ΔΙ.ΠΑ.Ε. ΤΜΗΜΑ : ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 9 Μάθημα: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΑΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ 8-9 ΘΕΜΑΤΑ Α : ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ - ΛΥΣΕΙΣ Θέμα Ο αριθμός αδικαιολόγητων απουσιών των εργαζομένων στην εταιρεία Α, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή. Από ένα τυχαίο δείγμα 6 εργαζομένων, υπολογίστηκαν X 6 ημέρες/έτος και s ημέρες/έτος. ( α ) Ποιά η μεταβλητή και ποιός ο πληθυσμός που μελετούμε; ( β ) Να υπολογιστεί και να ερμηνευτεί το 95% δ.ε. για τον μέσο αριθμό αδικαιολόγητων απουσιών των εργαζομένων στην εταιρεία Α. ( γ ) Ο υπεύθυνος προσωπικού ισχυρίζεται ότι ο μέσος αριθμός των αδικαιολόγητων απουσιών είναι μεγαλύτερος από 4, που είναι το ανώτατο όριο για την εύρυθμη λειτουργία της εταιρείας. Χρησιμοποιώντας τον κατάλληλο έλεγχο υπόθεσης ελέγξτε τον ισχυρισμό του υπεύθυνου..5 ( μονάδες) ( α ) Μεταβλητή: Ο αριθμός αδικαιολόγητων απουσιών (σε ημέρες/έτος) Πληθυσμός: Οι εργαζόμενοι στην εταιρεία Α ( β ) X 6, s,.5, 6 3μικρό δείγμα t t t.5 ; ;6.5;5.3 Επομένως, το 95% δ.ε. του μέσου είναι s t 6.3 6.3 6 4 a ; 6.7 4.93, 7.7 Με πιθανότητα σφάλματος.5, εκτιμούμε ότι ο μέσος αριθμός αδικαιολόγητων απουσιών των εργαζομένων στην εταιρεία Α βρίσκεται εντός των ορίων 5 και 7 ημέρες/ έτος. ( γ ) Θα εκτελέσουμε μονόπλευρο έλεγχο υπόθεσης για τη μέση τιμή ενός πληθυσμού. : 4 : 4
X 6 4 8 S 4 s 6 Κριτική Τιμή: t ; t.5;5.753 S 4 4.753 και η απορρίπτεται. Σε επίπεδο σημαντικότητας.5, συμπεραίνουμε ότι ο μέσος αριθμός αδικαιολόγητων απουσιών των εργαζομένων στην Εταιρεία Α, στατιστικά, είναι σημαντικά μεγαλύτερος από 4 ημέρες/έτος. Επομένως, ο ισχυρισμός του υπεύθυνου προσωπικού είναι βάσιμος. Θέμα Μετά από κάποια παράπονα, μία τράπεζα θέλησε να ελέγξει εάν ο μέσος χρόνος αναμονής των πελατών της είναι διαφορετικός ανάμεσα στα υποκαταστήματά της Α και Β. Για το σκοπό αυτό επέλεξε δύο τυχαία δείγματα μεγέθους 4. Για το υποκατάστημα Α υπολογίστηκαν, X 4 mi X 4,5 mi και και s mi s 3 mi. Για το υποκατάστημα Β, υπολογίστηκαν. Σε επίπεδο σημαντικότητας α =.5, εκτελέστε τον κατάλληλο έλεγχο υπόθεσης και διατυπώστε το συμπέρασμα του ελέγχου. (Δίνεται:..3) ( μονάδες) Θα εκτελέσουμε αμφίπλευρο έλεγχο υπόθεσης για τη σύγκριση της μέσης τιμής δύο πληθυσμών. : : S X X 4 4.5.5.5.5 s 3 4..3 s 4 4 4.56 Κριτική Τιμή: Z Z.5 Z.5.96 S.56.56.96 και η ΔΕΝ απορρίπτεται. Σε επίπεδο σημαντικότητας.5, συμπεραίνουμε ότι οι μέσοι χρόνοι αναμονής, στατιστικά, ΔΕΝ είναι σημαντικά διαφορετικοί ανάμεσα στα δύο υποκαταστήματα.
Σχετική Συχνότητα (%) Σχετική Αθροιστική Συχνότητα (%) Θέμα 3 Παρακάτω βλέπετε τα ιστογράμματα των σχετικών (%) και σχετικών αθροιστικών (%) συχνοτήτων καθώς και τα στατιστικά, για την δαπάνη κατανάλωσης νερού των νοικοκυριών (σε / μήνα) 75 5 7 75 7 8 9 5 5 8 5-4 4-8 8 - - 6 Δαπάνη κατανάλωσης νερού(σε /μήνα) - 4 4-8 8 - - 6 (Δαπάνη κατανάλωσης νερού (σε / μήνα) Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοτήτων ( % ) Ιστόγραμμα Σχετικών Αθροιστικών Συχνοτήτων ( % ) Στατιστικά Αριθμητικός Μέσος: X = 43 Συντελεστής ασσυμετρίας: γ =.5 Διάμεσος: M e = 9 Τυπικό σφάλμα: s. e. (γ) =.5 Επικρατούσα τιμή: M o = Συντελεστής κύρτωσης: α =. Διασπορά: s = 698.74 Τυπικό σφάλμα: s. e. (a) =.4 Τυπική απόκλιση: s = 4. Συντελεστής μεταβλητότητας: cv % = 96 ( α ) Ελέγξτε την συμμετρία της Κατανομής και αποφανθείτε για την Κανονικότητά της ( β ) Παρουσιάστε τον Αριθμητικό Μέσο και την Επικρατούσα τιμή, και σχολιάστε τον συντελεστή μεταβλητότητας. ( γ ) Στόχος είναι η δαπάνη κατανάλωσης νερού να μην υπερβαίνει τα 4 / μήνα. Τί θα μπορούσατε να πείτε σχετικά με την επίτευξη του παραπάνω στόχου; Αιτιολογήστε την απάντησή σας ( μονάδες) 3
( α ).5 se.. se...5 θετική ασυμμετρία Η κατανομή της δαπάνης για κατανάλωση νερού των νοικοκυριών, ΔΕΝ φαίνεται να ακολουθεί την Κανονική κατανομή καθώς ΔΕΝ είναι συμμετρική, αφού se.. ( β ) Η μέση δαπάνη κατανάλωσης νερού των νοικοκυριών, εκτιμάται σε 43 / μήνα. Στα περισσότερα νοικοκυριά 7%, η δαπάνη κατανάλωσης νερού εκτιμάται σε / μήνα. Η μεταβλητότητα της δαπάνης κατανάλωσης νερού των νοικοκυριών εμφανίζεται υπερβολικά αυξημένη (cv % = 96 >> ). ( γ ) Από το ιστόγραμμα των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων, εκτιμούμε ότι 7% των νοικοκυριών δαπανούν λιγότερο από 4 /μήνα. Παρατηρούμε επίσης, ότι τα μέτρα κεντρικής τάσης, εκτός του Αριθμητικού Μέσου, έχουν τιμές αρκετά χαμηλότερες από 4 /μήνα. Θα μπορούσαμε επομένως να πούμε, ότι ο στόχος έχει επιτευχθεί. 4
ΔΙ.ΠΑ.Ε. ΤΜΗΜΑ : ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4 Ιουνίου 9 Μάθημα: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΑΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ 8-9 ΘΕΜΑΤΑ Β: ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ - ΛΥΣΕΙΣ Θέμα Ο χρόνος αναμονής στα ταμεία της τράπεζας Α, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή. Από ένα τυχαίο δείγμα 6 ταμείων, υπολογίστηκαν X 6mi και s mi. ( α ) Ποιά η μεταβλητή και ποιός ο πληθυσμός που μελετούμε; ( β ) Να υπολογιστεί και να ερμηνευτεί το 95% δ.ε. για το μέσο χρόνο αναμονής στα ταμεία της τράπεζας Α. ( γ ) Ο Διευθυντής της τράπεζας ισχυρίζεται ότι ο μέσος χρόνος αναμονής είναι μεγαλύτερος από τα 5 mi, που είναι ο στόχος της τράπεζας. Χρησιμοποιώντας τον κατάλληλο έλεγχο υπόθεσης ελέγξτε τον ισχυρισμό του Διευθυντή..5 ( μονάδες) ( α ) Μεταβλητή: Ο χρόνος αναμονής (σε mi) Πληθυσμός: Τα ταμεία της τράπεζας Α ( β ) X 6, s,.5, 6 3μικρό δείγμα t t t.5 ; ;6.5;5.3 Επομένως, το 95% δ.ε. του μέσου είναι s t 6.36.3 6 4 a ; 6.7 4.93, 7.7 Με πιθανότητα σφάλματος.5, εκτιμούμε ότι ο μέσος χρόνος αναμονής στα ταμεία της τράπεζας Α βρίσκεται εντός των ορίων 4.93 και 7.7 mi. ( γ ) Θα εκτελέσουμε μονόπλευρο έλεγχο υπόθεσης για τη μέση τιμή ενός πληθυσμού. : 5 : 5 X 6 5 S s 6 4 Κριτική Τιμή: t ; t.5;5.753
S.753 και η απορρίπτεται. Σε επίπεδο σημαντικότητας.5, συμπεραίνουμε ότι ο μέσος αναμονής στα ταμεία της τράπεζας Α, στατιστικά, είναι σημαντικά μεγαλύτερος από 5 mi. Επομένως, ο ισχυρισμός του Διευθυντή είναι βάσιμος. Θέμα Μετά από σχετικές αναφορές, ο προϊστάμενος μιας υπηρεσίας, θέλησε να ελέγξει εάν ο μέσος αριθμός αδικαιολόγητων απουσιών των υπαλλήλων είναι διαφορετικός ανάμεσα στα τμήματα Α και Β. Για το σκοπό αυτό επέλεξε δύο τυχαία δείγματα μεγέθους 5. Για το τμήμα Α υπολογίστηκαν, 6 ημέρες/έτος Β, υπολογίστηκαν 7 ημέρες/έτος X και s ημέρες/έτος X και s ημέρες/έτος. Για το τμήμα. Σε επίπεδο σημαντικότητας α =.5, εκτελέστε τον κατάλληλο έλεγχο υπόθεσης και διατυπώστε το συμπέρασμα του ελέγχου. (Δίνεται:..3) ( μονάδες) Θα εκτελέσουμε αμφίπλευρο έλεγχο υπόθεσης για τη σύγκριση της μέσης τιμής δύο πληθυσμών. : : S X X 6 7 s 5..3 s 5 5 5 3.3 Κριτική Τιμή: Z Z.5 Z.5.96 S 3.3 3.3.96 και η απορρίπτεται. Σε επίπεδο σημαντικότητας.5, συμπεραίνουμε ο μέσος αριθμός αδικαιολόγητων απουσιών των υπαλλήλων, στατιστικά, είναι σημαντικά διαφορετικός ανάμεσα στα δύο τμήματα της υπηρεσίας.
Σχετική Συχνότητα (%) Σχετική Αθροιστική Συχνότητα (%) Θέμα 3 Παρακάτω βλέπετε τα ιστογράμματα των σχετικών (%) και σχετικών αθροιστικών (%) συχνοτήτων καθώς και τα στατιστικά, για τα κέρδη των εταιρειών κινητής τηλεφωνίας 4 ( / μήνα ) 45 4 9 3 3 75 6 5 5 5 < 5 5-3 3-45 45-6 < 5 5-3 3-45 45-6 Κέρδη ( 4 / μήνα) Κέρδη ( 4 / μήνα) Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοτήτων ( % ) Ιστόγραμμα Σχετικών Αθροιστικών Συχνοτήτων ( % ) Στατιστικά Αριθμητικός Μέσος: X = 9 Συντελεστής ασσυμετρίας: γ =.8 Διάμεσος: M e = 8 Τυπικό σφάλμα: s. e. (γ) =. Επικρατούσα τιμή: M o = Συντελεστής κύρτωσης: α =.5 Διασπορά: s = 9.75 Τυπικό σφάλμα: s. e. (a) =.4 Τυπική απόκλιση: s = 4.3 Συντελεστής μεταβλητότητας: cv % = 5 ( α ) Ελέγξτε την συμμετρία της Κατανομής και αποφανθείτε για την Κανονικότητά της. ( β ) Παρουσιάστε τον Αριθμητικό Μέσο και την Διάμεσο, και σχολιάστε τον συντελεστή μεταβλητότητας. ( γ ) Στόχος των εταιρειών κινητής τηλεφωνίας είναι τα κέρδη να υπερβαίνουν τα 3 4 / μήνα. Τί θα μπορούσατε να πείτε σχετικά με την επίτευξη του παραπάνω στόχου; Αιτιολογήστε την απάντησή σας ( μονάδες) 3
( α ).8 se.. se....4 Θετική ασυμμετρία Η κατανομή των κερδών των εταιρειών κινητής τηλεφωνίας, ΔΕΝ φαίνεται να ακολουθεί την Κανονική κατανομή καθώς ΔΕΝ είναι συμμετρική, αφού se.. ( β ) Τα μέσα κέρδη των εταιρειών κινητής τηλεφωνίας εκτιμώνται σε 9 4 /μήνα. Οι μισές από τις εταιρείες κινητής τηλεφωνίας, εκτιμάται ότι έχουν κέρδη λιγότερα από 8 4 /μήνα. Η μεταβλητότητα των κερδών των εταιρειών κινητής τηλεφωνίας είναι πολύ αυξημένη (cv % = 5 >> ). ( γ ) Από το ιστόγραμμα των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων, εκτιμούμε ότι 6% των εταιρειών κινητής τηλεφωνίας εμφανίζουν κέρδη λιγότερα από 3 4 /μήνα και μόνον το 4% περισσότερα από 3 4 /μήνα. Παρατηρούμε επίσης, ότι τα μέτρα κεντρικής τάσης, εκτός του Αριθμητικού Μέσου, έχουν τιμές χαμηλότερες 3 4 /μήνα. Θα μπορούσαμε επομένως να πούμε, ότι ο στόχος των εταιρειών κινητής τηλεφωνίας δεν έχει επιτευχθεί. 4