ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΩΝ ΑΚΑΜΠΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΚΙΝΗΣΗ ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΩΝ ΑΚΑΜΠΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Βσικές έννοιες: Κινηική κάσση συσήμος - Έργο δυνάμεων - Έργο ροπής - Κινηική, Δυνμική, Μηχνική Ενέργει άκμπου σώμος - Διηρήσιμ Μεγέθη - Συνηρηικές Δυνάμεις - Ορμή άκμπου σώμος - Ώθηση δύνμης Κάθε πληροφορί που φορά σην περιγρφή κι σ χρκηρισικά ης κίνησης ου δισδιάσου άκμπου σώμος Σ, κρύβει σο σύσημ ων διφορικών εξισώσεων 45 κι 46 (κεφάλιο 1, πράγρφος 1.3Β). Οι εξισώσεις υές προέκυψν πό ην εφρμογή ων νόμων ου ewton, σο πλίσιο ου μονέλου ου άκμπου σώμος (κεφάλιο 1, πράγρφος 1.1Β). Από ην επίλυσή ους μπορούμε ν βρούμε ην ροχιά ου κένρου μάζς ου Σ κι η μεβολή ης γωνικής χύηάς ου ω σε συνάρηση με ο χρόνο, εφόσον βέβι μς είνι γνωσές οι εξωερικές δυνάμεις που ενεργούν σο Σ κι η ρχική ου κάσση. Ωσόσο, σε πολλές περιπώσεις εφρμογών είνι πιθνόν ν μη μς ενδιφέρουν όσο οι πρμερικές εξισώσεις ης ροχιάς ων σημείων ου Σ, όσο φυσικά μεγέθη που διηρούνι μεάβλη κά ην κίνηση ου μηχνικού συσήμος. Πώς θ προσδιορίσουμε ποιά φυσικά μεγέθη διηρούνι νλλοίω κά ην κίνηση ου άκμπου σώμος Σ, ή όπως λλιώς λέγονι, «ολοκληρώμ ης κίνησης» ου Σ; Είνι φνερό όι μεγέθη υά θ νδυθούν πό ις διφορικές εξισώσεις που περιγράφουν ην κίνηση ων σωμιδίων ου Σ. Επομένως πρέπει ν ξεκινήσουμε πό υές. Μέσω κάλληλων μεσχημισμών κι ορισμένων πρδοχών, πό ις εξισώσεις κίνησης κλήγουμε ση διύπωση ριών θεωρημάων διήρησης: ης μηχνικής ενέργεις, ης ορμής κι ης σροφορμής άκμπου σώμος ή συσήμος δισδιάσων άκμπων σωμάων που κινούνι σο ίδιο επίπεδο. Σην πρώη ενόη ου κεφλίου 3 διυπώνουμε ο θεώρημ μεβολής ης κινηικής ενέργεις ου άκμπου σώμος ως πόρροι ων εξισώσεων κίνησης. Ση συνέχει, διυπώνουμε ο θεώρημ διήρησης ης μηχνικής ενέργεις κι διερευνούμε κάω πό ποιες συνθήκες ισχύει. Σην επόμενη ενόη 3., διερευνούμε η διήρηση ης ορμής συσήμος λληλεπιδρώνων άκμπων σωμάων κι σην 3.3, η διήρηση ης σροφορμής ους. 3.1 Το θεώρημ μεβολής ης κινηικής ενέργεις άκμπου σώμος - Διήρηση ης μηχνικής ενέργεις άκμπου σώμος (6,8,9,1,13) Θεωρούμε έν δισδιάσο άκμπο σώμ Σ, πάνω σο επίπεδο Οxy δρνεικού συσήμος (Ο,x,y,z), όπως εικονίζει σο σχήμ 3.1. Κάθε πρόση που φορά σην κίνηση ου σώμος Σ, προκύπει με πργωγικούς συλλογισμούς πό ις εξισώσεις ου ewton, που περιγράφουν ην κίνηση ου Σ. Επομένως, γι ν διερευνήσουμε ις προϋποθέσεις κάω πό ις οποίες ορισμέν μεγέθη διηρούνι νλλοίω κά ην κίνηση ου Σ, δεν έχουμε πρά ν ξνγράψουμε ις εξισώσεις ου ewton γι ο δισδιάσο άκμπο σώμ κι ν ις μεσχημίσουμε κάλληλ. Οι κινήσεις ων σωμιδίων ου Σ ως προς ο δρνεικό σύσημ νφοράς (O,x,y,z), περιγράφονι πό ις εξισώσεις (εξισώσεις 1 ης ενόης 1.3): dv m fk F (1) k1 107

Σχήμ 3.1: Το άκμπο σώμ Σ κινείι πάνω σο επίπεδο Oxy ου δρνεικού συσήμος (O,x,y,z). Πάνω σο υχίο -σωμίδιο =1, ου Σ, ενεργεί η εξωερική δύνμη όπου ο δείκης =1, πριθμεί σωμίδι ου Σ. Το σωμιδίου κι m συμβολίζει η μάζ ου - v ην χύηά ου ως προς ο δρνεικό σύσημ νφοράς (O,x,y,z). f k συμβολίζει η δύνμη που δέχει ο -σωμίδιο πό ο k-σωμίδιο ου Σ κι F η συνολική (συνισμένη) εξωερική δύνμη που σκείι σο -σωμίδιο πό ο περιβάλλον ου σώμος Σ. Οι δυνάμεις f k είνι εσωερικές ως προς ο άκμπο σώμ Σ κι ικνοποιούν ον ρίο νόμο ου ewton (πράγρφος 1.1Γ): fk fk fkk 0 Η κίνηση ου Σ προσδιορίζει πό ο περίπλοκο σύσημ ων εξισώσεων 1. Ωσόσο, όπως δείξμε σην ενόη 1.3, ξιοποιώνς ις ιδιόηες κι χρκηρισικά ου μονέλου ου άκμπου σώμος, οι εξισώσεις υές μπορούν ν μεσχημισούν σε έν σύσημ δύο διφορικών εξισώσεων που ρκούν γι ν περιγράψουν σε κάθε περίπωση ην κίνηση ου δισδιάσου άκμπου σώμος Σ (εξισώσεις 45 κι 46, ενόη 1.3). Η πρώη, προσδιορίζει ην κίνηση ου κένρου μάζς Κ ου Σ: dv 1 F M 1. Οι δυνάμεις βρίσκονι πάνω σο επίπεδο Oxy. Η σροφορμή ου Σ κι η ροπή ων εξωερικών δυνάμεων ως προς ο κένρο μάζς ου Κ, κθώς κι η γωνική χύη ου Σ, είνι δινύσμ πράλληλ με ον άξον Oz. Έχουν διευθύνσεις κάθεες σο επίπεδο Oxy. () 108

όπου V συμβολίζει ην χύη ου κένρου μάζς Κ ου σώμος Σ ως προς ο δρνεικό σύσημ (O,x,y,z) (σχήμ 3.1). Η θέση O R ου κένρου μάζς ως προς ο (O,x,y,z) ορίζει πό η σχέση: 1 R m r () M 1 Με ο Μ συμβολίζουμε η συνολική μάζ ου Σ: M m Η χύη Το άθροισμ V κι η θέση 1 F 1 R ου κένρου μάζς, συνδέονι με η σχέση: V dr (β) σο δεξί μέρος ης πρισάνει η συνισμένη ων εξωερικών δυνάμεων που ενεργούν σο Σ. F, =1, συμβολίζει ην ολική εξωερική δύνμη που ενεργεί σο -σωμίδιο ου Σ (σχήμ 3.1). Δεδομένου όι η κίνηση ου Σ πργμοποιείι σο επίπεδο Oxy ου δρνεικού συσήμος (O,x,y,z), η νλύει σε δύο βθμωές εξισώσεις, ως προς ους άξονες Ox κι Oy, νίσοιχ. Η ρίη εξίσωση που πιείι γι ην πλήρη περιγρφή ης κίνησης ου Σ, φορά σην περισροφή ου ως προς ο δρνεικό σύσημ (O,x,y,z). Τη γράφουμε με η δινυσμική ης μορφή, ν κι νλύει σε μι μόνο βθμωή εξίσωση, φού κι δύο μέρη ης είνι δινύσμ κάθε σο επίπεδο Oxy, πράλληλ με ον άξον Oz: dj (O) (3) Τ δινύσμ J (O) κι (Ο) πρισάνουν, νίσοιχ, η σροφορμή ου Σ κι η συνολική ροπή ων εξωερικών δυνάμεων, ως προς ο δρνεικό σύσημ (O,x,y,z). Τ μεγέθη J (O) κι (Ο) ορίζονι πό ις σχέσεις: (Ο) J (m r v ) (3) (O) 1 (r F ) (3β) (Ο) 1 Σην πράγρφο 1.3Β (σχέση 9) έχουμε δείξει όι ο ρυθμός μεβολής ης σροφορμής J (O) μπορεί ν εκφρσεί με η σχέση: dj (O) dω O F I (3γ) 1 όπου Κ ο κένρο μάζς ου Σ, ω η γωνική χύη ου Σ ως προς ο δρνεικό σύσημ (O,x,y,z) (Ένθεο 1.3.) κι Ι Κ η ροπή δράνεις ου Σ ως προς άξον κάθεο σο επίπεδό ου, διερχόμενο πό ο κένρο μάζς ου Κ: 109

1 I m r (3δ) Σην πράγρφο 1.3Β δείξμε όι πό ο συνδυσμό ων σχέσεων 3-3γ κι ις ιδιόηες ου δισδιάσου άκμπου σώμος, προκύπουν οι εξισώσεις 1.3.35-35, που είνι μι μερική περίπωση ης γενικής εξίσωσης 3, λλά ισχύουν πάνοε γι ην επίπεδη κίνηση ων δισδιάσων άκμπων σωμάων, που μελεάμε: όπου: I dω (Κ) (3ε) (r F ) (3ζ) () 1 είνι η ροπή ων εξωερικών δυνάμεων που ενεργούν σο Σ, ως προς σύσημ ξόνων σερεωμένο σο Σ, που έχει ρχή ο κένρο μάζς ου Κ (σιγμιί δρνεικό σύσημ νφοράς με ρχή ο Κ - Ένθεο 1.3.3). Οι εξισώσεις κι 3ε, περιγράφουν πλήρως ην κίνηση ου δισδιάσου σώμος Σ, σο επίπεδο Oxy ου δρνεικού συσήμος (O,x,y,z). Ένθεο 3.1.1 Έργο δύνμης - Δυνμική ενέργει Έσω δύνμη F κι Μ ο σημείο εφρμογής ης. Αν ο Μ μεοπισεί πειροσά κά dr, όε ως πειροσό έργο ης F ορίζει ο εσωερικό γινόμενο: δw F dr () Πρηρούμε όι γι ορισμένη θέση ου Μ, ο έργο δw ης F είνι γρμμική συνάρηση ης σοιχειώδους μεόπισης dr. Λέμε όι ο σοιχειώδες έργο είνι μι διφορική μορφή, ως προς ο dr. [Πρέπει ν σημειωθεί όι πό ον ορισμό (), δεν προκύπει κ νάγκη όι υπάρχει κάποι συνάρηση W, ης οποίς ο διφορικό είνι ίσο με διφορική μορφή F dr. Όπως θ δούμε ση συνέχει, υό συμβίνει μόνο σε ειδικές περιπώσεις. Γι υό, χρησιμοποιούμε ο σύμβολο δw γι ο πειροσό έργο, νί ου dw που πρπέμπει σε διφορικό συνάρησης] Αν ο Μ μεοπισεί κά μήκος μις κμπύλης γ, πό μι ρχική θέση Α σε μι άλλη Β, ο έργο ης δύνμης F κά η μεόπιση υή, υπολογίζει πό ο επικμπύλιο ολοκλήρωμ: Β W AB F dr (β) Το έργο WA B ης F εξράι όσο πό η συνρησική έκφρση ης F, όσο κι πό η διδρομή (κμπύλη γ) που κολουθεί ο σημείο εφρμογής Μ ης F. Το έργο WA B είνι νεξάρηο ης διδρομής γ ου Μ όε κι μόνο ν υπάρχει συνάρηση ης θέσης U, έοι ώσε η διφορική μορφή F dr ν ισούι με ο διφορικό ης U σε κάθε θέση: du A γ F dr Η συνάρηση U ορίζει ως δυνμική ενέργει που σχείζει με η δύνμη F. Οι δυνάμεις γι ις οποίες μπορεί ν ορισεί δυνμική ενέργει, ονομάζονι συνηρηικές. 3.1Α Από ο ο νόμο ου ewton, σο θεώρημ μεβολής ης κινηικής ενέργεις ου άκμπου σώμος Ξεκινάμε με ις εξισώσεις 1, που περιγράφουν ην κίνηση κάθε -σωμιδίου =1, ου άκμπου σώμος Σ, ως προς ο δρνεικό σύσημ (O,x,y,z) κι ις μεσχημίζουμε επιχειρώνς -όπως κάνμε κι σην ενόη 1.3- ν εξλείψουμε ις 110

άγνωσες εσωερικές δυνάμεις λληλεπίδρσης f n δυνάμεις f n,,n=1,. Σκεφόμσε όι οι είνι δυνάμεις «συνδέσμων», δηλδή δυνάμεις που προσδιορίζουν ους περιορισμούς ης κίνησης ων σωμιδίων ου άκμπου σώμος. Οι f n είνι νάλογες, γι πράδειγμ, με ις δυνάμεις που σκούνι σε έν σωμίδιο εξνγκσμένο ν κινείι πάνω σε μι σφιρική επιφάνει. Το κοινό χρκηρισικό ων δυνάμεων «συνδέσμων» είνι όι ο έργο ους σε μι «δυνή μεόπιση» ου συσήμος (δηλδή μεόπιση που επιρέπει πό ους συνδέσμους) είνι ίσο με ο μηδέν (6,8). Με υήν ην ιδέ κά νου, ποδεικνύουμε ην κόλουθη πρόση: Πρόση 3.1.1 Έσω όι κά ην κίνηση ου άκμπου σώμος Σ, ως προς ο δρνεικό σύσημ (O,x,y,z), σο χρονικό διάσημ [t, t+] σωμίδι ου Σ μεοπίζονι κά dr, =1,. Τόε ισχύει η σχέση: Απόδειξη Σην πράγρφο 1.Α έχουμε εκφράσει ην χύη fn dr 0 (4) n,1 v ου -σωμιδίου ου Σ ως προς δρνεικό σύσημ νφοράς (O,x,y,z), σε συνάρηση με η γωνική χύη ω ου Σ. Σύμφων με ην εξίσωση 1..19, ισχύει: dr v ω r (5) όπου r συμβολίζει η θέση ου -σωμιδίου ως προς σύσημ ξόνων (,x,y,z ) σερεωμένο σο Σ κι R ο διάνυσμ θέσης ης ρχής Κ ου (,x,y,z ) ως προς ο Σχήμ 3.1β: Το άκμπο σώμ Σ κινείι πάνω σο επίπεδο Oxy ου δρνεικού συσήμος (O,x,y,z). Το σύσημ ξόνων (Κ,x,y,z ) είνι σερεωμένο σο Σ. Η ρχή ου Κ, είνι ο κένρο μάζς ου Σ κι ο άξονς Κz διηρείι πράλληλος με ον Oz. Τη χρονική σιγμή t, η θέση ου -σωμιδίου ου Σ, ως προς ο (Κ,x,y,z ) προσδιορίζει πό ο διάνυσμ, είνι μονδιί δινύσμ ων ξόνων Κx κι y νίσοιχ. Την ίδι χρονική σιγμή, οι άξονες Κx, Ox κι y, Oy σχημίζουν γωνί θ. 111

δρνεικό σύσημ (O,x,y,z) (σχήμ 3.1β). Δεδομένου όι η χύη dr (Ο,x,y,z), είνι v σωμίδιο μεοπίζει ως προς ο (O,x,y,z) κά v ου -σωμιδίου ου Σ, ως προς ο δρνεικό σύσημ, πό ην 5 βρίσκουμε όι σο χρονικό διάσημ [t, t+] ο - dr : dr dr ω r (5β) όπου dr πρισάνει η μεόπιση ου κένρου μάζς Κ ου Σ ως προς ο (Ο,x,y,z), σο χρονικό διάσημ [t, t+] κι ω ω ˆz είνι η γωνική χύη ου Σ η χρονική σιγμή t. Γι ν διχειρισούμε ο ρισερό σκέλος ης προς πόδειξη σχέσης 4, χρειάζει ν θυμηθούμε κι μερικές ιδιόηες ων δυνάμεων λληλεπίδρσης. Σην πρόση 1.1.1 ου κεφλίου 1 έχουν ποδειχθεί οι σχέσεις: fn 0 (6),n1 Το ρισερό μέλος ης ποδεικές σχέσης γράφει: fn r 0 (6β),n1 n n n,1 n,1 f dr f dr ω r fn dr ω fn r 0 n,1 n,1 όπου έχουμε κάνει χρήση ων ιδιοήων ου εξωερικού γινομένου (Ένθεο 1 ου κεφλίου 1). Με δεδομένη η σχέση 4, μπορούμε ν μεσχημίσουμε ις εξισώσεις 1 ου ewton, ως εξής: ) Πολλπλσιάζουμε εσωερικά δύο μέρη ης 1 με η μεόπιση dr ου - σωμιδίου σο χρονικό διάσημ [t, t+] κι θροίζουμε ως προς ο σύνολο ων σωμιδίων ου άκμπου σώμος Σ (δηλδή ως προς ο δείκη =1, ): dv m dr fk dr F dr 1 (7) k,1 1 β) Σύμφων με ην 4, ο πρώος όρος ου δεξιού σκέλους ης 7 μηδενίζει. Ο δεύερος όρος είνι, εξ ορισμού, ο άθροισμ ων έργων ων εξωερικών δυνάμεων που ενεργούν σο Σ, κά ην μεόπισή ου σο πειροσό διάσημ [t, t+]. Συμβολίζουμε: δw δw F dr (8) εξ 1 1 Η μεόπιση ου -σωμιδίου ου Σ, σε συνάρηση με ην χύηά ου, γράφει: dr v οπόε, η 7 λμβάνει η μορφή: 11

Ένθεο 3.1. Η έννοι ης «κάσσης» ενός συσήμος Σο Ένθεο.1.1 ορίσμε ην έννοι ης «κινηικής κάσσης» ή πλά «κάσσης» ενός άκμπου σώμος. Με ην έννοι ης «κάσσης» ενός σώμος ή συσήμος, εννοούμε η μέγιση δυνή πληροφορί που μπορούμε ν έχουμε γι ο σύσημ υό, σο πλίσιο ου μονέλου με ο οποίο ο περιγράφουμε (πράγρφος 1.1Β). Η κάσση ενός σώμος -συσήμος, γενικά, μεβάλλει με ο χρόνο κι υόχρον, προσδιορίζει μονοσήμν κάθε χρονική σιγμή. Θ χρησιμοποιούμε γράμμ γι ν συμβολίζουμε ις διφορεικές κσάσεις ενός συσήμος κι δείκες γι ις νίσοιχες χρονικές σιγμές. Γι πράδειγμ θ λέμε όι η χρονική σιγμή t ο σώμ Σ βρίσκει σην κάσση, ενώ η χρονική σιγμή t β σην κάσση β. m v dv δwεξ (9) 1 ή, ισοδύνμ: 1 d m v δwεξ 1 (10) Ολοκληρώνουμε η 10 πό μι ρχική χρονική σιγμή t μέχρι μι -οποιδήποεμεγενέσερη t κι λμβάνουμε η σχέση: εξ εξ (11) T T W δw όπου: 1 Τ m v 1 (1) Το φυσικό μέγεθος Τ ορίζει ως η κινηική ενέργει ου σώμος Σ. Όπως φίνει πό ον ορισμό ης, η κινηική ενέργει ισούι με ο άθροισμ ων κινηικών ενεργειών ων σωμιδίων ου Σ. Είνι μι συνάρηση ων χυήων ων σωμιδίων ου Σ -εξράι πό ην «κινηική κάσση» ου Σ (Ένθεο 3.1.). Το δεξί μέρος ης 3.11 συμβολίζει ο έργο όλων ων εξωερικών δυνάμεων που ενεργούν σο Σ, κά ην κίνησή ου πό ην κάσση, σην οποί βρίσκει η χρονική σιγμή t, έως ην κάσση, σην οποί βρίσκει η χρονική σιγμή t. Επισημίνει όι έργο ων εξωερικών δυνάμεων, σο δεξί μέρος ης 11, εξράι πό η διδρομή που κολούθησε ο σύσημ γι ν μεβεί πό ην κάσση σην. Είνι νεξάρηο ης διδρομής, όν οι δυνάμεις είνι συνηρηικές (Ένθεο 3.1.1). Η σχέση 11 είνι γνωσή ως ο θεώρημ μεβολής ης κινηικής ενέργεις. Δηλώνει όι η μεβολή ης κινηικής ενέργεις ενός άκμπου σώμος πό μι κάσση σε μι μεγενέσερη, ισούι με ο συνολικό έργο ων εξωερικών δυνάμεων, που ενεργούν σο Σ, κά ην κίνησή ου πό ην κάσση σην. 3.1Β Υπολογισμός ης κινηικής ενέργεις ου δισδιάσου άκμπου σώμος Ο υπολογισμός ης κινηικής ενέργεις ου άκμπου σώμος Σ πό ον ορισμό ης (σχέση 1), φίνει δύσκολος διόι προϋποθέει η γνώση ων χυήων όλων ων σωμιδίων ου Σ. Θ δείξουμε όι η κινηική ενέργει ου δισδιάσου άκμπου σώμος Σ, ως προς ο δρνεικό σύσημ νφοράς (O,x,y,z), είνι μι συνάρηση ης χύης V ου κένρου μάζς ου Σ κι ης γωνικής χύηάς ου ω. Θεωρούμε ο σερεωμένο σο Σ σύσημ ξόνων (,x,y,z ), όπου Κ ο κένρο μάζς ου Σ, κι μεσχημίζουμε η σχέση 1, μέσω ης οποίς ορίζει η κινηική ενέργει ου Σ (σχήμ 3.1γ). 113

Σχήμ 3.1γ: Το Σ κινείι με ο επίπεδό ου ν υίζει με ο επίπεδο (Ο,x,y) ου δρνεικού συσήμος (O,x,y,z). Το διάνυσμ ης γωνικής χύης είνι κάθεο σο επίπεδο (Ο,x,y) (πράγρφος 1.3Α). Το εσωερικό γινόμενο ου με οποιοδήποε διάνυσμ ου επιπέδου (Ο,x,y) είνι ίσο με ο μηδέν. Η χύη v ου -σωμιδίου ου Σ εκφράζει συνρήσει ου ης σχέση 5. Ανικθισούμε όπου Ο όρος 1 1 V κι ης ω, μέσω v ση 1. Προκύπουν διδοχικά οι ισόηες: 1 1 T m v m v v 1 1 1 m V ω r V ω r 1 1 M V V ω m r m ω r ω r 1 1 M m είνι η μάζ ου σώμος Σ. m r προσδιορίζει η θέση ου κένρου μάζς ως προς ο σύσημ 1 (Κ,x,y,z ), που έχει ρχή ο κένρο μάζς Κ ου Σ, επομένως είνι ίσος με ο μηδέν (Ένθεο 4, σο έλος ου κεφλίου 1, πρόση ). Γι ον υπολογισμό ου ελευίου όρου, χρησιμοποιούμε ις ιδιόηες ου εξωερικού γινομένου, που νφέρονι σ Ένθε 1 κι 4, σο έλος ου ου κεφλίου 1 κι έχουμε: ω r ω r ω r ω r (13) ω r ω r ω r Σην περίπωση ης επίπεδης κίνησης ου δισδιάσου άκμπου σώμος που μελεάμε, η γωνική χύη ου σώμος είνι κάθεη σο επίπεδό ου (σχήμ 3.1γ). Επομένως ο εσωερικό γινόμενο r ω, ση 13, μηδενίζει κι η κινηική ενέργει λμβάνει η μορφή: 114

Η ποσόη 1 m r 1 1 T M V ω m r (14) 1, που εμφνίζει σο δεύερο μέρος ης 14, είνι η ροπή δράνεις ου Σ ως προς ον άξον Κz, που διέρχει πό ο κένρο μάζς ου Κ κι είνι κάθεος σο επίπεδο ου Σ. Όπως έχουμε δει η ροπή δράνεις Ι Κ εξράι ποκλεισικά πό η γεωμερική μορφή ου Σ κι πό ον ρόπο κνομής ης μάζς σο χώρο που κλμβάνει ο σώμ. Η σχέση 14 λμβάνει ελικά η μορφή: 1 1 T M V I ω (15) όπου 1 I m r (16) Πρηρούμε όι η κινηική ενέργει κάθε επίπεδου άκμπου σώμος Σ, που κινείι διηρώνς ο επίπεδό ου σθερό, είνι έν άθροισμ δύο δικριών όρων: 1 Ο όρος T M V φορά ην κινηική ενέργει ου Σ λόγω ης μεφορικής 1 κίνησης ου κένρου μάζς ου Κ. Ο όρος Tπερισροφής I ω εκφράζει ην κινηική ενέργει λόγω ης περισροφής ου Σ γύρω πό άξον που διέρχει πό ο κένρο μάζς ου Κ κι είνι κάθεος σο επίπεδο ου Σ. 3.1Γ Εκφράσεις ου θεωρήμος μεβολής ης κινηικής ενέργεις ου άκμπου σώμος Σύμφων με ην έκφρση 15 γι ην κινηική ενέργει ου Σ, ο θεώρημ ης μεβολής ης κινηικής ενέργεις, (εξίσωση 11), λμβάνει ην κόλουθη μορφή, που είνι ιδιίερ χρήσιμη σις εφρμογές: Έσω όι κι συμβολίζουν δύο κσάσεις ου σώμος Σ (η είνι μεγενέσερη ης ), όε ικνοποιείι η εξίσωση: 1 1 1 1 εξ M V I ω M V I ω W (17) Πρηρούμε όι οι όροι που φορούν σην κινηική ενέργει λόγω ης μεφορικής κίνησης ου κένρου μάζς, διχωρίζονι σφώς πό εκείνους που φορούν ση σροφική κίνηση. Είνι νμενόμενο ν μς γεννηθεί η υποψί όι ενδεχομένως η εξίσωση 17 μπορεί ν προκύπει πό δύο νεξάρηες εξισώσεις: Μι που θ νφέρει ση μεβολή ου όρου ης κινηικής ενέργεις λόγω μεφοράς κι μι άλλη, ση μεβολή ου όρου ης κινηικής ενέργεις λόγω περισροφής. Γι ν ελέγξουμε ην υποψί μς, ξεκινάμε πό ις σχέσεις που έχουμε ήδη ποδείξει κι μέσ πό μι σειρά μεσχημισμών κι λογικών συνεπγωγών επιδιώκουμε ν κλήξουμε σε κάποι πρόση που θ επιβεβιώνει είε θ διψεύδει ην ρχική μς υπόθεση: Γι δύο πειροσά γειονικές κσάσεις ου Σ, ο θεώρημ μεβολής ης κινηικής ενέργεις, γράφει: dt F dr (18) ή: 1 115

1 1 d M V I ω F dr (18β) 1 Σο δεξί μέλος ης 18β, οι μεοπίσεις dr ων σωμιδίων, υπολογίζονι πό η θεμελιώδη σχέση 5β (σχήμ 3.1γ): dr dr ω r Σο ρισερό μέλος ης 18β κάνουμε χρήση ων ιδιοήων ου διφορικού ελεσή d κι ων ιδιοήων ου εξωερικού γινομένου, οπόε προκύπει η σχέση: 1 M V dv d I ω F dr ω r F (18γ) 1 1 Σύμφων με ην εξίσωση, που περιγράφει ην κίνηση ου κένρου μάζς Κ ου Σ, έχουμε: dv 1 F M 1 Πολλπλσιάζονς εσωερικά κι δύο μέλη με dr V βρίσκουμε: Μ V dv V F dr F 1 1 V κι χρησιμοποιώνς η σχέση (19) οπόε, ο πρώος όρος ου ρισερού μέρους κι ο πρώος όρος ου δεξιού ης 18γ πλείφονι. Σον ελευίο όρο ου δεξιού μέρους ης 18γ έχει εμφνισεί η ροπή ων εξωερικών δυνάμεων που ενεργούν σο Σ, ως προς ο σερεωμένο σο Σ σιγμιί δρνεικό σύσημ ξόνων (,x,y,z ) που έχει ρχή ο κένρο μάζς Κ ου Σ: (r F ) () 1 Τελικά, πό ην 18γ κι ην 19, προκύπει η σχέση 1 : 1 d I ω ω Κ (0) Οι εξωερικές δυνάμεις, σην περίπωση ων κινήσεων ων δισδιάσων σωμάων που εξεάζουμε, βρίσκονι επί ου επιπέδου ου σώμος. Επομένως, η ροπή ους, είνι πράλληλη με ον άξον z (σχήμ 3.1) κι με η γωνική χύη ω κι η σχέση 0 λμβάνει ην πλούσερη μορφή: 1 d I ω ω Κ (0β) ή: 1 d I ω Κ dθ (0γ) όπου dθ=ω η γωνί περισροφής ου Σ, σε χρόνο, ως προς ο δρνεικό σύσημ νφοράς (O,x,y,z), ως προς ο οποίο μελεάμε ην κίνηση ου Σ. Κ 1 Μπορείε ν ποδείξεε πευθείς ην εξίσωση 0, ξεκινώνς πό ην εξίσωση κίνησης dω I που περιγράφει ην περισροφή ου δισδιάσου σώμος Σ. (Κ) 116

Οι εξισώσεις 0,β,γ εκφράζουν ο θεώρημ ης μεβολής ης κινηικής ενέργεις λόγω ης περισροφής ου Σ. Το μέρος ου έργου ων εξωερικών δυνάμεων που είνι υπεύθυνο γι η μεβολή ης κινηικής ενέργεις λόγω ης περισροφής, οφείλει ποκλεισικά ση ροπή ους Κ. Το έργο υό θ ο ονομάζουμε «έργο ροπής». Γι πειροσή περισροφή ου σώμος, ο έργο ροπής δw περισρ, είνι μι διφορική μορφή κι ορίζει πό η σχέση: δw dθ (1) περισρ Κ όπου Κ ο άθροισμ ων ροπών ων εξωερικών δυνάμεων, που ενεργούν σο Σ, ως προς σύσημ ξόνων σερεωμένο σο Σ, που έχει ρχή ο κένρο μάζς ου Κ (σιγμιί δρνεικό σύσημ νφοράς). Γι δύο υχίες κσάσεις ου Σ κι, η μεβολή ης κινηικής ου ενέργεις λόγω περισροφής βρίσκει με ολοκλήρωση ης 0γ: 1 1 I ω I ω δwπερισρ Κ dθ () Με πρόμοιο ρόπο, μπορούμε ν διυπώσουμε νάλογες εξισώσεις που φορούν ση μεβολή ης κινηικής ενέργεις ου Σ λόγω ης μεφορικής κίνησης ου κένρου μάζς ου. Από ην εξίσωση κίνησης ου κένρου μάζς (19), προκύπει η σχέση: 1 d M V F dr (3) 1 κι ολοκληρώνονάς η μεξύ ων κσάσεων κι ου Σ, βρίσκουμε: 1 1 M V M V F dr (3β) Η 3β θυμίζει ο θεώρημ μεβολής ης κινηικής ενέργεις σωμιδίου, με μάζ ίση με η μάζ ου σώμος Σ, οποθεημένου σο κένρο μάζς Κ ου Σ πάνω σο οποίο ενεργεί η συνισμένη F όλων ων εξωερικών δυνάμεων που δρουν σο Σ. Συμπεράσμ: 1. Από ις γενικές εξισώσεις κίνησης ου άκμπου σώμος Σ σο επίπεδο, πρήχθησν δύο νεξάρηες εξισώσεις που φορούν ση μεβολή ης κινηικής ενέργεις ου Σ: ) Γι ην περισροφική κίνηση ου Σ η εξίσωση, που νισοιχεί σην εξίσωση I κίνησης dω (Κ). β) Γι η μεφορική κίνηση ου κένρου μάζς ου Σ η εξίσωση 3β, που νισοιχεί σην εξίσωση κίνησης dv 1 F M 1.. Το θεώρημ μεβολής ης συνολικής κινηικής ενέργεις ου Σ προκύπει πό ο συνδυσμό ων δύο νεξάρηων εξισώσεων κι 3β. Αθροίζονάς ις κά μέλη, βρίσκουμε η σχέση: Κ T Τ F dr dθ (4) 117

Ωσόσο, σύμφων με ην εξίσωση 11, ο δεξί μέρος ης 4 ισούι με ο συνολικό έργο ων εξωερικών δυνάμεων που ενεργούν σο Σ, πό ην ρχική κάσση έως ην ελική : εξ W F dr Κ dθ (4β) Συμπερίνουμε όι ο ολικό έργο ων εξωερικών δυνάμεων νλύει σε δύο όρους: Ο πρώος ισούι με ο έργο ης συνισμένης ων δυνάμεων που ενεργούν σο Σ, θεωρώνς όι ο σημείο εφρμογής ης υίζει με ο κένρο μάζς ου Σ. Ο δεύερος φορά σην περισροφή ου σώμος κι ισούι με ο έργο ης συνολικής ροπής ων εξωερικών δυνάμεων, ως προς σύσημ ξόνων σερεωμένο σο Σ (σιγμιί δρνεικό σύσημ νφοράς) που έχει ρχή ο κένρο μάζς ου Κ. 3. Το θεώρημ μεβολής ης κινηικής ενέργεις γι πειροσή μεόπιση ου δισδιάσου άκμπου σώμος Σ, εκφράζει με ις κόλουθες ρεις εξισώσεις, εκ ων οποίων δύο μόνο είνι νεξάρηες μεξύ ους (η ρίη προκύπει πό ην άθροιση κά μέλη ων δύο άλλων): 1 d M V F dr (5) 1 1 d I ω Κ dθ (5β) 1 1 d M V I ω F dr (5γ) 1 Το έργο ων εξωερικών δυνάμεων που ενεργούν σο Σ, κά ην πειροσή μεόπισή ου, νλύει σο άθροισμ ων όρων που εμφνίζονι σ δεξιά μέρη ων 5 κι β: F dr F dr Κ dθ (5δ) 1 1 3.1Δ Το θεώρημ διήρησης ης μηχνικής ενέργεις άκμπου σώμος Σο Ένθεο 3.1.1, είδμε όι ν ο έργο μις δύνμης F(r) εξράι μόνο πό ην ρχική κι ελική θέση ου σημείου εφρμογής ης κι όχι πό η διδρομή που συνδέει δύο σημεί, όε είνι δυνό ν ορισεί συνάρηση ης θέσης U(r), ης οποίς η μεβολή είνι ίση με ο έργο ης δύνμης: du(r) δw F(r) dr (6) Σην περίπωση υή, η δύνμη ονομάζει συνηρηική κι η συνάρηση U(r) δυνμική ενέργει ου Σ, ως προς η δύνμη F(r). Σχεικά με ον ορισμό ης δυνμικής ενέργεις U(r), μέσω ης σχέσης 6, πρέπει ν κάνουμε δύο επισημάνσεις: ) Το πρόσημο «-» δεν έχει πρά συμβικό χρκήρ. β) Η συνάρηση U(r) δεν ορίζει μονοσήμν μέσω ης 6. Είνι φνερό όι οι συνρήσεις U(r) κι U(r) C, όπου C σθερά -νεξάρηη ης θέσης r - ικνοποιούν ην 6. Ώσε γι ν ορίσουμε μονοσήμν η δυνμική ενέργει, χρειάζει ν επιλέξουμε (υθίρε) κάποιο σημείο ου χώρου όπου η ιμή ης είνι ίση με ο μηδέν (ή κάποιος άλλος υθίρεος ριθμός). Γι πράδειγμ, σην περίπωση ων κενρικών δυνάμεων, όπου ο μέρο ης δύνμης είνι νισρόφως νάλογο με ο εράγωνο ης 118

πόσσης πό ο κένρο έλξης ή άπωσης, ο μηδενισμός ης δυνμικής ενέργεις επιλέγει σο άπειρο. Υποθέουμε όι όλες οι εξωερικές δυνάμεις F, =1,, που ενεργούν πάνω σο άκμπο σώμ Σ είνι συνηρηικές. Τόε, υπάρχει μι συνάρηση δυνμικής ενέργεις U(r), έοι ώσε γι κάθε πειροσή μεόπιση ου Σ, ισχύει: du(r ) F(r ) dr =1, Σην περίπωση υή, ο θεώρημ μεβολής ης κινηικής ενέργεις (σχέση 5γ), γράφει: 1 1 d M V I ω d U(r ) 1 ή: 1 1 d M V I ω U(r ) 0 (7) 1 Από η σχέση 7 συμπερίνουμε όι η μεβολή ης ποσόης: 1 1 EM M V I ω U(r ) (8) 1 σε κάθε πειροσή -άρ κι σε κάθε πεπερσμένη- μεόπιση ου σώμος Σ πό μι ρχική κάσση σε μι άλλη, είνι ίση με ο μηδέν. Ή λλιώς η ιμή ης ποσόης Ε Μ διηρείι σθερή κά ην κίνηση ου Σ. Το φυσικό μέγεθος Ε Μ ονομάζει μηχνική ενέργει ου Σ. Εφόσον οι δυνάμεις που ενεργούν σο Σ είνι συνηρηικές, η μηχνική ενέργει διηρείι νλλοίωη κά η κίνηση ου Σ. Λέμε όι η μηχνική ενέργει είνι έν ολοκλήρωμ ης κίνησης ου Σ. Μεξύ δύο κσάσεων κι ου Σ, η διήρηση ης μηχνικής ενέργεις εκφράζει με ην εξίσωση: 1 1 1 1 M V I ω U(r ) M V I ω U(r ) (9) 1 1 Σχόλι: 1. Η διήρηση ης μηχνικής ενέργεις άκμπου σώμος εξσφλίζει όε κι μόνον ν οι εξωερικές δυνάμεις που ενεργούν σε υό είνι συνηρηικές. Κάω πό υή ην προϋπόθεση, ο θεώρημ διήρησης ης μηχνικής ενέργεις προκύπει ως ειδική περίπωση ου θεωρήμος μεβολής ης κινηικής ενέργεις.. Η διήρηση ης μηχνικής ενέργεις, κθώς κι ο θεώρημ μεβολής ης κινηικής ενέργεις, φορούν θροισικές σχέσεις μεγεθών οποί είνι βθμωές θροισικές ποσόηες (όπως είνι ο έργο, η κινηική ενέργει κι η δυνμική ενέργει). Ως εκ ούου, η εφρμογή ους μπορεί ν επεκθεί κι σε συσήμ λληλεπιδρώνων άκμπων σωμάων. 119

3. Διήρηση ης ορμής συσήμος άκμπων σωμάων Σην προύσ πράγρφο μελεάμε η διήρηση ης ορμής, κά ην επίπεδη κίνηση ενός ή περισσόερων δισδιάσων άκμπων σωμάων. Η ορμή ενός συσήμος είνι δινυσμικό μέγεθος κι ορίζει ως ο άθροισμ ων ορμών ων μερών ου. Έσι, η ορμή ενός άκμπου σώμος ορίζει ως ο άθροισμ ων ορμών ων σωμιδίων που ο πρίζουν κι η ορμή ενός συσήμος άκμπων σωμάων ισούι με ο άθροισμ ων ορμών ους. Η διήρηση ης ορμής, όπως κι η διήρηση ης ενέργεις μπορεί ν χρησιμοποιηθεί ως εργλείο επίλυσης προβλημάων που φορούν σην λληλεπίδρση άκμπων σωμάων. 3.Α Κίνηση ου κένρου μάζς - Ορμή άκμπου σώμος Η ορμή ενός σωμιδίου ορίζει ως ο δινυσμικό μέγεθος p m v, όπου m η μάζ κι v η χύη ου σωμιδίου, ως προς έν δρνεικό σύσημ νφοράς (O,x,y,z). Η ορμή είνι έν θροισικό μέγεθος. Δηλδή, η ορμή ενός συσήμος σωμιδίων ορίζει ως ο άθροισμ ων ορμών ων σωμιδίων που ο ποελούν. Έν άκμπο σώμ ποελείι πό έν σύνολο λληλεπιδρώνων σωμιδίων. Επομένως, η ορμή P ου άκμπου σώμος Σ ισούι με ο άθροισμ ων ορμών ων σωμιδίων ου κι ως προς ο δρνεικό σύσημ νφοράς (O,x,y,z), υπολογίζει πό η σχέση: P p m v (1) 1 1 Όπως είδμε κι σην πράγρφο 1.3Α, η ορμή ου Σ σχείζει με ην κίνηση ου κένρου μάζς ου (Κ) (εξισώσεις 1.3.1, 13). Από ον ορισμό ου κένρου μάζς ως προς ο δρνεικό σύσημ (O,x,y,z), έχουμε: 1 O m r () M όπου M m 1 η μάζ ου Σ. 1 Πργωγίζουμε η ως προς ο χρόνο, οπόε σο ρισερό μέρος ης εμφνίζει η χύη V ου κένρου μάζς ου Σ, ως προς ο δρνεικό σύσημ (O,x,y,z). Σε συνδυσμό με ην 1, προκύπει όι: M V m v P (3) 1 Δηλδή, η ορμή ου Σ είνι ίση με ο γινόμενο ης μάζς ου επί ην χύη ου κένρου μάζς ου Κ. Με βάση η σχέση 3, ο ος νόμος ου ewton, που προσδιορίζει ην κίνηση ου κένρου μάζς (εξίσωση 3.1.), γράφει: dp F (4) Πρηρούμε όι ν ο άθροισμ ων εξωερικών δυνάμεων που ενεργούν σο Σ είνι ίσο με μηδέν, όε ισχύει: dp 0 (5) που σημίνει όι η ορμή ου Σ διηρείι σθερή: Αν η συνισμένη ων δυνάμεων που ενεργούν σο Σ είνι μηδενική, η ορμή ου Σ είνι έν ολοκλήρωμ ης κίνησης. Μεξύ δύο κσάσεων κι ου Σ, ισχύει: 1 10

P P (6) Ώσε όν η συνισμένη ων εξωερικών δυνάμεων που ενεργούν σο άκμπο σώμ είνι μηδέν, όε η ορμή ου διηρείι σθερή κι ο κένρο μάζς ου Κ κινείι με σθερή χύη V (σχέση 3). Αξίζει ν επισημνθεί όι ο μηδενισμός ου θροίσμος ων εξωερικών δυνάμεων, δεν συνεπάγει κ νάγκη κι ο μηδενισμό ων ροπών ους (Ένθεο.1., «Ζεύγος δυνάμεων»). Επομένως είνι δυνό ο κένρο μάζς ενός άκμπου σώμος ν κινείι ευθύγρμμ κι ομλά, ως προς δρνεικό σύσημ νφοράς, λλά η γωνική ου επιάχυνση ν είνι διφορεική πό ο μηδέν. 3.Β Θεώρημ ώθησης - ορμής Έσω όι σο σώμ Σ ενεργούν εξωερικές δυνάμεις, ων οποίων η συνισμένη είνι διφορεική πό ο μηδέν: F F 0 1 Τόε, η κίνηση ου κένρου μάζς Κ ου Σ, προσδιορίζει πό ην εξίσωση: dp F (7) Από ην 7, προκύπει όι η ορμή ου Σ μεβάλλει κάω πό η δράση ων εξωερικών δυνάμεων, σύμφων με η σχέση: dp F (8) Μεξύ δύο κσάσεων κι ου Σ, η μεβολή ης ορμής ου είνι: P P F (9) Σχήμ 3.: Οι δυνάμεις κι οι ορμές ων σωμιδίων νισοιχούν σε κλάσεις ίσων δινυσμάων. Γι ον υπολογισμό ου μέρου κι ης κεύθυνσης ης συνισμένης κάθε κλάσης, θεωρούμε έν υχίο διάνυσμ -εκπρόσωπο- ης κλάσης κι υπολογίζουμε ις συνισώσες ου, ως προς έν σύσημ ορθογωνίων ξόνων. 11

Το ολοκλήρωμ που εμφνίζει σο δεξί μέρος ης 9 ονομάζει ώθηση ης δύνμης F, μεξύ ων κσάσεων κι ου Σ. Συμβολίζουμε: Ω F (10) Σύμφων με ην ορολογί υή, η μεβολή ης ορμής ου Σ μεξύ δύο κσάσεών ου κι είνι ίση με ην ώθηση ης συνισμένης ων δυνάμεων που ενεργούν σο Σ, πό ην κάσση, μέχρι ην. 3.Γ Ορμή συσήμος άκμπων σωμάων - Διήρηση ης ορμής ου συσήμος Ας θεωρήσουμε δύο δισδιάσ άκμπ σώμ Σ1 κι Σ, κινούμεν πάνω σο κοινό ους επίπεδο, ο οποίο υίζει με ο επίπεδο Oxy δρνεικού συσήμος (O,x,y,z) (σχήμ 3.β). Υποθέουμε όι δύο σώμ λληλεπιδρούν με δυνάμεις «Νευωνικού» ύπου, δράσης - νίδρσης κι όι δεν σκείι πάνω ους κμιά άλλη εξωερική δύνμη. Έν έοιο σύσημ, όπου δεν σκούνι εξωερικές δυνάμεις σε κνέν μέρος ου, ονομάζει πομονωμένο (ενόη 1.1). Συμβολίζουμε με F 1 η δύνμη που σκεί ο Σ σο Σ1 κι με F 1 η δύνμη που σκεί ο Σ1 σο Σ. Αφού οι F 1 κι F 1 υπκούουν σον ρίο νόμο ου ewton, έπει όι κάθε χρονική σιγμή ικνοποιούν η σχέση: F F (11) 1 1 Σο πειροσό χρονικό διάσημ [t, t+], η μεβολή ης ορμής κάθε σώμος είνι νίσοιχ: dp1 F1 γι ο Σ1 κι dp F1 γι ο Σ Προσθέουμε κά μέρη ις δύο ελευίες σχέσεις, οπόε, σύμφων με ην 11, προκύπει όι: Σχήμ 3.β: Τ σώμ Σ1 κι Σ λληλεπιδρούν με δυνάμεις που υπκούουν σον 3ο νόμο ου ewton. Οι δυνάμεις υές μπορεί ν είνι δυνάμεις πεδίων που νπύσσονι πό σώμ, ή επφής όπως σο πράδειγμ που εικονίζει σο σχήμ. 1

ή: Σχήμ 3.γ: Τ σώμ Σ1 κι Σ λληλεπιδρούν με δυνάμεις ης μορφής δράση-νίδρση. Το σύσημ ων Σ1 κι Σ είνι πομονωμένο. Αν κι η ορμή κάθε σώμος μεβάλλει, η ολική ορμή ου συσήμος διηρείι σθερή. dp1 dp 0 1 d P P 0 (1) Δηλδή ο άθροισμ ων ορμών ων Σ1 κι Σ διηρείι νλλοίωο κά ην κίνηση ων σωμάων. Ή, με άλλ λόγι η συνολική ορμή ου συσήμος ων άκμπων σωμάων διηρείι σθερή, εφόσον η συνισμένη ων εξωερικών δυνάμεων που δρουν σο σύσημ είνι ίση με ο μηδέν. Γενικά, γι έν σύσημ πολλών λληλεπιδρώνων σωμάων Σ1, Σ, Σμ, γράφουμε: P P σθερή λ λ ή, μεξύ δύο κσάσεων κι ου συσήμος: P P (13) P P (13β) Αξίζει ν σημειωθεί όι κά ην κίνηση ενός συσήμος λληλεπιδρώνων σωμάων, η ορμή κάθε σώμος, γενικά, μεβάλλει. Ωσόσο, ο άθροισμ όλων ων επιμέρους μεβολών είνι ίσο με ο μηδέν (σχήμ 3.γ). Ώσε η συνολική ορμή ενός πομονωμένου συσήμος άκμπων σωμάων διηρείι σθερή, κά η διάρκει ης κίνησης ου συσήμος. Η ολική ορμή είνι έν «ολοκλήρωμ ης κίνησης» ου συσήμος. λ 13

3.3 Διήρηση ης σροφορμής συσήμος άκμπων σωμάων Η σροφορμή ενός πομονωμένου συσήμος είνι άλλο έν ολοκλήρωμ ης κίνησης: Διηρείι νλλοίωη κά η μεβολή ου συσήμος, εφόσον ο σύσημ είνι πομονωμένο. Η διήρηση ης σροφορμής όπως κι άλλ θεωρήμ διήρησης, εκφράζει ως προς έν δρνεικό σύσημ νφοράς. Η ιμή ης σροφορμής ενός άκμπου σώμος Σ εξράι πό ην επιλογή ου συσήμος νφοράς ως προς ο οποίο ην υπολογίζουμε. Ωσόσο, σην έκφρση ης σροφορμής ου Σ μπορούμε ν δικρίνουμε δύο όρους: Ο πρώος, φορά ση σροφορμή ου κένρου μάζς ου Σ κι εξράι πό ην επιλογή ου δρνεικού συσήμος νφοράς. Θ ον ονομάζουμε «ροχική» σροφορμή ου Σ. Ο δεύερος είνι συνάρηση ης ροπής δράνεις ου Σ ως προς ο κένρο μάζς ου κι ης γωνικής χύηάς ου. Ο όρος υός είνι νεξάρηος ης επιλογής ου δρνεικού συσήμος νφοράς κι ονομάζει «ιδιοσροφορμή» ου Σ. Σε έν πομονωμένο σύσημ σωμάων που λληλεπιδρούν, οι ιδιοσροφορμές κι οι ροχικές σροφορμές ων σωμάων μεβάλλονι, λλά η ολική σροφορμή διηρείι σθερή. 3.3A Ιδιοσροφορμή κι ροχική σροφορμή άκμπου σώμος. Η διήρηση ης σροφορμής ενός άκμπου σώμος Ως προς ο δρνεικό σύσημ (Ο,x,y,z), η σροφορμή J Σ(O) ου άκμπου σώμος Σ υπολογίζει πό η σχέση 8 ης πργράφου 1.3Β: J O P I ω (1) Σ(O) όπου Κ είνι ο κένρο μάζς ου Σ κι Ι Κ η ροπή δράνεις ου Σ ως προς άξον κάθεο σο επίπεδο ου Σ κι διερχόμενο πό ο κένρο μάζς ου Κ. Σην πρόση 1.. ης ενόης 1. ποδείξμε όι η γωνική χύη ου Σ είνι νεξάρηη πό ην επιλογή ου δρνεικού συσήμος νφοράς ως προς ο οποίο ην υπολογίζουμε. Ομοίως, η ροπή δράνεις I υπολογίζει ως προς σύσημ σερεωμένο σο Σ με ρχή ο κένρο μάζς Κ ου Σ κι είνι νεξάρηη ης επιλογής ου δρνεικού συσήμος (Ο,x,y,z). Πρηρούμε λοιπόν όι σο δεξί μέρος ης 1, μόνο ο πρώος όρος, O P εξράι πό ην επιλογή ου συσήμος νφοράς. Ο δεύερος όρος I ω είνι νεξάρηος ης επιλογής ου δρνεικού συσήμος νφοράς. Ο όρος O P μπορεί ν θεωρηθεί ως η σροφορμή σωμιδίου μάζς ίσης με η μάζ ου Σ, οποθεημένου σο κένρο μάζς Κ ου Σ. Τον ονομάζουμε «σροφορμή ου κένρου μάζς ου άκμπου σώμος Σ» ή «ροχική σροφορμή ου Σ». Συμβολίζουμε: J O P () Ο δεύερος όρος I (O) ω, που είνι νεξάρηος πό ην επιλογή ου (O,x,y,z), ορίζει ως η «ιδιοσροφορμή» ή «εσωερική σροφορμή» ου Σ. Συμβολίζουμε: J I ω (3) Σ Ώσε η ολική σροφορμή ου Σ, ως προς ο δρνεικό σύσημ (O,x,y,z) είνι ίση με ο άθροισμ ης σροφορμής ου κένρου μάζς ου Κ κι ης ιδιοσροφορμής ου: J J J (4) Σ(O) (O) Σ Θεωρούμε ο σιγμιί δρνεικό σύσημ νφοράς (Κ,x,y,z) με ρχή ο κένρο μάζς Κ ου Σ. Ως προς ο (Κ,x,y,z), η σροφορμή ου κένρου μάζς ου Σ είνι ίση με μηδέν: 14

O O 0 J O P 0 (5) Ώσε, ως προς ο (,x,y,z), η ολική σροφορμή ου Σ υίζει με ην ιδιοσροφορμή ου: JΣ() JΣ I ω (6) (O) Κάω πό ποιες προϋποθέσεις η σροφορμή ου Σ ως προς δρνεικό σύσημ νφοράς (O,x,y,z), είνι έν ολοκλήρωμ ης κίνησης; Δηλδή, ποιες συνθήκες πρέπει ν ικνοποιούνι ώσε η σροφορμή ενός άκμπου σώμος ν διηρείι σθερή; Ξεκινώνς πό ις εξισώσεις κίνησης ου Σ θ δείξουμε όι: Η σροφορμή ενός πομονωμένου άκμπου σώμος Σ διηρείι σθερή κά ην κίνηση ου Σ Υποθέουμε όι πάνω σο Σ είε δεν ενεργεί κμιά εξωερική δύνμη, είε όι ενεργούν εξωερικές δυνάμεις ων οποίων η συνισμένη είνι ίση με ο μηδέν κι η ολική ροπή ως προς ο (O,x,y,z) είνι επίσης ίση με ο μηδέν. Σην πρόση.1.1 ης πργράφου.1β, έχουμε δείξει όι με υές ις προϋποθέσεις, η ροπή ων εξωερικών δυνάμεων είνι ίση με ο μηδέν ως προς οποιοδήποε δρνεικό σύσημ νφοράς. Επομένως, η κίνηση ου Σ ως προς ο δρνεικό σύσημ (O,x,y,z), προσδιορίζει πό ις εξισώσεις: dv 0 (7) κι dj (O) 0 (8) Από ην 7 προκύπει όι ο κένρο μάζς Κ, ου Σ, κινείι σε ευθεί γρμμή με σθερή χύη V. Η πρμερική εξίσωση ης ροχιάς ου Κ, με πράμερο ο χρόνο, είνι: O OA t V (9) όπου OΑ είνι ο διάνυσμ θέσης ου η χρονική σιγμή t=0. Από ην 8 προκύπει όι η σροφορμή ου Σ είνι σθερή. Η έκφρση ης σροφορμής J ως προς ο δρνεικό σύσημ (O,x,y,z), δίνει πό η σχέση 1. Οπόε μπορούμε (O) ν γράψουμε: J(O) M O V I ω σθερή (10) (Το Μ πρισάνει, ως συνήθως, η μάζ ου Σ) Ανικθισούμε ο O, σύμφων με ην 9 κι χρησιμοποιώνς ις ιδιόηες ου εξωερικού γινομένου, λμβάνουμε: M OΑ V I ω J σθερή (11) (O) Σην εξίσωση 11, δινύσμ OΑ, V κι J (O) είνι σθερά, δεν μεβάλλονι με ο χρόνο. Ομοίως, σθερές είνι κι οι βθμωές ποσόηες Μ κι Ι Κ. Τόε όμως έπει όι κι η γωνική χύη ου Σ είνι σθερή -νεξάρηη ου χρόνου. Ώσε έν σώμ Σ πάνω σο οποίο ενεργούν εξωερικές δυνάμεις με συνισμένη μηδέν κι συνολική ροπή ίση με μηδέν ως προς ο δρνεικό σύσημ (O,x,y,z), κινείι έσι ώσε: ) Το κένρο μάζς ου Σ κάνει ευθύγρμμη ομλή κίνηση ως προς ο (O,x,y,z). 15

β) Το Σ περισρέφει ως προς ο (O,x,y,z) με σθερή γωνική χύη ω. Δεδομένου όι η ιμή ης γωνικής χύης είνι νεξάρηη ης επιλογής ου δρνεικού συσήμος νφοράς (πράγρφος 1.3Β), ο Σ περισρέφει με σθερή γωνική χύη ω ως προς οποιοδήποε δρνεικό σύσημ νφοράς. 3.3Β Διήρηση ης σροφορμής πομονωμένου συσήμος άκμπων σωμάων Ας θεωρήσουμε έν πομονωμένο σύσημ δύο σωμάων Σ1 κι Σ, όπως σην πράγρφο 3.Γ. Τ Σ1 κι Σ, κινούνι πάνω σο κοινό ους επίπεδο, ο οποίο υίζει με ο επίπεδο Oxy δρνεικού συσήμος (O,x,y,z) (σχήμ 3.3). Τ δύο σώμ λληλεπιδρούν με δυνάμεις «Νευωνικού» ύπου, δράσης - νίδρσης. Οι δυνάμεις λληλεπίδρσης έχουν κοινό φορέ, ην ευθεί που ορίζει πό σημεί εφρμογής ους. Σο σύσημ ων Σ1 κι Σ δεν σκούνι εξωερικές δυνάμεις. Όπως είδμε σην πράγρφο 3.Γ, σο πομονωμένο σύσημ η ολική ορμή είνι μι σθερά ης κίνησης. Σην προύσ πράγρφο θ διερευνήσουμε ν υπάρχει σθερά ης κίνησης που σχείζει με ις σροφορμές ων σωμάων ου συσήμος. Ο ρυθμός μεβολής ης σροφορμής κάθε σώμος, ως προς ο δρνεικό σύσημ νφοράς (O,x,y,z), ισούι με ην ολική ροπή ων δυνάμεων που σκούνι σε υό (εξίσωση 3.1.3). Γι σώμ Σ1 κι Σ η εξίσωση 3.3.1 γράφει, νίσοιχ: dj 1(O) r F (1) 1 1 dj(o) r F1 (1β) Αθροίζουμε κά μέρη ις 1 κι β. Δεδομένου όι F 1 F 1, λμβάνουμε: Σχήμ 3.3: Οι σροφορμές ων σωμάων ου συσήμος πρέπει ν υπολογισούν ως προς κοινό δρνεικό σύσημ νφοράς. Όπως έχουμε δείξει σο Ένθεο 3, σο έλος ου κεφλίου 1, η σροφορμή μεβάλλει όν λλάζουμε ο σύσημ νφοράς. Έσι, οι πράξεις, συγκρίσεις κλπ, μεξύ ων σροφορμών ων σωμάων ου συσήμος, έχουν νόημ εφόσον γίνονι ως προς ο ίδιο δρνεικό σύσημ νφοράς. 16

d J 1(O) J (O) r r 1 F 1 (13) Οι δυνάμεις F 1, F 1 είνι συγγρμμικές με ο διάνυσμ r r 1, που ορίζει πό δινύσμ θέσης ων σημείων εφρμογής ους (σχήμ 3.3). Επομένως, ο εξωερικό γινόμενο σο δεξί μέρος ης 13 μηδενίζει. Κλήγουμε σην επόμενη σχέση που εκφράζει η διήρηση ης συνολικής σροφορμής ου συσήμος ων δύο σωμάων, ως προς ο δρνεικό σύσημ (O,x,y,z): d J 1(O) J (O) 0 (14) Η γενίκευση ης 14 σε σύσημ περισσόερων ων δύο άκμπων σωμάων που λληλεπιδρούν με δυνάμεις ης μορφής δράσης-νίδρσης, δεν προυσιάζει κμιά ιδιίερη δυσκολί, οπόε μπορούμε ν διυπώσουμε ην κόλουθη πρόση: Διήρησης ης σροφορμής συσήμος άκμπων σωμάων Αν σε έν πομονωμένο σύσημ άκμπων σωμάων οι δυνάμεις λληλεπίδρσης ων σωμάων είνι Νευωνικού ύπου (δράσης-νίδρσης), όε η συνολική σροφορμή ου συσήμος ως προς έν δρνεικό σύσημ νφοράς, διηρείι σθερή: d όπου, ο δείκης μ πριθμεί άκμπ σώμ που πρίζουν ο σύσημ. Jμ(O) 0 (15) μ Γι δύο δικριές κσάσεις κι ου συσήμος, πό ην 15 προκύπει η: Jμ(O) Jμ(O) (15β) μ μ Σχόλιο 1: Ως προς ο δρνεικό σύσημ (O,x,y,z), η σροφορμή ου μ-σώμος ου πομονωμένου συσήμος ων άκμπων σωμάων, δίνει πό η σχέση: J Oμ P I ω (16) μ(o) μ μ μ όπου Κ μ ο κένρο μάζς ου μ-σώμος, P μ η ορμή ου, Ι μκ η ροπή δράνειάς ου ως προς άξον κάθεο σο επίπεδό ου που διέρχει πό ο κένρο μάζς ου κι ω μ η γωνική ου χύη. Σύμφων με ο θεώρημ διήρησης ης σροφορμής, ισχύει: μ O P I ω J σθερά (17) μ μ μ μ (O) μ Σύμφων με ην εξίσωση 17, είνι δυνό ν μεβάλλει όσο η ροχική όσο κι η ιδιοσροφορμή κάθε σώμος ου συσήμος, έσι ώσε η ολική σροφορμή ν διηρείι σθερή. Οι μεβολές ων σροφορμών ων σωμάων ου συσήμος πργμοποιείι μέσω ων λληλεπιδράσεων που νπύσσονι μεξύ ους. Μέσω ων λληλεπιδράσεων ων σωμάων ου πομονωμένου συσήμος, μπορεί ν συμβεί «μεφορά» ροχικής σροφορμής που οφείλει σην κίνηση ων κένρων μάζς ων σωμάων, σε εσωερική σροφορμή που οφείλει σην περισροφή κάθε σώμος γύρω πό ο κένρο μάζς ου κι νίσροφ. 17

Σχόλιο : Το θεώρημ διήρησης ης σροφορμής μπορεί ν διυπωθεί κι ως εξής: «Η συνολική σροφορμή ενός συσήμος άκμπων σωμάων διηρείι σθερή ως προς έν δρνεικό σύσημ νφοράς (O,x,y,z), εφόσον ο άθροισμ ων ροπών ων εξωερικών δυνάμεων που σκούνι σ σώμ ου συσήμος, ως προς ο (O,x,y,z) είνι ίσο με ο μηδέν κι σώμ λληλεπιδρούν με δυνάμεις «Νευωνικού ύπου, δράσης-νίδρσης». 18