ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ. Μέρος 3ο ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ Μέρος 3ο ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Υπερβολικές Συναρτήσεις Η εκθετική συνάρτηση µπορεί να γραφεί ως το άθροισµα ενός συµµετρικού κι ενός αντισυµµετρικού µέρους, δηλ. ή e x = ex + e x 2 + ex e x 2 e x = cosh x +sinhx όπου θέσαµε: cosh x = ex + e x sinh x = ex 2 2 e x

Υπερβολικές Συναρτήσεις Η εκθετική συνάρτηση µπορεί να γραφεί ως το άθροισµα ενός συµµετρικού κι ενός αντισυµµετρικού µέρους, δηλ. ή e x = ex + e x 2 + ex e x 2 e x = cosh x +sinhx

Oρίζουµε: Υπερβολικές Συναρτήσεις tanh x = sinh x cosh x = e2x 1 e 2x +1 coth x = cosh x sinh x = e2x +1 e 2x 1 sech x = 1 cosh x csch x = 1 sinh x

Υπερβολικές Συναρτήσεις

Συμμετρίες Υπερβολικών Συναρτήσεων Οι συµµετρίες είναι: sinh( x) = sinh x cosh( x) = cosh x tanh( x) = tanh x coth( x) = coth x sech( x) = sech x scsh( x) = scsh x

Ιδιότητες

Στον κύκλο x 2 + y 2 = 1, η γωνία θ ισούται µε το διπλάσιο του εµβαδού του κυκλικού τοµέα ΟΑ Β. Γεωμετρική Ερμηνεία Σε µια υπερβολή x 2 - y 2 = 1, η γωνία θ ισούται µε το διπλάσιο του εµβαδού του υπερβολικού τοµέα ΟΑΒ.

1690: Jakob Bernoulli Εφαρμογή: Σχήμα Καδένας Ποιο είναι το σχήµα µιας καδένας που κρέµεται ελεύθερα ανάµεσα σε δυο σηµεία;

Εφαρμογή: Σχήμα Καδένας 1691: C. Huygens / G. W. Leibnitz / Johann Bernoulli y = 1 apple cosh applex όπου το κ εξαρτάται από τις φυσικές ιδιότητες της καδένας. Εξήγηση: το σχήµα αυτό ελαχιστοποιεί τη δυναµική ενέργεια σε ένα οµογενές βαρυτικό πεδίο.

Εφαρμογές στην Αρχιτεκτονική

Αντίστροφες Υπερβολικές Συναρτήσεις

Παλινδρόμιση

Συμπεριφορά συνάρτησης κοντά σε σημείο

Όριο

Αντι-παραδείγματα @ lim x!0 διότι η συνάρτηση παρουσιάζει άλµα

Αντι-παραδείγματα @ lim x!0 διότι η συνάρτηση απειρίζεται

Αντι-παραδείγματα @ lim x!0 διότι η συνάρτηση ταλαντώνεται

Άσκηση 1 Ποια είναι τα όρια στο διάστηµα (-1, 2) ;

Ιδιότητες ορίων

Άρα Άσκηση 2

Άσκηση 3

Άρα Άσκηση 3

Ασκήσεις για εξάσκηση