ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Μονάδες 8 Α. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ; Μονάδες 4 Α3. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο A(ολικό) μέγιστο, το f( ); Μονάδες 3 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστη, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε z C ισχύει z z= Im( z) (μονάδες ) β) Αν lim f ( ) =+ ή, τότε lim = f( ) (μονάδες ) γ) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα. (μονάδες ) δ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και α, β, γ Δ, τότε ισχύει β γ β f d= f d+ f d ( ) ( ) ( ) α α γ (μονάδες ) ε) Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του Δ. (μονάδες ) Μονάδες
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η εξίσωση ( ) z + z+ z i 4 i=, z C Β. Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση. Μονάδες 9 Β. Αν z =+i και z =-i είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να αποδείξετε ότι ο αριθμός 39 z w= 3 z είναι ίσος με -3i Μονάδες 8 Β3. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών u για τους οποίους ισχύει u+ w = 4z z i όπου w, z, z οι μιγαδικοί αριθμοί του ερωτήματος Β. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση h()=-ln( +), R Γ. Να μελετήσετε την h ως προς την κυρτότητα. Γ. Να λύσετε την ανίσωση ( ( )) hh' <, R + Μονάδες 5 Γ3. Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h στο +, καθώς και την πλάγια ασύμπτωτής της στο. Μονάδες 6 Γ4. Δίνεται η συνάρτηση φ()= (h()+ln), R Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της φ(), στον άξονα και την ευθεία =
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f( ), αν =, αν = Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο = και, στη συνέχεια, ότι είναι γνησίως αύξουσα. Δ. Δίνεται επιπλέον ότι η f είναι κυρτή. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f '( ) f u du= ( ) έχει ακριβώς μία λύση, η οποία είναι = (μονάδες 7) β) Ένα υλικό σημείο Μ ξεκινά τη χρονική στιγμή t= από ένα σημείο Α(,f( )) με < και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y=f(), με =(t), y=y(t), t. Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης (t) του σημείου Μ είναι διπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τεταγμένης του y(t), αν υποτεθεί ότι (t)> για κάθε t. (μονάδες 4) Μονάδες Δ3. Θεωρούμε τη συνάρτηση g()=(f()+-) (-), (, + ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει δύο θέσεις τοπικών ελαχίστων και μία θέση τοπικού μεγίστου. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελίδα 73 Α3. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α4. α) Λάθος β) Σωστό γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β Β. Έστω z = + yi με, y R Έχουμε: ( + y ) + i 4 i=
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 ( + y 4) + ( ) i= + y 4= και = = και y = y=± Άρα z = + i και z = i 39 39 + i i 39 4 9 3 Β. w= 3 = 3 = 3i = 3( i ) i = 3i i Β3. u+ w = 4z z i u 3i = 3+ 4i u 3i = 5 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του u είναι κύκλος με κέντρο Κ(,3) και ακτίνα ρ=5 ΘΕΜΑ Γ Γ. Η h είναι συνεχής στο R ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών συναρτήσεων h ( ) = =, R + + h ( ) = <, R ( + ) Άρα η h είναι κοίλη στο R Γ. Αφού h () >, R τότε η h είναι γνησίως αύξουσα στο R. Για κάθε R έχουμε: h( h ( )) h( h ( )) < ln < ln + + h( h ( )) < ln ln( + ) h( h ( )) < ln( + ) h( h ( )) < h() h ( ) < < > > > + Γ3. lim h ( ) = lim(ln ln( + )) = lim ln = lim lnu = ln = + + + u + όπου u = + και lim u = lim = lim = + + + + + Άρα η C έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο + την ευθεία y = h ( ) ( ) lim h ( ) = lim ln( + ) = lim( ln y) = ln =, όπου y y= + και lim y= lim( + ) = Άρα η C έχει πλάγια ασύμπτωτη στο την ευθεία y = h
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 Γ4. Για κάθε R έχουμε ϕ ( ) = ( h ( ) + ln) = h ( ) + ln= h ( ) = ln h - h ( ) = h() = Η φ είναι συνεχής στο [,] Για κάθε [,] έχουμε h ( ) h() h ( ) ln h ( ) + ln και, οπότε ( h( ) + ln) και άρα ϕ( ) για κάθε [,] Επομένως ( ) E = ϕ d= ln( + ) + ln d = ( ln( ) ln ) = + + d = ( ) d ( + ) ln( + ) d+ lnd= d d + + + + = [ ] [( + )ln( + )] + + ln [ ] = [ ] [ ] [( )ln( )] [ ] ln [ ] ( + )ln( + ) + ln + ( )ln = + ( + )ln τμ + ΘΕΜΑ Δ ( ) Δ. Έχουμε lim f ( ) = lim = lim = lim = = = f(), ( ) οπότε η f είναι συνεχής στο σημείο = * + Για κάθε R έχουμε f '( ) = Θεωρούμε την συνάρτηση h ( ) = +, R Η h είναι συνεχής στο R Για κάθε R έχουμε h ( ) = Για < είναι h ( ) <, οπότε η h είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και άρα για < είναι h ( ) > h() =. Για > είναι h ( ) >, οπότε η h είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) και άρα για > είναι h ( ) > h() =. * Επομένως f ( ) > για κάθε R και αφού η f συνεχής στο, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο R
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 f ( ) f() Δ. α) Για κάθε έχουμε = = Επομένως f( ) f() ( ) lim = lim = lim = lim = lim = ( ) Άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο = με f () = Θεωρούμε την συνάρτηση Έχουμε G() = f () ' f ( ) G ( ) = fudu ( ), R f( u) du= f( u) du=, οπότε η = είναι λύση της εξίσωσης G() = Επειδή η f είναι κυρτή στο R τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο R Για > είναι > > >, οπότε f( ) = > Για < είναι < < <, οπότε f( ) = > Για = είναι f() = > Επομένως f() > για κάθε R Για > είναι f ( ) > f () f ( ) > f ( ) > Άρα f ( ) Για < είναι Άρα f( u) du> G( ) > f ( ) < f () f ( ) < f ( ) < f ( ) f( u) du > f( u) du > G( ) < f ( ) Επομένως η = είναι μοναδική λύση της εξίσωσης G() = β) Είναι yt () = f( t ()), οπότε y () t = f ( ()) t () t, t
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 Αν t η χρονική στιγμή κατά την οποία είναι ( t ) = y ( t ) τότε έχουμε ( t ) > ( t ) = f ( ( t )) ( t ) f ( ( t )) = f f ( ( t )) = f ( ( t )) = f () ( t ) =, οπότε yt ( ) = f( t ( )) = f() = Άρα το M (,) είναι το ζητούμενο σημείο της καμπύλης Δ3. Έχουμε g( ) = ( + ) ( ) = ( ) ( ), (, + ) g ( ) = ( )( )( ), (, + ) Είναι g ( ) = = ή = ή = Θεωρούμε την συνάρτηση ( ) K =, (, + ) Επειδή Κ ( ) = > για κάθε (, + ), η Κ είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) οπότε η εξίσωση Κ() = έχει το πολύ μια ρίζα στο (, + ) Η Κ συνεχής στο [,] και ισχύει Κ() Κ () = ( ) < Άρα σύμφωνα με το ΘΒ υπάρχει ρ (, ) ώστε Κ(ρ)=, το οποίο μαναδικό. Για < < ρ είναι Κ() < K(ρ) = και για > ρ είναι Κ() > K(ρ) = ρ + + + + + K() + + g () + + g() Γν.φθίνουσα Γν. αύξουσα Γν.φθίνουσα Γν. αύξουσα τ.ελάχιστο τ. μέγιστο τ. ελάχιστο Άρα η g έχει δύο θέσεις τοπικών ελαχίστων και μία θέση τοπικού μεγίστου. ΤΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΗΘΗΚΕ Ο ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ ΚΟΥΣΗΣ Π. ΣΙΦΝΑΙΟΣ Δ. ΤΖΩΡΤΖΙΝΗΣ Ι. ΦΙΛΙΟΓΛΟΥ Ε. ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΣ Α. ΦΩΤΟΥ Φ.