bimatejale lainetuse dünaamika kususe juude Teema & Hajutus : edeliku liikumise võandid (isand), Tamo Soomee 005-008 ee liikumise võandid ee liikumine, ükskõik kui keeukas see ka paistab, toimub meie univesumis kehtivate loodusseaduste jägi Seetõttu on loogiline kasutada vastavate võandite tuletamiseks algpintsiipe Neid on vaid vaid väike av Meid huvitavate nähtuste kijeldamiseks saab neist kasutada massi jäävuse seadust ja Newtoni teist seadust (mille kohaselt impulsi muutumise kiius on võdne kehale mõjuva jõuga) Need seadused võimaldavad kijeldada koektselt ideaalsete punktmasside liikumist seni, kuni kehad omavahel kokku ei puutu Kehade põkumise ehk inteaktsiooni koal tuleb avestada ka kehade muude omadustega nagu nende geomeetia ja matejali omadused ee liikumine eineb ideaalsete kehade dünaamikast selle poolest, et veeosakesed paiknevad tavatingimustes alati üksteisega kontaktis Seetõttu kõneldakse vee liikumise puhul pideva keha mehaanikast ja dünaamikast Nii nagu mehaaniliste kehade põgete puhul, on tavis mingil moel kijeldada veeosakeste omavahelist mõju Nimelt see asjaolu teeb hüdodünaamika (ja selle võandid) mõnevõa keeulisemaks, kuid kogu valdkonna mäksa põnevamaks Massi jäävuse seadus: pidevuse võand aatleme suvalist fikseeitud piikonda Olgu see piiatud ajaga Kahemõõtmelisel juhul on selle piikonna ajaks mingi joon Kolmemõõtmelisel juhul on tegemist mingi uumalaga, mis paikneb teatava pinna sees llpool eeldame, et tegemist on suhteliselt lihtsa kujuga piikondade ja nende ajadega ning et matemaatilistes autlustes kasutatud valemid on konkeetse piikonna jaoks akendatavad Kui aine tihedus on ρ(, y, z, Massi muutumise kiius on ρ =, siis aine kogumass valitud piikonnas on M = ρ d dm = d ρ d Kui piikond (jäelikult ka selle aja ) on fikseeitud, siis Leibnizi teoeemi (vt allpool) kohaselt võib difeentseeida integaalialust funktsiooni Öeldakse samuti, et sel puhul on integeeimise ja difeentseeimise opeaatoid kommuteeuvad; teisisõnu, integeeimise ja difeentseeimise jäjekoda võib vabalt valida llpool näeme, et selline omaduse on pigem eand kui eegel Niisiis on mingis fikseeitud piikonnas paikneva ainehulga (aine kogumassi) muutumise kiius d ρ () ρ d = d vaadeldaval euhul võdne integaaliga funktsiooni ρ(, y, z, aine tiheduse muutumise keskmise kiiusega ρ = tuletisest aja jägi ehk ine tihedus ei muutu aga iseenesest Kui ainet ei teki ega kao ning aine enda omadused ei muutu, saab tihedus vaieeuda vaid piikonna ja ümbitseva keskkonna vahel toimuva Me ei vaatle siin nn aktiivseid keskkondi, kus näiteks keemiliste eaktsioonide või intensiivse kiigumise tõttu võib aine tihedus muutuda
ainevahetuse tõttu See toimub läbi piikonna aja Fikseeitud uumala koal ei toimu ainevahetust siis, kui aine seisab paigal ehk aineosakeste kiiused on kõikjal nullid Kui aga mingi aineosakese kiius pinna mingis punktis on u (, y, z, = ( u, v, w), siis piikonnas paikneva massi muutumise kiius tänu läbi pinna mingi lõpmata väikese osa d liikuvale ainele on ρ u cos β d = ρ u nd, () kus β on nuk kiiusvektoi u (, y, z, ja pinnast väljapoole suunatud nomaalühikvektoi n vahel ektoi mäk aja diefentsiaali kohal on pandud lihtsalt tuletamaks meelde, et kolmemõõtmelisel juhul on tegemist pinna difeentsiaaliga Kui vektoite u ja n vaheline nuk on alla 90 kaadi, liigub aine piikonnast välja; kui aga üle 90 kaadi, on tegemist aine sissevooluga piikonda ine massi muutumise summaane kiius ainevahetuse tõttu piikonna ja seda ümbitseva keskkonna vahel on niisiis integaal üle piikonna aja ehk ρ u d, kus pinna ühikvekto on ühendatud pinna difeentsiaaliga Miinusmäk viimases valemis on seotud vektoi n suuna valikuga ning kajastab lihtsalt tõsiasja, et aine väljavoolu koal on suuus u cos β = u n > 0, kuid piikonnas asuva aine hulk väheneb Massi jäävuse seadus tähendab vaadeldaval juhul lihtsalt seda, et aine massi muutus piikonnas on alati võdne ainevahetuse bilansiga selle piikonna ajal ehk sisse- ja väljavoolu bilansiga: ρ (3) d = ρu d Saadud seose lihtsustamiseks on tavis teisendada integaalid võandi (3) einevatel pooltel nõnda, et integeeimine toimuks üle sama piikonna Seda saab teha Gauss-Ostogadski teoeemi alusel, mille jägi on mingi (vekto)funktsiooni voog läbi piikonna ajapinna (teisisõnu, ainevahetuse bilanss) võdne integaaliga selle funktsiooni divegentsist üle piikonna selle piikonna ajal v v Fd = divf d ; ekvivalentsel kujul Fd = F d (4) alemi (4) akendamine seosele (3) annab tulemuseks: ρ (5) d = div ( ρu) d, Nüüd on võimalik ühendada võandi (5) einevatel pooltel paiknevad integaalid, mis annab tulemuseks ρ (6) + div( ρu) d = 0, Tuletatud seos kehtib iga piikonna jaoks, mille puhul autluses toodud integaalid eksisteeivad, näiteks pideva funktsioonide funktsioonide ja ühelisidusate tükati pidevate ajadega kehade puhul nagu kea või koapäased hulktahukad Kindlasti kehtib see iga ainega täidetud uumi punkti (, y, z) ümbitseva lõpmata väikese kea jaoks See on võimalik, y, z vaid siis, kui viimase seose integaalialune funktsioon on null igas punktis ( ) Kui see nõnda poleks, oleks võimalik määatleda nii väike punkti ( y, z), ümbus, milles ρ + div ( ρu) oleks kas kõikjal positiivne või negatiivne Matemaatilise analüüsi kususes näidatakse, et pideva funktsiooni puhul on selline valik alati võimalik Tulemuseks oleks nullist einev kolmekodse integaali väätus, mis on vastuolus võandiga (6)
Seega tähendab massi jäävuse seadus pideva keha mehaanikas, et igas punktis kehtib seos ρ ρ (7) + div ( ρu ) = 0 ; sageli antud vektokujul + ρ u = 0 Saadud seost hüütakse pidevuse võandiks difeentsiaalkujul Lainetuse dünaamika aames, aga ka madamee (annikumee) dünaamikas tevikuna (va veealune akustika) analüüsil loetakse vesi kokkusuumatuks: ρ (, y, z, = const Sellisel juhul on pidevuse võandil eiti lihtne kuju: div u v w (8) = 0 ehk + + = 0 bimatejal: Integaalide tuletised Liikumisvõandite tuletamisel on sageli tavis leida tuletisi mitmemõõtmelistest integaalidest, näiteks d d (9) F( y z ddydz F( y z d,,, =,,,, kus F on mingi funktsioon (ka vekto-funktsioon või tenso) ning ( on mingi vedeliku piikond, mis võib olla kas fikseeitud (liikumatu) või kulgeda koos ülejäänud vedelikuga Selles valemis on teadlikult kijutatud d, kuna päast kolmekodset integeeimist üle uumala on tulemuseks funktsioon, mis sõltub ainult ajast Juhul, kui ( on mingi fikseeitud piikond, mille kuju ja asend uumis ei muutu, ning F (, y, z, ahuldab teatavaid tingimusi (mida me siinkohal ei vaatle, kuid mis loetakse üldiselt täidetuiks), võib difeentseeida funktsiooni F (, y, z, integaali mägi all, seega d (0) F( y z d F( y z d,,, =,,, = const Sel puhul öeldakse, et integeeimise ja difeentseeimise opeatsioonid kommuteeuvad Liikuvas vedelikus piikond ( üldiselt defomeeub ja/või liigub Seejuues ei puugi piikonna aja liikuda vedelikuosakeste kiiusega Selliste integaalide puhul ei tohi lihtsalt niisama difeentseeimise ja integeeimise jäjekoda vahetada Ka lihtsaimal ühemõõtmelisel juhul on sellise integaali avutamine keeukas Matemaatilise analüüsi kususes näidatakse, et muutuvate ajadega integaali tuletis avaldub valemiga (Fihtengoltz, II kd, 509): d b( b( db( da( F(, d = F(, d + F[ b(, t] F[ a(, t] a( a( () Toodud seost kutsutakse sageli Leibnizi valemiks Selle tuletamiseks piisab, kui seose vasakul pool olevat integaali funktsioonina G [, t, a(, b( ] ning akendada liitfunktsiooni difeentseeimise eegleid (Kango, Matemaatiline analüüs, I kd) Leibnizi valemi paema poole esimene liige väljendab kõvetapetsi pindala muutumist ajavahemiku [ t o,t ] vältel joone F (, asendi muutumise tõttu Teine ja kolmas liige iseloomustavad sama pindala muutumist ülemise ja alumise integeeimisaja muutumise tõttu Mitmemõõtmelisel juhul on Leibnizi teoeem esitatav kujul 3
d F (, d = F d + ( t ) ( t ) ( t ) u d F, kus on valitud uumala pind ja u selle pinna ehk uumala aja liikumise kiius () F F(,t + d F(, b(t+d a(t+d F d daf(a, a a + da b( a( F(,d Joonis Leibnizi teoeemi geomeetiline intepetatsioon b b + db dbf(b, Newtoni teine seadus: impulsi jäävuse seadus ja liikumisvõandid Newtoni (teine) seadus, üks klassikalise füüsika alustalasid tema kuulsast teosest Pincipia, ütleb, et mingi keha kiiendus on võdeline kehale mõjuva jõuga õdeteguiks on seejuues v keha mass jagatisega Taditsiooniliselt pannakse see kija kujul F = ma Kuna kiiendus du a = on lihtsalt kiiuse tuletis, on du d (3) F = m = ( mu), ning Newtoni teine seadus väljendab tegelikult mäksa univesaalsemat pintsiipi keha impulsi jäävuse seadust välisjõudude puudumisel (ehk Newtoni esimese seaduse analoogi) kombineeituna sellega, et keha impulsi muutumise kiius on võdne kehale mõjuvate välisjõudude summaga Idealiseeitud lõpmata väikeste mõõtmetega tahkete kehade (punktmasside) puhul, mis ei puutu kokku teiste kehadega, on tekkiv liikumine täielikult määatud kehale mõjuva välisjõuga (või välisjõudude summaga) Pideva keskkonna mehaanikas on olukod põhimõtteliselt teistsugune: keskkonna iga punkt (osake) on kogu aeg kokkupuutes naabeosakestega Seetõttu mõjub osakestele samaaegselt nii otsene välisjõud kui ka selle kaudne mõju teiste osakeste kaudu Pideva keskkonna osakesele mõjuvad jõud on mugav jaotada kolme liiki: (i) Mahujõudusid tekitavad vaadeldavast keskkonna piikonnast väljaspool paiknevad allikad ilma otsese kokkupuuteta Taoliselt tekivad mitmesugused keskkonnale mõjuvad jõuväljad: gavitatsioonõud, magnetjõud, elektostaatiline või elektomagnetiline jõud Sellised jõud võivad olla eineva tugevusega vaadeldava keskkonna einevates punktides Üldiselt mõjuvad need keskkonna kõigile osistele võdeliselt osiste massiga Neid jõudusid väljendatakse massi- või uumalaühiku kohta Nagu klassikalises mehaanikaski, pole oluline, kui mitu välise 4
jõu allikat mõjutavad keskonna liikumist Keskkonna käitumine on määatud väliste jõuväljade vektosummaga Lainetuse ja annikumee dünaamikas on üldiselt domineeiv askusjõud; suuemastaabiliste liikumiste puhul moodustavad olulise komponendi Maa pöölemisest tingitud efektid nagu Coiolisi jõud Selliseid mahujõudusid, mis esituvad teatava funktsiooni gadiendina, nimetatakse konsevatiivseteks Konsevatiivse mahujõu klassikaline näide on askusjõud (ii) Pinnajõudusid tekitavad mingi (mõttelise) pinna osakese seda ümbitseva keskkonna elemendid otsese kokkupuute kaudu Need jõud on jämedalt võdelised kontaktpinna pindalaga ning neid väljendatakse pinnaühiku kohta Pinnaühikule d akenduv pinnajõu võib, nagu klassikalises mehaanikas, jagada nomaal- ja tangentsiaalkomponendiks, mis on suunatud vastavalt elemendiga d isti ja paalleelselt Öeldakse, et need komponendid df tekitavad vastavalt nomaalpinge τ = n n d ja nihkepinge (või puutepinge) df τ s s = d Nomaalpinge on skalaane suuus (suunatud isti pinna elemendiga) Kahemõõtmelise aja(pinna) puhul on ka nihkepinge skalaane suuus, kuid kolmemõõtmelise pinna puhul kahest komponendist koosnev vekto Joonis Pinnajõud ja joonjõud (iii) Joonjõud ei ilmne tavaliselt pideva keskkonna liikumisvõandites, kuid neid tuleb sageli avestada ajatingimuste fomuleeimisel (nt pindpinevusjõud) Pideva keskkonna osakest mõjutavad pinnajõud Pideva keskkonna osakesele mõjuvad (välised) mahujõud (näiteks gavitatsioonõud) on keskkonna dünaamika seisukohalt enamasti ette antud välistingimuste poolt Pideva keskkonna mehaanika keskne (ja sageli väga keeukas) pobleem seisneb keskkonna konkeetse osakese liikumist mõjutavate jõudude kijeldamises Klassikalistes käsitlustes lahendatakse see vaadeldavat punkti ümbitseva lõpmata väikese kuubi tahkudele mõjuvate jõudude analüüsi kaudu Selle käigus tehakse tavaliselt hulk lihtsustusi, mis peegeldavad konkeetse keskkonna spetsiifilise omadusi Selle kuubi igale tahule mõjub keskkonna naabeelementide poolt tekitatud pinge, mis on kijeldatav kolme suuusega tahule mõjuva nomaalpinge suuuse ja nihkepinge kahe komponendiga, so kokku kolme suuusega Kuna kuup on ideaaljuhul lõpmata väike, on kuubi vastastahkude paaid vituaalselt identsed, mistõttu pinged kuubi vastastahkudel võib lugeda võdseteks (kuid vastasmägilisteks) Seega on igale vastastahkude paaile mõjuvad 5
pinged kijeldatavad kolme avuga ning punktis mõjuvate pingete täielik komplekt kijeldatav üheksa suuusega Joonis 3 Pingetensoi komponendid y z Puutepinge -komponent τ τ z S τ y = τ τ y τ z τ τ + y τ Pingetenso 9 komponenti τ + z Kõik need suuused on loomulikult sõltuvad konkeetsest punktist ( y, z), ning ajast t, olles seega nelja muutuja funktsioonid Nendest suuuste komplekti nimetatakse pingetensoiks Τ Nende suuuste väätustest koostatud 33-maatiksi τ elemente τ mingis koodinaatsüsteemis nimetatakse pingetensoi komponentideks (ka koodinaatideks; levinud on mitmesugused nimetused) Üldiselt on levinud seisukoht, et klassikalises pideva keha mehaanikas on pingetenso sümmeetiline, so vastavad maatiksid τ on sümmeetilised τ = τ ji (lati see nõnda pole; näiteks J Heinloo aendatud pöödeliselt anisotoopse mehaanika aames on sellest omadusest taganetud) Seetõttu on tegelikult vajalik teada vaid kuut pingetensoi komponenti äike lohutus seegi Cauchy võandid Pideva keskkonna mingis punktis mõjuvate jõudude summat on võimalik täielikult kijeldada pingetensoi kaudu Põhimõtteline eelis sellisel kijeldusel on, et vaadeldava punkti dünaamikat mõjutavate mitmesuguste (sise)jõudude mõju on nüüd väljendatav teatavate üheselt määatletud suuuste pingetensoi komponentide kaudu Esialgu pole sellest teadmisest palju kasu; siiski võimaldab taoline käsitlus paljudel juhtudel jõuda mõistlike ja selge füüsikalise tagapõhjaga agumentide ja lihtsustuste kaudu eaalselt kasutavate võanditeni Tuleme tagasi punkti ümbitseva lõpmata väikese kuubi juude Tähistame sellegi tähega ja selle pinna tähega Pinnajõud selle pinnaühiku kohta on n τ, kus τ on vastavate nihkepingete vekto ja n on pinna nomaal Pinnajõud pinna elemendi kohta on jäelikult d τ Newtoni seadus lõpmata väikese keskkonna piikonna (vedela elemendi) puhul tähendab, et selle impulsi muutumise kiius (mis ongi kiiendus massiühiku kohta) on võdne sellele elemendile mõjuvate mahujõudude ja pinnajõudude summaga Detailsemates pideva keha mehaanika ja dünaamika käsitlustes vaadeldakse iga tahu puutepingeid ealdi 6
Toodud loogikat on mugav akendada koodinaattelgede suunas Olgu näiteks g kõigi mahujõudude summa pojektsioon -teljele Sama telje suunas mõjuvate mahujõudude summa on integaal F, mahu = ρg d ja pinnajõudude summa integaal du d F, pinna = ( τ 3 ) d Newtoni seadus (3) F = m = ( mu) ütleb, et kuubis paikneva veehulga -telje suunalise summaase impulsi ρ ud muutumise kiius D ρ ud on võdne kõigi sellele kuubile -telje suunas mõjuvate jõudude summaga Dt Teisisõnu, D Du (4) ρ ud = ρ d = ρg d + ( τ 3) d Dt Dt D Siin on taotluslikult kasutatud täistuletise sümbolit tuletamaks meelde, et üldiselt Dt muutuvad pideva keskkonna osakeste omadused nii nende muutumise tõttu ajas kui ka nende liikumisest tingitud muutuste tõttu Gauss-Ostogadski teoeemi (4) saab muidugi kasutada ka skalaafunktsioonide jaoks, v F = F,0,0 intepeteeides valemis (4) kaht funktsiooni komponenti nullidena; näiteks ( ) Nõnda saame, et ( τ + + ) d τ τ 3 = τ d ning seos (4) 3 taandub kujule Du (5) ρ ρg τ 3 d = 0 Dt Kuna seos (5) kehtib suvalise pideva keskkonna elemendi kohta, peab integaalialune funktsioon olema null, seega kehtib võand Du (6) ρ = ρg + τ 3 = 0 Dt igas vaadeldava keskkonna punktis Täpselt samasugused seosed saab tuletada y- ja z-telje suunaliste liikumiste kohta õandeid (6) nimetatakse vahel Cauchy liikumisvõanditeks Need väljendavad lihtsalt Newtoni klassikaliste pintsiipide üht komponenti - (impulsi ehk liikumishulga) muutumise seadust niiöelda pideva keha sisesel mikotasandil naloogiliste agumentide alusel saab tuletada ka võandid vedelikuosakeste pöödemomendi jaoks Kombineeides massi jäävuse seaduse ja Newtoni seaduse alusel tuletatud Cauchy liikumisvõandid, on tulemuseks neli võandit nelja tundmatu funktsiooni (tihedus ρ, kiiuse komponendid u, v, ja w) suhtes õandid sisaldavad veel üheksat pingetensoi komponenti Kuigi need on hetkel tundmatud, peegeldavad need konkeetse keskkonna omadusi ning paljudel juhtudel on neid võimalik võdlemisi lihtsalt leida 3 Olekuvõandid Konkeetse keskkonna omadustel baseeuvaid seoseid pingetensoi komponentide ja pideva keskkonna muid omadusi peegeldavate suuuste vahel nimetatakse olekuvõanditeks 7
(constitutive equations) Edasi kontsenteeume vedeliku euhule, mida iseloomustavad suhteliselt väikesed sisepinged Suhteliselt lihtne kuju on pingetensoil juhul, kui pidev keskkond on tasakaaluasendis See sünnib näiteks siis, kui vedelik on kas paigal (sh hüdostaatilises tasakaalus) või kogu vedelikumass liigub ühtlaselt ja sigjooneliselt iimase juhu saab sobiva koodinaatide teisendusega taandada paigalseisvale vedelikule Siis võivad nullist eineda vaid pinge nomaalkomponendid vedeliku pinnal astasel juhul tekivad nullist einevate pingete tõttu mingid liikumised (voolamised) ning vedelik ei saa olla tasakaalus Nende komponendide väätused mistahes suuna jaoks peavad samuti olema võdsed; vastasel juhul hakkaks vedelik mingis suunas liikuma Teisi sõnu, pingetenso on siis isotoopne (so ei sõltu suuna valikus Sellise tensoi komponendid on p 0 0 0 0 (7) τ = 0 p 0 = p 0 0 = pδ, isot 0 0 p 0 0 kus δ on nn Koneckei delta ning kus miinusmäk on valitud seetõttu, et positiivne nomaalpinge on suunatud keskkonna elemendi paisumisele Suuust p nimetatakse temodünaamiliseks õhuks See suuus on seotud keskonna tiheduse ja tempeatuuiga T olekuvõandi kaudu (mis näiteks ideaalse gaasi jaoks on p = ρrt ) Liikuvas eaalses vedelikus esinevad paktiliselt alati 3 viskoossuse poolt põhjustatud vedelate elementide omavahelise pinged Pingetensoi diagonaali komponendid ei puugi enam olla võdsed Sageli lahutatakse pingetenso kaheks komponendiks τ = pδ + σ, millest üks ( pδ ) vastab teoeetilisele tasakaaluolekule ning on isotoopne ja teine ( σ ) kajastab vedeliku liikumist Rakendustes eeldatakse sageli, et suuus p ka selles lahutuses on temodünaamiline õhk Päis täpne selline eeldus pole, kuna temodünaamilisele tasakaalule vastavad suuused on üldiselt defineeitud vaid tasakaaluseisundi(te) jaoks, kuid voolav vedelik või gaas võib olla tasakaaluseisundist võdlemisi kaugel Siiski, nõnda toimides tekkivad ebatäpsused on väikesed tingimusel, et üksikute molekulide elaksatsiooniaeg on palju väiksem voolamise enese tüüpilisest ajamastaabist Pingetensoi mitteisotoopne osa σ on kijeldatud lähenduses põhjustatud ainuüksi vedeliku liikumise ebaühtlusest tingitud (lokaalsetes pingetest Selle komponentide apoksimeeimisel kasutatakse klassikaliste vedelike hüdodünaamikas äa asjaolu, et vedelike viskoossus on sageli üsna väike See asjaolu võimaldab kasutada lähendust, mille kohaselt lõpmata väikeste vedelikuelementide vahelised pinged on võdelised nende elementide voolamise kiiuste einevustega Pinged avaldatakse siis kiiuse difeentsiaalide kaudu analoogiliselt sellele, kuidas funktsiooni muut avaldub funktsiooni difeentsiaali kaudu Selline lähendus on teatavas mõttes lineaase lähenduse analoog Samuti on siis analoogia mitmemõõtmeliste funktsioonide Tayloi itta aendamisega Temodünaamiline õhk vastaks siis funktsiooni väätusele vaadeldavas punktis ning funktsiooni muutumist selle punkti ümbuses iseloomustavad osatuletiste väätused Tensois σ on 9 komponenti Kiiuse kolme komponendi muudud (piijuhul tuletised) koodinaattelgede suunas kujutavad üldjuhul endast samuti üheksat sõltumatut funktsiooni 3 Me ei vaatle siin üluhtivaid vedelikke 8
Tensoi σ iga komponent võib niisiis sõltuda üheksast muutujast ning kogu süsteemi täielikuks kijeldamiseks tuleb analüüsida 8 einevat funktsiooni i Kiiuse komponentide osatuletised moodustavad samuti tensoi, mida on mugav esitada j kujul i u i j u (8) i j = + + j j i j i Selle nn antisümmeetiline osa i j peegeldab vedeliku elemendi pöölemist j i Pöölemine ei mõjuta elemendi defomatsiooni ega sellele mõjuvaid pingeid, mistõttu viimased saavad sõltuda ainult suuustest i j e = + Teisisõnu, tensoi σ j i komponendid sõltuvad vaid tensoi e komponentidest Siinkohal tehakse üks klassikalise hüdodünaamika keskseid ja põhimõttelisi lihtsustusi, millest ülal juttu Nimelt eeldatakse, et tensoite σ ja e vahel eksisteeib lineaane seos (olekuvõand) σ = K e, (9) mn kus K mn on neljandat jäku konstantsete komponentidega tenso, mis peegeldab keskkonna fundamentaalseid omadusi Nagu ülal mainitud, on taoline lähendus üldiselt aktsepteeitav suhteliselt väikese viskoossusega keskkondade puhul Tegemist ei ole siiski lineaasetele süsteemidele omaste lihtsustuste sisseviimisega 4, vaid eeldusega, et teatavate keeukate funktsioonide peede vahel on lineaane seos Teine fundamentaalne lihtsustus, mis siinkohal sisse viiakse, koosneb kahest omavahel seotud eeldusest: nii vaadeldav keskkond kui ka pingetenso on isotoopsed See lähendus on täiesti aktsepteeitav enamuse mee hüdodünaamika ülesannete juues Meevesi on lokaalselt isotoopne, so selle omadused paktiliselt ei sõltu suunast; samuti ei ole mingit põhjust, miks peaks pingetenso olema mitteisotoopne Siiski eksisteeivad paljud keskkonnad, kus need eeldused ei kehti Isotoopses keskkonnas on kõik suunad ekvivalentsed, mistõttu peab ka seos (8) kiiuse osatuletiste ja pingetensoi vahel olema sõltumatu valitud koodinaadistikust Teisi sõnu, tenso K peab olema isotoopne Tensoanalüüsi kususes näidatakse, et kõik neljandat mn jäku isotoopsed tensoid avalduvad kujul K = λδ δ + µδ δ + γδ δ, (0) mn mn im jn in jm 4 Lineaaseteks hüütakse selliseid süsteeme või hulkasid, mille elementide või osiste iga lineaakombinatsioon kuulub samasse süsteemi Mingi võand on lineaane paajasti siis, kui selle lahendite mistahes lineaakombinatsioon ahuldab võandi homogeenset vesiooni Mingi nähtuse, stuktuui või laine lineaasus ei tähenda seega, et näiteks laine pofiil oleks laudsile õandite keeles tähendab see hoopis, et vastavat nähtust kijeldavad lineaased (difeentsiaal)võandid Lineaases süsteemis levivad kõik (laine)komponendid üksteisest sõltumatult ning ei mõjuta teiste käitumist Nõnda on lineaases süsteemis tevik alati võdne komponentide lihtsa summaga ning süsteemi kui teviku toime identne tema osade toimete summaga Hüdodünaamikas on see enamasti teisiti 9
kus λ, µ, γ on teatavad konstandid, mis käsitletaval juhul sõltuvad vaid vaadeldava keskkonna omadustest Kuna σ on vastavalt tehtud eeldustele samuti sümmeetiline, peab seda seose (9) kaudu esitav tenso olema sümmeetiline K mn indeksite i ja j suhtes õandist (0) jäeldub siis aga, et γ = µ Tehtud ekskusioon tensoite teooiasse ja kijeldatud füüsikaliselt hästi mõistetavad lihtsustused on seega võimaldaud peaaegu täielikult määatleda olekuvõandite tundmatud funktsioonid vaid kahe koefitsiendi kaudu Niisiis, äkitselt on 8-st tundmatust koefitsiendist jäele jäänud vaid kaks Seoste (0) ja γ = µ abil saab olekuvõandi ja pingetensoi avaldised taandada jägmisele kujule: v v σ = µ e + λdivuδ, τ = pδ + µ e + 3λdivuδ () Lihtsustused pole sellega veel lõppenud Tensoi τ diagonaali elementide summa jaoks saame viimasest seosest v τ ii = 3p + ( µ + λ) divu, () millest saab avaldada õhu v p = τ + µ + λ div (3) 3 Tensoi ( ) ( ) u 33 3 τ diagonaali elemendid ei puugi olla võdsed Seetõttu defineeitakse keskmine õhk (einevalt temodünaamilisest õhus nende keskväätusena ~ p = τ (4) 3 Suuust ( ) 33 κ = 3 µ + λ kutsutakse coefficient of bulk viscosity (summaane viskoossus) Reaalsete vedelike kijeldamisel kasutatakse Stokes i lähendust 3 µ + λ = 0 Teatavas mõttes toetab seda lähendust üheaatomiliste gaaside kineetiline teooia; siiski ei ole see lähendus kooskõlas temodünaamika teise seadusega Stokes i lähenduses on olekuvõanditel kuju v (5) τ = p δ + µ divu δ + µ e 3 Kokkusuumatu vedeliku jaoks on div u v = 0 (massi jäävuse seadus), koefitsient λ langeb olekuvõandist välja (so Stokesi lähendust pole tavis vaadeldagi) ning see taandub otsekohe kujule τ = p δ + µ e (6) Selliselt väljendatud pingetensoi τ ja tensoi i j e = + komponentide lineaane j i seos kodaja µ kaudu kujutab endast tasapaalleelse voolamise u = u( y) jaoks Newtoni poolt antud nihkepinge lineaase määatluse τ = µ üldistust kolmemõõtmelisele juhule Seetõttu nimetatakse vedelikke, mille puhul selline lineaane seos kehtib (so Stokes i lähendus kehtib, summaane viskoossus on null), Newtoni vedelikeks Kodaja µ väljendab konkeetse keskkonna viskoossust ning seda nimetatakse viskoossuse koefitsiendiks või kodajaks Kokkusuumatu vedeliku ja tehtud lihtsustuste puhul väljenduvad vedeliku voolamise kõik sisemised omadused viskoossuse kodaja kaudu Kijeldatud seose füüsikaline mõte pingetensoi komponentide i j jaoks on lihtsalt selles, et vedelale elemendile akenduv lokaalne pinge loetakse võdeliseks voolamise uumilise muutlikkuse poolt põhjustatud lokaalse defomatsiooniga selle elemendi naabuses Selle 0
tensoi diagonaali komponentide mõte on natuke keeukam Kijutades aga näiteks τ kujul v w τ = p + µ + + +, 3 on selge, et viskoossuse poolt tingitud nomaalpinge -telje suunas on võdeline selle telje suunalise venituse määa ja vedela elemendi üldise paisumise määa einevusega Teisi sõnu, vaid üldise paisumise või kokkusuumise einevused põhjustavad viskoosseid nomaalpingeid 4 Navie-Stokes i ja Eulei võandid Lõviosa vedeliku liikumist kijeldavate võandite tuletamisest on nüüd tehtud olekuvõandite fomuleeimise näol meevee omadustega vedelike jaoks sendades eelmises jaotuse leitud olekuvõandid (5) Cauchy liikumisvõanditesse, saame tulemuseks nn Navie-Stokes i võandid: Dui p (7) ρ = + ρgi + µ e - µ divuδ Dt, i i 3 Üldiselt sõltub keskkonna viskoossus mägatavalt temodünaamikast, so tempeatuuist Suhteliselt väikeste objektide vaatlemisel on tempeatuui einevused paktikas võdlemisi väikesed ning µ võib lugeda konstandiks Sellisel juhul on Navie-Stokesi võanditel kuju Du i p (8) ρ = + ρgi + µ u + µ divu Dt i 3 i Meevesi on üldiselt kokkusuumatu, mistõttu div u = 0 ning võandid on veel lihtsamad Dui p Du (9) ρ = + ρgi + µ u, vektokujul ρ = p + ρg + µ u Dt i Dt Paljudel juhtudel on vee viskoossus hüljatav Näiteks väikese amplituudiga lainete liikumisel, aga ka suhteliselt aeglaste hoovuste koal, on see nõnda Siis lihtsustuvad Navie-Stokes i võandid veelgi: Dui p Du (30) ρ = + ρgi ehk vektokujul ρ = p + ρg Dt i Dt Saadud võandeid nimetatakse Eulei võanditeks Sisuliselt peegeldavad nii Navie- Stokesi kui ka Eulei võandid vedelikuosakeste impulsi jäävuse seadust (meenutame, et mehaanilise keha impulss on mv ) Need ütlevad, et konkeetse liikuva veeosakese impulss muutub välis- ja sisejõudude mõjul (sh liikumist käivitb õhu gadien, kusjuues viskoossus pidudab liikumist Seejuues võib veeosakese impulss muutuda nii tema enda kiiuse muutumise kaudu kui ka selle tõttu, et osake liigub koosmõjus teiste osakestega 4 Eulei võandite tuletamine Newtoni seadustest Eulei võandid saab põhimõtteliselt samadel eeldustel tuletada ka otse Newtoni seadusest aatleme ideaalset vedelikku juhul, mil mahujõududest on süsteemis esindatud vaid gavitatsioonõud F(, ( 0,0, g), mida loeme konstantseks kogu vaadeldavas alas eeosakesele mõjuv lokaalne jõud on sellisel juhul vaid gavitatsioonõu poolt tekitatud õhk P (mis on teatavasti skalaane suuus) aatleme jälle mingit suvalist uumala, mille pind (aja) on Ruumalas paiknevale veele mõjuv summaane jõud on siis ρ F d Pn d, (3)
kus n on piikonna aja nomaalvekto Selles piikonnas paikneva vee impulss on ρ u d, selle muutus d ρ u d ning impulsi voog läbi aja on u( u n) (3) ρ d Newtoni teine seadus piikonnas paikneva vee jaoks tähendab, et piikonnas paikneva vee impulsi muutus avaldub piikonda mõjutavate mahujõudude ja piikonna aja läbiva impulsi voo summana: d (33) ρ u d = ρf d Pn d ρu( u n) d Seose (33) paema poole teisele ja kolmandale liikmele saame akendada Gauss- Ostogadski teoeemi (vt pidevuse võandi tuletamis, misjäel d (34) ρ u d = ( ρf P) d ρu( u) d Kasutades nüüd massi jäävuse seadust / pidevuse võandit ja täistuletise definitsiooni, saame võandi (34) teisendada kujule Du (35) ρ ρf + P d = 0 Dt Kuna võand (35) peab olema ahuldatud mistahes piikonna jaoks, tuleneb sellest võandist, et Du (36) = P F Dt ρ Niisiis jäelduvad Eulei võandid vahetult Newtoni seadustest See on ka loomulik, sest nendes võandites ei kajastu mitte mingil moel keskkonna sisemised omadused tänu puuduvale viskoossusele Seevastu Navie-Stokes i võandite tuletamisel tuleb keskkonna omadused mingil moel kajastada 4 õandid enegia jaoks õandid enegia jaoks on mugav tuletada üldkujul Cauchy liikumisvõanditest (6) Du (37) ρ = ρg + τ 3 = 0 Dt Sama võand kehtib kiiuse y- ja z-komponentide jaoks Lõpmata väikese veeosakese (mille puhul saab eeldada, et selle kõik komponendid liiguvad sama kiiusega) kineetiline enegia on ˆ E k = mu Kui selles võandis kasutame massi m asemel tihedust ρ, saame seose enegiatiheduse jaoks Kuna u = u + v + w, siis selle osakese kineetiline enegia on ( u + v w ) Eˆ k = ρ + Cauchy võandid on kijutatud välja kiiuse komponentide tuletiste jaoks Neid saab lihtsalt Du Du teisendada võanditeks kiiuse komponentide tuletiste uutude jaoks samasuse = u Dt Dt kasutamise abil Selleks tuleb näiteks Cauchy võand kiiuse -suunalise komponendi u jaoks koutada funktsiooniga u ja kasutada seda samasust Nõnda saame:
D (38) ρ u = ρug + u τ 3 Dt Summeeides võandid (38) kõigi kolme kiiuse komponendi jaoks, saame ρ D (39) u = ρ ug + ui τ i i i3 Dt, y, z i=,,3 õand (39) ütleb, et mingi vedelikuosakese enegia võib muutuda kas (a) mahujõu töö tulemusena, või (b) vedelikuosakestele mõjuvate pinnajõudude (sisejõudude) töö tulemusena edeliku kineetilise või potentsiaalse enegia muutumist kijeldavatele võanditele võib anda veel mitmesuguseid einevaid kujusid näiteks pidevuse võandi kaasamise kaudu naloogiliselt on võimalik tuletada veeosakeste impulsi võandid Kõigil neil on suhteliselt keeukas kuju 5 Benoulli võand Pideva keskkonna liikumist kijeldavate võandite oluline lihtsustamine on võimalik juhul, kui viskoossust ei puugi avestada Sellisel juhul kijeldavad liikumisi Eulei võandid Kuna selles võandis esinevad mittelineaaliikmed saab kijutada samasusena (40) u + u y + u z = ( u ( u) ) + u, Du Du saab selle võandi ρ = p + ρg täistuletise saab esitada kujul Dt Dt Du (4) = u ( u) + u = u ( u) + Ek Dt Suuus E on siin kineetilise enegia tihedus u Jagades Eulei võandi läbi tihedusega, k saab sellele anda kuju p (4) + u u + + F = u ( u), ρ v kus F = ( 0,0, g) õandites (40) (4) on eeldatud, et ainus mahujõud on gavitatsioonõud, mis mõjub vaid vetikaalsuunas Seega esineb liige g vaid kiiuse vetikaalkomponendi võandis Sooitatud teisendused on võimalik sõnastada üldisemas vomis pööise mõiste kaudu edeliku liikumise pööiseks (voticity) nimetatakse kiiuse välja vektokoutist osatuletiste v vektoiga u Pööis on samuti kolmemõõtmeline väli nagu kiiuski ning väljendab v veeosakese lokaalset pöölemist oolamisi, mille puhul u = 0, nimetatakse pööisevabadeks ehk mittepööiselisteks Lõviosa looduslikest voolamistest on pööiselised ning pööisevabadeks saab neid lugeda vaid euhtudel Siiski on mitmetel akendustes olulistel juhtudel pööis võdlemisi väike ning neid voolamisi saab piisava täpsusega lugeda pööisevabadeks Edasi tehakse oluline lihtsustus: eeldatakse, et vedeliku tihedus ρ = ρ( p) on ainult õhu funktsioon Selliseid vedeliku liikumisi nimetatakse baotoopseteks Pinnalainete puhul on see lähendus üldkasutatav Ka annikumees on veemassid üldiselt suhteliselt hästi läbisegunenud ning see lähendus aktsepteeitav Teisiti on see näiteks siselainete puhul 3
oolamiste puhul, kus tiheduse muutumine muudel põhjustel (soolsus, tempeatuu) on oluline, on vaja tuletuskäiku modifitseeida Baotoopsete liikumiste puhul on võandi (4) kolmas liige võimalik teisendada kujule p dp (43) = ρ, ρ Samasugused võandid kehtivad y- ja z-telje suunaliste komponentide jaoks Saab näidata, et selles valemis esinev integaal sõltub vaid uumi koodinaatidest Selline tikk on põhimõtteliselt vajalik vaid selleks, et kõnesolev liige kijutada tuletisena koodinaatide jägi mingist kindlasti funktsioonist Muidugi saaks veel lihtsamalt: kui eeldada näiteks, et vedeliku tihedus on konstant, siis võiks tiheduse lihtsalt tuletise mägi alla viia Tegelikult on oluline, et saame nüüd defineeida Benoulli funktsiooni dp B = u + + gz = u + P( ) + gz, ρ mille kaudu saab Eulei võandid esitada kujul: + B = u ( u) (44) (45) Sageli kasutatakse selle võandi ühe- ja kahmõõtmelisi vaiante õandi (45) -telje suunaline komponent on näiteks jägmine: dp (46) + u gz = ( u ( u) ) t + + ρ õandeid (45) (aga ka nende võandite üksikuid komponente nagu võand (46)) hüütakse Benoulli võanditeks Sisuliselt kujutavad need endast liikumisvõandite spetsiifilist kombinatsiooni, mille jaoks on teatavatel tingimustel võimalik leida ühest paameetist sõltuv täpne lahend keeuka difeentsiaalvõandite süsteemi nn esimene integaal 5 Benoulli võandi integeeimine mõnedel euhtudel Statsionaane voolamine ei sõltu ajast t, seega taanduvad Benoulli võandid kujule B = u ( u) (47) õandi (47) vasak pool on pinna B = const nomaalvekto õandi (47) paemal poolel on aga vekto, mis on isti nii vektoiga u kui ka vektoiga u Kuna voolujooned on oma igas punktis samasihilised vektoiga u, siis esimene tingimus sisuliselt ütleb, et pind B = const sisaldab iga voolujoont, millel on ühiseid punkte selle pinnaga Tõepoolest, oletame, et mingi voolujoon lõikab pinda B = const edeliku liikumine toimub piki voolujoont, mis, nagu just selgus, on isti selle pinna nomaalvektoiga ning seega suunatud piki selle pinna mingit puutujat mööda Sama autlus on õige iga selle voolujoone punktis; seega ei saa (pidev) voolujoon kuidagi enam pinnalt B = const lahkuda Täpselt samuti sisaldab pind B = const kõiki pööisjooni, millel on vähemalt üks ühine punkt selle pinnaga Seega statsionaase hõõdevaba ning baotoopse voolamise puhul on Benoulli funktsioon konstantne mistahes voolujoonel või pööisjoonel: dp (48) u + + gz = const voolujoonel või pööisjoonel ρ 4
Meenutame, et lisaks on tehtud eeldus, et mahujõududest mõjub vedelikule vaid gavitatsioonõud Seda eeldust on võimalik nõgendada: piisab sellest, et kõik mahujõud oleksid konsevatiivsed Statsionaase hõõdevaba baotoopse ja pööisevaba voolamise koal on 0 u = ning võand (48) kehtib kogu vedelikuga täidetud alas: dp (49) u + + gz = const ρ Oluline on mäkida, et (mittepöölevas taussüsteemis) on baotoopsed voolamised pööisevabad seni, kuni viskoossus on hüljatav Mee hüdodünaamika ülesannetes on viskoossus enamasti oluline vaid meepõhja vahetus läheduses, nn viskoosses piiikihis Tegelikult ei ole ka pinnalainetes toimuvad voolamised päiselt pööisevabad, kuid enamuse paktiliste ülesannete puhul võib pööiselisuse jätta avestamata Mittestatsionaane pööisevaba voolamine Mittestatsionaasete liikumiste jaoks saab Benoulli võandit lihtsalt integeeida vaid pööisevabade voolamiste euhul Sellisel juhul on 0 u = Fundamentaalne jäelduse sellest omadusest on, et eksisteeib mingi skalaane funktsioon φ = φ(, y, z, nõnda, et u = φ Funktsiooni φ nimetatakse kiiuse potentsiaaliks astupidi, kui selline funktsioon eksisteeib, siis on voolamine pööisevaba sendades funktsiooni φ mittestatsionaasesse võandisse (45), saame selle kijutada kujul: φ (50) + B = φ + B = + B = 0 Teisisõnu, φ φ φ (5) + B = + B = + B = 0 Seega funktsioon φ + B ei sõltu ühestki uumi koodinaadist ning on vaid aja funktsioon: φ + B = F( Seega taandub Benoulli võand vaadeldaval juhul kujule φ dp (5) + u + + gz = F( ρ 5 Benoulli võandi integaalide akendusi Pitot tou Heny Pitot (695-77), pantsuse matemaatik, kasutas Seine i jõe voolukiiuse mõõtmiseks Benoulli võandi omadustel baseeuvat lihtsat seadet, mida paegu nimetatakse tema jägi Pitot tou on lihtsalt 90-kaadise nuga all painutatud tou, mis pannakse vette nõnda, et tou painutatud ots paikneks täpselt vastuvoolu, so hoisontaalselt ja piki jõesängi Eeldame, et Benoulli võandi akendamise tingimused on täidetud setsegu punkt Pitot tou otsa sügavusel h vabas voolus, mida Pitot tou ei mõjuta, kuid just sellel voolujoonel, mis tabab Pitot tou otsa, ning punkt samal voolujoonel just Pitot tou otsas, kus voolu kiius on null Siis saame võandist (33) dp dp (53) u + + gz = u + + gz ρ ρ Siin on ilmselt z = z (sh jões z = z = h ), ρ = const (kuna on tegemist samade veeosakestega) ja u = 0 ; seega 5
p u + = p, millest vee kiius u = ρ ρ ( p ) p ρ (54) Rõhud punktides ja on võdsed nende vastavate veesammaste kõgusega: p = ρgh, p = ρgh Jäelikult vee kiius on u = g( h h ) (55) Pitot tou Pitot tou h: veetase jões või siges vetikaalses tous h: veetase painutatud tous Seine i jõgi Punkt : vaba voolamine Punkt : vesi seisab Joonis 4 oolu kiiuse mõõtmine Pitot tou abil Kui nüüd tahta päis täpne olla, siis peaks avesse võtma ka vee viskoossust, õhuõhku, võimalikke kapillaajõudusid ja toude hüdaulisi takistusi Paktikas tuleb ilmselt toimda nõnda, et mõõta mõned koad muude meetoditega täpselt vee kiius ja siis kasutada vastavaid paandustegueid Meetodi ilu seisneb aga selles, et fomaalselt pole oluline kui sügaval Pitot tou asub; seega on võimalik kiiesti hinnata vee kiiust einevatel sügavustel Pitot tou on hoolimata oma lihtsusest ka tänapäeval üsna laialt kasutusel, vt aamat Hüdaulika ja pumbad Ülesanne : Millised on Pitot touga mõõtmiseks vajalikud tingimused vee voolamisele? Ülesanne : Leida vee kiiustele 0 cm/s, 5 cm/s, 50 cm/s, m/s, m/s ja 5 m/s vastavad veesamba kõgused Pitot tous Milliste kiiuste juues on selline meetod mõistlik ja kegesti kasutatav? uk paagis Teine klassikaline ülesanne on seotud väikeste avadega anuma seintes või põhjas Loomulikult hakkab vedelik (vesi, bensiin jne) avast välja voolama edeliku väljavool põhjustab üldiselt vedeliku taseme alanemise, mistõttu päis angelt võttes pole tegemist statsionaase voolamisega Piisavalt suue anuma ja piisavalt väikese augu koal ei pea seda aga avestama ning võib lugeda, et veetaseme laskumise kiius on null See oleks päis õige juhul, kui kogu aeg natuke vett peale kallataks 6
numast välja voolab ikka see vesi, mis on ava tekkimise (kaani avamise vms) hetkel ava tasapinnast ülalpool Suhteliselt väikese ava koal võib lugeda vee tasapinna laskumist (ehk vee voolamist allapoole anuma ülaosas) ühtlaselt allapoole suunatuks Mida voolujooned ja veeosakesed vahepeal teevad, see meid selle ülesande juues ei huvita Oluline on see, et Benoulli funktsioon B on konstant kõikidel voolujoontel Kuna kõik voolujooned lähevad lõpuks tagasi vee pinnale, kus Benoulli funktsioonil on sama väätus igas pinna punktis, on kogu anumas B=const vast natuke eemal, kus juga on juba täielikult fomeeunud ning liigub edasi inetsist, mõjub sellele igast küljest ainult atmosfääi õhk Tegelikult pole see päis õige, sest juga ei ole ühtlane (vt väikest joonis ning joa sees õhk veidi vaieeub Jättes joa ebaühtluse kõvale, on esimeses lähenduses joa kiiust võimalik hinnata Benoulli võandi alusel: p ρ + gh = patm ρ atm + u, millest Toicelli valem u = gh (56) uk paagis patm h patm Joonis 5 edeliku väljavool anumast entui tou ee jm vedelike vooluhulka on võimalik mõõta voolu ahenemisel tekkiva suvevahe kaudu Suvetoustikes on sellistest mõõteiistadest kasutusel entui tou, mõõtediafagma e mõõteava ning mõõtedüüs, avasängides entui ja Pashalli ennid entui tou konstueeis US-s Clemens Heschel (84-930), kes andis oma mõõteiistale vooluahendusi uuinud Giovanni entui (746-8) nime entui tou istlõige aheneb sujuvalt ja laineb siis uuesti algistlõikeni Tou kitsamas osas on kiius suuem kui laiemas osas ning Benoulli teoeemi tõttu õhk väiksem Rõhkude vahet mõõdetakse enamasti difeentsiaalmanoneeti abil 7
Rõhtsa entui tou ( z = z ) ning konstantse tihedusega vedeliku jaoks saame Benoulli võandist dp dp p p (57) u +, + gz = u + + gz u + = u + ρ ρ ρ ρ millest p ( ) p (58) u u = ρ Rõhkude vahe saame määata veesammaste kõguste h ja h vahe abil p p = ( ρ ρ) g( h h ) (59) Siit selgub, et nõnda mõõtmisel peab kasutama mõõdetavast eineva tihedusega vedelikku Õhuvoolu mõõtmisel kõlbab teiseks vedelikuks vesi, kuid vee voolu mõõtmisel on tavis vee tihedusest eineva tihedusega vedelikku muidu ei teki difeentsiaalmanomeetis veesammaste kõguste vahet iimase vajaliku seose saame asjaolust, et vool on statsionaane, seega läbib iga istlõiget võdne vedelikuhulk Kui vooluhulk ajaühikus on, siis 4 π D u u = = 4 πd, millest u ( ) = u d D (60) Nüüd kasutame Benoulli võandit (4), millest (43) ja (44) abil 4 ( ( ) ) ( ρ ρ) g( h h ) ( ρ ρ) g( h h ) (6) u d D u = u = 4 ρ ρ[ ( d D) ] ning vooluhulk ( ρ ρ) g( h h ) (6) Q = π d u = πd 4 4 4 ρ[ ( d D) ] ooluhulk võib üldiselt ajas muutuda entui tou mingi aja jooksul läbinud vedeliku uumala saame avutada integaalina vooluhulgast Joonis 6 eemõõtja entui tou baasil 8