ 4,5 319.993 0.13 δ 1,4 375.5954 0.13 δ 5, 0.0000 0.13 δ,1 45.4697 0.13 δ 5,1 48.0936 0.13 δ,3 313.130 0.13 δ 5,3 18.306 0.13 δ,4 97.8753 0.13 δ 5,4 75.4601 0.13 δ,5 34.3444 0.13 S 4,1 943.743 0.67 δ 3, 0.0000 0.13 S 4, 3806.704 0.71 δ 3,1 41.8980 0.13 S 4,5 641.905 0.66 δ 3,5 357.458 0.13 S 4,3 193.513 0.64

Αποτελέσματα συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις (συνορθωμένα σφάλματα παρατηρήσεων) Λύση με λανθασμένο στοχαστικό μοντέλο Λύση με ορθό στοχαστικό μοντέλο Λύση με λανθασμένο στοχαστικό μοντέλο Λύση με ορθό στοχαστικό μοντέλο δ 1,5 1.68 1.61 δ 4, -1.09-0.73 δ 1,.46.57 δ 4,1.87.47 δ 1,3-0.77-0.68 δ 4,5-1.78-1.75 δ 1,4-3.37-3.50 δ 5, 0.69 0.71 δ,1 -.63 -.94 δ 5,1-0.93-1.37 δ,3 1.84 1.96 δ 5,3-1.13-0.64 δ,4 1.59 1.80 δ 5,4 1.37 1.30 δ,5-0.79-0.8 S 4,1-0.16-0.0 δ 3, -.9 -.1 S 4, 0.08 0.01 δ 3,1 1.0 0.54 S 4,5 0.3 0.08 δ 3,5 1.7 1.67 S 4,3-0.18-0.08

Αποτελέσματα συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις (στατιστικά στοιχεία) Λύση με το λανθασμένο στοχαστικό μοντέλο Βαθμοί ελευθερίας (f) 10 ˆ ˆ T v P v A-psterr εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς ( ˆ ) Λύση με το ορθό στοχαστικό μοντέλο 3503.8435 350.384 Βαθμοί ελευθερίας (f) 10 T vˆ P vˆ 7.7518 A-psterr εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς ( ˆ ) 0.775

Εφαρμογή ολικού ελέγχου (για επίπεδο σημαντικότητας α) α = 0.05, f = 10 α = 0.01, f = 10 Δίπλευρος έλεγχος ˆ 0.35 = 350.384.05 Μονόπλευρος έλεγχος ˆ = 350.384 1.83 Δίπλευρος έλεγχος ˆ 0.16 = 350.384.5 Μονόπλευρος έλεγχος ˆ = 350.384.3 Ο ολικός έλεγχος αποτυγχάνει!

Αποτελέσματα συνόρθωσης με ελάχιστες δεσμεύσεις (συνορθωμένα & εξωτερικά ομαλοποιημένα σφάλματα παρατηρήσεων) v ˆ (cc ή cm) t (cc ή cm) δ 1,5 1.68 0.90 δ 4, -1.09 0.7 δ 1,.46 1.98 δ 4,1.87.79 δ 1,3-0.77 0.5 δ 4,5-1.78 1.45 δ 1,4-3.37.84 δ 5, 0.69 0.44 δ,1 -.63.5 δ 5,1-0.93 0.48 δ,3 1.84 1.05 δ 5,3-1.13 0.86 δ,4 1.59 1.15 δ 5,4 1.37 0.90 δ,5-0.79 0.50 S 4,1-0.16 0.01 δ 3, -.9 1.3 S 4, 0.08 0.01 δ 3,1 1.0 0.66 S 4,5 0.3 0.0 δ 3,5 1.7 0.93 S 4,3-0.18 0.0 v ˆ t

Όλες Αποτελέσματα οι παρατηρήσεις συνόρθωσης περνούν με ελάχιστες δεσμεύσεις επιτυχώς τη σάρωση δεδομένων τόσο για α = 0.01 όσο και για α = 0.001 (συνορθωμένα & εξωτερικά ομαλοποιημένα σφάλματα παρατηρήσεων) v ˆ (cc ή cm) t (cc ή cm) δ 1,5 1.68 0.90 δ 4, -1.09 0.7 δ 1,.46 1.98 δ 4,1.87.79 δ 1,3-0.77 0.5 δ 4,5-1.78 1.45 δ 1,4-3.37.84 δ 5, 0.69 0.44 δ,1 -.63.5 δ 5,1-0.93 0.48 δ,3 1.84 1.05 δ 5,3-1.13 0.86 δ,4 1.59 1.15 δ 5,4 1.37 0.90 δ,5-0.79 0.50 S 4,1-0.16 0.01 δ 3, -.9 1.3 S 4, 0.08 0.01 δ 3,1 1.0 0.66 S 4,5 0.3 0.0 δ 3,5 1.7 0.93 S 4,3-0.18 0.0 v ˆ t

Να θυμάστε ότι... Ένας εύκολος και γρήγορος τρόπος για να διορθώσουμε μια συνόρθωση στην οποία αποτυγχάνει ο ολικός έλεγχος αξιοπιστίας (λόγω χρήσης λανθασμένου στοχαστικού μοντέλου) είναι να την επαναλάβουμε χρησιμοποιώντας νέο πίνακα βάρους: P 1 ˆ P (*) υπό την προυπόθεση ότι οι παρατηρήσεις δεν έχουν χονδροειδή ή άλλα συστηματικά σφάλματα

Περίπτωση 6: μία μόνο παρατήρηση έχει επηρεαστεί από μη-τυχαίο σφάλμα Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) Μέτρηση (grad, m) Ακρίβεια (cc, cm) δ 1,5 0.0000 3.0 δ 4, 0.0000.4 δ 1, 55.0318 3.0 δ 4,1 68.1594.4 Τιμή παρατήρησης με χονδροειδές σφάλμα δ 1,3 364.670 3.0 δ 4,5 319.993.4 δ 1,4 375.5954 3.0 δ 5, 0.0000.3 δ,1 45.4697 3. δ 5,1 48.0936.3 943.836 δ,3 313.130 3. δ 5,3 18.306.3 δ,4 97.8753 3. δ 5,4 75.4601.3 δ,5 34.3444 3. S 4,1 943.743 0.67 δ 3, 0.0000.6 S 4, 3806.704 0.71 δ 3,1 41.8980.6 S 4,5 641.905 0.66 δ 3,5 357.458.6 S 4,3 193.513 0.64

Παραμόρφωση της τελικής λύσης σε περίπτωση που δεν ανιχνευθεί και δεν απομακρυνθεί η προβληματική παρατήρηση Λύση χωρίς το χονδροειδές σφάλμα στην παρατήρηση S 4,1 x 1 6608.45 y 1-14450.071 x 9745.486 y -1847.71 ± 0.05 x 3 500.53 ± 0.030 y 3-9671.318 ± 0.014 x 4 6170.80 ± 0.014 y 4-11539.039 ± 0.007 x 5 7798.914 ± 0.07 y 5-9458.436 ± 0.01 (*) τιμές σε m Λύση με το χονδροειδές σφάλμα στην παρατήρηση S 4,1 6608.45-14450.071 9745.486-1847.65 500.495-9671.54 6170.796-11538.958 7798.909-9458.360 0.000 0.000 0.000-0.060 0.037-0.064 0.006-0.081 0.005-0.076

Έλεγχος ένταξης δικτύου (εφαρμογή του ελέγχου της γενικής υπόθεσης )

Εφαρμογή ελέγχου ένταξης δικτύου Ελέγχεται η στατιστική συμβατότητα μεταξύ δύο διαφορετικών λύσεων συνόρθωσης του ίδιου δικτύου Λύση Ι Εκτίμηση μεταβλητότητας αναφοράς: Βαθμοί ελευθερίας: f ˆ Λύση ΙΙ (περιλαμβάνει τις δεσμεύσεις ορισμού του ΣΑ που έχει η Λύση Ι μαζί με k επιπλέον δεσμεύσεις H' δx = c') Εκτίμηση μεταβλητότητας αναφοράς: Βαθμοί ελευθερίας: f k ˆH

Εφαρμογή ελέγχου ένταξης δικτύου Στο παράδειγμα μας θα συγκρίνουμε τις εξής λύσεις συνόρθωσης του οριζόντιου δικτύου: Λύση Ι Χρησιμοποιούμενες δεσμεύσεις: x 1 0 y1 0 x 0 Λύση ΙΙ Χρησιμοποιούμενες δεσμεύσεις: x 1 0 y1 0 x 0 y 0

Τυπολόγιο ελέγχου ένταξης δικτύου (για επίπεδο σημαντικότητας α) Για την εφαρμογή του ελέγχου ένταξης απαιτείται ο υπολογισμός της στατιστικής ποσότητας F H ˆ ( f k) ˆ f k ˆ και στη συνέχεια ελέγχεται η ανισότητα a F F k, f α = 0.05 k=1, f = 10 F 0.05 1,10 4.96 α = 0.01 k=1, f = 10 0.01 F 1,10 10.04

Λύση Ι Αποτελέσματα συνόρθωσης δικτύου (στατιστικά στοιχεία) Βαθμοί ελευθερίας 10 T vˆ P vˆ A-psterr εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς 7.7518 0.775 Λύση ΙΙ Βαθμοί ελευθερίας 11 ˆ T v P v A-psterr εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς ˆ 7.754 0.705

Λύση Ι Αποτελέσματα συνόρθωσης δικτύου (στατιστικά στοιχεία) Βαθμοί ελευθερίας 10 T vˆ P vˆ A-psterr εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς 7.7518 0.775 Λύση ΙΙ F 0.05 1,10 0.006 F 4.96 Ο έλεγχος ένταξης περνάει! Βαθμοί ελευθερίας 11 ˆ T v P v A-psterr εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς ˆ 7.754 0.705