Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii. 1.1 Reamintim că funcţia de gradul al doilea are forma generală: f : R R, f(x) = ax + bx + c, unde numerele reale a, b, c (cu a¹0 ) se numesc coeficienţii ecuaţiei. A determina o funcţie de gradul al doilea (sau, n general o funcţie a cărei expresie este polinomială) nseamnă a-i determina coeficienţii a, b şi c. Graficul său G f este o parabolă aşezată: a). cu ramurile n sus (respectiv cu vârful n jos ), dacă a > 0; b). cu ramurile n jos (respectiv cu vârful n sus ), dacă a < 0. Vârful acestei parabole este determinat n funcţie de coeficienţii a, b şi c ai ecuaţiei. Astfel, æ- b -Dö avem V ç,, unde D = b c este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax + bx + è ø c = 0 ataşată funcţiei. Vârful parabolei reprezintă şi punctul de extrem al funcţiei. Astfel, a). dacă a > 0, ramurile parabolei sunt ndreptate n sus, deci V va fi punct de minim. Se -D spune că este minimum-ul funcţiei f, care se realizează pentru x =. æö Evident, are loc relaţia f ç = è ø - D. b). dacă a < 0, V este un punct de maxim. Deci maximum-ul lui f este - D, care se - D realizează n x=, adică f( ) =. a Din punct de vedere geometric, abscisele punctelor de intersecţie ale graficului lui f cu axa Ox sunt rădăcinile ecuaţiei de gradul al doilea ataşate (evident, n cazul n care graficul intersectează axa absciselor). Deci: a). dacă D > 0, rezultă că ecuaţia are două rădăcini reale şi distincte, deci G f intersectează + D - D Ox n două puncte distincte, având abscisele respectiv,. b). dacă D = 0, avem două rădăcini reale şi egale, deci graficul lui f intersectează Ox ntrun singur punct, având abscisa. Spunem că graficul lui f este tangent axei Ox. ( În acest caz, cele două rădăcini sunt egale ntre ele si egale cu abscisa vârfului parabolei ). c). dacă D < 0, graficul lui f nu intersectează axa Ox. Axa de simetrie a parabolei este dreapta perpendiculară pe Ox şi care trece prin vârful acesteia. Ecuaţia ei este: x =. În general, un punct M( a, b )ÎG f, unde f este o funcţie oarecare, dacă şi numai dacă f(a ) = b. 1. Probleme rezolvate
Corina şi Cătălin Minescu 1..1. Să se determine funcţia de gradul al doilea al cărei grafic trece prin punctele A(1,-8), B(-1,-10) şi taie axa yy n C(0,-10). Funcţia este de forma f(x) = ax + bx + c. Cele trei puncte aparţinând graficului lui f, coordonatele lor verifică ecuaţia graficului. Astfel, A(1,-8) Î G f Û f(1) = -8, B(-1,-10) Î G f Û f(-1) = -10, C(0,-10) Î G f Û f(0) = -10. Înlocuind n forma funcţiei, avem: ì a 1 + b 1+ -8 ì a+ b+ -8 a (-1) + b (-1) + -10 Û a- b+ -10 a 0 + b 0+ -10-10 Rezolvând sistemul, obţinem: a = 1, b = 1, c = -10. Deci, funcţia căutată este de forma: f(x) = x + x - 10. 1... Să se determine funcţia de gradul al doilea al cărei grafic are vârful V(1,) şi taie axa yy in punctul M(0,-3). Fie f(x) = ax + bx + c. Vom determina coeficienţii. Din faptul ca V(1,) este vârful parabolei -D - D şi ţinând cont de faptul ca V are coordonatele,, vom arăta că: =1 şi =. A treia relaţie, adică f(0) = -3 va rezulta din M(0,-3)ÎG f. Rezolvând sistemul format de cele trei relaţii, obţinem a = -5, b = 10 si c = =-3. 1..3. Se dă funcţia f(x) = ax - 3x + c. Dacă 0 < a < şi c < 0, să se determine a şi c astfel ncât f(0) = 4 si f(1 )= 6. f(0) = 4 Û a 0-3 0 + c = 4 Û c = 4 Û cî{-4,4}. Dar, cum c < 0, vom avea că c = -4. Cum f(1) = 6, avem că ½a - 7½ = 6, de unde a 7 Î {-6, 6 }. Deci a 7 =-6 de unde a = 1 sau a 7 = 6, de unde a = 13. Dar a Î [0, ], deci valoarea a = 1 este cea care convine. Aşadar funcţia căutată este f(x) = ½x 3x - 4½. 1..4. Fie funcţia f(x) = x 6x + 5. Notăm cu S aria cuprinsă ntre graficul acestei funcţii şi axa Ox. Să se arate că 10 < S < 16. Calculăm punctele n care G f intersectează axa Ox adică rădăcinile ecuaţiei ataşate şi coordonatele vârfului parabolei. Obţinem x 1 = 1, x = 5 şi V(3, -4). În continuare, reprezentăm grafic funcţia. Ideea unei astfel de probleme este să ncadrăm aria figurii cuprinse ntre grafic şi axa Ox adică S ntre două valori care să reprezinte ariile unor figuri geometrice cunoscute.
Corina şi Cătălin Minescu 3 Astfel, se observă uşor că S este mai mică decât aria patrulaterului ABFE, despre care se arată imediat că este pătrat cu latura de 4. Cum aria lui ABFE este 4, rezultă că S < 16. Considerăm acum trapezul dreptunghic ABDC şi triunghiurile dreptunghice CMV şi DMV. Exprimăm ariile acestora: CN ( AB+ DC) A ABDC = = 9 CM MV 1 A DCMV = A DMVD = =. 1 1 Remarcăm faptul că S > A ABDC + A DCMV + A DMVD = 9 + + =10. Deci S > 10. 1..5. Determinaţi funcţia de gradul al doilea al cărei grafic este tangent axei Ox şi intersectează dreapta y = x 1 n punctele de abscisă 4 şi. Fie f(x) = ax + bx + c. G f Ç Ox = {M} Û D = 0 Û b c = 0. Calculăm intersecţia dintre graficul funcţiei şi dreapta y = x 1 rezolvând sistemul: ìax + bx+ x-1= y y ì ax y= x-1 Û + bx+ x-1 ì ax y= x-1 + ( b- ) x+ c+ 1= 0 Rădăcinile ecuaţiei ax + (b-)x + c + 1 = 0 sunt chiar abscisele punctelor de intersecţie dintre graficul funcţiei şi dreapta y = x 1. Aplicăm relaţiile lui Viète: b- c+ 1 x 1 + x = -, x1 * x =. a a Cum rădăcinile x 1 şi x sunt ( din ipoteză ) 4 şi, avem: ì b- ì - b 4+ (-) =- c+ 1 a = Û a. 1+ c 4 *(-) = =-8 a a Pentru a determina funcţia f trebuie rezolvat sistemul: ìb - 0 ì b= - - b= -1- Û -1- (- ) - ( -1- ) = 0 ì b= - ì b= - -1- -1-4- + + 4+ 3 = 0 36a + 40a+ 4= 0 1 0 100 De unde avem: a = 1, deci b = 4 şi c = - 4 sau a = - şi b =, c = -. Deci f(x) = -x 9 9 9
Corina şi Cătălin Minescu 4 + 4x 4 sau f(x) = 1 0 100 - x + x-. 9 9 9 1..6. Să se determine coeficienţii reali a şi b astfel ca parabola definită de ecuaţia y = ax + + bx 8 să taie axa Ox n punctele A şi B, cu AB = 6 iar vârful parabolei să aibă abscisa egală cu 1. Indicaţie: Cum AB = 6, avem că ½ x 1 x ½ = 6 iar din 1 a = rezultă că x 1 + x =. Sistemul format de aceste două ecuaţii n x 1 şi x se desface n următoarele două sisteme: ìx1 - x = 6 ìx1 - x =-6 si, care se rezolvă. x1 + x = x1 + x = 1.3. Probleme propuse 1.3.1. Să se determine funcţia de gradul al doilea ştiind că admite un minim egal cu 9 şi graficul funcţiei trece prin punctele A( 1, 13) şi B(, 10). (Vezi partea de teorie unde se defineşte minimum-ul funcţiei de gradul al doilea!) 1.3.. Să se determine funcţia de gradul al doilea f(x) = ax + bx + c astfel ncât graficul acestei funcţii să treacă prin punctele A(1,), B( 1,6), C(,3). 1.3.3. Să se determine o funcţie de gradul al doilea astfel ncât graficul acesteia să treacă prin punctele A(,0), B( 1,1) şi să taie axa Ox n punctul C(,0). 1.3.4. Determinaţi funcţia de gradul al doilea al cărei grafic să aibă vârful n punctul V(4, 4) şi să taie axa Oy n punctul de abscisă 1. Indicaţie: un punct de pe axa Oy este de forma M(0,α). 1.3.5. Să se determine funcţia de gradul al doilea care admite un maxim egal cu 9 şi trece prin punctele A(1, 7 ) şi B( 1, 7). 1.3.6. Fie funcţia de gradul al doilea f(x) = x 4x + 3. Notăm cu S aria cuprinsă ntre graficul acestei funcţii şi axa Ox. Să se arate că 1<S<. 1.3.7. Să se determine numerele reale a şi b astfel ncât parabola y = x +ax + b să aibă vârful n punctul V(1, 1). 1.3.8. Determinaţi funcţia de gradul al doilea al cărei grafic este tangent axei Ox n punctul de abscisă 3 şi trece prin A(,9). 1.3.9. Să se determine funcţia de gradul al doilea al cărei grafic trece prin punctele A(3,1) şi B(,1) şi are ca axă de simetrie dreapta x = : 1.3.10. Determinaţi funcţia de gradul al doilea al cărei grafic taie Oy n punctul de ordonată 1, trece prin B(,1) şi este tangent dreptei y = -1.
Corina şi Cătălin Minescu 5 1.3.11. Aflaţi valorile lui a şi b pentru care parabolele de ecuaţii y = x x + a şi y = x bx + 3 au vârful comun. 1.3.1. Se consideră funcţia f : R R, f(x) = x + ax + b, cu a şi b parametri reali. Să se determine aceşti parametri astfel ncât să fie ndeplinite simultan condiţiile: a). Graficul funcţiei să intersecteze dreapta y = 3x 4 n punctul de abscisă 1; b). Ordonata vârfului parabolei să fie egală cu 1. 1.3.13. Să se determine a şi b astfel ca parabola definită de ecuaţia y = ax + bx 8 să taie axa Ox n punctele B şi C astfel că segmentul BC are lungimea 6 iar vârful parabolei are ordonata egală cu 8. (G.M.B., 11107, C.I Ţ.) Prof. Corina Minescu Prof. Cătălin Minescu